ΑΝΔΡΕΑ ΑΝΔΡΕΟΥ (ΑΜ:5218)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΑΝΔΡΕΟΥ (ΑΜ:58) Αρ. Διπλ. Εργ.: /009 Επιβλέπων: Κ. Ευσταθίου Πάτρα 009

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η διπλωματική εργασία με θέμα ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Του φοιτητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Ανδρέα Ανδρέου του Δημητρίου (ΑΜ: 58) Παρουσιάστηκε δημόσια στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις Οκτωβρίου 009 Ο επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Η&Υ Επ. Καθηγητής Καθηγητής Κ. Ευσταθίου Ε. Χούσος

Αρ. Διπλ. Εργ.: /009 Περίληψη Στόχος της διπλωματικής εργασίας είναι η σχεδίαση ενός συστήματος που να επιτρέπει την μελέτη των τεχνικών Σύνθεσης Συχνοτήτων με βρόχο κλειδωμένης φάσης μέσω του RMCLab. Στη παρούσα διπλωματική εργασία μελετήθηκε και σχεδιάστηκε το κατάλληλο υλικό (hardware) και λογισμικό (software) έτσι ώστε να δίνεται η δυνατότητα μελέτης του βρόχου σύνθεσης συχνότητας χωρίς κανένα ουσιαστικό περιορισμό. Ο χρήστης του συστήματος που κατασκευάστηκε σ αυτή τη διπλωματική εργασία μπορεί να μελετήσει βρόχους σύνθεσης συχνοτήτων που υλοποιούνται με όλες τις γνωστές μέχρι σήμερα τεχνικές (πχ: Integer N, Fractional, ΣΔ), ή ακόμη να εφαρμόσει δικές του τεχνικές ή νέες, πρόσφατες τεχνικές όπως αυτή του DIPA. Μπορεί επιπλέον να σχεδιάσει και να χρησιμοποιήσει τους δικούς του διαιρέτες συχνότητας, τον δικό του phase/frequency comparator και ακόμη να επιλέξει μέσα από μία ευρεία περιοχή στοιχείων (αντιστάσεις πυκνωτές) για την υλοποίηση του φίλτρου του συνθέτη. Εκτιμούμε ότι το αποτέλεσμα αυτής της διπλωματικής εργασίας θα συμβάλει σημαντικά στην κατανόηση του βρόχου κλειδωμένης φάσης και του συνθέτη συχνοτήτων από τους φοιτητές, και επιπλέον θα διευκολύνει σημαντικά την υλοποίηση και πειραματική επιβεβαίωση νέων διατάξεων βασισμένων σε βρόχο κλειδωμένης φάσης. Abstract The aim of this dissertation is the development and implementation of the appropriate hardware and software for enabling the study of the PLL based frequency synthesis techniques using the facilities of the RMCLab (Remote Monitored and Controlled Lab.). The RMCLab user is now able to study deeply on the well known techniques of frequency synthesis as Integer N, Fractional or ΣΔ, since the developed system enables him to access and customize any of the synthesizer components (dividers, phase/frequency detector, filter). Additionally, the system allows the user to apply new appeared frequency synthesis techniques such as the DIPA technique, or even to develop and experiment on his own ideas regarding frequency synthesis. It is anticipated that the system developed under this dissertation will enable students to deeply understand on the theory of phase locked loop and practice on various frequency synthesis techniques.

Στον δάσκαλό μου κ. Κώστα Ευσταθίου. Χωρίς την πολύτιμη βοήθεια του δεν θα ήταν δυνατή η εκπόνηση αυτού του συγγράμματος

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3. ΤΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΝΟΣ PLL... 4.. Ο κρύσταλλος (XTAL):... 4.. Ο προγραμματιζόμενος διαιρέτης (/Nref):... 4..3 Ο PFD (phase-frequency detector):... 4..4 Το κατωδιαβατό φίλτρο (Low Pass Filter):... 4..5 Ο ταλαντωτής (VCO):... 5..6 Ο προγραμματιζόμενος διαιρέτης (/Nout):... 5 ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ... 7. O PFD:... 7.. Περιοχή κλειδώματος (lock range)... 8.. Περιοχή σύλληψης (capture range)... 8..3 Phase Comparators... 8..4 Exclusive OR:... 8..5 Edge triggered JK master-slave flip-flop... 9..6 Ο PFD (phase-frequency detector)... 0..7 Λειτουργία του PFD:... 0. ΤΟ VCO..... Παράδειγμα υπολογισμού των R, R, C του VCO.... 3 3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL... 7 3. ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ... 7 3.. Ενεργό φίλτρο lead-lag ης τάξης... 7 3.. Ενεργό φίλτρο lead-lag 3 ης τάξης... 3 3. ΜΗ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ... 34 3.. ης τάξης κατωδιαβατό φίλτρο.... 34 3.. 3 ης τάξης κατωδιαβατό φίλτρο... 39 3..3 Κατωδιαβατά φίλτρα μεγαλύτερης τάξης... 4 3.3 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΕ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ VHDL... 53 3.3. Η γλώσσα περιγραφής υλικού VHDL... 53 3.3. Περιγραφή υλικού... 54 3.3.3 Ο Prescaler... 54 3.3.4 Κλασσικός Prescaler... 54 3.3.5 Ο Gillette Prescaler... 56 3.3.6 Κώδικες VHDL:... 59 4 ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ... 65 4. Η ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΘΥΡΑ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ... 65 4. ENHANCED PARALLEL PORT MODE... 67 9

4.. EPP data write cycle... 68 4.. EPP Address Write Cycle... 70 4..3 EPP Data Read Cycle... 7 4..4 EPP Address Read Cycle... 7 4.3 STANDARD PARALLEL PORT MODE... 7 4.4 ΤΟ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΟ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ... 75 4.4. Υλοποίηση του πρωτοκόλλου επικοινωνίας PLD... 76 5 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΡΤΑΣ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ... 83 5. ΒΑΣΙΚΑ ΜΕΡΗ ΤΗΣ ΚΑΡΤΑΣ... 83 5.. Η Interface Unit... 84 5.. Η Control Unit... 88 5..3 Η Application Unit... 89 5..4 Το FPGA... 89 5..5 O 6 pin debugging header... 90 5..6 Τα ολοκληρωμένα 74HC405... 9 5..7 Ο Digital to Analog Converter (DAC)... 93 5..8 Τα σήματα για την υλοποίηση των διεπαφών... 98 5..9 Προγραμματισμός του FPGA... 98 5..0 Η τροφοδοσία του FPGA... 99 5.. Τα υπόλοιπα pins του FPGA... 99 5.. Το ρολόι... 99 5..3 Η Fstep... 00 5..4 Το VCO... 00 5..5 Ο Prescaler... 00 5..6 Ο συγκριτής φάσης μέσα στο FPGA... 00 5..7 Τα ρολόγια των καταχωρητών 74HC574... 00 6 ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΟΥ FPGA... 0 6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ... 0 6. Ο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ FPGA... 0 6.3 ΜΟΝΑΔΑ ΕΛΕΓΧΟΥ... 06 6.3. Το ρολόι... 06 6.3. Βασικά κυκλώματα στο front-end του FPGA... 06 6.3.3 Χειρισμός βασικών σημάτων... 06 6.3.4 Αποκωδικοποίηση εντολών... 08 6.3.5 Το κύκλωμα tuning του VCO... 09 7 ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΜΕ ΤΟ ΧΡΗΣΤΗ, ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ... 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ... ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ... 7. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΗΣ ΚΑΡΤΑΣ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ... 7 7.3 ΑΡΧΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΡΤΑΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ... 0

7.3. Προσπέλαση της παράλληλης θύρας... 7.4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ FPGA... 7.4. Αρχικοποίηση δεδομένων του προγράμματος... 3 7.5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ... 30 8 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ... 3 8. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ-ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ... 3 8. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ... 43 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 44

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παρατηρούμε ότι στην εποχή μας ο τομέας των τηλεπικοινωνιών έχει αναπτυχθεί και ακόμα αναπτύσσεται ραγδαία. Ο συνθέτης συχνοτήτων αποτελεί ένα αναπόσπαστο κομμάτι των σύγχρονων τηλεπικοινωνιακών συστημάτων. Η ποιότητα, αλλά και η επίδοση του συνθέτη που χρησιμοποιούν, συμβάλει καθοριστικά στην απόδοση οποιουδήποτε συστήματος. Μέχρι στιγμής υπάρχουν δύο είδη συνθέτη συχνοτήτων. Αυτοί είναι: Συνθέτες άμεσης σύνθεσης, οι οποίοι έχουν ως βασική τεχνική την Direct Digital Synthesizer (DDS). Συνθέτες έμμεσης σύνθεσης οι οποίοι έχουν ως βασική τεχνική τον συνθέτη με Phase Locked Loop (PLL). Η πρώτη κατηγορία συνθέτων παρουσιάζει υψηλότερες επιδόσεις. Επίσης το κόστος του είναι μεγάλο. Γι αυτό και χρησιμοποιείται σε συστήματα που απαιτούν υψηλές επιδόσεις. Η δεύτερη κατηγορία είναι η πλέον εμπορικότερη. Το γεγονός ότι παρουσιάζει αρκετά καλές επιδόσεις σε σχετικά χαμηλό κόστος είναι και ο λόγος που χρησιμοποιείται ευρέως σε πάρα πολλές εφαρμογές σήμερα. Στόχος της διπλωματικής είναι η ανάπτυξη ενός συστήματος που θα επιτρέπει την εις βάθος μελέτη των συνθετών συχνότητας με βάση την κλειδωμένη φάση. Το σύστημα που αναπτύχτηκε στη παρούσα διπλωματική θα χρησιμοποιηθεί στο RMCLab για να ενισχύσει αλλά και να δείξει τους νέους ορίζοντες που ανοίγονται στην διδασκαλία με τη χρήση της τεχνολογίας, ακόμη και σε τόσο δύσκολα θέματα. Στη συνέχεια της διπλωματικής θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με την έμμεση σύνθεση συχνοτήτων. Παρουσιάζουμε αρχικά ένα διάγραμμα ενός PLL και επεξηγούμε τη λειτουργία του καθενός. Κατόπιν γίνεται μια εισαγωγή στα κατωδιαβατά φίλτρα (LPF), τα οποία παίζουν σπουδαίο ρόλο στη σχεδίαση ενός σωστού συνθέτη. Γίνεται μαθηματική ανάλυση αρκετών φίλτρων τα οποία χρησιμοποιούνται σήμερα και εξεύρεση των τιμών των στοιχείων που αποτελούν τα φίλτρα. Το επόμενο στάδιο είναι ο σχεδιασμός του συνθέτη με τη βοήθεια του εργαλείου PROTEL. Μετά ακολουθεί η κατασκευή του κυκλώματος σε πλακέτα. Στη συνέχεια θα πάρουμε μετρήσεις ώστε να αποδείξουμε τη σωστή λειτουργία του και να μπορέσουμε να εξαγάγουμε τα συμπεράσματά μας. 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Το διάγραμμα ενός PLL Το βασικό διάγραμμα ενός συνθέτη συχνοτήτων ο οποίος χρησιμοποιεί βρόχο κλειδωμένης φάσης φαίνεται στο σχ..: Σχ..: Διαγραμματικά ο βρόχος κλειδωμένης φάσης... Ο κρύσταλλος (XTAL): Είναι ένας κρύσταλλος ο οποίος παράγει μια συχνότητα με άριστη ακρίβεια. Την ονομάζουμε συχνότητα αναφοράς F reference... Ο προγραμματιζόμενος διαιρέτης (/Nref): Είναι ένας διαιρέτης. Αυτός διαιρεί τη συχνότητα F ref ώστε στην είσοδο του PFD να πηγαίνει μια συχνότητα μικρότερη της F ref και ονομάζεται φάση σύγκρισης (F step )...3 Ο PFD (phase-frequency detector): O PFD έχει δύο εισόδους και μια έξοδο. Η μια είσοδος είναι η F step και η άλλη η F out διαιρεμένη με μια σταθερά Ν out. Έξοδος του είναι μια παλμοσειρά η οποία περιέχει μια DC και μια AC συνιστώσα. Η DC συνιστώσα είναι ανάλογη της διαφοράς των δύο συχνοτήτων που έχει ως είσοδο ο PFD...4 Το κατωδιαβατό φίλτρο (Low Pass Filter): Στην ουσία αυτό είναι ένα κατωδιαβατό φίλτρο. Στην προηγούμενη βαθμίδα παρατηρήσαμε ότι ο PFD παίρνει ως εισόδους δυο φάσεις και μας δίνει στην έξοδο μια τάση. Αυτό είναι απαραίτητο να γίνει αφού το φίλτρο δεν μπορεί να οδηγηθεί από φάση ή συχνότητα, αλλά πρέπει να οδηγηθεί από τάση. Η μετατροπή όμως αυτή έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία υψηλών συχνοτήτων οι οποίες είναι ανεπιθύμητες. Για να αποκοπούν αυτές οι συχνότητες προσθέσαμε ένα κατωδιαβατό φίλτρο το οποίο επιτρέπει την αποκοπή αυτών των συχνοτήτων. Τα φίλτρα που θα χρησιμοποιήσουμε υλοποιούνται με τη χρήση τελεστικού ενισχυτή, κάποιων αντιστάσεων και κάποιων πυκνωτών και φαίνεται πιο κάτω: Σχ:.: Ενεργά κατωδιαβατά φίλτρα 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ..5 Ο ταλαντωτής (VCO): Είναι ένας ταλαντωτής ο οποίος ελέγχεται από τάση (Voltage Controlled Oscillator). Την τάση ελέγχου του VCO είναι η έξοδος του φίλτρου. Το γεγονός ότι ο VCO οδηγείται από μια σταθερή τάση μας δίνει στην έξοδο του μια σταθερή συχνότητα F out...6 Ο προγραμματιζόμενος διαιρέτης (/Nout): Αποτελεί τον κλάδο ανάδρασης του βρόχου. Ουσιαστικά είναι ένας προγραμματιζόμενος διαιρέτης του οποίου την τιμή διαίρεσης μπορούμε να καθορίσουμε εμείς ανάλογα. Αποτελεί τον κλάδο ανάδρασης του βρόχου. Παίρνει ως είσοδο την F out και αφού τη διαιρέσει με την τιμή που του δίνουμε μας δίνει στην έξοδο του μια συχνότητα η οποία είναι η δεύτερη είσοδος του PFD. 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ. O PFD: Όπως αναφέρθηκε στην αρχή ο συνθέτης συχνοτήτων χρησιμοποιεί βρόχο κλειδωμένης φάσης. Αυτό είναι ένα είδος συνθέτη. Υπάρχει και ένα δεύτερο το οποίο χρησιμοποιεί βρόχο κλειδωμένης συχνότητας. Στην πρώτη περίπτωση ως είσοδοι του PFD λαμβάνονται οι φάσεις των συχνοτήτων. Ο PFD δηλαδή παίρνει τη διαφορά των φάσεων των δύο συχνοτήτων και βγάζει στην έξοδο του μια τάση. Η ανάδραση δειγματοληπτεί συνεχώς την έξοδο οδηγώντας έτσι την μια είσοδο του PFD, μέχρι να «κλειδώσει». Όταν κλειδώσει λέμε ότι βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση (steady state ή locked). Η διαφορά των φάσεων στη σταθερή κατάσταση δεν είναι αναγκαία μηδενική. Οι συχνότητες όμως επιβάλλεται να είναι οι ίδιες. Αυτό γιατί όπως είναι γνωστό η συχνότητα είναι η παράγωγος της φάσης. Επομένως όπως είναι προφανές σταθερή διαφορά φάσης σημαίνει μηδενική διαφορά συχνότητας. Αυτό είναι το μεγαλύτερο πλεονέκτημα του phase loop από τον frequency loop. Είδαμε ότι η μια είσοδος του PFD είναι η F step και η άλλη είναι η F out /N out. Σε σταθερή κατάσταση αυτές οι συχνότητες είναι ίσες. Άρα: F F F N F F = out out step = out = out step out ref (.) N out N ref Η F step καθορίζει το βήμα με το οποίο αλλάζει συχνότητες ο συνθέτης. Παράγεται από την F ref η οποία έχει άριστα χαρακτηριστικά αφού προέρχεται από ένα κρύσταλλο και ένα σταθερό αριθμό Ν ref. Επομένως δεν μένει παρά να αλλάζω το N out ώστε να παίρνω στην έξοδο την επιθυμητή συχνότητα. Αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας ένα προγραμματιζόμενο διαιρέτη (programmable divider ή prescaler) ώστε να μας δίνει το ανάλογο N out που ζητούμε. Συνήθως όταν είναι κάποιος να κατασκευάσει ένα τέτοιο συνθέτη απαιτεί να έχει ένα πολύ μικρό βήμα συχνότητας. Η απαίτηση αυτή όμως οδηγεί σε ένα πρόβλημα. Όσο πιο μικρή είναι η F step τόσο πιο αργά ο βρόχος κλειδώνει στην επιθυμητή συχνότητα που ζητάμε. Εξήγηση: Ο PFD βγάζει ως έξοδο μια κυματομορφή. Η κυματομορφή αυτή έχει μια DC συνιστώσα η οποία είναι αυτή που οδηγεί το VCO. Βασικά η δουλεία του φίλτρου είναι να αποκόψει τις AC συνιστώσες της κυματομορφής και να αφήσει τη DC συνιστώσα να περάσει στο VCO. Η F step είναι η βασική αρμονική της εξόδου του PFD. Συμπεραίνουμε ότι όσο πιο μικρή είναι η F step τόσο πιο χαμηλή πρέπει να είναι η συχνότητα αποκοπής του κατωδιαβατού φίλτρο ώστε να μπορεί να την απορρίπτει. Όσο χαμηλότερη είναι η συχνότητα αποκοπής του κατωδιαβατού φίλτρου, τόσο μεγαλύτερη είναι η απόρριψη των υψηλών συχνοτήτων. Συνεπώς παρατηρούμε μικρότερη κυμάτωση στην έξοδο του φίλτρου, με αποτέλεσμα η συχνότητα εξόδου του VCO να είναι καθαρότερη και πιο ακριβής. Όμως αυτό παρουσιάζει ένα πρόβλημα: Όσο πιο πολύ απορρίπτουμε τις AC συνιστώσες τόσο πιο πολύ χάνουμε σε bandwidth με αποτέλεσμα ο βρόχος να κλειδώνει πιο αργά. Από τα παραπάνω πρέπει να προσέχουμε δύο βασικές παραμέτρους: N F 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ.. Περιοχή κλειδώματος (lock range) Ορίζει το μέγιστο αποδεκτό βήμα συχνότητας τη στιγμή που ο βρόχος είναι σε σταθερή κατάσταση. Δηλαδή: Είμαι σε μια συχνότητα και θέλω να την αλλάξω. Ο βρόχος τότε μπαίνει σε διαδικασία σύγκλισης ώστε να μου δώσει την επιθυμητή συχνότητα. Ο PFD βγάζει στην έξοδο του τη διαφορά των δύο φάσεων. Αν το βήμα που χρησιμοποίησα είναι πολύ μεγάλο τότε το φίλτρο θα απορρίψει τις αρμονικές με αποτέλεσμα ο βρόχος να ξεκλειδώσει... Περιοχή σύλληψης (capture range) Ορίζει τη διαφορά της συχνότητας εξόδου του βρόχου όταν δεν είναι κλειδωμένος και της επιθυμητής συχνότητας.. Phase Comparators Προτάθηκαν κατά καιρούς διάφορα είδη συγκριτών φάσης. Αυτά είναι:.. Exclusive OR: Με χαρακτηριστική μεταφοράς: Σχ..: Ο XOR συγκριτής φάσης Σχ..: Η χαρακτηριστική της XOR Ο συγκριτής XOR είναι προφανώς ένα ψηφιακό κύκλωμα. Όταν στις δύο εισόδους της XOR εφαρμόσουμε δύο τετραγωνικούς παλμούς τότε στην έξοδο παίρνουμε μια ψηφιακή παλμοσειρά της οποίας η DC συνιστώσα είναι ανάλογη της διαφοράς φάσης των δύο παλμών. Εκτός από αυτή φυσικά συνυπάρχει και το άθροισμα των δύο παλμών, το οποίο είναι AC συνιστώσα και του οποίου η βασική συχνότητα ισούται με F step. Αυτό όμως μπορούμε με το κατάλληλο φίλτρο να το αποκόψουμε. Η γραμμική περιοχή του συγκριτή σ αυτή την περίπτωση ( η οποία φαίνεται και στη χαρακτηριστική του) κυμαίνεται από π ως π. Έξω από αυτή την περιοχή 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ παρατηρούμε αρνητική κλίση της χαρακτηριστικής. Αυτό σημαίνει ότι το κέρδος του συγκριτή και η ανάδραση αλλάζουν πρόσημο. Αποτέλεσμα αυτού είναι ο βρόχος να πάψει να είναι ευσταθής. Ένα άλλο πρόβλημα που μπορεί να παρουσιαστεί είναι στην περίπτωση όπου οι συχνότητες στην είσοδο του συγκριτή είναι διαφορετικές. Εδώ παίρνουμε στην έξοδο του συγκριτή μια συχνότητα η οποία στην ουσία είναι η διαφορά των δύο. Αυτή είναι δυνατόν να απορριφθεί από το φίλτρο εξ ολοκλήρου και να δώσει στο VCO μηδενική είσοδο. Να σημειωθεί ότι οι τετραγωνικοί παλμοί εισόδου της XOR πρέπει να έχουν duty cycle 50%. Προφανώς οι στάθμες του σήματος εξόδου είναι γνωστές και επομένως το κέρδος του συγκριτή είναι:.. Edge triggered JK master-slave flip-flop K d VHI VLOW = Volts (.) π rad Με χαρακτηριστική μεταφοράς: Σχ..3: Ο συγκριτής με JK flip flop Σχ..4: Η χαρακτηριστική του JK ff συγκριτή 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ..3 Ο PFD (phase-frequency detector) Με χαρακτηριστική μεταφοράς: Σχ..5: Ο phase frequency detector Σχ..6: Η χαρακτηριστική του PFD Ο πλέον διαδεδομένος είναι ο PFD. Παρουσιάζει τα καλύτερα χαρακτηριστικά. Μπορούμε να πούμε ότι η χρήση του σε κυκλώματα έμμεσης σύνθεσης συχνοτήτων με PLL είναι μονόδρομος. Θα ασχοληθούμε επομένως αποκλειστικά με αυτόν. Στο πειραματικό μέρος φυσικά θα χρησιμοποιήσουμε και τα άλλα δύο είδη phase comparators τα οποία περιλαμβάνονται στο ολοκληρωμένο 74HC4046. Αυτό φυσικά το κάνουμε για να δούμε και στην πράξη τα πλεονεκτήματα του PFD έναντι των άλλων...4 Λειτουργία του PFD: Όταν έρθει η πίπτουσα παρυφή της εισόδου U τότε η έξοδος UP μεταβαίνει σε υψηλή στάθμη. Η κατάσταση του συγκριτή δεν αλλάζει αν συνεχίσουν να έρχονται παλμοί στην U. Τώρα αν έρθει ένας παλμός στην U και ενώ η έξοδος UP είναι σε υψηλή στάθμη τότε για ελάχιστο χρονικό διάστημα η έξοδος DOWN μεταβαίνει σε χαμηλή στάθμη και η πύλη G (AND gate) καθαρίζει (reset) τα flip flop. Τώρα σε 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ περίπτωση που προηγηθεί πίπτουσα παρυφή στη U είσοδο τότε η έξοδος DOWN μεταβαίνει σε χαμηλή στάθμη, ενώ τυχούσα πίπτουσα παρυφή στην είσοδο U ενεργοποιεί την G με αποτέλεσμα να καθαρίσει και πάλι τα flip flop. Επομένως η σταθερή κατάσταση του PFD είναι UP= LOW και DOWN= HIGH. Συνεπώς σ αυτή την κατάσταση και με δεδομένο ότι η τάση του σημείου εξόδου του συγκριτή είναι μικρότερη από την τάση της λογικής στάθμης και μεγαλύτερη από τη λογική τάση της στάθμης 0, οι δίοδοι D και D δεν άγουν και έτσι η έξοδος του συγκριτή βρίσκεται σε κατάσταση υψηλής αντίστασης (tristate). Οι άλλες δύο σταθερές καταστάσεις του PFD στις οποίες μπορεί να βρεθούν οι έξοδοι UP και DOWN του συγκριτή ενεργοποιούν μια εκ των δύο διόδων. Έτσι στη περίπτωση που προηγηθεί η U ο συγκριτής βρίσκεται σε κατάσταση UP=HIGH DOWN=HIGH με αποτέλεσμα να άγει η δίοδος D και να ρέει ρεύμα από τον συγκριτή προς το φίλτρο. Στην περίπτωση που προηγηθεί η είσοδος U τότε ο συγκριτής βρίσκεται σε κατάσταση UP=LOW και DOWN=LOW με αποτέλεσμα να άγει η δίοδος D και να ρέει ρεύμα από το φίλτρο προς τον συγκριτή. Τέλος η κατάσταση εξόδου UP=HIGH και DOWN=LOW δεν είναι σταθερή και μεταπίπτει στη σταθερή κατάσταση UP=LOW και DOWN=HIGH. Πιο κάτω δίνονται οι καταστάσεις του συγκριτή συνοπτικά σε πίνακα: UP DOWN Έξοδος συγκριτή Περιγραφή 0 0 Low Προήγηση φάσης της κυματομορφής U 0 Tristate Κατάσταση ισορροπίας 0 Invalid Μετάπτωση στην κατάσταση 0 High Προήγηση φάσης της κυματομορφής U Πίνακας.: Οι καταστάσεις του PFD Ο PFD είναι ψηφιακός και ανιχνεύει (όπως καταλάβαμε πιο πάνω) πίπτουσες παρυφές στην είσοδο του. Το γεγονός αυτό μας λέει ότι οι κυματομορφές εισόδου δεν είναι ανάγκη να έχουν duty cycle 50%. Αυτό οδηγεί όμως σε ένα μειονέκτημα. Λόγω αυτού μειώνεται η βασική συχνότητα εξόδου στο μισό με αποτέλεσμα να χρειάζεται κατά τη σχεδίαση στενότερο φίλτρο. Ο PFD παρουσιάζει μεγάλη ευαισθησία στη διαφορά συχνότητας των δύο εισόδων. Όπως προαναφέραμε το DC περιεχόμενο της εξόδου είναι ανάλογο της διαφοράς φάσης των δύο συχνοτήτων όταν αυτές είναι ίδιες. Όταν παρουσιάζεται όμως διαφορά στις δύο συχνότητες τότε το DC περιεχόμενο της εξόδου είναι σχεδόν ανάλογο της διαφοράς των δύο συχνοτήτων. Η χαρακτηριστική του παρουσιάζει μια γραμμικότητα μεταξύ -π και π. Έξω από το πεδίο αυτό αναδιπλώνεται. Αυτό σημαίνει ότι δεν παρουσιάζονται αρνητικές κλήσεις και κατ επέκταση μπορεί να μετρήσει οποιαδήποτε διαφορά φάσης (απεριόριστο lock και capture range). Κέρδος του PFD: K d V fs = Volt (.3) π rad

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ.3 Το VCO Όπως προαναφέρθηκε είναι ένας ταλαντωτής ελεγχόμενος από τάση. Αυτή την τάση την προμηθεύει το φίλτρο που περιγράψαμε πριν. Στην έξοδο του παίρνουμε την επιθυμητή συχνότητα που θέλουμε. Ο VCO περιλαμβάνεται μέσα στο ολοκληρωμένο PLL που θα χρησιμοποιήσουμε. Αυτό έχει ως εξής: Σχ..7: Το VCO Η χαρακτηριστική συχνότητας-τάσης του VCO με offset έχει ως εξής: Σχ..8: Η χαρακτηριστική του VCO (Philips) Fo: κεντρική συχνότητα F L : περιοχή λειτουργίας του VCO Fmin = Fo - F L (.4) Fmax = Fo + F L (.5) F off = Fo,6F L (.6) Οι εξισώσεις (.4) και (.5) βγαίνουν κατ ευθεία από τη χαρακτηριστική. Η εξίσωση (.6) δίνεται από τον κατασκευαστή.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ.3. Παράδειγμα υπολογισμού των R, R, C του VCO. Έστω ότι θέλουμε να έχουμε στην έξοδο του VCO συχνότητες από 5MHz ως 5MHz. Γι αυτό το σκοπό πρέπει να υπολογίσουμε τις τιμές των R, R, C. Για να το πετύχουμε αυτό χρησιμοποιούμε τα διαγράμματα που δίνει ο κατασκευαστής Σχ..9: Σχεδιάγραμμα υπολογισμού των περιφερειακών του VCO (Philips) F min = 5MHz F max = 5MHz Η πιο κάτω εξίσωση βγαίνει κατ ευθείαν από τη γραφική παράσταση σχ..9 FL = 0MHz FL = 5MHz Από την εξ..4 έχουμε: F min = Fo FL Fo = 0MHz Θεωρούμε ότι η Vcc = 5V. Υπολογίζουμε το γινόμενο RC από το σχ..9 για F L = 0MHz RC = 4 0 7 s 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Από την εξ..6 έχουμε: Foff = Fo,6FL Foff = 0,6 5 = MHz Τα διαγράμματα που δίνονται από τον κατασκευαστή είναι για τιμές της R : 3KΩ, 0ΚΩ, 50ΚΩ, 300ΚΩ. Θέτω ότι: Βρίσκω από το διάγραμμα ότι: Άρα βρίσκω ότι: R = 0KΩ C = 4 0 pf 400 pf = 7 4 0 3 R = = 0 R 400 0 = ΚΩ Έχουμε έτσι υπολογίσει τις τιμές των R, R, C. Με αυτές τις τιμές έχουμε στην έξοδο του VCO συχνότητες από 5MHz-5MHz. Θέλουμε τώρα το βήμα με το οποίο αλλάζουμε συχνότητες να είναι KHz και το PLL να κλειδώνει (α) σε 00 παλμούς και (β) σε 500 παλμούς. Ισχύει από την εξ.. ότι: F = N F N = Η μέγιστη συχνότητα εξόδου είναι: Fout = 5MHz out out step Το βήμα συχνότητας είναι: F step = KHz Άρα: N out 5 0 = 3 0 6 out = 5000 Άρα η μέγιστη τιμή που πρέπει να διαιρεί ο prescaler είναι: N out = 5000 (α)από το block διάγραμμα του PLL βλέπουμε ότι η συχνότητα αναφοράς του PFD είναι η F step. Επομένως ο χρόνος κλειδώματος είναι: T F F out step N 00 = = TC = 0, s (.7) F 000 C step (β) Για Ν=500 παλμούς ισχύει: N 500 T = = TC = 0, s C F 000 5 step Παρατηρούμε ότι ο χρόνος που χρειάζεται για να κλειδώσει ο βρόχος αυξάνεται. 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Ας δούμε τη συμπεριφορά του PLL όταν το βήμα συχνότητας είναι 0ΚΗz, πάλι για (α) 00 παλμούς και (β) 500 παλμούς. F out = N out F step N out = F F out step 5 0 = 0 0 6 3 = 500 Τώρα ο μέγιστος αριθμός που πρέπει να διαιρεί ο prescaler είναι 500. Χρόνος κλειδώματος για 00 παλμούς : N 00 T = = TC = 0, s C F 0000 0 step Χρόνος κλειδώματος για 500 παλμούς : N 500 T = = TC = 0, s C F 0000 05 step Παρατηρούμε ότι ο χρόνος κλειδώματος τώρα μειώθηκε κατά 0 φορές 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL 3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Το φίλτρο αποτελεί ένα από τα σπουδαιότερα στοιχεία του συνθέτη. Ο σωστός και προσεγμένος σχεδιασμός του είναι ζωτικής σημασίας, αφού από αυτό εξαρτάται ο χρόνος κλειδώματος του βρόχου (settling time). 3. Ενεργά φίλτρα 3.. Ενεργό φίλτρο lead-lag ης τάξης Το κύκλωμα που θα αναλύσουμε πρώτα, έχει ένα ενεργό φίλτρο lead-lag ης τάξης. Σχ.3.: Ο βρόχος PLL με ενεργό φίλτρο ης τάξης Αυτό το φίλτρο είναι ένας ολοκληρωτής. Το μεγάλο πλεονέκτημα που παρουσιάζει είναι ότι εγγυάται μηδενικό σφάλμα φάσης. Για να διατηρείται σταθερή η τάση εξόδου ( και συνεπώς σταθερή και η συχνότητα εξόδου του VCO), απαιτείται η είσοδος του φίλτρου να είναι μηδενική. Αυτό συνεπάγεται και το γεγονός ότι η διαφορά φάσης των δύο συχνοτήτων θα είναι μηδενική. Η συνάρτηση μεταφοράς στο πεδίο της συχνότητας του συγκεκριμένου φίλτρου είναι: F( s) + sr C sr C 4 = (3.) Από τη συνάρτηση μεταφοράς βλέπουμε ότι πρόκειται για ένα βρόχο δεύτερου τύπου και δεύτερης τάξης. Στη συχνότητα /R 4 C υπάρχει ένα μηδενικό (zero). Αυτό σημαίνει ότι επιτρέπεται η διέλευση κάποιων υψηλών συχνοτήτων και επομένως θα υπάρχει κάποια σημαντική κυμάτωση στη τάση εξόδου. Το γεγονός αυτό επηρεάζει αρνητικά τη ποιότητα σήματος εξόδου του φίλτρου και κατ επέκταση τη ποιότητα της συχνότητας εξόδου. Θέτοντας τ = R 3 C και τ = R 4 C η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται: F( s) 3 + sτ sτ = (3.) Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) του ανοιχτού συστήματος είναι: KV G( s) = K d F( s) (3.3) s 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL 8 Ενώ άμα κλείσουμε το σύστημα με τον programmable divider τότε η συνάρτηση μεταφοράς του όλου συστήματος γίνεται: N s F s K K s F s K K s H s G V d V d ) ( ) ( ) ( ) ( + = (3.4) Άμα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και μετά από πράξεις και απλοποιήσεις: ) ( ) ( ) ( ) ( s F K K sn s F K NK s H s G V d V d + = Θέτουμε την ) ( τ τ s s s F + = και η G(s)H(s) γίνεται: ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ τ τ τ τ τ τ τ s K sk K N s s K snk K NK s s K K sn s s K NK s F K K sn s F K NK s H s G V d V d V d V d V d V d V d V d + + Κ + + + + + = Μετά από απλοποιήσεις παίρνουμε: V d V d V d V d K K sk N s K K snk s H s G + Κ + + ΝΚ = ) ( ) ( τ τ τ Για τη χαρακτηριστική εξίσωση ενός συστήματος ξέρουμε ότι ισχύει: + G(s)H(s) = 0 Εφαρμόζουμε αυτό στην πιο πάνω εξίσωση και έχουμε: 0 = + Κ + + ΝΚ + V d V d V d V d K K sk N s K K snk τ τ τ Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και η εξίσωση γίνεται: 0 = + + + Κ + V d V d V d V d K NK K snk K K sk N s τ τ τ 0 ( ) = + + + + V d V d V d V d K K K NK K NK K K s N s τ τ τ Η πρότυπη εξίσωση είναι: 0 = + + η η ω ζω s s Θεωρώντας τις δυο εξισώσεις ισοδύναμες και με εξίσωση των ισοδύναμων όρων παίρνουμε: τ = N (3.5) ζω η τ τ = + V d V d K NK K K (3.6) = ω η + V d V d K K K NK (3.7) Όπου: ζ: συντελεστής απόσβεσης του συστήματος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL ω η : φυσική συχνότητα του συστήματος Πιο κάτω δίνεται η απόκριση του βρόχου σε βηματική είσοδο για διάφορες τιμές του συντελεστή απόσβεσης (MATLAB) Σχ:3.: Απόκριση του βρόχου σε βηματική είσοδο Παρατηρούμε ότι για ζ = 0,7 έχουμε την πιο ομαλή και γρήγορη απόκριση του βρόχου. Να αναφέρουμε σ αυτό το σημείο ότι Κ d είναι το κέρδος του PFD και Κ V είναι το κέρδος του VCO. Για το Κ d ισχύει: Ενώ για το Κ V ισχύει: K V V fs K d = (3.8) π = V FL π 0,9 fs (3.9) Θεωρούμε πάλι ότι το PLL βγάζει συχνότητες από 5MHz 5MHz. Το βήμα συχνότητας είναι KHz ενώ θέλουμε ο βρόχος να κλειδώνει το πολύ σε N=00 παλμούς. H τάση με την οποία τροφοδοτείται το σύστημα είναι V fs = 5V. Θέλουμε σύμφωνα με τα πιο πάνω να υπολογίσουμε τις τιμές των R 3, R 4, C. V fs 5V K d = = = 0.4Volt / rad π.56 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Από την εξ.3.5: Από την εξ.3.6: Από την εξ.3.7: FL π 6.8 KV = = = 9.6Mrad / volt V 0,9 3. fs τ = = Ν 00 = 0,0s 6 4 6 7,8 0 τ + 7,8 0 τ = ζωη ζωη = 4 0 τ NK K = NK K + K d V + K d KV = ω η ωη 3 ω =,8 0 rad η sec Θέτουμε τώρα τον συντελεστή απόσβεσης ίσο με: ζ = = 0, 707 Επομένως από τις εξ.3.6 και εξ.3.7 βρίσκουμε ότι: 3 ζω η 0,707,8 0 τ = = = 5 0 6 6 4 0 4 0 Έχουμε αναφέρει προηγουμένως ότι τ = R 3 C και τ = R 4 C Για να υπολογίσουμε τις τιμές των R 3, R 4, C να θέσουμε μια τυχαία τιμή στον πυκνωτή η οποία όμως να συμβαδίζει με τις προδιαγραφές του κατασκευαστή. Σύμφωνα με αυτόν τον περιορισμό πρέπει: C > 40pF. Εκτός από αυτόν τον περιορισμό πρέπει για τις προκύπτουσες τιμές των R 3, R 4 να ισχύουν τα εξής: 3KΩ < R 3 < 300ΚΩ, 3KΩ < R 4 < 300ΚΩ, ενώ η τιμή τους όταν οι αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες παράλληλα πρέπει να είναι: R 3 R 4 >,7ΚΩ. Επομένως: C = 00 nf R 3 = 00 KΩ R 4 = 5 ΚΩ Αν θέλαμε ο βρόχος να κλειδώνει το πολύ σε Ν=500 παλμούς τότε θα άλλαζε η τ. Συγκεκριμένα: τ = = = 0,00s. Με αυτή την απαίτηση αλλάζει μόνο η τ. Ας Ν 500 δούμε πώς όμως. τ = R C 0, 00s 3 = τ = R4C = 5 0 Οι περιορισμοί που θέτει ο κατασκευαστής, όσο αφορά τις τιμές που πρέπει να έχουν οι δύο αντιστάσεις και ο πυκνωτής, είναι οι ίδιοι. Επομένως: 4 s d V 4 d s K V 30

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL C = 00 nf R 3 = 0 KΩ R 4 = 5 ΚΩ Παρατηρούμε ότι η R 3 μειώθηκε αρκετά (από 00ΚΩ έγινε 0ΚΩ). 3.. Ενεργό φίλτρο lead-lag 3 ης τάξης Το επόμενο κύκλωμα έχει ένα lead-lag φίλτρο 3 ης τάξης: Σχ:3.3: Ο βρόχος PLL με ενεργό φίλτρο 3ης τάξης Παρατηρούμε ότι στο φίλτρο προστέθηκε ένας επιπλέον πυκνωτής παράλληλα με την αντίσταση R 4. Η συνάρτηση μεταφοράς του συγκεκριμένου φίλτρου είναι: + sr3 ( C + C3 ) F ( s) = (3.0) sr C ( sr C + ) 3 Σ αυτό το είδος φίλτρου αν προσέξουμε στη συνάρτηση μεταφοράς παρατηρούμε ότι προστίθεται ένας πόλος στον παρονομαστή (λόγω του επιπλέον πυκνωτή). Το γεγονός αυτό εξουδετερώνει το μειονέκτημα που παρουσίαζε το προηγούμενο φίλτρο λόγω της παρουσίας του μηδενικού. Με: τ 4 = R3C τ = R ( C + 3) 4 C τ 3 = R4C3 η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου γίνεται: 3 + sτ F ( s) = (3.) sτ ( sτ + ) Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) του ανοιχτού συστήματος είναι: 3 KV Gs () = Kd FsN () ref (3.) s Άμα γράψουμε την εξίσωση (3.) σαν συνάρτηση του jω θα έχουμε: 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL G( jω) H( jω) KKN jωτ v d ref = τω jωτ3+ (3.3) Με βάση την εξίσωση (3.3) μπορούμε να υπολογίσουμε τη στροφή φάσης για κάθε συχνότητα: ο φ = 80 + tan ( ωτ ) tan ( ωτ ) (3.4) 3 Γνωρίζουμε από τα μαθηματικά ότι στο σημείο που μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο, τότε η παράγωγος της συνάρτησης σ αυτό το σημείο μηδενίζεται. Επομένως στη συχνότητα στην οποία παρουσιάζεται η μέγιστη στροφή φάσης, η παράγωγος της φάσης θα πρέπει να μηδενίζεται. Σύμφωνα με αυτά ισχύει: dφ τ τ = = 0 dω + ( ωτ ) + ( ωτ ) 3 3 (3.5) Λύνοντας τη διαφορική εξίσωση (3.5), έχουμε τη συχνότητα στην οποία η παράγωγος μηδενίζεται και η στροφή της φάσης γίνεται μέγιστη: ω0 = (3.6) τ τ Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε το περιθώριο φάσης φ στη συχνότητα ω 0 : tanφ 3 τ τ 3 = (3.7) Άμα γνωρίζουμε το περιθώριο φάσης στη συχνότητα ω ο, μπορούμε να υπολογίσουμε τις σταθερές χρόνου Τ, Τ, Τ 3 από τις πιο κάτω σχέσεις: secφ tanφ τ 3 = ω τ = ωτ ο 3 τ ο τ τ 3 KKN ωτ + v d ref ο = ωο ωοτ3 + (3.8 α,β,γ) Από το σύστημα εξισώσεων 3.8 α,β,γ παρατηρούμε ότι μόνο η τ εξαρτάται από το κέρδος του βρόχου, ενώ οι τ και τ 3 εξαρτώνται μόνο από το περιθώριο φάσης και τη συχνότητα. Ας δούμε τώρα πως υπολογίζονται οι τιμές των αντιστάσεων και των πυκνωτών του πιο πάνω φίλτρου. Θεωρούμε ότι η συχνότητα ω ο είναι: ω ο = MHz. Θέτουμε το περιθώριο φάσης φ=60 ο. Βρήκαμε ότι: secφ tanφ τ 3 = ω ο Από τα δεδομένα μας βρίσκουμε ότι: tanφ =,73 και secφ = /cosφ = 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Άρα: 6 τ 3 = 0, 7 0 s Επίσης βρήκαμε ότι: tan Κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι: Άρα: τ τ τ τ ττ 3 3 φ = tanφ = ωο τ 3 6 τ3 = 3, 46 0 s 6 τ = 3,73 0 s Για τον υπολογισμό του τ πρέπει να γνωρίζουμε τα Κ ν, Κ d και Ν ref. Tα Κ ν και Κ d τα υπολογίσαμε κατά την ανάλυση του φίλτρου ης τάξης και βρήκαμε ότι είναι: K K V fs 5V = = = 0.4Volt π.56 d / rad FL π 6.8 = = = 9.6Mrad V 0,9 3. V / fs volt Μένει τώρα να υπολογίσουμε το μέγεθος Ν ref. Ξέρουμε ότι ισχύει: F step F = N Για είσοδο F step αρχικά θα χρησιμοποιήσουμε KHz και στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε και 0KHz, όπως ακριβώς κάναμε και στο πρώτο φίλτρο. Η F ref είναι ίση με 0MHz αφού αυτή παράγεται από τον κρύσταλλο (XTAL). Με αυτά τα δεδομένα επομένως, βρίσκουμε ότι Ν ref = 0000. Μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε στον υπολογισμό της τ. Πιο πάνω υπολογίσαμε ότι: τ ref ref KKN ωτ + v d ref ο = ωο ωοτ3 + Μετά από υπολογισμούς βρίσκουμε ότι: τ = 0,3s Τώρα άμα χρησιμοποιήσουμε F step =0KHz είναι προφανές από την πιο πάνω εξίσωση ότι η τ θα γίνει τ = 0,03s Συνοπτικά: τ = 0,3s για F step =KHz και τ = 0, 03s για F step =0KHz ενώ: 33

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL 6 τ = 3,73 0 s 6 τ 3 = 0, 7 0 s Πιο κάτω έχουμε συνοψίσει όλες τις τιμές που έχουμε βρει και για τα δύο φίλτρα: Lead-Lag ενεργό φίλτρο ης τάξης Lead-Lag ενεργό φίλτρο 3 ης τάξης Χαρακτηριστικά VCO Μεταβλητές Βήμα συχνότητας KHz 0 KHz τ 0,0 s 0,00 s τ 5.0-4 s 5.0-4 s τ 0,3 s 0,03 s τ τ 3 C R R 3,73.0-6 s 0,7.0-6 s 400pF KΩ 0 ΚΩ Πίνακας 3.: Οι σταθερές χρόνου και τα στοιχεία του VCO 3. Μη ενεργά φίλτρα Τα δύο είδη φίλτρων που έχουμε εξετάσει πιο πάνω παρουσιάζουν ένα μειονέκτημα. Αυτό έγκειται στο γεγονός ότι για την υλοποίηση τους χρησιμοποιούνται τελεστικοί ενισχυτές οι οποίοι είναι ενεργά στοιχεία. Τα ενεργά στοιχεία, όμως, εκ φύσεως προσθέτουν στο κύκλωμα ένα επιπλέον ανεπιθύμητο ποσοστό φάσης. Επίσης κοστίζουν περισσότερο. Φυσικά υπάρχουν περιπτώσεις όπου η χρήση ενεργών φίλτρων κρίνεται αναγκαία. Η πλέον συνηθισμένη είναι στην περίπτωση που η τάση εισόδου του VCO είναι χαμηλότερη από την ελάχιστη τάση λειτουργίας του. Επομένως χρησιμοποιούμε φίλτρο με ενεργό στοιχείο για να αυξήσουμε την τάση εισόδου του VCO. Στη συνέχεια αναλύονται ένα δεύτερης και ένα τρίτης τάξης κατωδιαβατά φίλτρα 3.. ης τάξης κατωδιαβατό φίλτρο. 34 Σχ:3.4: ης τάξης, μη ενεργό, κατωδιαβατό φίλτρο Το φίλτρο δεύτερης τάξης από κατασκευαστικής πλευράς είναι το πλέον απλό φίλτρο.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Λόγω της απουσίας της αντίστασης R παρουσιάζει χαμηλότερη αντίσταση θερμικού θορύβου, από το αντίστοιχο ενεργό φίλτρο. Αυτό είναι λογικό αφού όπως είναι γνωστό κάθε αντίσταση σε ένα κύκλωμα προσθέτει θερμικό θόρυβο. Ο C έχει μεγάλη τιμή ώστε να ελαχιστοποιείται η επίδραση της χωρητικότητας εισόδου του VCO. Υπολογισμός των C, C και R για το φίλτρο ης τάξης: Η σύνθετη αντίσταση που παρουσιάζει το φίλτρο είναι: + src Z( s) = (3.9) RCC s( C + C )( + s ) C + C Θεωρούμε τις σταθερές χρόνου τ και τ. Όπου: και R C C = τ (3.0 α) C + C τ (3.0 β) = RC Επίσης θέτουμε το άθροισμα των πυκνωτών C και C ως C tot. Επομένως: Οπότε η εξ.3.9 λόγω των εξ.3.0 και εξ.3. γίνεται: C tot = C + C (3.) + sτ Zs () = sc tot ( + sτ ) (3.) Γνωρίζουμε από τις εξ.3.8 και εξ.3.9 ότι το κέρδος του VCO (Κ ν ) και το κέρδος του συγκριτή φάσης (Κ d ) είναι: V ( V ) fs 5V K d = = = 0.4Volt / rad π.56 FL π 6.8 KV = = = 9.6Mrad / volt V 0,9 3. fs Στις πιο πάνω εξισώσεις θέσαμε όπως και στα προηγούμενα V fs =5V και F L =5MHz Παρατηρούμε, όμως, ότι το κέρδος του PFD δίνεται σε Volt/rad. Λόγω της έλλειψης της αντίστασης R πρέπει να εκφράσουμε το κέρδος σε Ampere/rad, αφού ο PFD βγάζει ένα ρεύμα ανάλογο της διαφοράς φάσης των δύο συχνοτήτων εισόδου (F out και F step ). Για να το κάνουμε αυτό θεωρούμε το αντίστοιχο ενεργό φίλτρο, το οποίο φαίνεται πιο κάτω, στο σχ:3.5β. Το ρεύμα που ρέει μέσα από την R είναι: ( v) Kd I R = (3.3) R 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Σχ:3.5: Ενεργό και μη ενεργό φίλτρο ης τάξης Εάν θεωρήσουμε ότι το κέρδος του συγκριτή στο σχ:3.5α είναι η σχέση: K ( A) K d τότε θα ισχύει ( V ) Kd = ampere rad (3.4) R ( A) d / Η τάση V fs στον PFD παρουσιάζει μια κυμάτωση από 0V-5V. Επομένως το μέγιστο ρεύμα που μπορεί να παρουσιάζεται στην έξοδο του, είναι I max. Αυτό δίνεται από τη σχέση: I max ( V ) πk d = (3.5) R V ( V ) fs 5 Το κέρδος του PFD όμως για μέγιστη τάση V fs είναι K d = =. Με π 4π δεδομένο αυτό το μέγιστο ρεύμα που βγάζει ο PFD, σύμφωνα με την (3.5) είναι: 5 I max = (3.6) R Για να προχωρήσουμε πιο κάτω τώρα θα θεωρήσουμε ότι η αντίσταση R = ΚΩ. Έτσι το μέγιστο ρεύμα του PFD είναι I max =,5mA. Το κέρδος του PFD 0,4 = ma / rad = 0, ma (3.7) ( K A ) d 4 ( A) K d είναι: Αυτό είναι που θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια για τον υπολογισμό των στοιχείων του φίλτρου. Το περιθώριο φάσης του φίλτρου είναι: ο φ = 80 + tan ( ωτ) tan ( ωτ ) (3.8) Παραγωγίζουμε την εξ.3.8 ως προς ω. Στο σημείο που η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο η παράγωγος μηδενίζεται. Οπότε: dφ dω τ = + ( ω τ ) τ + + ( ω τ ) ω= ω = 0 0 0 0 (3.9) 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Λύνοντας την διαφορική εξ.3.9 παίρνουμε τη συχνότητα ω 0, για την οποία έχουμε μέγιστη στροφή φάσης: ω = 0 τ τ (3.30) Οπότε το περιθώριο φάσης (phase margin) μπορεί να υπολογιστεί στη συχνότητα ω 0. tanφ τ τ = (3.3) Αφού υπολογίσουμε το περιθώριο φάσης στη συχνότητα ω 0, είμαστε πλέον σε θέση να υπολογίσουμε τις σταθερές χρόνου και κατ επέκταση τις τιμές των στοιχείων C, C, R από τις σχέσεις: και τ τ 0 secφ tanφ τ = (3.3) ω τ = ω τ (3.33) 0 Τα χαρακτηριστικά που απαιτούμε να έχει το PLL είναι, όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις με ενεργά φίλτρα είναι: Το βήμα συχνότητας θα είναι αρχικά (α) F step =ΚΗz και στη συνέχεια (β) F step =0ΚΗz (α) Η ολική χωρητικότητα είναι: Όπου: ( A) K d Kv ( + ω0τ ) C tot = (3.34) N ω ( + ω τ ) ref 0 step 0 Fref N ref = (3.35) F Η F ref = 0MHz παράγεται από τον κρύσταλλο. Για την πρώτη περίπτωση η F step είναι KHz. Επομένως: N ref F = F ref step 0MHz = = 0000 KHz Για τον υπολογισμό τώρα των C, C, R θεωρούμε ότι η συχνότητα ω 0 είναι MHz, ενώ το περιθώριο φάσης είναι φ = 60 ο. Οπότε: C tot 3 0,4 0 9,6 0 = 0000 0 6 ( + 0 τ ) ( + 0 τ ) = 7,8 0 3 ( + 0 τ ) ( + 0 τ ) 37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Οι εξ.3.3 και εξ.3.33 δίνουν αποτέλεσμα: Έτσι η ολική χωρητικότητα είναι: 38 secφ tanφ,00,73 0 7 τ = = =,7 s (3.36) 6 ω 0 0 0 6 τ = = = 3,7 s (3.37) 7 ω τ 0,7 0 0 3 ( + 0,37 0 ) C tot = 7,8 0 = 3pF 4 ( + 0 7,9 0 ) Στη συνέχεια διαιρούμε κατά μέλη τις εξ.3.0α και εξ.3.0β. Το αποτέλεσμα είναι: τ C C τ = = C = Ctot = 3 0 0,073 = τ C + C C τ tot 0, pf Αφού βρήκαμε τον πυκνωτή C, χρησιμοποιούμε την ολική χωρητικότητα για να βρούμε τον πυκνωτή C. Ctot = C + C C = Ctot C C =, 8pF Τέλος κάνοντας χρήση της εξ.3.0β υπολογίζουμε εύκολα την αντίσταση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε. τ τ = RC R = R =, 3MΩ C (β) Για βήμα συχνότητας F step = 0KHz η εξ3.35 δίνει N ref : N ref F = F ref step 0MHz = = 000 0KHz Από τη αλλαγή αυτή επηρεάζεται η ολική χωρητικότητα δίνοντας: ( + 0,37 0 ) C tot = 7,8 0 = 9 pf 4 ( + 0 7,9 0 ) Παρατηρούμε ότι η ολική χωρητικότητα αυξήθηκε κατά ένα παράγοντα 0. Αυτό σημαίνει ότι και o C θα αυξηθεί ανάλογα, σύμφωνα με την εξίσωση: τ C = Ctot = 9 0 0,073 = pf τ Ο πυκνωτής C και η αντίσταση R υπολογίζονται εύκολα, αφού: και Ctot = C + C C = Ctot C C 7 pf = τ τ = RC R = R = 37KΩ C Παρατηρούμε ότι αύξηση του βήματος συχνότητας προκαλεί αύξηση ανάλογη στους πυκνωτές. Στην αντίσταση ισχύει ακριβώς το αντίθετο αφού παρατηρείται ανάλογη μείωση.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL 3.. 3 ης τάξης κατωδιαβατό φίλτρο Πιο κάτω δίνεται ένα τρίτης τάξης κατωδιαβατό φίλτρο. Σχ 3.6: 3 ης τάξης, μη ενεργό, κατωδιαβατό φίλτρο Ένα τρίτης τάξης φίλτρο χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να φιλτράρουμε σήμα του οποίου η κυμάτωση είναι τουλάχιστον 0 φορές μεγαλύτερη από το εύρος ζώνης του βρόχου. Υπολογισμός των C, C, C3, R και R3 για το φίλτρο 3 ης τάξης: Η εμπέδηση που παρουσιάζει το φίλτρο είναι: Όπου: Z( s) = s + sτ [ s C C C R R + s( τ ( C + C ) + τ ( C + C )) + ] 3 3 = RC 3 3 C tot (3.38) τ (3.39) C tot = C +C +C 3 (3.40) = RCC C tot τ (3.4) τ (3.4) 3 = R3C3 Όπως είπαμε και στην προηγούμενη περίπτωση του φίλτρου ης τάξης η στροφή φάσης για κάθε συχνότητα δίνεται από την πιο κάτω εξίσωση. Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση του φίλτρου τρίτης τάξης, λόγω του επιπλέον πόλου, υπεισέρχεται και η σταθερά χρόνου τ 3 ο φ = 80 + tan ( ωτ ) tan ( ωτ ) tan ( ωτ 3) (3.43) Παραγωγίζουμε την εξ.3.43 η οποία στη συχνότητα ω 0 μηδενίζεται dφ dω ω0τ = + ( ω τ ) ω0τ + ( ω τ ) ω0τ τ 3 + ( ω τ τ ω= ω = 0 0 0 0 3) Στο σημείο αυτό να εξηγήσουμε ότι οπού: τ 0 (3.44) 3 τ 3 = (3.45) τ Άμα διαιρέσουμε την εξ.3.44 με ω 0, κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και υποθέσουμε ότι τ >>τ + τ 3, τότε χωρίς μεγάλο σφάλμα βρίσκουμε ότι: 39

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL τ (3.46) ω ( τ + τ ) 0 Για να προχωρήσουμε πιο κάτω πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τρεις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες οι οποίες αφορούν την εφαπτομένη μιας γωνιάς. tan(π + x) = tan( x) tan tan ( x) x ( x) x 3 (3.47 α, β, γ) Να σημειώσουμε ότι τα πιο πάνω ισχύουν για πολύ μικρές τιμές του x Τώρα αν αντικαταστήσουμε την εξ.3.46 στην εξ.3.43, εφαρμόσουμε εφαπτομένη και στις δύο πλευρές της εξ.3.43 και κάνοντας χρήση των τριών πιο πάνω ταυτοτήτων (θεωρούμε ότι οι γωνιές ω 0 τ και ω 0 τ 3 είναι πολύ μικρές), τότε παίρνουμε την πιο κάτω σχέση: secφ tanφ τ + τ 3 (3.48) ω Με τη βοήθεια της εξ.3.48 μπορούμε να βρούμε τους δύο πόλους του φίλτρου, αφού: 0 secφ tanφ τ (3.49) ω ( + τ ) 0 Η επιλογή του C3 είναι κάπως αυθαίρετη, με την προϋπόθεση, όμως, ότι δεν πρέπει να υπερβαίνει την τιμή C /5, ώστε να ικανοποιούνται οι προσεγγίσεις για τις σταθερές τ και τ 3. Επειδή το VCO προσθέτει στον C 3 και στην R 3 παράλληλη χωρητικότητα, προκαλείται θερμικός θόρυβος έξω από το εύρος ζώνης του βρόχου. Επομένως είναι επιθυμητό να επιλέξουμε μια τιμή για την C 3, όσο το δυνατό μεγαλύτερη, χωρίς φυσικά να παραβιάζονται οι κανόνες που θέσαμε πιο πάνω. Στις πιο κάτω εξισώσεις θεωρήσαμε ότι η C 3 είναι ίση με C /5. C C C C R R tot 3 3 K d K = N ω = C tot C = 5 = C tot τ = C τ 3 = C 3 ref τ τ v 0 C C 3 3 + ω0τ ( + ω τ )( + ω τ ) 0 0 3 (3.50) Έχοντας βρει όλες τις πιο πάνω εξισώσεις είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τις τιμές των στοιχείων που αποτελούν το φίλτρο. Θεωρούμε ένα περιθώριο φάσης φ = 60 0 και συχνότητα ω 0 = MHz. Τα κέρδη του συγκριτή φάσης και του VCO είναι αντίστοιχα: 40

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL V ( V ) fs 5V K d = = = 0.4Volt / rad π.56 FL π 6.8 KV = = = 9.6Mrad / volt V 0,9 3. fs Λόγω του φίλτρου που χρησιμοποιούμε πρέπει να μετατρέψουμε πάλι το κέρδος του συγκριτή από Volt/rad σε ampere/rad. Έτσι ακολουθώντας τα ίδια ακριβώς βήματα βρίσκουμε από την εξ.3.7 ότι το κέρδος είναι: ( ) 0,4 d = ma / rad = 0, 4mA K A Αρχικά θεωρούμε βήμα συχνότητας KHz, οπότε η Ν ref =0000 Για το λόγο τ 3 = τ 3 / τ θέτουμε μια αυθαίρετη τιμή μεταξύ 0 και. Στην περίπτωση αυτή θέτουμε τ 3 = 0,80. Με όλα αυτά τα δεδομένα βρίσκουμε τις σταθερές χρόνου τ, τ και τ 3 τ secφ tanφ,73 7 τ = =,5 0 sec 6 ω ( + τ ) 0 ( + 0,80) 3 0 3 τ 3 = τ 3 = τ 3τ = 0,80,5 0 τ 7 =, 0 7 sec τ 6 = 3,7 0 7 7 3 (,5 0 +, 0 ) = ω ( τ + τ ) 0 0 sec C C tot tot K = N ( A d ref ) Kv ω 0 + ω0τ ( + ω τ )( + ω τ ) 3 0,4 0 6,9 0 = 0000 0 0 6 0 3 ( + 0 + 0,5 0 4,37 0 )( + 0,44 0 4 ) =,55 pf 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Έτσι οι πυκνωτές C, C, C 3 σύμφωνα με τις εξ.3.50 είναι: και οι αντιστάσεις R, R3 είναι: 7 τ,5 0 C = Ctot =,55 0 = 0, pf 6 τ 3,7 0 C C3 = = 0, 0 pf 5 C = Ctot C C =,55 0, 0,0, 43pF 3 = τ R = =, 5MΩ C τ 3 R3 = = 6MΩ C 3 Τώρα αν αυξήσουμε το βήμα συχνότητας από KHz σε 0KHz οι πυκνωτές C, C και C3 αυξάνονται κατά ένα παράγοντα 0, ενώ οι αντιστάσεις R και R3 μειώνονται κατά τον ίδιο παράγοντα. Αντίθετα με τα ενεργά φίλτρα, παρατηρούμε ότι εδώ οι σταθερές χρόνου δεν επηρεάζονται από το βήμα συχνότητας. Μόνο η ολική χωρητικότητα εξαρτάται από αυτό και κατ επέκταση όλα τα στοιχεία που αποτελούν το φίλτρο. Αυτό φαίνεται καλύτερα στον πιο κάτω πίνακα στον οποίο έχουμε συνοψίσει όλα τα πιο πάνω αποτελέσματα κατωδιαβατό φίλτρο ης τάξης κατωδιαβατό φίλτρο 3 ης τάξης Μεταβλητές Βήμα συχνότητας χρόνου KHz 0 KHz τ,7.0-7,7.0-7 τ 3,7.0-6 3,7.0-6 τ,5.0-7,5.0-7 τ 3,7.0-6 3,7.0-6 τ 3,.0-7,.0-7 Πίνακας 3.: Σταθερές χρόνου με παράμετρο το βήμα συχνότητας 3..3 Κατωδιαβατά φίλτρα μεγαλύτερης τάξης Στις πιο πάνω περιπτώσεις έχουμε μελετήσει και αναλύσει ένα φίλτρο ης και ένα φίλτρο 3 ης τάξης. Υπάρχουν περιπτώσεις που κρίνεται αναγκαία η χρήση κατωδιαβατών φίλτρων μεγαλύτερης τάξης. Οι περιπτώσεις αυτές είναι όταν έχουμε κυμάτωση στην είσοδο του φίλτρου η οποία είναι τουλάχιστον 0 φορές μεγαλύτερη από το εύρος ζώνης του βρόχου. Φυσικά όσο πιο μεγάλης τάξης είναι το φίλτρο τόσο πιο πολύπλοκη γίνεται η ανάλυσή του αφού εμπλέκονται περισσότερες εξισώσεις με περισσότερους αγνώστους. Πιο κάτω παρατίθεται ένα φίλτρο n-ιοστής τάξης. 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Σχ.3.7: n-ιοστής τάξης, μη ενεργό, κατωδιαβατό φίλτρο Στη συνέχεια θα επιχειρήσουμε να φτιάξουμε ένα γενικό μοτίβο για την ανάλυση φίλτρων n-ιοστού βαθμού. Κάθε φορά που προστίθεται ένα στάδιο φιλτραρίσματος ο βαθμός του φίλτρου αυξάνεται κατά ένα. Πιο κάτω φαίνεται ένα στάδιο φιλτραρίσματος Σχ.3.8: Στάδιο φιλτραρίσματος κατωδιαβατού φίλτρου Η εμπέδηση που παρουσιάζει το συγκεκριμένο φίλτρο είναι: + sτ Zs () = sc s s s tot ( + τ )( + τ )...( + τ ) 3 Τα διάφορα μεγέθη που έχουμε βάλει είναι ίσα με: n (3.5) C tot =C +C +C 3 + +C n (3.5) = RC τ (3.53) 4 R4C4 τ (3.54) Μπορούμε να γράψουμε ένα γενικότερο τύπο που να δίνει την εμπέδηση ενός οποιουδήποτε φίλτρου n-ιοστής τάξης. Αυτό δίνεται στην εξ.3.55 η οποία και φαίνεται πιο κάτω. Z( s) + sτ = n sc tot ( + sτ ) i= 3 ( + sτ ) Οι σταθερές χρόνου που δίνονται στην πιο πάνω εξίσωση ισούνται με: τ τ RCC C tot = RC i (3.55) 43

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL τ = R C όπου i = 3,4,5,..., n i i Φυσικά για να ισχύουν οι πιο πάνω προσεγγίσεις πρέπει το φίλτρο να σχεδιαστεί έτσι ώστε: και i C i << C (3.56) C i + Ri+ << (3.57) Ci+ Ri Ένας πιθανός τρόπος για να βεβαιωθούμε ότι οι πιο πάνω περιορισμοί θα ισχύουν είναι να επιλέξουμε: τ (3.58) i τ i + Κατά ένα αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε και το περιθώριο φάσης για ένα φίλτρο n-ιοστής τάξης. Επομένως μελετώντας τα προηγούμενα μπορούμε να γράψουμε ότι το περιθώριο φάσης είναι: φ = n ο 80 + tan ( ωτ ) tan ( ωτ) tan ( ωτ i i= 3 ) (3.59) Χρησιμοποιώντας σειρές Taylor για μικρό x καταλήγουμε στις εξής προσεγγίσεις: x tan ( x) (3.60) Εάν εφαρμόσουμε την συνάρτηση εφαπτομένης και το σύστημα των εξισώσεων 3.66 τότε καταλήγουμε στην πιο κάτω εξίσωση: n sec( φ) tan( φ) τ + τ i (3.6) ω i= 3 Ως περιορισμός σχεδιασμού το περιθώριο φάσης μεγιστοποιείται μέχρι το εύρος ζώνης του βρόχου. Θέτοντας την παράγωγο του φ ίση με το μηδέν καταλήγουμε στην πιο κάτω εξίσωση: n τ τ τ i = + + ω τ + ω τ ω τ 0 0 0 i= 3 + 0 i (3.6) Κάνοντας πράξεις στην εξίσωση και χρησιμοποιώντας κάποιες προσεγγίσεις καταλήγουμε στην εξής απλοποιημένη εξίσωση: n 0 τ i i= 3 τ ω τ ( τ + ) (3.63) Παρατηρούμε ότι αρκετοί παράγοντες έχουν εξαλειφθεί από τις εξισώσεις μας. Οι απλοποιήσεις όμως οι οποίες έχουμε κάνει θα ισχύουν φτάνει να ισχύει: n >> τ + τ i i= 3 τ (3.64) 44

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Ξαναλύνοντας την εξ.3.63 ως προς τ παίρνουμε την εξ.3.65 τ (3.65) n ω ( τ + ) 0 τ i i= 3 Σ αυτό το στάδιο οι σταθερές χρόνου μπορούν να επιλεχθούν ώστε να είναι ίσες. Γι αυτή την ιδανική περίπτωση έχουμε μέγιστη μείωση των κυματώσεων. Φυσικά μπορούν να επιλεχθούν σύμφωνα με τον περιορισμό που θέτει η ανισότητα (3.58) ώστε να αποφευχθούν σφάλματα λόγω μαθηματικών προσεγγίσεων. Επομένως για ένα φίλτρο n-ιοστής τάξης και για να ικανοποιείται ανισότητα (3.58), οι σταθερές χρόνου δίνονται από το πιο κάτω σύστημα εξισώσεων: n sec( φ) tan( φ) τ = 7 ω0 n /3 sec( φ) tan( φ) τ = 3 7 ω0 n / 4 sec( φ) tan( φ) τ = 4 7 ω0 (3.66α) τ n sec( φ) tan( φ) = 7 ω0 Επομένως ο γενικός τύπος για τις πιο πάνω σταθερές χρόνου συναρτήσει του i θα είναι: τ ι n / ι sec( φ) tan( φ) = 7 ω0 για i (3.66β) Η εξ.3.66β δείχνει καθαρά ότι οι σταθερές χρόνου του φίλτρου παίρνουν κάθε φορά πολύ συγκεκριμένες τιμές. Το περιθώριο φάσης καθώς και η συχνότητα ω 0 παίρνουν τιμές τις οποίες ορίζει ο σχεδιαστής κάθε φορά, ανάλογα με τις απαιτήσεις του συστήματος που σχεδιάζει. Εάν λάβουμε υπόψη μας αυτά, τότε η εξ.3.66β μετασχηματίζεται σε: τ i n n = k i (3.67) i= i Όπου k είναι μια σταθερά και ισούται με τον σταθερό όρο της εξ.3.66β. Δηλαδή: secφ tanφ k = (3.68) 7ω Εμείς στη συγκεκριμένη περίπτωση θα χρησιμοποιήσουμε περιθώριο φάσης φ=45 ο και συχνότητα ω 0 αρχικά 0,MHz, ενώ στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε και MHz. Μ αυτά τα νέα δεδομένα η σταθερά k θα είναι: 0 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Συχνότητα ω 0 0,MHz MHz Σταθερά k 7 5,9 0 5,9 0 8 Πίνακας 3.3: Η σταθερά k με παράμετρο τη συχνότητα ω 0 Με τη βοήθεια του εργαλείου MathCAD και για την εξ.3.67 υπολογίζουμε τις σταθερές χρόνου για φίλτρα μέχρι και 6 ου βαθμού. Τα αποτελέσματα συνοψίζονται στους δύο πιο κάτω πίνακες. Ο πρώτος πίνακας είναι για ω 0 =0,MHz ενώ ο δεύτερος είναι για ω 0 =MHz. ος πίνακας (ω 0 =0,MHz) Σταθερές χρόνου τ τ τ 3 τ 4 τ 5 τ 6 5,9 0 7, 7 0 6 5,9 0 7 3,36 0 6 7,87 0 7 5,9 0 7 4,95 0 6 9,8 0 7 7,35 0 7 5,9 0 7 Βαθμός 5 6 3,54 0 6 4,3 0 6,8 0 6,38 0 6 8,85 0 7,03 0 6 7,08 0 7 8,6 0 7 5,9 0 7 6,88 0 7 5,9 0 7 Πίνακας 3.4: Σταθερές χρόνου με παράμετρο το βαθμό του φίλτρου και ω 0 =0,MHz ος πίνακας (ω 0 =MHz) Σταθερές χρόνου τ τ τ 3 τ 4 τ 5 τ 6 5,9 0 8, 7 0 7 5,9 0 8 3,36 0 7 7,87 0 8 5,9 0 8 4,95 0 7 9,8 0 8 7,35 0 8 5,9 0 8 Βαθμός 5 6 3,54 0 7 4,3 0 7,8 0 7,38 0 7 8,85 0 8,03 0 7 7,08 0 8 8, 6 0 8 5,9 0 8 6,88 0 8 5,9 0 8 Πίνακας 3.5: Σταθερές χρόνου με παράμετρο το βαθμό του φίλτρου και ω 0 =MHz Με τη βοήθεια των δυο πιο πάνω πινάκων θα είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τις τιμές των στοιχείων που αποτελούν τα φίλτρα που θα χρησιμοποιήσουμε, μέχρι και 6 ου βαθμού. Πιο κάτω δίνονται οι εξισώσεις από τις οποίες θα εξαγάγουμε τις χωρητικότητες και τις αντιστάσεις, συναρτήσει των σταθερών χρόνου. 46

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL Η ολική χωρητικότητα για ένα φίλτρο θα είναι: C tot KK d v + ωτ = Nref ω0 ( + ωτ) + ωτ 0 n 0 0 i i= 3 Οι πυκνωτές C, C 3, C 4, υπολογίζονται ως εξής: C = C tot τ τ ( ) (3.69) C C 3 = 5 (3.70) C3 C 4 = 5... Ci C i+ = για i=4,5,6, 5 Αν προσέξουμε στην εξ.3.69 θα δούμε ότι η ολική χωρητικότητα αποτελείται από ένα σταθερό όρο, ο οποίος εξαρτάται μόνο από τα κέρδη του VCO και του PFD, τη γωνιακή συχνότητα και τη σταθερά διαίρεσης N ref. Αν προχωρήσουμε άλλο ένα βήμα την απλοποίηση μας τότε μπορούμε να λάβουμε υπόψη ότι ο αριθμητής, καθώς και το πρώτο μέλος του παρονομαστή μέσα στο ριζικό είναι ανεξάρτητα της τάξης του φίλτρου κάθε φορά Με αυτές τις επισημάνσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε μια σταθερά c για την οποία ισχύει ότι: KK d v c = N ω (3.7) ref Ενσωματώνοντας την εξ.3.7 στην εξ.3.69 καταλήγουμε σε μια απλουστευμένη εξίσωση η οποία δίνει την ολική χωρητικότητα: C tot = c 0 + ωτ 0 n 0 0 i i= 3 ( + ωτ) + ( ωτ) (3.7) Παρατηρούμε ότι η ολική χωρητικότητα, καθώς και η σταθερά τ, χρησιμοποιούνται μόνο στην περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή του πυκνωτή C (εξ.3.70). Στη συνέχεια, και με εξαίρεση, τον πυκνωτή C κάθε πυκνωτής που προστίθεται στην επόμενη βαθμίδα, είναι κατά ένα παράγοντα 5, μικρότερος από τον προηγούμενο του. Ο πυκνωτής C υπολογίζεται ξεχωριστά, από την εξ.3.7 και τις εξ.3.70. 47

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΤΟΥ PLL C = C C C C (3.73) tot 3 4 C i i= 5 Οι αντιστάσεις μπορούν να υπολογιστούν όλες από την πιο κάτω εξίσωση: R τ n i i = για i=,,3, (3.74) Ci Η σταθερά c εξαρτάται από τη γωνιακή συχνότητα ω 0 και το N ref. Οπότε άμα θέλουμε να βρούμε τα στοιχεία που αποτελούν το φίλτρο για διαφορετικές τιμές της γωνιακής συχνότητας και της F step, πρέπει πρώτα να βρούμε τις διάφορες τιμές της c. Αυτές δείχνονται πιο κάτω. Όπως και σε προηγούμενους υπολογισμούς ξέρουμε ότι: K d =0,4mA K v =9,6Mrad/Volt Για F step =KHz η N ref =0000 Για F step =0KHz η N ref =000 ω 0 = 0,MHz αρχικά και μετά ω 0 = 0,MHz KK d c = N ω F step ω 0 Σταθερά c KHz 0KHz ref v 0 0,MHz 7,85.0 - MHz 7,85.0-3 0,MHz 7,85.0-0 MHz 7,85.0 - Πίνακας 3.6: Η σταθερά c με παραμέτρους την ω 0 και την F step Μέχρι στιγμής όλα καλά με τη θεωρία. Στην πραγματικότητα όμως όταν πάμε να βρούμε τα στοιχεία που θα βάλουμε στον συνθέτη μας θα διαπιστώσουμε ότι δεν υπάρχουν όλες οι τιμές που έχουμε υπολογίσει. Οπότε έπρεπε να κάνουμε κάποιες «υποχωρήσεις» σ αυτό το θέμα. Κατ αρχας ξέρουμε ότι το πλήθος των στοιχείων που θα έχει κάθε πλακέτα είναι οχτώ. Εμείς αυτό που κάναμε πρώτα, ήταν να ορίσουμε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή. Οι τιμές, τώρα, από την ελάχιστη στη μέγιστη αυξάνονται λογαριθμικά. Πιο δείχνουμε τον τρόπο με τον οποίο υπολογίσαμε αυτές τις τιμές: Τιμές για την αντίσταση Ri Xmin X X X3 X4 X5 X6 Xmax Πίνακας 3.7: Οι άγνωστες τιμές των στοιχείων που αποτελούν το φίλτρο του βρόχου Πρέπει πρώτα να βρούμε το βήμα με το οποίο θα αυξάνονται οι τιμές. Αυτό το ονομάζουμε dlog και έχει ως εξής: log( X max) log( X min) d log = (3.75) 7 48