ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Transcript

1 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. Α. Θεωρία-διατύπωση θεωρήματος στη σελίδα 9 στο σχολικό βιβλίο. Α3. Θεωρία-ορισμός στη σελίδα 303 στο σχολικό βιβλίο. Α. α) Σωστό, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Λάθος, ε) Σωστό 3 ΘΕΜΑ Β Β. i Για z έχουμε διαδοχικά: z i z i z i w Im w w ( z i)( z i) ( z i)( z i) z i z i z i 8zz zz Αν θέσουμε: z yi (, y ) τότε η παραπάνω σχέση γίνεται: κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων O (0,0) και ακτίνα έχουμε εξαίρεση του σημείου M (0, ). y ( ) που είναι z 0 i, θα. Επειδή Είναι: lim (0 a ) Υπάρχει αντιπαράδειγμα στο σχόλιο της σελίδας 7 στο σχολικό βιβλίο. 3 Υπάρχει στη σελίδα 33 στο σχολικό βιβλίο.

2 Β. Έχουμε διαδοχικά: z i w z i z i z i z i z i ( z i)( z i) ( z i)( z i) zi zi z z z Αφού θέσαμε z yi (, y ) θα είναι z ( y 0) και επειδή οι μιγαδικοί z είναι αυτοί του Β ερωτήματος, θα είναι: y ( ). Ετσι θα είναι τελικά : ή και y 0. Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί αριθμοί είναι : Β3. z. z i ( i)( i) ( i) i z w w w w w i i ( i)( i) Άρα έχουμε: 7 7 w iw i i i i i ( ) ( ) 0 ΘΕΜΑ Γ Γ. Για να είναι η συνάρτηση f συνεχής στο σημείο 0 0 θα πρέπει να ισχύει: lim f ( ) f (0) 0. 0 ln Έχουμε: lim f ( ) lim () και θέτουμε ln u. Έτσι όταν 0 τότε 0 0 ln lim lim ln ( ) ( ). Άρα u και το όριο () γίνεται: 0 0 u lim f ( ) lim 0 και άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο u ln Γ. Η συνάρτηση f ( ), 0 είναι παραγωγίσμη στο (0, ) με παράγωγο ln ln ln ln f ( ), 0. Τώρα έχουμε: f ( ) 0 ln 0ln και έτσι:

3 f ( ) 0 f ί ί ί [, ) 0 f ( ) 0 f ί ί αύξουσα (0, ] Ο πίνακας προσήμου της f ( ) είναι: 0 ( ) f + - f ( ) Άρα η f έχει ολικό μέγιστο στο το (αφού η f είναι συνεχής και στο 0). Άρα f ( ) και ολικό ελάχιστο στο 0 το f (0) 0 f (0) f ( ) f ( ) για κάθε 0 ή 0 f ( ) για κάθε 0 και άρα το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα Γ3. i) Έχουμε τις διαδοχικές ισοδυμαμίες: [0, ]. ln ln f f ln ln ( ) () ln ln ln ln ii) H εξίσωση έχει προφανώς ρίζες το και το ( αφού αντίστοιχα: 6 και ). Αν τώρα υποθέσουμε ότι έχει και άλλη ρίζα, έστω 3 0 με 3, 3, τότε αυτή θα είναι ρίζα και της ισοδύναμής της εξίσωσης f ( ) f (), δηλαδή της συνάρτησης g( ) f ( ) f (), 0 (χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω 3.Όμοια και γιατις άλλες περιπτώσεις). Εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Roll στα διαστήματα [,] και [, 3 ],αφού σε κάθε ένα από αυτά η g( ) είναι προφανώς παραγωγίσιμη, θα έχουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον ένα (, ), τέτοιο ώστε g ( ) 0 και τουλάχιστον ένα (, 3) τέτοιο ώστε g ( ) 0. Άρα έχουμε: ln ln g ( ) 0 f ( ) 0 0 ln ln g ( ) 0 f ( ) 0 0 δηλαδή που είναι άτοπο (αφού έχουμε ) και άρα η δοθείσα εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες τις και. Μπορώ και με την μονοτονία της συνάρτησης να βρώ το σύνολο τιμών( αφού η f είναι συνεχής), δηλαδή [ f (0), f ( )] (lim f ( ), f ( )] [0, ] (, ] [0, ] 3

4 Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση: θεώρημα του Roll στο [,]. F( ) ( f ( ) ) f ( t) dt, [,] και εφαρμόζουμε το Η F( ) είναι παραγωγίσιμη στο [,] (άρα και συνεχής) αφού είναι γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων των f ( ) και f ( t) dt (αφού η f ( ) συνεχής στο [,]). Η παράγωγος της F είναι: F ( ) f ( ) f ( t) dt ( f ( ) ) f ( ), [,]. F() 0 ln F() ( f () ) f ( t) dt ( ) f ( t) dt ( ) f ( t) dt 0 Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (,) τέτοιο, ώστε: F ( ) 0 f ( ) f ( t) dt ( f ( ) ) f ( ) 0 f ( ) f ( t) dt f ( )( f ( )) ΘΕΜΑ Δ Δ. Αφού η f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο (0, ), το ο μέλος της δοθείσας σχέσης είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων), όπως προφανώς παραγωγίσιμη είναι η συνάρτηση του ου μέλους. Παραγωγίζοντας 5 λοιπόν τα μέλη της δοθείσας σχέσης έχουμε διαδοχικά (όχι ισοδύναμα): ( ( ) ( ) 3) f ( ) f f ( )[ ( ) ( ) 3] [ ( ) ( ) ( )] f ( ) f ( ) f f f f f f [ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )] f ( ) f f f f f f f f [ ( ) ( ) ( )] ( )( ( ) ) f ( ) f ( ) f f f f f f ( ) f ( ) 0, (0, ) H f ί ί ύ (0, ) ά " " ά έ f ( ) Για την εύρεδη της αντίστροφης συνάρτησης θέτουμε: f ( ) y f ( y) με A (0, ) και y f ( A). Άρα, θα έχουμε από την δοθείσα σχέση: f ( ) ( 3), y ( y y 3) f ( y), y ή 5 Μπορεί να αποδειχθεί και χωρίς την παραγωγισιμότητα της f με ιδιότητες της ισότητας.

5 Δ. Η συνάρτηση f ( ) ( 3), είναι παραγωγίσιμη στο (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με f ( ) ( 3) ( ) ( ), Η συνάρτηση f ( ) είναι επίσης παραγωγίσιμη (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με f ( ) ( ) ( ),, δηλαδή f ( ) 0, που σημαίνει ότι η f ( ) είνα κυρτή στο (στρέφει τα κοίλα άνω στο ). Η συνάρτηση f ( ) τέμνει τον άξονα όταν 0 f (0) 3 δηλαδή στο σημείο A (0,3). Αν θέσουμε g( ) f ( ), τότε η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Α είναι : y 3 g (0)( 0) y 3.( g (0) ( f ) (0) 3) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: E f ( ) ( 3) d [ ( 3) 3] 3 [ ] 0 d d d [ ] 0.. (χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η f είναι κυρτή δηλαδή ότι f ( ) 3, ) Δ3. i) 6 Έχουμε: Άρα : f ( ) f ( ) f ( ), (0, ) και f ( ) ( ), ( ( ) f f f ( f ( )) f f [ ( ( ))] f ( f ( )) [ f ( )] ( ) ii) Η απόσταση των Α και Β είναι : ( ) ( ( )), f ( ) ( ), f ( ) ( ( ) ), f (Χρησιμοποιήσαμε f f ( ) 3, ( ) 0 ). 6 Αυτό το συμπέρασμα ισχύει και γενικότερα αφού : f ( f ( )), D f και παραγωγίζοντας τα μέλη της έχουμε f ( f ( )) [ f ( )].Επίσης τα σημεία A f ως προς την y. (, ( )) και B( f ( ), ) είναι συμμετρικά 5

6 Αν θέσουμε : θα έχουμε ότι η h( ) είναι h( ) ( f ( ) ) [ ( 3) ], παραγωγίσμη (ως πράξεις παραγωγίσμων) με h ( ) [ ( ) ], Έχουμε: h ( ) 0 0 μοναδικό, διότι η συνάρτηση( ) ( ), είναι συνάρτηση «-» αφού η ( ) ( ) 0 για κάθε και άρα γνησίως αύξουσα στο. Τώρα έχουμε: 0 ( ) (0) ( ) 0 ( ) 0 [ ( ) ] 0 h( ) ί ί φθίνουσα (,0] 0 ( ) (0) ( ) 0 ( ) 0 [ ( ) ] 0 h( ) ί ί αύξουσα [0, ) και άρα η συνάρτηση h( ) (μπορεί να φανεί πιο καθαράαπό τον πίνακα προσήμου της h ( ) ) έχει ελάχιστο στο 0 0, το h (0) ( f (0)) 3, δηλαδή ( AB) min 3. 6