Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Διαδικασία ελαχιστοποίηση μεγιστοποίηση b 0 ανισώσεις εξισώσεις (περιθώριες μεταβλητές) x j 0 1/1
Να γραφούν τα πιο κάτω π.γ.π. στην τυπική τους μορφή : maximize (x 1 + 2x 2 4x x 4 ) -2x 1 + 9x 2 + 9x - x 4-7 6x 1-9x 2 + 4x - 7x 4 21 6x 1-2x 2-6x + x 4 = 7x 1 + 11x 2-9x - 21x 4 0 x 1, x 0 x 2, x 4 0 και minimize (2x 1 + x 2 x ) x 1 + 2x 2 - x 11 x 1 - x 2 + x = -1-2x 1 - x 2 + 4x 8 7x 1 + 11x 2-9x 0 x 1 0 x 2 0 2/1
Λύση maximize z = (x 1-2 x 2-4x + x 4 ) όταν 2x 1 + 9 x 2-9x - x 4 + x 5 = 7 6x 1 + 9 x 2 + 4x + 7 x 4 + x 6 = 21 6x 1 + 2 x 2-6x - x 4 = 7x 1-11 x 2-9x + 21 x 4 - x 7 = 0 x 1, x 2, x, x 4, x 5, x 6, x 7 0 με x 5, x 6, x 7 περιθώριες μεταβλητές και, αφού x 2, x 4 0, τέθηκε x 2 x 2 =, x 4 = x 4 maximize (-2x 1 + 2 όταν x + x x ) x 1-2 x 2 - x + x + x 4 = 11 -x 1 - x 2 - x + x = -1-2x 1 + x 2 + 4 x - 4 x - x 5 = 8 x 1, x 2, x, x, x 4, x 5 0 με x 4, x 5 περιθώριες μεταβλητές και, αφού x τέθηκε x x x αφού x 2 0 τέθηκε x 2 = x 2 =, /1
Για το σύνολο των περιορισμών Αx = b ενός π.γ.π. σε τυπική μορφή δεχόμαστε πάντα ότι : r(a) = r(a, b) Επιπλέον, χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πάντα ότι r(a) = m < n Βασική λύση π.γ.π. Επιλέγουμε m γραμμικά ανεξάρτητες στήλες του πίνακα Α, θέτουμε τις n- m μεταβλητές οι οποίες αντιστοιχούν στις εναπομείνασες στήλες ίσες με μηδέν και επιλύουμε ως προς τις υπόλοιπες m μεταβλητές. Η λύση που προκύπτει τότε x = (,, 0, x, 0,, 0, x, 0,, 0, x, 0,, 0) 0 i 1 i2 im ονομάζεται βασική λύση του π.γ.π. και οι αντίστοιχες μεταβλητές βασικές μεταβλητές. Βασικές στήλες. Βασικός πίνακας. Ο αριθμός των βασικών λύσεων ενός π.γ.π. είναι πεπερασμένος και το πολύ ίσος με n. m Βασική εφικτή λύση π.γ.π. Κάθε βασική λύση με όλες τις μεταβλητές μη αρνητικές. Εκφυλισμένη βασική εφικτή λύση π.γ.π. Μια βασική εφικτή λύση που έχει τουλάχιστον μια από τις βασικές μεταβλητές ίση με μηδέν. Άριστη λύση π.γ.π. Κάθε εφικτή λύση που μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. 4/1
Να βρεθούν όλες οι βασικές λύσεις του π.γ.π. maximize (x 1 + 5x 2 2x + x 4 ) x 1 - x 2 + x + x 4 = 5 2x 1 + x 2 + 2x = 1 x 1, x 2, x, x 4 0 i) x 1 = x 2 = 0 Ο πίνακας Β = (P, P 4 ) έχει Β 0 κι άρα x N = (x 1, x 2 ) = (0, 0) x + x 4 = 5 2x = 1 x B = (x, x 4 ) = 1, 2 9 2 0 B 1 b = 1 1 1 2 5 = 1 9 2 1 2 2 ii) x 1 = x = 0 iii) x 1 = x 4 = 0 iv) x 2 = x = 0 v) x 2 = x 4 = 0 Ο πίνακας Β = (P 1, P ) έχει Β = 0 κι άρα δεν προσδιορίζεται κάποια βασική λύση. vi) x = x 4 = 0 5/1
Μια βιοτεχνία επεξεργασίας δερμάτινων κατασκευάζει δύο ειδών γυναικείες τσάντες, Α και Β ποιότητας. Η διαφορά τους έγκειται μόνο στην επεξεργασία που γίνεται στην κάθε ποιότητα. Συγκεκριμένα, μια τσάντα Α ποιότητας απαιτεί 1 τ.μ. δέρματος και 2 ώρες δουλειάς, ενώ μία τσάντα Β ποιότητας απαιτεί 1 τ.μ. δέρματος και 1 ώρα δουλειάς. Κάθε εβδομάδα η βιοτεχνία διαθέτει για το τμήμα κατασκευής γυναικείων τσαντών 40 τ.μ. δέρματος και 60 ώρες δουλειάς. Αν το κέρδος από κάθε γυναικεία τσάντα Α ποιότητας ανέρχεται στις 80 χρηματικές μονάδες ενώ από την αντίστοιχη Β ποιότητας στις 6000 χρηματικές μονάδες, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εύρεση του αριθμού τσαντών που πρέπει να κατασκευάζονται εβδομαδιαία. 6/1
Ι. Μοντελοποίηση του προβλήματος ως π.γ.π. maximize (8x 1 + 6x 2 ) x 1 + x 2 40 2x 1 + x 2 60 x 1, x 2 0 ΙΙ. Τυπική μορφή maximize (8x 1 + 6x 2 ) x 1 + x 2 + x = 40 2x 1 + x 2 + x 4 = 60 x 1, x 2, x, x 4 0 ΙΙΙ. Εύρεση όλων των βασικών λύσεων (n = 4, m =2) i) x 1 = x 2 = 0 Ο πίνακας Β = (P, P 4 ) έχει Β 0 κι άρα x N = (x 1, x 2 ) = (0, 0) x B = (x, x 4 ) = (40, 60) = B -1 b x = 40 x 4 = 60 ii) x 1 = x = 0 Ο πίνακας Β = (P 2, P 4 ) έχει Β 0 κι άρα x N = (x 1, x ) = (0, 0) x B = (x 2, x 4 ) = (40, 20) = B -1 b x 2 = 40 x 2 + x 4 = 60 7/1
iii) x 1 = x 4 = 0 Ο πίνακας Β = (P 2, P ) έχει Β 0 κι άρα x N = (x 1, x 4 ) = (0, 0) x B = (x 2, x ) = (60, -20) = B -1 b x 2 + x = 40 x 2 = 60 iv) x 2 = x = 0 Ο πίνακας Β = (P 1, P 4 ) έχει Β 0 κι άρα x N = (x 2, x ) = (0, 0) x B = (x 1, x 4 ) = (40, -20) = B -1 b x 1 = 40 2x 1 + x 4 = 60 v) x 2 = x 4 = 0 Ο πίνακας Β = (P 1, P ) έχει Β 0 κι άρα x N = (x 2, x 4 ) = (0, 0) x B = (x 1, x ) = (0, 10) = B -1 b x 1 + x = 40 2x 1 = 60 vi) x = x 4 = 0 Ο πίνακας Β = (P 1, P 2 ) έχει Β 0 κι άρα x N = (x, x 4 ) = (0, 0) x B = (x 1, x 2 ) = (20, 20) = B -1 b x 1 + x 2 = 40 2x 1 + x 2 = 60 8/1
x 6 = (20, 20, 0, 0) Γ x 5 = (0, 0, 10, 0) Β x 4 = (40, 0, 0, -20) x = (0, 60, -20, 0) x 2 = (0, 40, 0, 20) Δ x 1 = (0, 0, 40, 60) Α f(x 1 ) = 0 f(x 2 ) = 240 f(x 5 ) = 240 f(x 6 ) = 280 9/1
Θ.1 Έστω το π.γ.π. max c x, Αx = b, x 0 με εφικτή περιοχή F. Αν το F είναι φραγμένο σύνολο, τότε το π.γ.π. έχει άριστη λύση. Θ.2 Η εφικτή περιοχή F είναι κυρτό σύνολο. Θ. Αν η εφικτή περιοχή F είναι ένα φραγμένο σύνολο, τότε η άριστη λύση πετυχαίνεται σε μια κορυφή της F. Θ.4 Αν x μια βασική εφικτή λύση, τότε x κορυφή της F. Θ.5 Αν x είναι κορυφή της F, τότε η x είναι μια βασική εφικτή λύση. Ένα σύνολο Χ n λέγεται κυρτό, αν δοθέντος δύο σημείων x 1, x 2 X, το σημείο x=kx 1 + (1-k)x 2 X για κάθε k [0, 1]. Ως κυρτός συνδυασμός των σημείων x 1, x 2,, x k n ορίζεται κάθε σημείο x της μορφής x k k = λ x i i, λi = 1, λi 0 i = 1,2,..., k i= 1 i= 1 Ακρότατο σημείο (κορυφή) ενός κυρτού συνόλου Χ είναι κάθε σημείο x για το οποίο δεν υπάρχουν x 1, x 2 τέτοια ώστε x=λx 1 +(1-λ)x 2 10/1
Ένας τρόπος λύσης για π.γ.π. 1. Τυπική μορφή του π.γ.π. 2. Εύρεση όλων των βασικών λύσεων του προβλήματος.. Εντοπισμός μεταξύ αυτών, των βασικών εφικτών λύσεων. 4. Εύρεση της βασικής εφικτής λύσης (βασικών εφικτών λύσεων) η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Πολλές περιπτώσεις, ακόμη και για μικρού μεγέθους προβλήματα. π.χ. για n = 20 μεταβλητές και m = 10 περιορισμούς 20 = 184,756 10?? Αναζήτηση καλύτερης μεθοδολογίας/τεχνικής 11/1
Ο αλγόριθμος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια επαναληπτική τεχνική για την επίλυση π.γ.π. Βασίζεται στη συστηματική δημιουργία βασικών εφικτών λύσεων του προβλήματος με ταυτόχρονο έλεγχο της αριστότητάς τους. Συγκεκριμένα: ξεκινώντας από μια γνωστή βασική εφικτή λύση x 0, δημιουργεί μια ακολουθία (γειτονικών) εφ λύσ x 1, x 2,, x k τέτοιων ώστε c x 0 c x 1 c x 2 c x k η οποία συγκλίνει στην άριστη λύση του προβλήματος (αν υπάρχει βέβαια) σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Αρχικό Βήμα: Εντοπισμός μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης. Κανόνας Τερματισμού: Εάν βρέθηκε η άριστη λύση τότε ΤΕΛΟΣ. αλλιώς Επαναληπτικό Βήμα: (επανέλαβε όσες φορές χρειαστεί) Μετάβαση σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση. Πήγαινε στον κανόνα τερματισμού. Σημαντικό στοιχείο της μεθόδου αποτελεί και το γεγονός ότι εντοπίζει και τις περιπτώσεις στις οποίες το πρόβλημα είναι αδύνατο ή έχει μη πεπερασμένη λύση. 12/1
x N = (x 1, x ) x B = (x 2, x 4 ) x N = (x 4, x ) x B = (x 2, x 1 ) x N = (x 1, x 2 ) x B = (x, x 4 ) x N = (x 4, x 2 ) x B = (x, x 1 ) 1/1