Ονοµατεπώνυµο: Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Σεπτέµβριος Εξεταστές: Χ. Ζαρολιάγκης, Θ. Παπαθεοδώρου Α.Μ.: Έτος: ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ο Θέµα ( µονάδα) i) ίνεται το διάνυσµα A µε N 8 στοιχεία. Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός FFT του διανύσµατος A. Συµπληρώστε τις συνιστώσες του A κατά τις διάφορες φάσεις του αλγορίθµου. (ΠΡΟΣΟΧΗ : ω 5 -ω) A Â - - - - ω (+ω+ω +ω ) - - (+ω ) + ω (-ω +ω -ω 5 ) - ω (-ω+ω -ω ) (-ω ) + ω (-ω -ω +ω 5 ) ii) Τα στοιχεία της προτελευταίας στήλης που έχουν γκρι φόντο σε ποιο πολυώνυµο αντιστοιχούν και για ποιες ρίζες της µονάδας; P P ( x) x + x + x, για ( x) + x + x, για x ω x ω /8
ο Θέµα ( µονάδες) ίνεται η αναδροµική εξίσωση n n n + n, µε αρχικές συνθήκες, και 5. Να υπολογιστεί ο όρος 79 : i) ( µονάδα) Με χρήση της µεθόδου «ιαίρει και Βασίλευε» a) Για το σκοπό αυτό γράφουµε v A v, όπου: n n n vn n n, A, b) Εποµένως, συναρτήσει των αρχικών συνθηκών: v n n n n v A v 79 l, όπου ο εκθέτης 79 και ο δείκτης l c) Από τον πίνακα A που δώσατε στο υποερώτηµα a) υπολογίστε τις παρακάτω δυνάµεις: A, A, A όπου ο αριθµός που δώσατε στο υποερώτηµα b) d) Άρα τελικά 79 ii) ( µονάδα) Με χρήση της µεθόδου της χαρακτηριστικής εξίσωση a) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: x x + x b) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι: x x i x i c) Η γενική λύση της εξίσωσης, συναρτήσει των σταθερών c, c c, είναι: c n + c i n + c ( i) n n d) Εποµένως: c c 5 i c + 5 i e) Άρα τελικά 79, /8
ο Θέµα ( µονάδα) Στο σύστηµα A x b ο πίνακας A είναι 6 6 µε Aτριδ(-,, -), b(j)8 j για j,,,6 και b(6)568. Μετά από δύο βήµατα της µεθόδου αναγωγής µονώνζυγών, το σύστηµα που θα προκύψει θα έχει διάσταση (αριθµό εξισώσεων) 5 και η γενική του εξίσωση θα είναι: όπου (συναρτήσει του j): i j j + α - β 96 γ - α x i + β x j + γ x δ j και (συναρτήσει των αρχικών συνιστωσών του b) δ j 98 [ b() j + b( j ) + b( j + ) ] + [ b( j ) + b( j ) + b( j ) ]+ [ b( j + ) + b( j + ) + b( j + ) ] b ( j ) + b( j ) + 99 b( j ) + 98 b( j) + 99 b( j + ) + b( j + ) + b( j + ) Υποθέστε τώρα ότι στον υπολογιστή σας οι µικρότεροι σε απόλυτη τιµή µη µηδενικοί αριθµοί είναι οι ± και οι µεγαλύτεροι οι ± 6. Υποθέστε επίσης ότι όλες οι πράξεις γίνονται µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. Τότε η εφαρµογή της µεθόδου θα δώσει: x.9968 ο Θέµα ( µονάδα) ιατυπώστε τις επαναληπτικές σχέσεις που χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό του ελαχίστου της συνάρτησης, όπου: ( x, y, z) x + y + z x y + 6 x z y z + x y + 8 z a) µε την µέθοδο Jacobi: + x y z 5, + + y x z +, + z x + y b) µε την µέθοδο Gauss-Seidel: + + + + + + x y z 5, y x + z +, z x + y c) µε την µέθοδο SOR και µε παράµετρο ω: x z + + ( ω ) x + ω ( y z 5), y ( ) x + ω ( x + z + ) + + ( ω ) z + ω ( x + y ) + + ω, /8
5 ο Θέµα ( µονάδα) Να δοθεί ο κλειστός τύπος, σε ασυµπτωτικό συµβολισµό, των παρακάτω αναδροµικών σχέσεων: (α) T ( n) T ( n ) + Απάντηση: T ( n) O ( n) (β) T ( n ) T ( n ) + n Απάντηση: T ( n ) O ( n ) /8
6 ο Θέµα ( µονάδα) Να βρείτε το Ελάχιστο Γεννητικό ένδρο (ΕΓ ) του παρακάτω γραφήµατος (α) µε την µέθοδο Prim θεωρώντας ως αρχική κορυφή την α, και (β) µε την µέθοδο Krusal. Και στις δύο περιπτώσεις το ΕΓ να δοθεί σαν µια ακολουθία πλευρών του γραφήµατος µε τη σειρά κατά την οποία προστίθενται οι πλευρές στο ΕΓ σε κάθε µέθοδο. i 77 j 57 l 78 7 7 6 66 8 8 a b c d 55 7 5 58 h 65 g 599 e (α) ΕΓ {(a,h), (a,b), (b,g), (b,c), (,c), (c,d), (d,l), (c,), (b,j), (d,e), (a,i)} (β) ΕΓ {(d,l), (,c), (c,d), (c,), (b,g), (h,a), (b,c), (b,j), (d,e), (a,b), (a,i)} 5/8
7 ο Θέµα ( µονάδα) Στο παρακάτω διγράφηµα να βρείτε αποστάσεις (κόστη συντοµότερων διαδροµών) από την κορυφή s προς όλες τις υπόλοιπες κορυφές εφαρµόζοντας τον αλγόριθµο του Dijstra. Η απάντησή σας να δοθεί συµπληρώνοντας τον σχετικό πίνακα, στον οποίο πρέπει να δώσετε: (α) τις κορυφές µε την σειρά κατά την οποία οριστικοποιούνται («µονιµοποιούνται») από τον αλγόριθµο Dijstra, και (β) την απόσταση d(u) κάθε κορυφής u του διγραφήµατος από την s. 7 5 s x y 5 5 6 w t z 5 7 5 7 5 p 5 q 55 r Α/Α οριστικοποίησης Κορυφή [u] Απόσταση [d(u)] s t 5 w 7 y 8 5 p 85 6 x 7 z 8 q 9 r 65 6/8
8 ο Θέµα ( µονάδα) (α) Στο διγράφηµα του παρακάτω σχήµατος να δώσετε τους χρόνους ανακάλυψης (πρώτης επίσκεψης) και εγκατάλειψης σε µία Αναζήτηση Πρώτα κατά Βάθος (ΑΠΒ), η οποία αρχίζει από την κορυφή a. (β) Να κατηγοριοποιήσετε τις πλευρές (τόξα) του διγραφήµατος σύµφωνα µε την ΑΠΒ του ερωτήµατος (α). c b e a d h j i g (α) Κορυφή Χρόνος Ανακάλυψης Χρόνος Εγκατάλειψης a 6 b 7 c 5 d 9 e 7 8 5 g 8 9 h i j 6 (β) Πλευρές δέντρου: (a, e), (a, ), (b, g), (d, h), (e, j), (, d), (, i), (j, c) Πίσω τόξα: (c, e), (i, a), (j, e) Εµπρός τόξα: - ιασυνδετικά τόξα: (b, h), (g, h), (i, d) 7/8
9 ο Θέµα ( µονάδα) Έστω A [ : n] ένας µη ταξινοµηµένος (µονοδιάστατος) πίνακας που περιέχει n στοιχεία ενός συγκεκριµένου τύπου που µπορεί να είναι οποιοσδήποτε (π.χ. ο Α είναι ένας πίνακας σειρών χαρακτήρων του οποίου τα στοιχεία αναπαριστούν ονοµατεπώνυµα υποψήφιων δηµάρχων ή νοµαρχών στις πρόσφατες εκλογές). Επίσης, πολλά από τα στοιχεία µπορεί να είναι ίδια µεταξύ τους (π.χ. κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί στην ψήφο ενός εκλογέα και πολλοί εκλογείς ψηφίζουν τον ίδιο υποψήφιο). Να δοθεί ένας αλγόριθµος ο οποίος να βρίσκει το στοιχείο του Α που πλειοψηφεί (εάν υπάρχει), δηλαδή το στοιχείο εκείνο το οποίο εµφανίζεται περισσότερες από n φορές. Ο αλγόριθµός σας θα πρέπει να εκτελεί µόνο µία «σάρωση» του A (δηλαδή ξεκινώντας από την αρχή του πίνακα να διαβάζει κάθε στοιχείο µόνο µία φορά), να µην τροποποιεί καµία εγγραφή του A (δηλαδή ο πίνακας είναι read-only ), και να χρησιµοποιεί (εκτός από τον A) το πολύ τρεις ακόµη µεταβλητές. Επιχειρηµατολογήστε για την ορθότητα του αλγορίθµου σας. counter ; or i to n do i counter then curr_elema[i]; i curr_elema[i] then ++counter else --counter; od i counter> then curr_elem is the majority element else there is no majority element 8/8