Αστρονοµικές µετρήσεις µε εφαρµογή της Geogebra.

1 ΕΚΦΕ Εύβοιας Αστρονοµικές µετρήσεις µε εφαρµογή της Geogebra. Γιάννης Μίχας Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας ymichas@gmail.com http://ekfe.eyv.sch.gr Η εργασία αυτή στηρίζεται στις αρχές της ιερευνητικής Mάθησης (Inquiry based Science Learning IBSL). Οι µαθητές καλούνται να πάρουν µετρήσεις της γωνίας µε την οποία φαίνεται ο Άρης από τη Γη σε σχέση µε ένα σταθερό αστέρι για µια χρονική περίοδο, και χρησιµοποιώντας απλά µαθηµατικά (το νόµο των ηµιτόνων) να προσδιορίσουν τη περίοδο περιφοράς του Άρη γύρω από τον Ήλιο και την απόστασή του απ αυτόν. Την εργασία αυτή έκαναν πριν από 400 χρόνια ο Tycho Brahe και ο Johannes Kepler. Η διαφορά είναι ότι ενώ οι Brahe και Kepler χρειάστηκαν πάνω από 20 χρόνια για να συλλέξουν και να επεξεργαστούν τις µετρήσεις, οι µαθητές θα το κάνουν σε λίγα λεπτά, κάνοντας χρήση εφαρµογών της Geogebra. Η εργασία απευθύνεται σε µαθητές της Β λυκείου. 1. Ανάδροµη κίνηση Όλα τ αστέρια φαίνονται στον ουρανό ακίνητα από νύκτα σε νύκτα, εκτός από 7 που γι αυτό λόγο ονοµάστηκαν πλανήτες. Στην εργασία αυτή θα µελετήσουµε ιδιαίτερα τη κίνηση του Άρη. Ο Άρης, όπως και οι υπόλοιποι πλανήτες, φαίνεται να µετακινείται κάθε νύχτα λίγες µοίρες προς τα ανατολικά, δηλαδή την ίδια ώρα της νύχτας φαίνεται λίγο πιο ανατολικά από εκεί που βρισκόταν τη προηγούµενη νύχτα, την ίδια ώρα. Η πορεία αυτή συνεχίζεται για 100 βδοµάδες περίπου και µετά αντιστρέφεται, φαίνεται να κινείται προς τα δυτικά για 10 εβδοµάδες και µετά συνεχίζει πάλι ανατολικά. Στην εφαρµογή της Geogebra: retrograde motion of Mars ( http://tube.geogebra.org/material/show/id/93248), εξηγείται γιατί συµβαίνει αυτό. Στην εφαρµογή αυτή βλέπουµε τη προβολή του Άρη στον ουράνιο θόλο, όπως δηλαδή φαίνεται αυτός από τη Γη. Σαν ουράνιος θόλος χρησιµοποιείται ένας κύκλος ακτίνας 1.000 AU (1 AU = 1 αστρονοµική µονάδα (η µέση απόσταση Γης-Ήλιου = 149.597.870.700 m), µε κέντρο τον Ήλιο. Η Γη περιφέρεται σε κυκλική τροχιά µε κέντρο τον Ήλιο H (-0,14205 AU, 0), ακτίνας R Γ = 1 AU µε περίοδο 1 χρόνο. Η τροχιά της Γης δεν είναι στη πραγµατικότητα κυκλική αλλά ελλειπτική, η εκκεντρότητα της έλλειψης, όµως είναι πολύ µικρή (e = 0,0167). Γι αυτό µπορούµε, χωρίς σηµαντικό σφάλµα, να αποφύγουµε να κινούµε τη Γη πάνω σε έλλειψη, πράγµα που θα έκανε την εργασία πολύ πιο περίπλοκη. Ο Άρης κινείται στη πραγµατική του ελλειπτική τροχιά, µε τον Ήλιο στη µία εστία της H, µεγάλο ηµιάξονα a = 1,52435 AU και µικρό ηµι-άξονα b = 1,5177 AU, µε περίοδο 1,88 χρόνια. Στην εφαρµογή αυτή η κίνηση του Άρη δεν είναι η πραγµατική και γι αυτό δεν είναι

2 κατάλληλη για λήψη µετρήσεων, αλλά µόνο για την αντίληψη της έννοιας της ανάδροµης κίνησης.. Β Σχήµα 1. Αριστερά: Ο Άρης φαίνεται από τη Γη υπό γωνία β = 37,68 o σε σχέση µε ένα ακίνητο αστέρι B, που βρίσκεται σε ευθεία παράλληλη µε τον άξονα x. εξιά: Η ίδια εικόνα σε zoom out. Ο Άρης φαίνεται σαν ένα σηµείο A στον ουρανό. Ο ουρανός θεωρείται ότι είναι µια σφαίρα µε ακτίνα 1.000 AU. Μια οπτική ακτίνα συνδέει τον Άρη µε τη Γη και προεκτείνεται µέχρι τον ουράνιο θόλο. Εξηγείται, πολύ παραστατικά, ότι η ανάδροµη κίνηση οφείλεται στο ότι η Γη κινείται µε µεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα από τον Άρη και τον προσπερνά, όπως ένας αθλητής ντουµπλάρει έναν άλλο στο στίβο. Αρχικά η Γη ήταν πίσω από τον Άρη και µετά περνά µπροστά του, µε αποτέλεσµα το είδωλό του στον ουράνιο θόλο να φαίνεται ότι κινείται προς τα πίσω. 2. Προσδιορισµός της περιόδου του Άρη 2.1. Θέτουµε στους µαθητές τη παρακάτω άσκηση: Να βρείτε κάθε πότε συµπίπτουν οι δείκτες του ρολογιού (ο ωροδείκτης µε το λεπτοδείκτη). Μπορεί, για τη οπτικοποίηση της άσκησης να χρησιµοποιηθεί η εφαρµογή της Geogebra clock http://tube.geogebra.org/material/show/id/798303 ή ένα µεγάλο ρολόι τοίχου που να µπορούµε να περιστρέψουµε τους δείκτες του.

3 Σχήµα 2. Το ρολόι. Ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης συµπίπτουν τη χρονική στιγµή t = 1,0909 hr = 1:05 :27 θ ωρ = ω ωρ.t 2π = ω ωρ.t ωρ θ ωρ = 2πt/T ωρ θ λεπ = ω λεπ.t 2π = ω λεπ.t λεπ θ λεπ = 2πt/T λεπ θ λεπ - θ ωρ = 2πt.( t = h = 1:05 :27 ) = 2π = = Ο τύπος αυτός δεν ισχύει για δύο οποιεσδήποτε περιοδικές κινήσεις, όµως στη περίπτωση του Άρη και της Γης η απόκλιση είναι πολύ µικρή και ο τύπος µπορεί να χρησιµοποιηθεί. Συγκεκριµένα η συνάρτηση θ = f(t) της διαφοράς των γωνιών που διαγράφουν η Γη και ο Άρης δίνει ευθεία µε συντελεστή ποιότητας R 2 = 0,9994. Πρόκειται για τις γωνίες µε κορυφή τον Ήλιο και πλευρές την αρχική και την επιβατική ακτίνα του κάθε πλανήτη. ( ες Παράρτηµα). 2.2 Ανοίγουµε την εφαρµογή Geogebra: orbital motion of Mars http://tube.geogebra.org/material/show/id/93244 Συλλέγουµε µετρήσεις της γωνίας β σε συνάρτηση µε το χρόνο. Η γωνία β είναι η γωνία µε την οποία βλέπουµε τον Άρη από τη Γη σε σχέση µε ένα σταθερό αστέρι που βρίσκεται στην εκλειπτική (στην εφαρµογή µας το αστέρι βρίσκεται σε ευθεία παράλληλη µε τον άξονα x).

4 β, rad 6.2 5.8 5.4 111,42 βδοµάδες 111,42 βδοµάδες 5 4.6 4.2 3.8 3.4 3 2.6 2.2 1.8 1.4 1 0.6 10,8 βδομάδες 0.2-0.2-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 t, βδομάδες Σχήµα 3. Η γωνία β σε συνάρτηση µε το χρόνο σε βδοµάδες. Συνοδική περίοδος 112 βδοµάδες (βιβλιογραφική τιµή 111,42 βδοµάδες). ιάρκεια της ανάδροµης κίνησης 10,8 βδοµάδες (72 µέρες). Η τιµή της συνοδικής περιόδου πρέπει να υπολογιστεί µε µεγάλη ακρίβεια γιατί επηρεάζει όλες τις επόµενες µετρήσεις. Για να πετύχουµε την επιδιωκόµενη ακρίβεια όµως, πρέπει να ληφθούν χιλιάδες µετρήσεις πράγµα που ξεφεύγει από τα όρια ενός µαθήµατος. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούµε για τις επόµενους υπολογισµούς µας τη βιβλιογραφική τιµή. Ανοίγουµε ένα Λογιστικό Φύλλο (spreadsheet) της εφαρµογής Geogebra, προχωράµε το χρόνο κτυπώντας µε το mouse το δροµέα t και καταγράφονται αυτόµατα οι τιµές t και β. Κάθε κλικ αντιστοιχεί σε χρόνο µιας βδοµάδας. Το κάνουµε αυτό για 300 βδοµάδες. Σηµειωτέον ότι ο Brahe έκανε αυτό για 20 χρόνια (1.000 βδοµάδες) γιατί δεν ήξερε τι έψαχνε να βρει. Η εφαρµογή µας επιτρέπει επίσης να κάνουµε τη γραφική παράσταση β = f(t), που φαίνεται στο σχήµα 3. Φαίνονται τρεις ανάδροµες κινήσεις και προσδιορίζεται η συνοδική περίοδος. Η καλύτερη που προκύπτει µε την ακρίβεια αυτής της µεθόδου, είναι 112 βδοµάδες. Εµείς όµως θα χρησιµοποιήσουµε τη βιβλιογραφική τιµή t συν = 111,42 βδοµάδες = 2,135 χρόνια.. 2.2. Εφαρµόζοντας το τύπο που βρήκαµε για το ρολόι στην περίπτωση των πλανητών Γης-Άρη, βρίσκουµε = =,"# =1,88 &'ό)*+ Αν είχαµε κρατήσει τη τιµή t συν = 112 βδοµάδες, θα βρίσκαµε Τ Α = 1,87 χρόνια. Βιβλογραφική τιµή 1,8807 χρόνια. 3. Προσδιορισµός της απόστασης Ήλιου - Άρη (R) Ανοίγουµε την εφαρµογή της Geogebra νόµος των ηµιτόνων.

5 Θα χρησιµοποιήσουµε το νόµο των ηµιτόνων σε δύο χρονικές στιγµές που απέχουν µεταξύ τους 1,88 χρόνια (η περίοδος του Άρη). Ο Άρης, µετά από µια περίοδο, του θα βρίσκεται ακριβώς στην ίδια θέση, αφού η κίνησή του είναι περιοδική, άρα θα απέχει το ίδιο από τον Ήλιο (R). Η Γη όµως θα έχει συµπληρώσει 1,88 περιφορές γύρω από τον Ήλιο, άρα θα βρίσκεται σε άλλη θέση. Έστω, - Η και Η, οι γωνίες Γη-Ήλιος-Άρης για τις δύο χρονικές στιγµές,

6 Σχήµα 4. Ο Άρης και η Γη στις χρονικές στιγµές t = 0,7381 και t = 1,7381 της περιόδου του Άρη (1,88 χρόνια). Ο Άρης βρίσκεται στην ίδια θέση. Η γωνία,.=,/ 0,7490 rad (2,7635 2,0147 = 0,749). - Γ και Γ, οι γωνίες Ήλιος-Γη-Άρης. Οι γωνίες αυτές είναι µετρήσιµες από τη Γη άρα γνωστές. - Α και Α, οι γωνίες Ήλιος-Άρης-Γη (άγνωστες). Για τη γωνία Η έχουµε ότι αυτή ισούται µε την Η, αν προστεθεί η γωνία κατά την οποία µετατοπίσθηκε η Γη στα 1,88 χρόνια, και αφαιρεθεί η γωνία κατά την οποία µετατοπίσθηκε ο Άρης στο ίδιο χρονικό διάστηµα: Η 1 = Η + ω 4.t ω 7.t (1) Όπου ω 4 και ω 7 οι γωνιακές ταχύτητες Γης και Άρη. : ; = <=? <> = 2A? 1 = 6,28 CD?&'ό)E = ; =: ;.> =6,28 1,88 Α =11,817 CD =2A+ 5,534=4A0,749 : M = 2A? 1,88 = 3,34 CD?&'ό)E = N =ω 7.>=3,34 1,88= 2A (1), =, + 4A0,7492A = O 0,7490 CD Νόµος Ηµιτόνων Q RST = 1 UV RSW Q = RST RSW = RST RS(A,T) Q= RST RS(,+T) (2)

7 Q RST 1 = 1 UV RST1 Q= RSW1 RSW 1 = RST 1 RS(A, 1 T 1 ) = RST 1 RS(, 1 +T 1 ) Q = RST RS(,0,7490+T ) (3) Πρόκειται για σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους, R και Η. Η λύση του συστήµατος δίνει: Y=,/ = RST.RST 1 RST.RS(T 1 0,7490) RST.Z[)(T 1 0,7490)RST 1.Z[)T Q = ημt ημ (T+,) Η λύση χρησιµοποιεί τριγωνοµετρικές ταυτότητες και δίνεται στο παράρτηµα. Επίλογος Επαναλήφθηκε, με τη χρήση της τεχνολογίας Τ.Π.Ε., η ηρωική προσπάθεια των Tycho Brahe και Johannes Kepler να βρουν τα μαθηματικά της κίνησης των πλανητών. Η εφαρμογή της Geogebra λειτούργησε σαν εικονικό αστεροσκοπείο που έδινε στους μαθητές τη δυνατότητα να λάβουν ακριβείς μετρήσεις της θέσης του Άρη με το πάτημα ενός κουμπιού και να επαναλάβουν μέσα σε λίγα λεπτά μια κοπιαστική εργασία που ο Brahe χρειάστηκε 20 χρόνια για να ολοκληρώσει. Οι μαθητές δεν αποστηθίζουν το νόμο του Kepler τις αστρονομικές αποστάσεις αλλά τις ανακαλύπτουν μόνοι τους. Οι μαθητές βλέπουν τη σημασία των μαθηματικών που έμαθαν στο γυμνάσιο στη πράξη και ανακαλύπτουν τη χρησιμότητά τους. Μαθαίνουν παράλληλα την επιστημονική μέθοδο. Όλα όσα ειπώθηκαν σ αυτή την εργασία βασίστηκαν σε μια παραδοχή, ότι ο Ήλιος είναι στο κέντρο του ηλιακού συστήματος. Αυτή η παραδοχή δεν ήταν αποδεκτή κατά την αρχαιότητα και το μεσαίωνα. Για να ξεκινήσει μια επιστημονική εργασία χρειαζόμαστε μια υπόθεση, η οποία θα ελεγχθεί κατόπιν γα την ορθότητά της από το αν δίνει λογικά αποτελέσματα ή όχι. Για να ελεγχθεί η ορθότητά της πρέπει να συλλεχθούν δεδομένα και να επεξεργασθούν, για να δούμε αν ταιριάζουν στη υπόθεση μας. Δηλαδή πρέπει να ακολουθηθεί η επιστημονική μέθοδος. Οι μαθητές καταλαβαίνουν ότι όλη η επιστημονική γνώση αποτελεί προϊόν του ανθρώπινου εγκεφάλου και όχι μια αναμφισβήτητη αλήθεια. Υπόκειται πάντα σε κριτική και πειραματισμό και γι αυτό εξελίσσεται Η εργασία αυτή έχει δύο ακόμη μέρη στα οποία οι μαθητές οδηγούνται στην ανακάλυψη των νόμων του Kepler και της Αρχής Διατήρησης της Στροφορμής. Επίσης με εφαρμογή του 3 ου νόμου, οι μαθητές προσδιορίζουν την μάζα του Ήλιου και του Δία σε σχέση με τη μάζα της Γης.

8 Οι εφαρμογές Geogebra που αναφέρονται στο κείμενο βασίστηκαν στο αρχείο "planetary motion" του χρήστη "user 1430" και είναι όλες αναρτημένες στο tube.geogebra.org (author: ymichas). ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. Σφάλματα Ενώ οι γωνίες 11,7364 = 1,87 x 6,28 και 11,8168 = 1,88 x 6,28 διαφέρουν μόνο κατά 0,7%, οι γωνίες 0,8300 = 4π 11,7364 και 0,7490 = 4π 11,8168 διαφέρουν κατά 11%. Γι αυτό επιλέγεται η βιβλιογραφική τιμή του Τ Α. 2. Λύση του συστήματος: Θέτουµε ^ =T 1 0,7490 RST ημ(t+, ) = RST ημ(t +,0,7490) RST.RS(,+T1 0.7490) = RST 1.ημ(T+,) RST._RS,.Z[)(T 1 0,7490)+Z[),.RS(T 1 0,7490)` = RST._RST.Z[),+Z[)T.RS,` RST._RS,.Z[)Β+Z[),.RS^`= RST 1._RST.Z[),+Z[)T.RS,` RST.RS,.Z[)^+RST.Z[),.RS^ =RST 1.RST.Z[),+RST 1.Z[)T.RS, RS,(RST.Z[)^RST 1.Z[)T)= Z[)b(RST.RST 1 RST.RS^) Y==,= Q = RST.RST RST.RS^ RST.Z[)^RST.Z[)T ημt ημ (T+,) 3. Γραφική παράσταση της διαφοράς των γωνιών με κορυφή τον Ήλιο και πλευρές την επιβατική και την αρχική ακτίνα κάθε πλανήτη σε συνάρτηση με το χρόνο. Αν και δε πρόκειται για ευθεία, μπορεί κατά καλή προσέγγιση να εκληφθεί σαν τέτοια.

9 30 25 y = 5.5425x + 0.0185 R² = 0.9994 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6