Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Να το επιλύσετε είτε ως γραμμικό πρόγραμμα είτε γραφικά. Σχήμα 1: Παίγνιο Μηδενικού Αθροίσματος Λύση: Αν ο παίκτης Ι παίζει πρώτος και ο παίκτης ΙΙ δεύτερος, γνωρίζοντας την επιλογή του παίκτη Ι η αξία του παιγνίου είναι 1. Αν ο παίκτης ΙΙ παίζει πρώτος και ο παίκτης Ι δεύτερος γνωρίζοντας την επιλογή του παίκτη ΙΙ, η αξία του παιγνίου είναι 1. Διατύπωση Γραμμικού Προγράμματος για τυχαιοποιημένης στρατηγικές Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, x 1 + x 2 = 1. Ο παίκτης ΙΙ γνωρίζει τις τιμές x 1, x 2, δεν γνωρίζει όμως ποια από τις δύο επιλογές γραμμής ϑα πραγματοποιηθεί. Αν ο ΙΙ διαλέξει την στήλη 1 η μέση αμοιβή (ποσό που πληρώνει ο ΙΙ στον Ι) ϑα είναι 3x 1 2x 2. Αν ο ΙΙ διαλέξει την στήλη 2 τότε η μέση αμοιβή ϑα είναι x 1 + x 2. Αρα ϑα διαλέξει εκείνη την στήλη που δίνει την μικρότερη από τις δύο μέσες τιμές, και επομένως η αμοιβή που ϑα πάρει ο Ι ϑα είναι min(3x 1 2x 2, x 1 + x 2 ). Συνεπώς ο Ι πρέπει να λύσει το πρόβλημα max x 1 +x 2 =1, x 1,x 2 0 min(3x 1 2x 2, x 1 + x 2 ) (1) Αυτό είναι ισοδύναμο με το γραμμικό πρόγραμμα max u u 3x 1 2x 2 u x 1 + x 2 x 1 + x 2 = 1 x 1, x 2 0.
το οποίο είναι ισοδύναμο με το γραμμικό πρόγραμμα max u 3x 1 + 2x 2 + u 0 +x 1 x 2 + u 0 x 1 + x 2 = 1 x 1, x 2 0. (2) Το δυϊκό αυτού του γραμμικού προγράμματος είναι min v 3y 1 + y 2 + v 0 +2y 1 y 2 + v 0 y 1 + y 2 = 1 y 1, y 2 0. (3) Το δυϊκό αυτό πρόγραμμα περιγράφει την βέλτιστη τυχαιοποιημένη στρατηγική για τον παίκτη ΙΙ που είναι max y 1 +y 2 =1, y 1,y 2 0 min(3y 1 y 2, 2y 1 + y 2 ). (4) Γραφική επίλυση Για τον παίκτη Ι η μέση αμοιβή που προκύπτει από την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ) έχει τιμή 3x 1 2x 2 = 3 5x 2 και x 1 + x 2 = 1+2x 2 ανάλογα με το αν ο παίκτης ΙΙ διαλέξει την στήλη 1 ή την στήλη 2. (Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι x 1 + x 2 = 1.) Η βέλτιστη λύση είναι το σημείο τομής 3 5x 2 = 1+2x 2 που δίνει x 2 = 4/7, x 1 = 3/7, και επομένως η αξία του παιγνίου είναι 3 5 4 7 = 1/7. Για τον παίκτη ΙΙ η μέση αμοιβή που προκύπτει από την τυχαιοποιημένη στρατηγική (y 1, y 2 ) έχει τιμή 3y 1 y 2 = 3 4y 2 και y 1 + y 2 = 2 + 3y 2 ανάλογα με το αν ο παίκτης Ι διαλέξει την γραμμή 1 ή την γραμμή 2. (Δεδομένου ότι y 1 + y 2 = 1.) Η βέλτιστη λύση είναι το σημείο τομής 3 4y 2 = 2 + 3y 2 που δίνει y 2 = 5/7, y 1 = 2/7, και επομένως η αξία του παιγνίου είναι 3 4 5 = 1/7. (Παρατηρήστε ότι, όπως 7 προβλέπεται από την ϑεωρία προκύπτει η ίδια τιμή.
Σχήμα 2: Τυχαιοποιημένες Στρατηγικές για τον παίκτη Ι Εναλλακτική διατύπωση γραμμικού προγράμματος Προσθέτοντας 3 σε κάθε στοιχείο του πίνακα αμοιβών έχουμε τον καινούργιο πίνακα για τον οποίο όλες οι αμοιβές είναι αυστηρά ϑετικές. Επειδή η βέλτιστη στρατηγική εξαρτάται μόνο από τις διαφορές ανάμεσα στις αμοιβές και όχι από τις ίδιες τις τιμές τους το νέο πρόβλημα έχει την ίδια βέλτιστη Σχήμα 3: Τυχαιοποιημένες Στρατηγικές για τον παίκτη ΙΙ
Σχήμα 4: Πίνακας αμοιβών στρατηγική. Για τον παίκτη Ι το πρόβλημα γίνεται που δίνει max min(6x 1 + x 2, 2x 1 + 4x 2 ) x 1 +x 2 0, x 1,x 2 0 max u u 6x 1 + x 2 u 2x 1 + 4x 2 x 1 + x 2 = 1 x 1, x 2 0. Η βέλτιστη τιμή του u ϑα είναι οπωσδήποτε αυστηρά ϑετική δεδομένου ότι το δεξιό μέλος των δύο πρώτων ανισοτικών περιορισμών είναι αυστηρά ϑετικό για όλα τα x 1, x 2 που είναι μη αρνητικά και αθροίζονται στη μονάδα. (Αυτός είναι και ο λόγος που προσθέσαμε στον αρχικό πίνακα μια σταθερά έτσι ώστε όλα τα στοιχεία του να είναι ϑετικά.) Το πρόβλημα αυτό είναι ισοδύναμο με το min 1 u 1 6 x 1 u + x 2 u 1 2 x 1 u + 4 x 2 u x 1 u + x 2 u = 1 u x 1, x 2 0, u > 0. Θέτοντας X i = x i u, i = 1, 2, παίρνουμε το ισοδύναμο πρόβλημα min X 1 + X 2 6X 1 + X 2 1 2X 1 + 4X 2 1 X 1, X 2 0. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να επιλυθεί γραφικά (δείτε το ακόλουθο σχήμα). Η βέλτιστη λύση είναι X 1 = 3/22 και X 2 = 4/22. Επομένως 1 u = X 1 + X 2 = 3 22 + 4 22 = 7 και συνεπώς 22 u = 22. Αυτή είναι η αξία του παιγνίου. (Από την τιμή αυτή βέβαια πρέπει να αφαιρεθεί 3 το οποίο είχε 7
Σχήμα 5: Γραφική επίλυση γραμμικού προγράμματος προστεθεί στον αρχικό πίνακα: συνεπώς η αξία του αρχικού παιγνίου είναι 22 7 3 = 1. Το αποτέλεσμα 7 βέβαια αυτό συμφωνεί με εκείνο που βρήκαμε στην προηγούμενη παράγραγραφο με διαφορετική μέθοδο.) Επίσης, x 1 = X 1 u = 3 22 22 7 = 3 7 και ομοίως x 2 = X 2 u = 4 7. Η βέλτιστη στρατηγική για τον παίκτη ΙΙ προκύπτει με τον ίδιο τρόπο από το δυϊκό πρόβλημα max Y 1 + Y 2 6Y 1 + Y 2 1 Y 1 + 4Y 2 1 Y 1, Y 2 0. Το δυϊκό ενός γραμμικού προγράμματος Πρόβλημα 2. Να διατυπώσετε το δυϊκό του ακόλουθου γραμμικού προγράμματος: x 1, x 2 0, X 3, x 4 ελεύθερες. min 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 1 + 4x 2 + x 3 7 2x 1 + x 2 + x 4 10
Λύση: Το δυϊκό πρόβλημα είναι max 7y 1 + 10y 2 y 1 + 2y 2 3 4y 1 + y 2 2 y 1 = 3 επειδή η x 3 είναι ελεύθερη y 2 = 0 επειδή η x 4 είναι ελεύθερη y 1, y 2 0 Το δυϊκό είναι προφανώς ανέφικτο διότι οι δύο πρώτες ανισότητες δεν ικανοποιούνται. πρωτεύον δεν έχει φραγμένη λύση. (το min είναι ). Συνεπώς το Πρόβλημα 2. Να διατυπώσετε το δυϊκό του ακόλουθου γραμμικού προγράμματος: min 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 2x 1 + x 2 + x 3 2 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0. Λύση: Για την διευκόλυνσή μας ξαναγράφουμε το γραμμικό πρόγραμμα σε κανονική μορφή ελαχίστου: min 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 2 x 3 2 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0. Το δυϊκό πρόβλημα είναι max 2y 1 + 8y 2 2y 1 + 3y 2 3 y 1 + 4y 2 2 y 1 + 2y 2 3 y 1, y 2 0. Ροή ελαχίστου κόστους Στο παρακάτω δίκτυο το κόστος ροής μιας μονάδας στον αγωγό που συνδέει τους κόμβους i και j συμβολίζεται με c i j. Εστω επίσης b i j η χωρητικότητα του αγωγού που συνδέει τους κόμβους i και j δηλαδή η μέγιστη ροή που μπορεί να διοχετευθεί από τον αγωγό αυτό. Οι ποσότητες αυτές ϑεωρούνται δεδομένες. Εστω f μια δεδομένη ποσότητα ροής που εισέρχεται στον κόμβο 1 και εξέρχεται από τον κόμβο 5. Να διατυπώσετε το πρόβλημα της ροής ελαχίστου κόστους για το δίκτυο που εικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. Εστω x i j η ροή από τον κόμβο i στον κόμβο j και f η εισερχόμενη ροή στον κόμβο 1 που εξέρχεται
Σχήμα 6: Δίκτυο και ροή ελαχίστου κόστους από τον κόμβο 5. Η ροή ελαχίστου κόστους δίδεται από την λύση του γραμμικού προγράμματος min c 12 x 12 + c 13 x 13 + c 14 x 14 + c 23 x 23 + c 25 x 25 + c 34 x 34 + c 35 x 35 + c 45 x 45 f x 12 x 13 x 14 = 0 x 12 x 23 x 25 = 0 x 13 + x 23 x 34 x 35 = 0 x 14 + x 34 x 45 = 0 x 25 + x 35 + x 45 = 0 0 x i j b i j. Οι παραπάνω εξισώσεις περιγράφουν την διατήρηση της ροής σε κάθε κόμβο ϑεωρώντας κάθε εισερχόμενη ροή στον κόμβο ως ϑετική και κάθε εξερχόμενη ως αρνητική.