Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας

Transcript

1 Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας 1. Εισαγωγή Στο προηγούμενο μάθημα - εισήγηση αναλύθηκε ποιοτικά η λειτουργία του βρόχου φάσης, παρουσιάστηκαν τα συστατικά στοιχεία του και διατυπώθηκαν οι βασικές χρονικές εξισώσεις που διέπουν την λειτουργία του. Τέλος μέσω του μετασχηματισμού Fourier προσδιορίστηκε η συνάρτηση μεταφοράς και η συνάρτηση σφάλματος του PLL. Στο μάθημα αυτό παρουσιάζεται η συνέχεια της ανάλυσης και θα διερευνηθούν αυστηρότερα οι συνθήκες λειτουργίας και σταθερότητας του βρόχου φάσης, που εξαρτώνται άμεσα από τον τύπο του φίλτρου (F). Έτσι θα εξαχθούν οι κανόνες σωστής αξιοποίησης ενός τέτοιου συστήματος που σήμερα χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές στα συστήματα τηλεπικοινωνιών και όχι μόνο. Στο σχήμα (1) επαναλαμβάνεται το γενικό διάγραμμα στο οποίο στηριχθήκαμε για να διατυπώσουμε τις εξισώσεις λειτουργίας. Οι σχέσεις (1), (2) και (3) επαναδιατυπώνουν αντίστοιχα την γραμμική διαφορική χρονική εξίσωση του συστήματος, την συνάρτηση μεταφοράς και την συνάρτηση σφάλματος του PLL. (y a ) Συγκριτής V 1 Φάσης Φίλτρο (y 0 ) VCO V 2 Εξοδος Σχήμα 1: Ο βρόχος φάσης dφ o (t) / dt = K[φ α (t) φ ο (t)] * f(t) (1) Φ ο (jω) / Φ α (jω) = K.F(jω) / [jω + Κ.F(jω)] = Η(jω) (2) Επίσης:

2 Φ(jω) = Φ α (jω) Φ ο (jω) Από όπου: Φ(jω) / Φ α (jω) = (jω) / [jω + K.F(jω)] = 1 Η(jω) (3) Υπενθυμίζεται ότι: φ α (t) η στιγμιαία φάση του σήματος του ταλαντωτή αναφοράς. φ ο (t) η στιγμιαία φάση του σήματος εξόδου του VCO. f(t) η χρονική συνάρτηση συμπεριφοράς του φίλτρου. Κ = Κ ο Κ 1, όπου Κ ο η κλίση του VCO και Κ 1 ο συντελεστής του συγκριτή φάσης. Επίσης: Φ α (jω) ο μετασχηματισμός Fourier της φάσης του ταλαντωτή αναφοράς. Φ ο (jω) ο μετασχηματισμός Fourier της φάσης του VCO. F(jω) η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου. Στην συνέχεια για συντόμευση των μαθηματικών σχέσεων θα υιοθετήσουμε τον συμβολισμο: s = jω. 2. Τα φίλτρα στον βρόχο φάσης Τα φίλτρα που χρησιμοποιούνται στον βρόχο φάσης, όπως τονίστηκε στο προηγούμενο άρθρο, είναι φίλτρα χαληλοπερατά. Οι δομές που αξιοποιούνται είναι απλές και τις περισσότερες φορές πρόκειται για παθητικά φίλτρα χωρίς να αποκλείεται και η χρήση απλών δομών ενεργών φίλτρων. Η συνάρτηση μεταφοράς F(s) του φίλτρου, που υπεισέρχεται στις μαθηματικές σχέσεις (2) και (3) επηρεάζει σημαντικά την λειτουργία του PLL και καθορίζει τις βασικές παραμέτρους συμπεριφοράς του. Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε χωρίς εκτενείς σχολιασμούς τις βασικές δομές των φίλτρων που χρησιμοποιούνται και θα διατυπώσουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς των φίλτρων. Στην επόμενη παράγραφο θα διερευνήσουμε πως αυτές οι δομές προσδιορίζουν την λειτουργία του PLL. ( y a ) Συγκριτής Συγκριτής V1 φάσης Φάσης Φίλτρο (y 0 ) VCO V 2 K 2 Εξοδος

3 Σχήμα 2: Ο βρόχος φάσης με απλό ενισχυτή προσαρμογής. Αξίζει να σημειωθεί ότι πολλές φορές, ιδιαίτερα όταν χρησιμοποιείται παθητικό φίλτρο, η προσαρμογή της στάθμης εξόδου του συγκριτή φάσης με την στάθμη εισόδου του ταλαντωτή VCO απαιτεί την χρήση απλού ενισχυτή με απολαβή Κ 2, όπως φαίνεται στο σχήμα 2. Σε αυτή την περίπτωση το κέρδος Κ στις σχέσεις (1), (2) και (3) γράφεται: Κ = Κ ο.κ 1.Κ 2. α) Η οριακή περίπτωση είναι να μην χρησιμοποιηθεί καθόλου φίλτρο. Δηλαδή: F(s) = 1 (4) Στην πράξη ένα τέτοιο PLL δεν χρησιμοποιείται. Αναφέρουμε όμως την περίπτωση για να εξοικειωθεί ο αναγνώστης με την ανάλυση της λειτουργίας του βρόχου. β) Φίλτρο ολοκληρωτή με δικτύωμα προπορείας φάσης. Το φίλτρο που κατασκευάζεται με την βοήθεια τελεστικού ενισχυτή, φαίνεται στο σχήμα 3. Σχήμα 3: Φίλτρο ολοκληρωτή με δικτύωμα προπορίας φάσης Η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου προσδιορίζεται από την σχέση: V 2 (s) / V 1 (s) = F(s) = (1 + sτ 2 ) /sτ 1 (5) όπου τ 1 = R 1 C και τ 2 = R 2 C

4 γ) Απλό χαμηλοπερατό φίλτρο πρώτου βαθμού. Αποδίδεται στο σχήμα 4. Σχήμα 4: Χαμηλοπερατό φίλτρο πρώτου βαθμού. Η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου δίνεται από την σχέση: F(s) = 1 / (1 + sτ 1 ) (6) όπου τ 1 = R 1 C. δ) Χαληλοπερατό φίλτρο πρώτου βαθμού με δικτύωμα προπορείας φάσης. Φαίνεται στο σχήμα 5. Η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου είναι: F(s) = (1 + sτ 2 ) / (1 + sτ 1 ) (7) με τ 1 = (R 1 +R 2 )C και τ 2 = R 2 C. Σχήμα 5: Χαμηλοπερατό φίλτρο με δικτύωμα προπορείας φάσης Στην επόμενη παράγραφο, όπου θα διερευνηθεί αναλυτικά η λειτουργία του βρόχου φάσης θα διαπιστωθεί το πως αυτές οι δομές επηρεάζουν τις παραμέτρους λειτουργίας

5 της διάταξης και θα εξεταστούν τα συγκριτικά πλεονεκτήματα ή μειονεκτήματα της κάθε δομής. 3. Πλήρης ανάλυση συμπεριφοράς του Βρόχου Φάσης 3.1 Γραμμικές εξισώσεις βρόχου φάσης πρώτου βαθμού Ο βρόχος PLL καλείται πρώτου βαθμού όταν στον βρόχο δεν υπάρχει καθόλου φίλτρο. Δηλαδή: F(s) = 1 Με αυτή την υπόθεση, οι συναρτήσεις μεταφοράς του βρόχου (σχέση 2) και της συνάρτησης του σφάλματος (σχέση 3) γίνονται: H(s) = Φ o (s) / Φ α (s) = K / (s + K) (8) 1 Η(s) = Φ(s) / Φ α (s) = s / (s + Κ) (9) Από την σχέση (8) προκύπτει: s.φ o (s) + K.Φ ο (s) = K.Φ α (s) που αντιστοιχεί στην χρονική εξίσωση: dφ ο (t) / dt + Kφ ο (t) = Κφ α (t) (10) Η διαφορική εξίσωση (10) είναι πρώτου βαθμού και δικαιολογεί τον τίτλο PLL πρώτου βαθμού. Αντίστοιχα από την σχέση (9) προκύπτει η διαφορική εξίσωση της φάσης σφάλματος: dφ(t) /dt + Kφ(t) = dφ α (t) /dt (11) 3.2 Γραμμικές εξισώσεις βρόχου φάσης δευτέρου βαθμού Στο βρόχο χρησιμοποιείται πάντοτε φίλτρο στην έξοδο του συγκριτή φάσης με δομή όπως αυτές που παρουσιάστηκαν νωρίτερα. Οι εξισώσεις που περιγράφουν την λειτουργία του βρόχου είναι δευτεροβάθμιες και μιλούμε για βρόχο δευτέρου βαθμού Φίλτρο ολοκληρωτή με δικτύωμα προπορείας φάσης Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (5) έχουμε: Η(s) = (K.τ 2.s + K) / (τ 1.s 2 + K.τ 2.s + K) (12) Μετασχηματίζοντας η αντίστοιχη χρονική εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού: τ 1 (d 2 φ ο / dt 2 ) + K.τ 2 (dφ ο /dt) + K.φ ο = Κ.τ 2.(dφ α /dt) + K.φ α (13)

6 Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (3) και (5) έχουμε αντίστοιχα: 1- H(s) = (τ 1.s 2 ) / (τ 1.s 2 + K.τ 2.s + K) (14) που αντιστοιχεί στην χρονική εξίσωση (15) της φάσης σφάλματος: τ 1 (d 2 φ / dt 2 ) + K.τ 2 (dφ/dt) + K.φ = τ 1 (d 2 φ α / dt 2 ) (15) Με απλό χαμηλοπερατό φίλτρο Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (6) και στην συνέχεια τις (3) και (6) προκύπτουν οι συναρτήσεις μεταφοράς και σφάλματος: Η(s) = K / (τ 1 s 2 + s + K) (16) 1-Η(s) = (τ 1 s 2 + s) / (τ 1 s 2 + s + K) (17) Οι σχέσεις (16) και (17) αντιστοιχούν στις χρονικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού: τ 1 (d 2 φ ο / dt 2 ) + (dφ ο /dt) + K.φ ο = K.φ α (18) τ 1 (d 2 φ / dt 2 ) + (dφ/dt) + K.φ = τ 1 (d 2 φ α / dt 2 ) + (dφ α /dt) (19) Με χαμηλοπερατό φίλτρο και δικτύωμα προπορείας φάσης Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (7) καθώς και τις σχέσεις (3) και (7) λαμβάνουμε αντίστοιχα: Η(s) = (K.τ 2. s +K) / [τ 1 s 2 + (1+K.τ 2 ).s + K] (20) 1-Η(s) = (τ 1 s 2 +s) / [τ 1 s 2 + (1+K.τ 2 ).s + K] (21) Από τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτουν οι χρονικές δευτεροβάθμιες διαφορικές εξισώσεις λειτουργίας του βρόχου φάσης: τ 1 (d 2 φ ο / dt 2 ) + (1+Κτ 2 ).(dφ ο /dt) + K.φ ο = Κτ 2.(dφ α /dt) + K.φ α (22) τ 1 (d 2 φ / dt 2 ) + (1+Κτ 2 ).(dφ/dt) + K.φ = τ 1.(d 2 φ α /dt 2 ) + dφ α /dt (23)

7 3.3 Διερεύνηση της λειτουργίας του βρόχου φάσης Παράμετροι του βρόχου φάσης δεύτερου βαθμού Για να διευκολυνθεί η συγκριτική μελέτη της συμπεριφοράς των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου, ένα τέτοιο σύστημα είναι και ο βρόχος φάσης, ο παρανομαστής της συνάρτησης μεταφοράς και της συνάρτησης σφάλματος τίθενται συνήθως με την μορφή: Π(s) = s 2 + (2ξω n )s + ω n 2 (24) όπου ξ ο συντελεστής απόσβεσης του συστήματος και ω n η ιδιοσυχνότητα του. Ταυτοποιώντας τις σχέσεις που προσδιορίστηκαν για κάθε φίλτρο στην προηγούμενη παράγραφο με την σχέση (24), μπορούμε να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους ξ και ω n με βάση τα φυσικά στοιχεία του κυκλώματος. Για το φίλτρο ολοκληρωτή και δικτύωμα προπορεία φάσης, με συνάρτηση μεταφοράς την σχέση (5) εύκολα διαπιστώνεται ότι: ω n 2 = Κ / τ 1 2ξω n = Κτ 2 / τ 1 H(s) = (2ξω n s + ω n 2 ) / (s 2 + 2ξω n s + ω n 2 ) (25) 1-H(s) = s 2 / (s 2 + 2ξω n s + ω n 2 ) Για το απλό χαμηλοπερατό φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς την σχέση (6) ισχύουν: ω n 2 = K/τ 1 2ξω n = 1/τ 1 H(s) = ω n 2 / (s 2 + 2ξω n s + ω n 2 ) (26) 1- H(s) = (s 2 + 2ξω n s) / (s 2 + 2ξω n s + ω n 2 ) Για το χαληλοπερατό φίλτρο με δικτύωμα προπορείας φάσης και συνάρτηση μεταφοράς την σχέση (7) αποδεικνύονται: ω n 2 = K/τ 1 2ξω n = (1+Κτ 2 ) / τ 1 Η(s) = [(2ξω n ω n 2 /K)s + ω n 2 ] / (s 2 + 2ξω n s + ω n 2 ) 1-H(s) = [s 2 + (ω n 2 /K )s] / (s 2 + 2ξω n s + ω n 2 )

8 (27) Στο σχήμα (6) έχει χαραχθεί το τυπικό σμήνος γραφικών παραστάσεων της συνάρτησης μεταφοράς H(s) για την περίπτωση του χαμηλοπερατού φίλτρου (σχέσεις 26), για διάφορες τιμές του συντελεστή απόσβεσης ξ. Είναι προφανές από τα σχήματα ότι όσο μικρότερος είναι ο συντελεστής απόσβεσης (6) το κέρδος στην συχνότητα ω=ω n μεγαλώνει αισθητά και αυτό σημαίνει αστάθεια για το PLL. Γραφικές παραστάσεις για διάφορες Τιμές του ξ Σχήμα 6: Γραφική παράσταση της συνάρτησης μεταφοράς H(s) με χαμηλοπερατό φίλτρο Η τιμή του συντελεστή ξ και η ιδιοσυχνότητα ω n εξαρτώνται αντιστρόφως ανάλογα από την σταθερά χρόνου τ 1 του φίλτρου. Πρέπει επίσης να παρατηρήσουμε ότι στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε να έχουμε ανεξάρτητη ρύθμιση των δύο παραμέτρων. Άρα αυτή η δομή του φίλτρου θα χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση που το PLL πρέπει να έχει μεγάλο εύρος λειτουργίας (μικρό τ 1 ).

9 Σχήμα 7: Γραφική παράσταση της συνάρτησης μεταφοράς με ολοκληρωτή Στο σχήμα (7) δίνεται το σμήνος γραφικών παραστάσεων για την περίπτωση του φίλτρου με ολοκληρωτή (σχέσεις 25). Σε αυτή την περίπτωση, όπως και στην περίπτωση του τρίτου φίλτρου (σχέσεις 27) υπάρχει ανεξαρτησία ρύθμισης των παραμέτρων. Η ιδιοσυχνότητα ω n εξαρτάται από την σταθερά τ 1 ενώ ο συντελεστής απόσβεσης εξαρτάται και από την σταθερά τ 2. Στην περίπτωση των σχέσεων (27) αν το γινόμενο Κ.τ 2 θεωρηθεί μεγάλο η σχέση προσδιορισμού του ξ προσεγγίζει την αντίστοιχη σχέση (25). Πάντως η πλήρης ταύτιση των δύο περιπτώσεων απαιτεί επιπλέον η ποσότητα ω n 2 / Κ να είναι πολύ μικρή, κάτι που επιλέγεται συχνά στην πράξη Συμπεριφορά του βρόχου φάσης σε πήδημα φάσης και συχνότητας Μια πλήρης μελέτη Γραφικές και παραστάσεις διερεύνηση για διάφορες της συμπεριφοράς τιμές του βρόχου φάσης σε κάθε είδους Της παραμέτρου ξ παρεμβάσεις που επηρεάζουν το σήμα αναφοράς (y α ) (βίαιη αλλαγή της φάσης, βίαιη αλλαγή συχνότητας, διαμόρφωση, θόρυβος κλπ) πρέπει να λάβει υπόψη της όλες τις

10 παραλλαγές των φίλτρων που παρουσιάστηκαν πιο πάνω. Στα ασφυκτικά πλαίσια αυτού του άρθρου είναι αδύνατον να παρουσιαστούν όλες οι περιπτώσεις. Θα περιοριστούμε στην διερεύνηση της συμπεριφοράς του βρόχου, που θεωρείται αρχικά κλειδωμένος (δηλαδή η φάση εισόδου και η φάση του VCO ταυτίζονται ή διαφέρουν κατά π/2 ανάλογα με τον τύπο του συγκριτή που χρησιμοποιείται) (ίδε προηγούμενο άρθρο), στην περίπτωση που ο ταλαντωτής αναφοράς υφίσταται ένα πήδημα φάσης (σχήμα 8) και στην περίπτωση που υφίσταται πήδημα συχνότητας (σχήμα 9). φ α (t) θ Σχήμα 8: Συνάρτηση βαθμίδας φάσης (πήδημα φάσης) Στην περίπτωση της συνάρτησης βαθμίδας φάσης ο μετασχηματισμός Laplace είναι: Φ α (s) = θ /s Έτσι η συνάρτηση σφάλματος γίνεται: Φ(s) = Φ α (s) [1 Η(s)] = s.φ α (s) / [s + K.F(s)] = (θ/s).[1 Η(s)] (29) Το θεώρημα της τελικής τιμής επιτρέπει τον άμεσο υπολογισμό του τελικού σφάλματος φάσης μετά το πέρας των μεταβατικών καταστάσεων του βρόχου ( αποκατεστημένη λειτουργία, όταν t ). t limφ(t) = lim[s.φ(s)] (30) t s 0 Με την βοήθεια των σχέσεων (25), (26) και (27) εύκολα επιβεβαιώνουμε ότι και στις τρεις περιπτώσεις φίλτρων το τελικό σφάλμα είναι μηδέν. ω α Δω t Σχήμα 9: Συνάρτηση βαθμίδας συχνότητας (πήδημα συχνότητας) Στην περίπτωση που ο ταλαντωτής αναφοράς υφίσταται πήδημα συχνότητας Δω (σχήμα 9) η φάση είναι:

11 φ α = Δω.t και έχει μετασχηματισμό Laplace: Φ α (s) = Δω/s 2 (31) Έτσι Φ(s) = Φ α (s) [1 Η(s)] = Δω / s.[s + K.F(s)] Από το θεώρημα τελικής τιμής προκύπτει: limφ(t) = lim s.φ(s) = Δω / Κ.F(0) (32) t s 0 Σε αυτή την περίπτωση παρατηρούμε ότι το τελικό σφάλμα φάσης (μετά τις μεταβατικές καταστάσεις) δεν είναι οπωσδήποτε μηδέν, αλλά εξαρτάται (αντιστρόφως ανάλογα) από την τιμή της συνάρτησης του φίλτρου στην συχνότητα ω=0. Αυτό επιβεβαιώνεται εύκολα και από τις σχέσεις (25), (26) και (27). Αν χρησιμοποιηθεί φίλτρο ολοκληρωτή με προπορεία φάσης (σχέση 25) που παρουσιάζει πόλο στην συχνότητα ω=0, τότε το σφάλμα φάσης είναι μηδέν. Γίνεται σιγά σιγά φανερό, αν λάβουμε υπόψη και τις παρατηρήσεις τις προηγούμενης παραγράφου, ότι η συμπεριφορά του βρόχου φάσης εξαρτάται σημαντικά από τον τύπο του φίλτρου. Εκείνο που έχει μεγάλη σημασία για την σωστή σχεδίαση του PLL είναι η μελέτη των μεταβατικών καταστάσεων του βρόχου αφότου δεχτεί μια διέγερση, καθώς και η συμπεριφορά του σε ημιτονικές διεγέρσεις που σχετίζονται άμεσα με το εύρος ζώνης του συστήματος. Η πλήρης μελέτη των μεταβατικών καταστάσεων προκύπτει από την αναζήτηση μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace της φάσης σφάλματος φ(t), για κάθε μία από τις εξισώσεις (25), (26) και (27). Αντί κουραστικής μαθηματικής λύσης αποδεικνύεται πρακτικότερη η χρήση των γραφικών παραστάσεων που προκύπτουν διερευνώντας το αποτέλεσμα για τις διάφορες τιμές του συντελεστή ξ. Στο σχήματα (10) δίνονται οι γραφικές παραστάσεις του σφάλματος (συγκεκριμένα του σχετικού σφάλματος φ(t)/θ) όταν έχουμε πήδημα φάσης θ στην είσοδο, για την περίπτωση του φίλτρου με ολοκληρωτή ως συνάρτηση του γινομένου (ω n t). Οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις Γραφικές παραστάσεις με φίλτρο ολοκληρωτή για διάφορες τιμές του ξ

12 για το απλό χαμηλοπερατό φίλτρο δίνονται στο σχήμα (11). Σχήμα 10: Μεταβατική κατάσταση του βρόχου με φίλτρο ολοκληρωτή και πήδημα φάσης στην είσοδο. Από το σχήμα (10) παρατηρούμε ότι το μέγιστο σφάλμα φάσης το έχουμε για t = 0 και ισούται με θ. Αυτό σημαίνει, με βάση τα συμπεράσματα του προηγούμενου άρθρου ότι για να θεωρείται γραμμικό το σύστημα του βρόχου και να ισχύουν οι σχέσεις (25) και οι γραφικές παραστάσεις (10) πρέπει θ < ½ rad για ημιτονικό συγκριτή φάσης, θ<π/2 για συγκριτή φάσης γραμμικό στο διάστημα (-π/2, +π/2) ή τέλος θ<π για συγκριτή φάσης με γραμμική χαρακτηριστική (-π, +π). Τέλος οι γραφικές παραστάσεις του σχήματος (10) επιτρέπουν να διαπιστώσουμε ότι η επιλογή ξ = 1 αντιστοιχεί στην πιο γρήγορη απόσβεση του σφάλματος φ(t). Σφάλμα φάσης για απλό χαμηλοπερατό φίλτρο Σχήμα 11: Μεταβατική κατάσταση του βρόχου με απλό χαμηλοπερατό φίλτρο με πήδημα φάσης στην είσοδο. Και στην περίπτωση του απλού χαμηλοπερατού φίλτρου (σχήμα 11) το σφάλμα είναι μέγιστο και ισούται με θ όταν t = 0. Για την τιμή του θ ισχύουν οι παρατηρήσεις που έγιναν προηγούμενα. Για την περίπτωση των εξισώσεων (27) που αντιστοιχούν στην περίπτωση χαμηλοπερατού φίλτρου με δικτύωμα προπορείας φάσης γενικά ισχύει ότι ω n / K < ξ. Με

13 αυτή την υπόθεση αποδεικνύεται ότι ή απόκριση του βρόχου σε πήδημα φάσης είναι ταυτόσημη με αυτή της περίπτωσης του σχήματος (10), φίλτρου ολοκληρωτή. Από την σύγκριση των γραφικών παραστάσεων στα δύο σχήματα είναι προφανές το πλεονέκτημα που προσφέρει στο βρόχο το δικτύωμα προπορείας φάσης ως προς την ταχύτητα απόκρισης όταν στην είσοδο εμφανίζεται βίαιη αλλαγή της φάσης. Δεν το αποδείξαμε στα πλαίσια αυτού του άρθρου, είναι όμως γνωστό από την θεωρία των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου, ότι το ίδιο δικτύωμα προσφέρει στο βρόχο και πλεονέκτημα σταθερότητας. Στο σχήμα 12, δίδονται οι γραφικές παραστάσεις [του κανονικοποιημένου σφάλματος φ(t) / (Δω/ω n ) ] που περιγράφουν τις επιδόσεις κατά την μεταβατική κατάσταση του βρόχου με φίλτρο ολοκληρωτή και δικτύωμα προπορείας φάσης στην περίπτωση που στην είσοδο εμφανίζεται βίαιη αλλαγή συχνότητας (πήδημα συχνότητας Δω). Συμπεριφορά του βρόχου με ολοκληρωτή σε πήδημα της συχνότητας εισόδου Σχήμα 12: Απόκριση του βρόχου σε πήδημα συχνότητας Δω, στην περίπτωση ολοκληρωτή Παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή του σφάλματος φάσης είναι τόσο μεγαλύτερη όσο ο συντελεστής ξ είναι μικρότερος. Στις γραφικές παραστάσεις επιβεβαιώνουμε επίσης το θεώρημα της τελικής τιμής που αποδείξαμε σε προηγούμενη παράγραφο, ότι το τελικό

14 σφάλμα σε αποκατασταθείσα λειτουργία (για t = ) είναι μηδέν, όταν το φίλτρο έχει πόλο στο 0. Στην περίπτωση του απλού χαμηλοπερατού φίλτρου αποδεικνύεται ότι το τελικό σφάλμα φάσης (για t = 0) που προκύπτει όταν στην είσοδο εμφανίζεται πήδημα συχνότητας Δω είναι: Φ(t) = Δω / Κ (33) Στην περίπτωση αυτή (εξισώσεις 26) είδαμε ότι οι παράμετροι ω n και ξ δεν ρυθμίζονται ανεξάρτητα και επίσης ισχύει ότι: ω n =2.ξ.Κ Η επιλογή μεγάλης τιμής για το Κ ώστε το σφάλμα φάσης να είναι μικρό σημαίνει μικρή τιμή του συντελεστή ξ, άρα έντονες ταλαντώσεις και όπως σχολιάσαμε σε προηγούμενη παράγραφο σημαίνει αστάθεια του βρόχου φάσης. Γι αυτό το φίλτρο αυτό δεν χρησιμοποιείται συχνά. Είναι σαφώς καλύτερη η συμπεριφορά του βρόχου με χαμηλοπερατό φίλτρο που συνδυάζεται με δικτύωμα προπορείας φάσης (σχέσεις 27). Αποδεικνύεται ότι το σφάλμα φάσης σε αποκατεστημένη λειτουργία μετά από βίαιη αλλαγή της συχνότητας στην είσοδο είναι πάλι Δω / Κ. Σε αυτή όμως την περίπτωση μπορούμε να επιλέξουμε μεγάλη τιμή για το Κ, ανεξάρτητα της επιλογής του συντελεστή ξ. Μάλιστα με μεγάλο Κ η απόκριση του βρόχου φάσης κατά την μεταβατική κατάσταση προσεγγίζει αυτή με φίλτρο ολοκληρωτή και αποδίδεται από τις χαρακτηριστικές του σχήματος 12. Το φίλτρο με αυτή την δομή (χαμηλοπερατό με προπορεία φάσης) είναι το πλέον χρησιμοποιούμενο φίλτρο στις εφαρμογές των PLL. 4. Συμπεράσματα Το κεφάλαιο Βρόχος Φάσης PLL είναι μεγάλο και δύσκολο. Δεν μπορεί να καλυφθεί σε ένα ή δύο άρθρα και χωρίς την χρήση κάποιων μαθηματικών σχέσεων. Διατυπώσαμε τις εξισώσεις λειτουργίας και διερευνήσαμε την συμπεριφορά του βρόχου στις περιπτώσεις που στην είσοδο εμφανίζεται βίαιη μεταβολή της φάσης ή της συχνότητας αναφοράς. Τα συμπεράσματα ενδιαφέρουν τον σχεδιαστή στην Ψηφιακή Σύνθεση Συχνότητας. Τα συστήματα σύνθεσης συχνότητας, η μεθοδολογία σχεδίασης και οι εφαρμογές τους θα μας απασχολήσουν σε επόμενο μάθημα.