ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για αρκούντως καλές συναρτήσεις f. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θα υποθέσουμε ότι t 0 = 0. Υποθέτουμε ότι η f ο- ρίζεται σε κάποιο διάστημα με κέντρο το x 0, δηλαδή x 0 b < x < x 0 + b. Αναζητούμε μία συνάρτηση x = x(t) ορισμένη σε κάποιο διάστημα ( a, a) που ικανοποιεί το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ (t) = f(x), x (0) = x 0. (2.1.1) Το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης για το πρόβλημα αρχικών τιμών (2.1.1) διατυπώνεται ως εξής. Θεώρημα 2.1.1. Εστω ότι η f έχει συνεχή παράγωγο στο διάστημα (x 0 b, x 0 + b). Τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση x(t), τέτοια ώστε να ικανοποιεί την (2.1.1) σε κάποιο διάστημα ( a, a). Παρατήρηση 2.1.1. Το θεώρημα εξασφαλίζει την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων τοπικά γύρω από το 0, (local existence and uniqueness theorem). Μία συντηρητική εκτίμηση του μήκους του διαστήματος ( a, a), προκύπτει κατά την απόδειξη του θεωρήματος, βλ. π.χ. [8]. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι, a = min {b/m, 1/K}, όπου M = max x 41 f (x), K = max f (x). (2.1.2) x

42ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ Στις περισσότερες περιπτώσεις το διάστημα ύπαρξης της λύσης είναι μεγαλύτερο από το (2.1.2). Οπως θα δούμε στα επόμενα παραδείγματα, το διάστημα ύπαρξης των λύσεων συχνά μπορεί να επεκταθεί, αλλά εν γένει όχι για κάθε t. Παράδειγμα 2.1.1. Εστω f(x) = 1 + x 2, x 0 = 0, τότε έχουμε f (x) = 2x, δηλαδή f (x) είναι συνεχής σε κάθε διάστημα με κέντρο το x 0 = 0. Επομένως το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = 1 + x 2, x (0) = 0 έχει μοναδική λύση σε κάποιο διάστημα ( a, a). Πράγματι, με χωρισμό μεταβλητών βρίσκουμε dx 1 + x 2 = t + C tan 1 x = t + C, και επειδή x = 0 όταν t = 0, προκύπτει ότι C = 0. Επομένως η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι x (t) = tan t, t π 2, π. 2 Ανεξάρτητα λοιπόν από την χονδρική εκτίμηση (2.1.2), το μέγιστο διάστημα ύπαρξης λύσης στο πρόβλημα αρχικών τιμών είναι το ( π/2, π/2). Ας σημειωθεί ότι οι κλάδοι της συνάρτησης tan t στα διαστήματα... ( 3π/2, π/2), (π/2, 3π/2),... δεν αποτελούν μέρος της λύσης, διότι η τιμή t = 0 δεν ανήκει σ αυτά. Παράδειγμα 2.1.2. Εστω f(x) = x 2, x 0 = 1, τότε έχουμε f (x) = 2x, δηλαδή f (x) είναι συνεχής σε κάθε διάστημα με κέντρο το x 0 = 1, π.χ. στο διάστημα (0, 2). Επομένως το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = x 2, x (0) = 1, (2.1.3) έχει μοναδική λύση σε κάποιο διάστημα ( a, a). Πράγματι, με χωρισμό μεταβλητών βρίσκουμε ότι η λύση είναι x (t) = 1 1 t. Επειδή lim t 1 x (t) = +, αυτή ορίζεται σε κάποιο διάστημα ( a, a), με a το πολύ 1. Προφανώς η λύση μπορεί να επεκταθεί προς τα αριστερά, αλλά όχι προς τα δεξιά, δηλαδή η λύση μπορεί να επεκταθεί στο διάστημα (, 1). Το διάστημα αυτό λέγεται μέγιστο διάστημα ύπαρξης της λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών. Ας σημειωθεί ότι ο κλάδος της συνάρτησης 1/ (1 t) στο διάστημα (1, + ) δεν αποτελεί μέρος της λύσης, διότι η τιμή t = 0 δεν ανήκει στο (1, + ), Σχήμα 2.1.

2.1. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ 43 3.0 xt 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 3 2 1 0 1 t Σχήμα 2.1: Η λύση του προβλήματος (2.1.3). Τα παραπάνω δύο παραδείγματα είναι χαρακτηριστικά της συμπεριφοράς των λύσεων μη γραμμικών ΔΕ. Σε αντιδιαστολή με τις γραμμικές ΔΕ, μία μη γραμμική ΔΕ ẋ = f (x), ακόμα και αν η f ορίζεται και είναι παραγωγίσιμη σε ολόκληρο το R, μπορεί να έχει λύση x(t) που γίνεται μη φραγμένη σε κάποια στιγμή t = b. Με άλλα λόγια, η λύση μπορεί να υπάρχει μόνο για t σε κάποιο διάστημα (a, b). Ας σημειωθεί ακόμα ότι το σημείο ανωμαλίας της λύσης, δηλαδή το σημείο όπου η λύση απειρίζεται, εξαρτάται από την αρχική συνθήκη. Στο πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = x 2, x (0) = 0.2, η λύση είναι μία καθ όλα καλά συμπεριφερόμενη συνάρτηση στην περιοχή του t = 1 (ελέγξετέ το!), απειρίζεται όμως όταν t 5. Επειδή το σημείο ιδιομορφίας των λύσεων μετακινείται όταν αλλάζουν οι αρχικές συνθήκες, λέμε ότι οι μη γραμμικές ΔΕ εμφανίζουν κινούμενες ιδιομορφίες (movable singularities). Σε αντιδιαστολή, οι λύσεις των γραμμικών ΔΕ εμφανίζουν ιδιομορφίες σε σταθερά σημεία, εκεί όπου οι συναρτήσεις p και q στην (1.4.5) έχουν πόλους. Εξετάστε αν το θεώρημα 2.1.1 εφαρμόζεται στα παρακάτω προβλήματα ΑΤ: ẋ = x, x (0) = 0, ẏ = y, y (0) = 1. Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = x, x 0, x (0) = 0.

44ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ xt Τ t Σχήμα 2.2: Γράφημα μιάς από τις λύσεις x τ. Η ΔΕ ẋ = x είναι ουσιωδώς η ΔΕ που διέπει το άδειασμα μιας δεξαμενής (ασκ. 5, Παράγραφος 1.4.1). Μία λύση είναι η x (t) = 0, t. Επίσης, για κάθε τ 0, η οικογένεια των συναρτήσεων 1 4 x τ (t) = (t τ)2, t < τ 0, t τ αποτελεί λύση (Σχήμα 2.2). Επομένως οι λύσεις στο παραπάνω πρόβλημα ΑΤ είναι άπειρες. Πώς συμβιβάζεται το αποτέλεσμα με το Θεώρημα μοναδικότητας των λύσεων; Από πλευράς Φυσικής, το αποτέλεσμα είναι καταστροφικό: Αν η δεξαμενή έχει αδειάσει τη στιγμή t = 0, δεν ξέρουμε πότε ήταν γεμάτη. 2.2 Η έννοια του δυναμικού συστήματος Η έννοια της κατάστασης ενός φυσικού συστήματος εξαρτάται από τη φυσική θεωρία που περιγράφει το σύστημα. Ετσι, η κατάσταση μιας ποσότητας ιδανικού αερίου παρίσταται από την τριάδα (P, V, T ), όπου P είναι η πίεση, V είναι ο όγκος και T είναι η θερμοκρασία του αερίου. Επομένως η κατάσταση του αερίου παρίσταται από ένα διάνυσμα του R 3. Στην κλασσική μηχανική, η κατάσταση ενός σωματιδίου που κινείται σε μία διάσταση δίνεται από τη θέση και την ταχύτητα του σωματιδίου, επομένως η κατάστασή του παρίσταται από ένα διάνυσμα του R 2. Εστω ότι η κατάσταση ενός συστήματος παριστάνεται από το x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. Το σύνολο όλων των καταστάσεων λέγεται καταστατικός χώρος, ή χώρος των φάσεων (state space or phase space).

2.2. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 45 Επομένως ο χώρος των φάσεων είναι ο Ευκλείδιος χώρος R n, ή ένα ανοιχτό υποσύνολο του R n. Για παράδειγμα, η κατάσταση ενός σωματιδίου στην κλασσική μηχανική προσδιορίζεται από τις τρεις συντεταγμένες της θέσης του και τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας του, επομένως ο χώρος των φάσεων έχει διάσταση 6. Θα υποθέσουμε ότι η χρονική εξέλιξη του συστήματος περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση (ΔΕ) της μορφής ẋ = f (x). (2.2.1) Στην εξίσωση αυτή, f είναι ένα διανυσματικό πεδίο στον R n με συνιστώσες (f 1, f 2,..., f n ). Ακριβέστερα, θα υποθέτουμε ότι f ορίζεται σε ένα ανοιχτό υποσύνολο E του R n και είναι συνεχώς διαφορίσιμο. 1 Θα θεωρούμε ότι ένα συνεχές δυναμικό σύστημα περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση αυτού του τύπου. Σε συνιστώσες, η (2.2.1) γράφεται ως ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης ẋ 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ), ẋ 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ),. ẋ n = f n (x 1, x 2,..., x n ). Μία λύση της ΔΕ (2.2.1) είναι μία διαφορίσιμη απεικόνιση φ : I R n που ορίζεται σε κάποιο διάστημα I, τέτοια ώστε αν η φ(t) αντικαταστήσει το x στην (2.2.1) να προκύπτει ταυτότητα (που περιέχει το t) για κάθε t I. Γεωμετρικά η λύση φ είναι μία καμπύλη στον R n με εφαπτόμενο διάνυσμα φ (t) ίσο με f (φ (t)). Δηλαδή μπορούμε να θεωρούμε τη λύση ως την τροχιά ενός σωματιδίου που κινείται στον R n και σε κάθε στιγμή t, η ταχύτητά του είναι ίση με το διανυσματικό πεδίο f υπολογισμένο στην θέση του σωματιδίου. Για το λόγο αυτό οι όροι λύση και τροχιά χρησιμοποιούνται ως ίδια έννοια. Η διαφορική εξίσωση (2.2.1) λέγεται αυτόνομη εξίσωση, διότι η f δεν εξαρτάται ρητά από το χρόνο. Το δυναμικό σύστημα (2.2.1) λέγεται επίσης αυτόνομο δυναμικό σύστημα, διότι η εξέλιξή του εξαρτάται από το x μόνο. Το Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης γενικεύεται για προβλήματα ΑΤ στον R n, δηλαδή για σύστημα n διαφορικών εξισώσεων με αρχικές 1 Δηλαδή f : E R n είναι τουλάχιστον κλάσης C 1 στο E. Ισοδύναμα, οι συνιστώσες του f είναι συνεχείς και έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς τις μεταβλητές x i, βλ. Παράγραφο 12.4.6 στο Παράρτημα.

46ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ συνθήκες της μορφής ẋ 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ), x 1 (0) = x 01, ẋ 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ), x 2 (0) = x 02,.. ẋ n = f n (x 1, x 2,..., x n ), x n (0) = x 0n. (2.2.2) Το σύστημα αυτό γράφεται και με τη μορφή ẋ = f (x), x (0) = x 0, (2.2.3) όπου φυσικά x = (x 1,..., x n ) R n, και f = (f 1,..., f n ) είναι ένα διανυσματικό πεδίο στον R n. Το παρακάτω θεώρημα γενικεύει στις n διαστάσεις το Θεώρημα 2.1.1. Θεώρημα 2.2.1. (Το θεμελιώδες θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας). Εστω E ένα ανοιχτό υποσύνολο του R n που περιέχει το x 0 και f : E R n ένα C 1 διανυσματικό πεδίο. Τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών (2.2.3) έχει μοναδική λύση x (t) σε κάποιο διάστημα ( a, a). Το θεώρημα αυτό εξασφαλίζει την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης και για ΔΕ ανώτερης τάξης. Για να αντιληφθούμε καλύτερα το συμπέρασμα αυτό, ας θεωρήσουμε μία ΔΕ δεύτερης τάξης ÿ = f (y, ẏ), (2.2.4) με αρχικές συνθήκες y(0) = y 0 και ẏ (0) = v 0. Θέτουμε y = x 1, ẏ = x 2, οπότε το πρόβλημα αρχικών τιμών γράφεται ως σύστημα δύο ΔΕ πρώτης τάξης ẋ 1 = x 2, x 1 (0) = y 0, ẋ 2 = f (x 1, x 2 ), x 2 (0) = v 0. (2.2.5) Δεδομένου ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (2.2.5) έχει μοναδική λύση, συνεπάγεται ότι και το πρόβλημα (2.2.4) έχει μοναδική λύση. Με ανάλογο τρόπο, μπορούμε να δείξουμε ότι κάθε ΔΕ ανώτερης τάξης π.χ. τάξης n, ανάγεται σε σύστημα n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Γράψτε την εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή ως ένα σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Για τη λύση του συστήματος βλέπε Παράδειγμα 5.0.5, καθώς και την Παρατήρηση 5.3.1.

2.2. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 47 Στο παρακάτω παράδειγμα σκιαγραφείται η έννοια του δυναμικού συστήματος και τονίζεται η σημασία του Θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας στις ντετερμινιστικές διεργασίες. Παράδειγμα 2.2.1. Θεωρούμε την κίνηση ενός σώματος, π.χ. ενός διαστημοπλοίου μέσα στο ηλιακό σύστημα. Επιλέγουμε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων, π.χ. με αρχή των αξόνων στο κέντρο του Ηλιου. Ολα τα σώματα ( Ηλιος, πλανήτες, διαστημόπλοιο), θεωρούνται ως υλικά σημεία. Το πρόβλημα αυτό της κλασσικής μηχανικής έγκειται στην επίλυση της εξίσωσης του Νεύτωνα, F = ma. Οπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή του πρώτου κεφαλαίου, για ένα υλικό σημείο μάζας m που κινείται υπό την επίδραση μιας δύναμης F = F 1 i + F 2 j + F 3 k που είναι συνάρτηση της θέσης του σωματιδίου r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, ο νόμος F = ma γράφεται ως m r = F (r), ή ισοδύναμα ẍ = f 1 (x, y, z), ÿ = f 2 (x, y, z), z = f 3 (x, y, z), όπου f i είναι οι συνιστώσες της δύναμης διαιρεμένες με τη μάζα του υλικού σημείου, δηλαδή, f i = F i /m. Πρόκειται για ένα σύστημα τριών ΔΕ δεύτερης τάξης. Θέτουμε x = x 1, y = x 2, z = x 3, ẋ = x 4, ẏ = x 5, ż = x 6, οπότε οι παραπάνω ΔΕ εξισώσεις γράφονται ως ένα δυναμικό σύστημα ẋ 1 = x 4, ẋ 2 = x 5, ẋ 3 = x 6, (2.2.6) ẋ 4 = f 1 (x 1, x 2, x 3 ), ẋ 5 = f 2 (x 1, x 2, x 3 ), ẋ 6 = f 3 (x 1, x 2, x 3 ). Η διατεταγμένη εξάδα x := (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ), ως συνάρτηση του χρόνου περιγράφει κάθε στιγμή πλήρως την κατάσταση του υλικού σημείου, δηλαδή τη θέση του και την ταχύτητα του. Αν γνωρίζουμε την αρχική κατάσταση του διαστημοπλοίου, (αρχική θέση και αρχική ταχύτητα), δηλαδή αν γνωρίζουμε την διατεταγμένη εξάδα x (0) = (x 1 (0),..., x 6 (0)), τότε το σύστημα (2.2.6) γράφεται ως ένα πρόβλημα αρχικών τιμών της μορφής (2.2.2), ή (2.2.3). Το Θεώρημα 2.2.1 εξασφαλίζει ότι το

48ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ πρόβλημα αυτό έχει μοναδική λύση. Επομένως, αν γνωρίζουμε την αρχική κατάσταση του διαστημοπλοίου η μελλοντική του κατάσταση καθορίζεται μονοσήμαντα. Από το παραπάνω παράδειγμα προκύπτει ότι το Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας έχει μεγάλη σπουδαιότητα στις φυσικές εφαρμογές. Αποτελεί τη μαθηματική διατύπωση της αρχής της αιτιοκρατίας (determinism). Κατά τον Arnol d [4], μία διαδικασία λέγεται ντετερμινιστική, αν ολόκληρο το μέλλον της και ολόκληρο το παρελθόν της, προσδιορίζονται από την κατάστασή της την παρούσα στιγμή. 2.3 Συνεχής εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες Υπενθυμίζουμε (βλ. Παράγραφο 12.4.2 στο Παράρτημα) ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής αν απεικονίζει κοντινούς αριθμούς σε κοντινούς αριθμούς δηλαδή, αν x είναι κοντά στο y, τότε και οι εικόνες τους f(x) και f(y) είναι κοντά. Διαισθητικά λοιπόν, η συνάρτηση f είναι συνεχής αν κοντινά πρότυπα α- πεικονίζονται μέσω της f σε κοντινές εικόνες. Οπως έχουμε δει, στην περίπτωση που η f είναι συνάρτηση μόνο του t, τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f (t), x (t 0 ) = x 0 έχει μοναδική λύση την x (t) = t t 0 f (τ) dτ + x 0. Η λύση αυτή θεωρούμενη ως συνάρτηση τριών μεταβλητών, x = x(t; x 0, t 0 ) είναι συνεχής συνάρτηση των t, x 0, t 0. Το παραπάνω αποτέλεσμα ισχύει και στην γενική περίπτωση. Αποδεικνύεται δηλαδή ότι, η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (t 0 ) = x 0, είναι συνεχής συνάρτηση των αρχικών δεδομένων x 0, t 0, αρκεί το διανυσματικό πεδίο f να είναι π.χ. συνεχώς διαφορίσιμο. Σύμφωνα με τον ορισμό της συνέχειας που δόθηκε πιο πάνω, συμπεραίνουμε ότι κοντινά αρχικά δεδομένα παράγουν κοντινές λύσεις. Το συμπέρασμα αυτό είναι μεγάλης σημασίας για τις εφαρμογές των ΔΕ στις φυσικές επιστήμες όπως θα δούμε αμέσως τώρα.

2.4. ΣΥΝΕΧΗΣ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ49 Μία φυσική θεωρία πρέπει απαντά στο ακόλουθο ερώτημα: Δίνεται η κατάσταση ενός συστήματος τη στιγμή t = 0. Ποιά είναι η κατάσταση του συστήματος κάποια άλλη στιγμή t; Με άλλα λόγια, η φυσική θεωρία είναι επιτυχής αν μπορεί να προβλέψει την χρονική εξέλιξη του συστήματος. Η θεωρία ισχυροποιείται αν η προβλεπόμενη τελική κατάσταση δεν επηρρεάζεται από αμελητέες διαφοροποιήσεις της αρχικής κατάστασης, ακριβέστερα, αν μικρές μεταβολές στην αρχική κατάσταση επιφέρουν επίσης μικρές μεταβολές στην τελική κατάσταση. Ενα παράδειγμα επιτυχούς φυσικής θεωρίας αποτελεί η κλασσική μηχανική. Το πρόβλημα της κλασσικής μηχανικής έγκειται στην επίλυση της ε- ξίσωσης του Νεύτωνα F = ma, όπου F/m = (f 1,..., f n ) είναι γνωστή συνάρτηση των θέσεων και ταχυτήτων των υλικών σημείων του συστήματος, δηλαδή η κάθε συνιστώσα της f i θεωρείται ως συνάρτηση 2n μεταβλητών, f i = f i (x 1,..., x n, ẋ 1,..., ẋ n ). Κατά συνέπεια ο νόμος του Νεύτωνα γράφεται ως ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων της μορφής ẍ i = f i (x 1,..., x n, ẋ 1,..., ẋ n ), i = 1, 2,..., n. (2.3.1) Από τη θεωρία που αναπτύξαμε στην προηγούμενη παράγραφο γνωρίζουμε ότι δοθεισών αυθαίρετων αρχικών θέσεων x 1 (0),..., x n (0) και αρχικών ταχυτήτων ẋ 1 (0),..., ẋ n (0), υπάρχει μοναδική λύση της (2.3.1) σε κάποιο διάστημα t ( a, a). Δηλαδή, η κλασσική μηχανική διατυπώνεται ως ένα πρόβλημα αρχικών τιμών. Επιπλέον για κάθε t, οι λύσεις είναι συνεχείς συναρτήσεις των αρχικών δεδομένων. Η τελευταία ιδιότητα είναι πολύ σημαντική, διότι σε φυσικά προβλήματα η γνώση των αρχικών συνθηκών προκύπτει από μετρήσεις, άρα υπόκειται σε σφάλματα. Χάρη στη συνεχή εξάρτηση των λύσεων από τις αρχικές συνθήκες, μικρά σφάλματα στα αρχικά δεδομένα δεν παράγουν μεγάλα σφάλματα στη λύση. Μια θεωρία θα έχανε την προβλεπτική της ισχύ, αν μικρές αλλαγές στα αρχικά δεδομένα επέφεραν μεγάλες αλλαγές στη λύση. Τέτοια είναι η περίπτωση των χαοτικών συστημάτων, βλ. την Παράγραφο 8.3. 2.4 Συνεχής εξάρτηση της λύσης από τις παραμέτρους Θεωρούμε ένα δυναμικό σύστημα όπου το διανυσματικό πεδίο f εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους µ 1, µ 2,..., µ m, που για λόγους οικονομίας τις γράφουμε ως διάνυσμα του R m, µ = (µ 1, µ 2,..., µ m ). Είναι εύλογο να

50ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ υποθέσουμε ότι το διανυσματικό πεδίο εξαρτάται ομαλά από τις παραμέτρους π.χ. οι συνιστώσες του, (f 1,..., f n ) είναι τουλάχιστον συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις των µ 1,..., µ m. μορφής Το δυναμικό σύστημα λοιπόν είναι της ẋ = f (x, µ), όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσης τουλάχιστον C 1 σε ένα ανοιχτό υποσύνολο E του R n R m. Ας συμβολίσουμε με φ (t, x, µ) τη λύση που τη στιγμή t 0 περνά από το x. Είναι διαισθητικά προφανές ότι, κάθε τέτοια λύση του συστήματος είναι συνεχής συνάρτηση των παραμέτρων. Και πράγματι αυτό αποδεικνύεται με όμοιο τρόπο όπως το θεώρημα της συνεχούς εξάρτησης από τις αρχικές συνθήκες, βλ. [5]. Η σημασία του θεωρήματος της συνεχούς εξάρτησης από τις παραμέτρους είναι πολύ μεγάλη για τις εφαρμογές. Αν π.χ. ένα μηχανικό σύστημα μοντελοποιείται ως αρμονικός ταλαντωτής με χαρακτηριστικές παραμέτρους m 0 και k 0 που συμβολίζουν μάζα και σταθερή ελατηρίου, τότε η χαρακτηριστική συχνότητα του ταλαντωτή είναι ω 0 = k 0 /m 0. Σε μία πραγματική μηχανική κατασκευή του υποδείγματος αυτού ουδέποτε θα επιτευχθεί μάζα ίση ακριβώς με m 0, ή σταθερή επαναφοράς ίση ακριβώς με k 0. Οι παράμετροι m και k του μηχανικού συστήματος θα διαφέρουν, έστω κατ ελάχιστον από τις m 0 και k 0. Το θεώρημα της συνεχούς εξάρτησης από τις παραμέτρους εξασφαλίζει ότι η συμπεριφορά του μηχανικού συστήματος με συχνότητα ω = k/m θα είναι παραπλήσια της συμπεριφοράς του υποδείγματος με συχνότητα ω 0. Με άλλα λόγια, μικρές μεταβολές στις παραμέτρους του συστήματος επιφέρουν μικρές μεταβολές στη λύση του προβλήματος. 2.5 Περιγραφή της απόδειξης του θεμελιώδους θεωρήματος Η απόδειξη του θεωρήματος βασίζεται στη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Κατ αρχάς η διανυσματική συνάρτηση x : R R n είναι μία λύση του προβλήματος αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (0) = x 0, αν και μόνο αν η x (t) ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση x (t) = x 0 + t 0 f (x (τ)) dτ. (2.5.1)

2.5. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ51 Πράγματι, η ολοκληρωτική εξίσωση ικανοποιεί την αρχική συνθήκη x (0) = x 0. Επιπλέον, παραγωγίζοντας την ολοκληρωτική εξίσωση προκύπτει ẋ = f (x). Οι διαδοχικές προσεγγίσεις αυτής της εξίσωσης ορίζονται από την ακολουθία συναρτήσεων για k = 0, 1, 2,... u 0 (t) = x 0, u k+1 (t) = x 0 + t 0 f (u k (τ)) dτ, (2.5.2) Παράδειγμα 2.5.1. Λύση του προβλήματος αρχικών τιμών ẋ = ax, x (0) = x 0, με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Θέτουμε και υπολογίζουμε u 1 (t) = x 0 + u 2 (t) = x 0 + u 3 (t) = x 0 + Επαγωγικά λοιπόν οπότε t 0 t 0 t 0 u 0 (t) = x 0, ax 0 dτ = x 0 (1 + at), ax 0 (1 + aτ) dτ = x 0 1 + at + a2 t 2 ax 0 1 + aτ + a2 τ 2 2, 2 dτ = x 0 1 + at + a2 t 2 2 + a3 t 3 3! u k (t) = x 0 1 + at + a2 t 2 2 +... + ak t k, k! lim u k (t) = x 0 e at. k Τα βήματα της απόδειξης του θεωρήματος έχουν ως εξής: 1ον Αποδεικνύεται ότι η ακολουθία των συναρτήσεων (2.5.2) συγκλίνει σε κάποια συνεχή u (t), t [ a, a]. 2ον Λόγω της (2.5.1), η u (t) είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την u (t) = f (u (t)) με u (0) = x 0. 3ον Αποδεικνύεται ότι αν v (t) είναι μία λύση του προβλήματος αρχικών τιμών, τότε u (t) = v (t), t [ a, a]. Λύστε το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = x 2, x (0) = 1 με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων..

52ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.6 Μή αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις 2 2 0 3 5 2 0 2 0µ 2 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 00 1 4 Σχήμα 2.3: Η λύση x(t) του προβλήματος αρχικών τιμών 2.6.1. Μέχρι τώρα εξετάσαμε αυτόνομες ΔΕ της μορφής ẋ = f(x), δηλαδή θεωρήσαμε ότι η f δεν εξαρτάται από το χρόνο. Αντίστοιχο θεώρημα με το 2.1.1 αποδεικνύεται και για μη αυτόνομες ΔΕ με γενικό πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f(t, x), x = x 0, όταν t = t 0. Θεωρούμε το (t 0, x 0 ) ως ένα σημείο του R 2 και υποθέτουμε ότι η f(t, x) ορίζεται σε ένα ορθογώνιο Q με κέντρο το (t 0, x 0 ) δηλαδή t 0 a < t < t 0 + a, x 0 b < x < x 0 + b. Αναζητούμε μία συνάρτηση x = x(t) ορισμένη σε κάποιο υποδιάστημα I του (t 0 a, t 0 + a) που ικανοποιεί την ẋ (t) = f(t, x), x (t 0 ) = x 0. (2.6.1) Το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης για το πρόβλημα αρχικών τιμών (2.6.1) διατυπώνεται ως εξής. Θεώρημα 2.6.1. Εστω f ορισμένη στο ορθογώνιο Q, συνεχής και με συνεχή παράγωγο ως προς x για κάθε (t, x) Q. Τότε υπάρχει διάστημα

2.6. ΜΗ ΑΥΤΟΝΟΜΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 53 I (t 0 a, t 0 + a) και υπάρχει μοναδική συνάρτηση x(t), t I, τέτοια ώστε να ικανοποιεί την (2.6.1). Το μήκος του διαστήματος, I = (t 0 h, t 0 + h) προσδιορίζεται από το θεώρημα και μάλιστα αποδεικνύεται ότι h = min {a, b/m}, όπου M = max f (t, x). (t,x) Q