Η ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΕΤΩΝ

Κατανόηση Πιθανοτήτων Η ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΛΙΚΙΑΣ 11-12 ΕΤΩΝ Μαρία Αναστασίου, Ζωή Καουρή, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο βασικός σκοπός της παρούσας ερευνητικής εργασίας ήταν η διερεύνηση των ιδεών (ακριβείς ή λανθασµένες) που οι µαθητές ηλικίας 11-12 ετών, είναι δυνατόν να έχουν αποκτήσει σε σχέση µε ορισµένες πιθανολογικές καταστάσεις, χωρίς να έχουν αρχίσει να µελετούν τις πιθανότητες στην τάξη. Το δείγµα της έρευνας αποτέλεσαν συνολικά διακόσιοι µαθητές Ε και Στ τάξης, οι οποίοι κλήθηκαν να συµπληρώσουν ένα δοκίµιο. Το δοκίµιο περιλάµβανε έργα µε πιθανολογικές καταστάσεις απόφασης «a posteriori», τα οποία επιλέγηκαν από µια πλειάδα έργων που χρησιµοποίησε ο Alarcon (1982) σε παρόµοια έρευνα που διεξήγαγε στα πλαίσια της διδακτορικής του διατριβής. Τα αποτελέσµατα της έρευνας έδειξαν ότι επικρατεί µια σύγχυση στο µυαλό των µαθητών σχετικά µε την έννοια των πιθανοτήτων, αφού οι περισσότεροι δίνουν «συµβιβαστικές» απαντήσεις και µόνο µερικοί από αυτούς είναι ικανοί να αποφασίζουν λογικά, υιοθετώντας «πιθανολογικές» συµπεριφορές. Φάνηκε ακόµα ότι το είδος του έργου επηρεάζει την επίδοση των µαθητών κι εποµένως µόνο η γνώση υπολογισµού κλασµάτων δεν είναι αρκετή για να κατανοηθεί ο στοιχειώδης υπολογισµός πιθανοτήτων. 1. Θεωρητικό πλαίσιο Η σχετική βιβλιογραφική αναδίφηση καταδεικνύει ότι η επεξεργασία της έννοιας της πιθανότητας είναι πολύ πιο λεπτή από ό,τι φαντάζονται αυτοί που έχουν ήδη αφοµοιώσει τις βασικές έννοιες. Η ανθρωπότητα συνάντησε µεγάλη δυσκολία στο να «δαµάσει» τα φαινόµενα της τύχης και να δώσει τέλος στα «προδικασµένα µαγικά», µε τα οποία σχετίζονται οι πιθανότητες. Η επιστήµη των πιθανοτήτων υπήρξε για πολύ καιρό τοµέας παράδοξων και λανθασµένων συµπερασµάτων (Γαγάτσης, 1987γ). Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η διερεύνηση των ιδεών (ακριβείς ή λανθασµένες) που οι µαθητές ηλικίας 11-12 ετών, είναι δυνατόν να έχουν αποκτήσει σε σχέση µε ορισµένες πιθανολογικές καταστάσεις, χωρίς να έχουν αρχίσει να µελετούν τις πιθανότητες στην τάξη. Το θέµα αυτό αφορά τόσο το διδάσκοντα, όσο και τον ερευνητή της διδακτικής. Βέβαια, στην αρχή της διδασκαλίας αυτού του θέµατος τα παιδιά δεν είναι «άγραφοι πίνακες», αφού από νωρίς έχουν εξοικειωθεί µε καταστάσεις όπως είναι: τα στοιχήµατα, οι τυχαίες δειγµατοληψίες, η λήψη αποφάσεων κάτω από αβέβαιες συνθήκες ή µη. Οι µαθητές δηλαδή, επηρεάζονται από τις εµπειρίες και το κοινωνικό τους πλαίσιο 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 233

Μ. Αναστασίου κ.á. (Harris, 1989). Εποµένως, ο εκπαιδευτικός δεν µπορεί να θεµελιώσει µια αποτελεσµατική παιδαγωγική µέθοδο, αν δεν γνωρίζει τις αντιλήψεις των µαθητών τις οποίες θα προσπαθήσει να καταπολεµήσει ή να ενθαρρύνει. Από αυτή την άποψη, η έρευνα αυτή είναι σύµφωνη µε τον πρώτο στόχο των ερευνών στη ιδακτική των Μαθηµατικών, που είναι κατά τη Laborde (αναφορά στο Γαγάτσης, 1987β), ο καθορισµός των αντιλήψεων που σχετίζονται µε µια έννοια και ο προσδιορισµός των συνθηκών και των µέσων της πιθανής ανάπτυξης αυτών των «αντιλήψεων». Κατά δεύτερο λόγο αφορά τον ερευνητή, γιατί η διερεύνηση του θέµατος πραγµατοποιείται µε τη χρήση µιας παραδειγµατικής πειραµατικής µεθοδολογίας, που υποδεικνύει ο µεξικάνος ερευνητής Alarcon (1982) στο διδακτορικό του µε θέµα τη διερεύνηση των πιθανολογικών καταστάσεων σε µαθητές ηλικίας 12-14 ετών. Συγκεκριµένα, αποφεύγεται η διατύπωση συµπερασµάτων που δεν προκύπτουν από «εδραιωµένα γεγονότα», προβλέπονται οι λογικές αντιρρήσεις που θα µπορούσαν να υπάρξουν και λαµβάνονται, εκ των προτέρων, οι πειραµατικές προφυλάξεις που επιτρέπουν την ανατροπή αυτών των αντιρρήσεων. Για αυτούς τους λόγους, η έρευνα αυτή είναι σύµφωνη µε τις αρχές της Πειραµατικής ιδακτικής των Μαθηµατικών (βλ. Γαγάτσης, 1987α) καθώς επίσης και µε τους στόχους και τις µεθόδους που αναφέρει η Laborde (1992). Η διδασκαλία και η εκµάθηση των βασικών πιθανολογικών εννοιών αποτελεί ένα σηµαντικό στοιχείο του αναλυτικού προγράµµατος (ιδιαίτερα στο γυµνάσιο): πολλοί ερευνητές έχουν επικεντρωθεί στην εκµάθηση των πιθανολογικών εννοιών, σε διάφορα σχολικά επίπεδα (Bagni & Cecchini, 2001). Σύµφωνα µε τον Alarcon (1982), δύο καταστάσεις µπορούµε να ερευνήσουµε σε σχέση µε την έννοια της πιθανότητας: την πρόβλεψη «á priori» και την απόφαση «á postériori». Η πρόβλέψη «á priori» αναφέρεται στην επιλογή ανάµεσα σε δύο σάκους που περιέχουν άσπρες και µαύρες σφαίρες, αυτού από τον οποίο είναι πιο πιθανό να τραβήξουµε µια σφαίρα ενός ορισµένου χρώµατος. Οι συνθέσεις των δύο σάκων είναι γνωστές. Η απόφαση «á postériori» αναφέρεται στην εύρεση ανάµεσα σε δύο σάκους που περιέχουν άσπρες και µαύρες σφαίρες, αυτού από τον οποίο έγιναν µια ή περισσότερες δειγµατοληψίες. Όσον αφορά στις έρευνες που έγιναν σε καταστάσεις πρόβλεψης, δείχνουν ότι τα παιδιά ακόµη και τα νέα (πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου), κάνουν ακριβείς προβλέψεις, τουλάχιστον για απλές καταστάσεις από την άποψη αριθµητικής επεξεργασίας (Piaget & Inhelder, 1975: Fischbein, 1975: Falk, 1980). Ειδικότερα για τους Piaget & Inhelder (1975), οι θεµελιώδεις έννοιες της πιθανότητας και η προσέγγιση του συλλογισµού πάνω στο δυνατό, αποτελούν µέρος µιας πιο πλατιάς λειτουργικής δοµής. Σύµφωνα µε τις θεωρίες του Piaget, οι τυπικές διεργασίες αποκαθίστανται γύρω στα 11-12 χρόνια. Οι µελέτες του Piaget πάνω στην ικανότητα των παιδιών να προσεγγίσουν το µαθηµατικό υπολογισµό των πιθανοτήτων, περιορίζονται κυρίως σε δύο απόψεις που φαίνονται αναγκαίες για αυτόν τον υπολογισµό. Η πρώτη άποψη αναφέρεται στην προσέγγιση στις πράξεις «συνδυαστικού τύπου» (συνδυασµοί, µεταθέσεις και διατάξεις) 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 234

Κατανόηση Πιθανοτήτων και η δεύτερη στην προσέγγιση της έννοιας του λόγου σε ένα «πιθανολογικό περιεχόµενο» ή µε άλλα λόγια στις αντιδράσεις των παιδιών µπροστά σε µια κατάσταση πρόβλεψης «á priori». Άλλοι συγγραφείς προτείνουν διαφορετικές ερµηνείες από αυτή του Piaget. Ο Fischbein (1975) αναφέρει ότι παιδιά ηλικίας 3-4 ετών µπορούν να κατανοήσουν ορθά πιθανολογικές έννοιες και ότι διαισθητικά αναπτύσσουν ιδέες για τις πιθανότητες. Ωστόσο, οι Carfield & Ahlgen (1988) υποστηρίζουν ότι οι διαισθητικές αυτές ιδέες είναι δυνατό να προκαλέσουν δυσκολίες στους µαθητές. Σχετικά όµως µε το θέµα αυτό, ο Fischbein (1975) βρίσκει απαντήσεις µαθητών που δείχνουν την ύπαρξη σωστών «πιθανολογικών διαισθήσεων». Συγκεκριµένα αναφέρει ότι γύρω στα 11-12 χρόνια, µερικά παιδιά αρχίζουν να δίνουν µια σωστή απάντηση σε πιο δύσκολες καταστάσεις, όπως αυτές που τα περιεχόµενα των σάκων είναι ισοδύναµα αλλά όχι ίσα. Πράγµατι από µια «πιθανολογική άποψη», όταν υπάρχει µια ακριβής πρόβλεψη σε καταστάσεις που παρεµβαίνουν «δύσκολοι λόγοι», αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει «γνώση» της πιθανότητας και όχι µόνο µια αριθµητική ικανότητα υπολογισµού λόγων. Η Way (2003) ορίζει τρία στάδια στην ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης ως εξής: Α. Μη πιθανοθεωρητική σκέψη (4-8 ετών), όπου παρατηρείται ελάχιστη κατανόηση του τυχαίου, ανικανότητα σειροθέτησης γεγονότων µε βάση το ποσοστό πιθανότητας τους και εξάρτηση από την οπτική σύγκριση. Β. Αναδυόµενη πιθανοθεωρητική σκέψη (7-12 ετών), όπου παρατηρείται αναγνώριση του δειγµατικού χώρου, σειροθέτηση του ποσοστού πιθανότητας µέσα από την οπτική σύγκριση, αλλά και υπολογισµούς, χρήση στρατηγικών πρόσθεσης και αφαίρεσης στις συγκρίσεις και αναγνώριση της ισοπιθανότητας και του αδύνατου γεγονότος. Γ. Ποσοτικοποίηση πιθανοτήτων (9-13 ετών), όπου παρατηρούνται αριθµηµένες συγκρίσεις, η ικανότητα διπλασιασµού και µοιράσµατος, η αναλογική σκέψη και η ποσοτικοποίηση της ύπαρξης πιθανοτήτων. Οι Jones et al. (1997) αναφέρονται σε τέσσερα στάδια ανάπτυξης της πιθανολογικής σκέψης σχετικά µε το δειγµατικό χώρο, τα οποία παρουσιάζονται να εξελίσσονται γραµµικά και αναφέρονται σε λειτουργίες που δεν µπορούν να αναπτυχθούν σε κάθε στάδιο. Τα στάδια αυτά είναι το υποκειµενικό, το µεταβατικό, το ποσοτικό και το αριθµητικό. Αξιοσηµείωτες είναι ακόµη οι έρευνες των Bagni & Cecchini (2001) και του Wilensky (1997), οι οποίες καταδεικνύουν ότι µια βασική εισαγωγή των µαθητών στην έννοια των πιθανοτήτων σε κατάλληλο µαθησιακό περιβάλλον, βοηθά τους µαθητές να ξεπεράσουν παρανοήσεις και εµπόδια που ενδεχοµένως να έχουν στη σκέψη τους σχετικά µε την προσέγγιση των πιθανολογικών καταστάσεων. Συνοψίζοντας τα πιο πάνω, εντοπίζει κανείς ένα χάσµα όσον αφορά στην έννοια των πιθανοτήτων µεταξύ των διαισθήσεων, της άτυπης γνώσης από την καθηµερινή εµπειρία και της επίσηµης γνώσης της έννοιας µέσα από τη διδασκαλία. Στη συνέχεια του άρθρου αυτού, θα γίνει µια προσπάθεια να διερευνηθεί η άτυπη γνώση της έννοιας των πιθανοτήτων σε µαθητές ηλικίας 11-12 ετών. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 235

Μ. Αναστασίου κ.á. 2. Μεθοδολογία 2.1. Σκοπός της έρευνας Ο σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η διερεύνηση των ιδεών (ακριβείς ή λανθασµένες) που οι µαθητές ηλικίας 11-12 ετών, είναι δυνατόν να έχουν αποκτήσει σε σχέση µε ορισµένες πιθανολογικές καταστάσεις, χωρίς να έχουν αρχίσει να µελετούν τις πιθανότητες στην τάξη. Ειδικότερα, επιµέρους ερευνητικοί στόχοι της έρευνας είναι οι ακόλουθοι: 1. Το είδος του έργου επηρεάζει την επίδοση των µαθητών; Σε ποιο από τα τρία είδη ερωτήσεων οι µαθητές είχαν καλύτερα αποτελέσµατα; Ποια από τα έργα ήταν ευκολότερα και ποια δυσκολότερα για τους µαθητές; 2. Η γνώση υπολογισµού κλασµάτων είναι αρκετή για να κατανοηθεί ο στοιχειώδης υπολογισµός πιθανοτήτων; 3. Ισχύει το «φαινόµενο της αβεβαιότητας» που εντοπίζει ο Alarcon (1982), στα έργα ισοδυναµίας του Β µέρους; 4. Υπάρχουν σηµαντικές διαφορές ανάµεσα στις δύο ηλικιακές οµάδες µαθητών (Ε και Στ τάξης); Επέρχεται ωρίµανση στην ιδέες των µαθητών για τις πιθανολογικές καταστάσεις µε την αύξηση της ηλικίας τους; 2.2. Μέσα συλλογής δεδοµένων είγµα Η παρούσα έρευνα έγινε σε παιδιά ηλικίας 11-12 ετών, µε στόχο να εκτιµηθεί η ισχύς της πιθανολογικής κρίσης τους, σύµφωνα µε τις αντιδράσεις τους σ ένα δοκίµιο. Για τη διερεύνηση των πιο πάνω στόχων σχεδιάστηκε ένα δοκίµιο, στο οποίο περιλαµβάνονται έργα µε πιθανολογικές καταστάσεις απόφασης «á postériori», που είναι καταλληλότερα σε σχέση µε τις καταστάσεις πρόβλεψης «á priori», αφού επιτρέπουν την παρατήρηση του καθολικού χώρου πάνω στον οποίο συγκεντρώνεται ο συλλογισµός των µαθητών. Σύµφωνα µε τον Alarcon (1982), µέσα από αυτά µπορεί κανείς να εντοπίσει αν το παιδί είναι ικανό να επιλέξει τον κατάλληλο δειγµατοχώρο, που είναι το πρώτο βήµα του πιθανολογικού συλλογισµού (υπάρχει ο δειγµατοχώρος των δύο σάκων, που είναι οι δυνατές επιλογές και ο δειγµατοχώρος των σφαιρών, που είναι τα δυνατά γεγονότα). Τα έργα επιλέγηκαν από µια πλειάδα έργων που χρησιµοποίησε ο Alarcon (1982) σε παρόµοια έρευνα που διεξήγαγε στα πλαίσια της διδακτορικής του διατριβής. Για να αυξηθεί η αβεβαιότητα της κατάστασης, η σύνθεση του ενός από τους δύο σάκους δεν δόθηκε σε ορισµένα έργα (Β2 και Γ3). Για σκοπούς ελέγχου της καταλληλότητας των έργων καθώς και της πρακτικότητας του δοκιµίου, διενεργήθηκε πιλοτική έρευνα σε µια Ε και µια Στ τάξη. Το δοκίµιο περιλάµβανε συνολικά δέκα έργα και χωριζόταν σε τρία µέρη. Το πρώτο µέρος περιλάµβανε τρεις ερωτήσεις εµπνευσµένες από το πολύ καλό τεστ της Noelting «χυµός πορτοκαλιού». Στα έργα αυτού του τύπου δίνονται δύο κανάτες που περιέχουν ένα ορισµένο αριθµό ποτηριών νερού και χυµού πορτοκαλιού και ζητιέται από τους µαθητές η κανάτα που θα περιέχει το µίγµα µε την πιο έντονη γεύση πορτοκαλιού. Τα έργα αυτά αποσκοπούν στον έλεγχο της διαπίστωσης πολλών ερευνητών ότι για την εκµάθηση των πιθανοτήτων προαπαιτείται καλή γνώση υπολογισµού των κλασµάτων και 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 236

Κατανόηση Πιθανοτήτων βεβαιώνεται συχνά ότι αυτή είναι η µόνη προαπαιτούµενη γνώση. Αυτό θα διαφανεί µέσα από τη σύγκριση διαφορετικών ειδών προβληµάτων ίδιας δυσκολίας. Ο Alarcon (1982) έχει βρει ότι το πείραµα της Noelting είναι σχεδόν καθολικά πετυχηµένο, σε αντίθεση µε την µεγάλη αποτυχία που παρουσιάζεται στις εξετάσεις της τυχαίας λήψης. Αυτό οδηγεί σε µια πειστική πειραµατική απόρριψη της πεποίθησης ότι µόνο η γνώση υπολογισµού κλασµάτων αρκεί, για να κατανοηθεί ο στοιχειώδης υπολογισµός πιθανοτήτων. Το δεύτερο µέρος περιελάµβανε τέσσερα έργα απόφασης «á posteriori», δηλαδή δίνονται δύο σάκοι µε άσπρες και µαύρες σφαίρες και το αποτέλεσµα µιας δειγµατοληψίας. Τα παιδιά πρέπει να αποφασίσουν από ποιο σάκο πήραµε τη σφαίρα. Τα έργα της ισοδυναµίας του Β µέρους (Β3 και Β4) τέθηκαν για να γίνει έλεγχος της ισχύς του «φαινοµένου της αβεβαιότητας». Σύµφωνα µε αυτό το φαινόµενο, µια µικρή τροποποίηση στην εκφώνηση των ερωτήσεων είναι δυνατό να κλονίσει την απόφαση των µαθητών για µια πιθανολογική κατάσταση. Στα δύο αυτά έργα, είναι φανερό ότι είναι άσκοπο να γνωρίζει κανείς το αποτέλεσµα της λήψης, αφού οι σάκοι είναι ισοδύναµοι και κατά συνέπεια δεν υπάρχει κανένας λόγος να προτιµηθεί ο ένας από τους δύο σάκους. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 237

Μ. Αναστασίου κ.á. Το τρίτο µέρος αποτελείτο από τρία έργα στα οποία δίνονται δύο σάκοι µε άσπρες και µαύρες σφαίρες και το αποτέλεσµα µιας δειγµατοληψίας και ορισµένες προτάσεις που οι µαθητές κλήθηκαν να χαρακτηρίσουν ως αληθείς ή ψευδείς. Σκοπός του δοκιµίου ήταν να διερευνήσει τα προαναφερθέντα ερευνητικά ερωτήµατα. Το δείγµα της έρευνας αποτέλεσαν 200 παιδιά Ε και Στ τάξης, τριών ηµοτικών Σχολείων της Λεµεσού και ενός της Αµµοχώστου. Απ αυτά τα 102 ήταν παιδιά της Ε τάξης ηµοτικού Σχολείου και τα 92 παιδιά της Στ τάξης ηµοτικού Σχολείου. Για την ανάλυση των δεδοµένων χρησιµοποιήθηκε το πρόγραµµα CHIC (Bodin, Coutourier, & Gras, 2000) και το στατιστικό πακέτο SPSS. Για τη βαθµολόγηση του δοκιµίου χρησιµοποιήθηκαν οι τιµές 0 και 1. Κάθε ορθή απάντηση βαθµολογήθηκε µε 1, ενώ κάθε λανθασµένη απάντηση ή απουσία απάντησης βαθµολογήθηκε µε 0. 2.3. Μεταβλητές Js: Απλό έργο χυµού πορτοκαλιού (Α1). Jd: Σύνθετο έργο χυµού πορτοκαλιού (Α2). Je: Έργο ισοδυναµίας χυµού πορτοκαλιού (Α3). Bs: Απλό έργο απόφασης «á postériori» µε σάκους (Β1). Bd: Σύνθετο έργο απόφασης «á postériori» µε σάκους - σάκος µε άγνωστο περιεχόµενο (Β2). Bes: Απλό έργο απόφασης«á postériori» µε ισοδυναµία (Β3). 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 236

Κατανόηση Πιθανοτήτων Bed: Σύνθετο έργο απόφασης «á postériori» µε ισοδυναµία (Β4). Bs1: Έργο απόφασης «á postériori» απλό µε προτάσεις αληθείς ή ψευδείς (Γ1). Be1: Έργο απόφασης «á postériori» ισοδυναµίας µε προτάσεις αληθείς ή ψευδείς (Γ2). Bd1: Έργο απόφασης «á postériori» σύνθετο µε προτάσεις αληθείς ή ψευδείς - σάκος µε άγνωστο περιεχόµενο (Γ3). 3. Αποτελέσµατα 3.1. Αποτελέσµατα περιγραφικής και επαγωγικής στατιστικής ανάλυσης Στον πίνακα 1 που ακολουθεί επιχειρείται µια σύγκριση των ποσοστών επιτυχίας και στα τρία µέρη του δοκιµίου ανάµεσα στα παιδιά της Ε και Στ τάξης, καθώς επίσης και σύγκριση διαφορετικών ειδών προβληµάτων ίδιας δυσκολίας. Η µελέτη των ποσοστών επιτυχίας των µαθητών στα προβλήµατα και των τριών µερών του δοκιµίου επιβεβαιώνει ότι το είδος του προβλήµατος επηρεάζει την επίδοση των µαθητών. Οι µαθητές είχαν σαφώς υψηλότερη επίδοση στα προβλήµατα του τεστ της Noelting «χυµός πορτοκαλιού», τα οποία συνέθεταν το πρώτο µέρος του δοκιµίου, παρά στα προβλήµατα απόφασης του δεύτερου και τρίτου µέρους. Όπως παρατηρούµε στο πίνακα 1, η επιτυχία στην κατηγορία των έργων απόφασης του δεύτερου µέρους είναι περιορισµένη αφού µόνο 9 παιδιά Ε τάξης δηλαδή το 8,3% του δείγµατος και µόνο 6 παιδιά της Στ τάξης δηλαδή το 6,5% του δείγµατος κατάφεραν να απαντήσουν ορθά στα έργα. Τα ποσοστά επιτυχίας περιορίζονται ακόµη περισσότερο στα έργα του τρίτου µέρους. Χαρακτηριστικό είναι το πολύ χαµηλό ποσοστό επιτυχίας του 0,9% στην Ε τάξη, το οποίο εκπροσωπεί το µοναδικό παιδί που κατάφερε να απαντήσει ορθά και στα τρία έργα του τρίτου µέρους. Το ποσοστό επιτυχίας του 4,3 % που αφορά την Στ τάξη είναι εξίσου χαµηλό. Πίνακας 1: Κατανοµή των συχνοτήτων και ποσοστών επιτυχίας στο σύνολο των προβληµάτων Ε τάξη n = 108 Α µέρος 38 (35,2%) Β µέρος 9 (8,3%) Γ µέρος 1 (0,9%) Στ τάξη n = 92 39 (42,4%) 6 (6,5%) 4 (4,3%) Έργα οκιµίου Ε τάξη n = 108 Στ τάξη n = 92 Α1-Απλό 108 (100%) 91(98,9%) Α2-Σύνθετο 48 (44,4%) 47 (51,1%) Α3-Ισοδυναµίας 67 (62%) 70 (76,9%) Β1-Απλό 57 (52,8%) 42(45,7%) Β2-Σύνθετο 44 (40,7%) 27 (29,3%) Β3-Ισοδυναµίας απλό 53 (49,1%) 45 (48,9%) Β4-ισοδυναµίας 40 (37%) 33 (35,9%) σύνθετο Γ1-Απλό 17 (15,7%) 13 (14,1%) Γ2-Ισοδυναµίας 20 (18,5%) 20 (21,7%) Γ3-Σύνθετο 20 (18,5%) 11 (12%) 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 237

Μ. Αναστασίου κ.á. Επίσης, ο Μέσος Όρος Επιτυχίας (Μ.Ο.Ε) των µαθητών συνολικά στα έργα πρώτου µέρους είναι 0,72 (SD=0,26) γεγονός που επισηµαίνει ότι οι µαθητές αντιµετώπισαν µε µεγαλύτερη επιτυχία τα έργα αυτά. Αντίθετα, ο Μ.Ο.Ε στο δεύτερο και τρίτο µέρος ήταν 0,42 (SD=0,30) και 0,17 (SD=0,25) αντίστοιχα. Οι διαφορές ανάµεσα στους Μ.Ο.Ε είναι στατιστικά σηµαντικές γιατί το p=0,00 (<0,05) σε όλες τις συγκρίσεις. Συγκρίνοντας την επιτυχία που είχαν οι µαθητές στο δεύτερο και τρίτο µέρος, διαφαίνεται ότι η επίδοση τους στα έργα του δεύτερου µέρους είναι µεγαλύτερη. Παρόλο που τα προβλήµατα των δύο αυτών µερών είχαν την ίδια εκφώνηση, είχαν διαφορετικό τρόπο επιλογής της ορθής απάντησης, γεγονός που φαίνεται να δυσκόλεψε τους µαθητές. Ειδικότερα, οι µαθητές έπρεπε στα έργα Γ µέρους να εντοπίσουν τις λεπτές διαφορές που υπήρχαν ανάµεσα στις πέντε δοσµένες δηλώσεις πριν τις χαρακτηρίσουν ως ψευδείς ή αληθείς. Από τη µελέτη του πίνακα 1 εξάγεται το συµπέρασµα ότι στα προβλήµατα Α1, Β1 και Γ1 τα οποία έχουν χαρακτηριστεί ως απλά οι µαθητές της Ε τάξης παρουσιάζουν τα υψηλότερα ποσοστά επιτυχίας, µε εξαίρεση το Γ1 για το λόγο που έχει προαναφερθεί. Αντίθετα, οι µαθητές της Στ τάξης στην οµάδα των απλών έργων µόνο στο έργο Α1 έχουν την καλύτερη επίδοση και την υψηλότερη επίδοση στα έργα ισοδυναµίας (Α3, Β3, Β4 και Γ2) που αποτελούν µια δεύτερη οµάδα έργων ίδιας δυσκολίας. Η οµάδα σύνθετων έργων (Α2, Β2, Γ3) ήταν αυτή που δυσκόλεψε περισσότερο τόσο την Ε τάξη όσο και την Στ τάξη, αφού παρουσιάζει τα χαµηλότερα ποσοστά επιτυχίας. Τα έργα Β2 και Γ3 είναι σύνθετα έργα απόφασης, στα οποία ο ένας σάκος δηλώνεται «αγνώστου περιεχοµένου». Το γεγονός αυτό ανεβάζει το έργο στην κλίµακα δυσκολίας οδηγώντας τους µαθητές σε χαµηλά ποσοστά επιτυχίας. Στα έργα Α1 και Γ1 παρατηρείται η ίδια αναλογία κλασµάτων, εντούτοις η µαθητές θεωρούν ως πιο εύκολο το Α1 αφού παρουσιάζουν υψηλότερο ποσοστό επιτυχίας. Αυτό οφείλεται στο ότι οι µαθητές στο Α1 επικεντρώνονται στο κλάσµα γιατί δεν έχουν επιπλέον πληροφορίες να επεξεργαστούν, σε αντίθεση µε το έργο Γ1 όπου ο µαθητής πρέπει να επιλέξει τον κατάλληλο δειγµατοχώρο και να συνυπολογίσει αρκετές πληροφορίες πριν καταλήξει σε συµπέρασµα. Αυτό µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η επιτυχία στο Γ1 απαιτεί «γνώση» της πιθανότητας και όχι απλά αριθµητική ικανότητα υπολογισµού λόγων όπως στο έργο Α1. Γενικότερα τα δυσκολότερα έργα του δοκιµίου εντοπίζονται στο Γ µέρος (Γ1, Γ2, Γ3). ύσκολό έργο σύµφωνα πάντα µε τα χαµηλά ποσοστά επιτυχίας µπορεί να θεωρηθεί και το Β4 το οποίο είναι έργο ισοδυναµίας. Τα ευκολότερα έργα του δοκιµίου εντοπίζονται στο πρώτο µέρος και είναι το Α1 και Α3. Ο πίνακας 2 δίνει τους µέσους όρους, τις τυπικές αποκλίσεις των µαθητών Ε και Στ τάξης στα έργα του Α, Β και Γ µέρους και τις τιµές που προέκυψαν από το κριτήριο t και τα αντίστοιχα επίπεδα σηµαντικότητας. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 238

Κατανόηση Πιθανοτήτων Πίνακας 2: Σύγκριση Μ.Ο της επίδοσης στα έργα σύµφωνα µε την ηλικία p<0, 05 Α µέρος Β µέρος Γ µέρος Ηλικία SD t p x Ε τάξη 0,68 0,27 Στ τάξη 0,75 0,23 Ε τάξη 0,45 0,30 Στ τάξη 0,40 0,29 Ε τάξη 0,18 0,24 Στ τάξη 0,16 0,26-1,861 0,064 1,169 0,244 0,460 0,646 Όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε στον πίνακα 2, ο µέσος όρος επιτυχίας στα έργα του πρώτου µέρους, των παιδιών της Στ τάξης είναι 0,75 και των παιδιών της Ε τάξης είναι 0,68, άρα τα παιδιά της Στ τάξης έχουν υψηλότερο µέσο όρο από τα παιδιά της Ε τάξης. Η διαφορά αυτή που υπάρχει ανάµεσα στους µέσους όρους επιτυχίας στα έργα Α µέρους, δεν κρίνεται ως στατιστικά σηµαντική γιατί το επίπεδο σηµαντικότητας είναι µεγαλύτερο του 0,05. Στα έργα του Β µέρους και Γ µέρους, η Ε τάξη παρουσιάζει µεγαλύτερο Μ.Ο από την Στ τάξη γεγονός που συνεπάγεται καλύτερη επίδοση εκ µέρους των παιδιών της Ε τάξης στα έργα αυτά. Η διαφορά αυτή δεν είναι στατιστικά σηµαντική (p=0,244>0,05 και p=0,646>0,05 αντίστοιχα). Έγινε ακόµα µια προσπάθεια συσχέτισης των έργων Β3 και Β4 µέσω της διαδικασίας crosstabs, µε σκοπό τη διερεύνηση του ερωτήµατος που αφορά την ισχύ του «Φαινοµένου της Αβεβαιότητας». Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα που απορρέουν από αυτή στο Β3 έδωσαν λανθασµένη απάντηση 102 (51%) µαθητές και 98 (49%) µαθητές ορθή απάντηση. Στο Β4 απάντησαν λανθασµένα 127 (63,5%) µαθητές και ορθά 73 (36,5%) µαθητές. Από αυτό το αποτέλεσµα φαίνεται καθαρά ότι τα παιδιά είχαν µεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας και µικρότερα ποσοστά λάθους στο έργο Β3 πάρα στο έργο Β4 παρόλο που οι σάκοι σ αυτά τα δύο έργα είναι ισοδύναµοι και δεν έχει σηµασία το αποτέλεσµα της λήψης. Έτσι επιβεβαιώνεται µε αυτό το «Φαινόµενο της Αβεβαιότητας». Σύµφωνα µε το Chi-Square test τα δύο έργα Β3 και Β4 συσχετίζονται µεταξύ τους, γιατί ο Pearson Chi-Square = 38,908 και το αντίστοιχο επίπεδο σηµαντικότητας p=0,000 (<0,01). Για να δούµε αν είναι θετική ή αρνητική η συσχέτιση µεταξύ των δύο µεταβλητών υπολογίζουµε τον δείκτη Gramer s V. Η στατιστική Cramer s V = 0,441 και επίπεδο σηµαντικότητας p=0,000 < 0,01, δίνει την πληροφορία ότι υπάρχει στατιστικά σηµαντική σχέση µεταξύ των δύο κατηγοριακών µεταβλητών Β3 και Β4. Ο δείκτης Phi=0,441 µας δίνει την φορά της σχέσης, η οποία είναι θετική. Έτσι καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι οι µαθητές οι οποίοι επιτυγχάνουν στο έργο Β3 έχουν µεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας στο έργο Β4 σε αντίθεση µε τους µαθητές που δεν επιτυγχάνουν στο Β3. 3.2. ενδροδιάγραµµα Οµοιότητας Στο ενδροδιάγραµµα Οµοιότητας παρουσιάζονται οι οµαδοποιήσεις των µεταβλητών µε βάση τη συµπεριφορά των υποκειµένων στα διάφορα έργα της έρευνας. Οι οµοιότητες µε έντονο µαύρο χρώµα είναι σηµαντικές σε επίπεδο σηµαντικότητας 99%. Στο διάγραµµα αυτό διακρίνονται δύο κύριες ανεξάρτητες οµάδες οµοιότητας. Η πρώτη οµάδα οµοιότητας χωρίζεται σε δύο υποοµάδες. Η πρώτη υποοµάδα αποτελείται 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 239

Μ. Αναστασίου κ.á. από τις µεταβλητές Js, Bd και Bs1 που αποτελούν το απλό πρόβληµα «χυµού πορτοκαλιού», το σύνθετο πρόβληµα σάκων και το απλό πρόβληµα σάκων του τρίτου µέρους και η δεύτερη υποοµάδα αποτελείται από τις µεταβλητές Bs και Bd1, δηλαδή περιλαµβάνει το απλό πρόβληµα σάκων του δεύτερου µέρους και το δύσκολο πρόβληµα του τρίτου µέρους. Οι δύο αυτές υποοµάδες δεν συνδέονται µε ισχυρό δεσµό οµοιότητας. Js Bd Bs1 Bs Bd1 Jd Je Bes Bed Be1 ιάγραµµα 1: ενδροδιάγραµµα Οµοιότητας Η δεύτερη οµάδα οµοιότητας χωρίζεται επίσης σε δύο υποοµάδες. Η πρώτη υποοµάδα η οποία παρουσιάζει και τη πιο έντονη οµοιότητα είναι µεταξύ των µεταβλητών Jd και Je. Τα έργα αυτά εντάσσονται στο πρώτο µέρος του δοκιµίου και είναι το σύνθετο έργο «χυµού πορτοκαλιού» και το έργο «χυµού πορτοκαλιού» µε ισοδυναµία. Τα έργα αυτά είναι ίδιας δοµής, γι αυτό και έτυχαν ίδιου τρόπου αντιµετώπισης από τους µαθητές. Αυτό σηµαίνει ότι οι µαθητές συµπεριφέρονται µε όµοιο τρόπο σ αυτά τα έργα, παρουσιάζοντας επαρκή γνώση υπολογισµού του κλάσµατος που αποτελεί την κύρια πηγή προσέγγισης έργων αυτού του τύπου. Η δεύτερη υποοµάδα, η οποία παρουσιάζει και αυτή ισχυρό δεσµό σηµαντικότητας αποτελείται από τις µεταβλητές Bes, Bed και Be1. Οι τρεις αυτές µεταβλητές αντιπροσωπεύουν τα έργα απόφασης µε ισοδυναµία του δευτέρου και τρίτου µέρους και όπως αναµενόταν οµαδοποιήθηκαν µαζί, αφού επιδέχονται όµοια προσέγγιση από τα παιδιά και απαιτούν ίδιο υπόβαθρο γνώσης για να απαντηθούν. 3.3. Γενικό Συνεπαγωγικό ιάγραµµα Το Γενικό Συνεπαγωγικό ιάγραµµα περιλαµβάνει τις συνεπαγωγικές σχέσεις µεταξύ των µεταβλητών µε βάση την συµπεριφορά των υποκειµένων στα έργα του δοκιµίου. Οι συνεπαγωγές µε έντονο µαύρο χρώµα είναι στατιστικά σηµαντικές σε επίπεδο σηµαντικότητας 99%. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 240

Κατανόηση Πιθανοτήτων Bd Bed Jd Bes Je Bd1 Be1 Bs ιάγραµµα 2: Γενικό Συνεπαγωγικό ιάγραµµα Από το συνεπαγωγικό διάγραµµα προκύπτει ότι οι δύο κυρίαρχες µεταβλητές είναι οι Bd και η Bed. Οι δυνατές αυτές µεταβλητές δε συνδέονται µε συνεπαγωγή, δηλαδή η επιτυχία σε µια από αυτές δεν συνεπάγεται επιτυχία στην άλλη. Οι µεταβλητές αυτές είναι κεντρικές µεταβλητές στο συνεπαγωγικό διάγραµµα αφού η επιτυχία σε οποιαδήποτε από αυτές συνεπάγεται επιτυχία σε διάφορές άλλες. Έτσι όσοι µαθητές πετυχαίνουν την Bd πετυχαίνουν και τη Jd και τη Je, ενώ όσοι πετυχαίνουν στην Bed, δηλαδή το δύσκολο πρόβληµα ισοδυναµίας πετυχαίνουν κατ επέκταση σ όλα τα έργα του δοκιµίου (µε εξαίρεση την Jd και την Bd). Αυτό είναι αναµενόµενο, αφού η δυσκολία του Bed φαίνεται και στα ποσοστά επιτυχίας του στο πίνακα 1. Η διαδικασία προσέγγισης του έργου Bed απαιτεί από το µαθητή α. γνώση υπολογισµού των κλασµάτων και β. ικανότητα επιλογής του κατάλληλου δειγµατοχώρου (που στη συγκεκριµένη περίπτωση είναι ο δειγµατοχώρος των σάκων). Ακολουθώντας την συνεπαγωγική αλυσίδα (Bed Bes Bs), η οποία δηλώνει στατιστικά σηµαντικές σχέσεις, καταλήγουµε φυσιολογικά στο πρόβληµα Bs, που θεωρείται το πιο εύκολο του δευτέρου µέρους του δοκιµίου. Αξιοσηµείωτες είναι και οι συνεπαγωγικές αλυσίδες Bed Bes Je και Bed Bes Be1. Σύµφωνα µε αυτές, οι µαθητές που θα κάνουν το δύσκολο έργο ισοδυναµίας, θα κάνουν και το εύκολο έργο ισοδυναµίας και τέλος το έργο ισοδυναµίας του πρώτου και τρίτου µέρους αντίστοιχα. Εξάλλου, οι µεταβλητές Bed, Bes, Be1 και Je έχουν οµαδοποιηθεί στην ίδια οµάδα οµοιότητας στο πιο πάνω δεντροδιάγραµµα. Σηµειώνουµε επίσης το γεγονός ότι για το απλό έργο «χυµού πορτοκαλιού» (Js) του πρώτου µέρους και για το απλό έργο απόφασης µε σάκους του τρίτου µέρους (Bs1) δεν εµφανίζονται συνεπαγωγές, επειδή οι µαθητές τα αντιµετώπισαν µε διαφορετικό τρόπο απ ότι τα υπόλοιπα έργα του δοκιµίου. 4. Συµπεράσµατα Τα αποτελέσµατα της παρούσας εργασίας καταδεικνύουν ότι το είδος του έργου επηρεάζει την επίδοση των µαθητών, αφού οι µαθητές είχαν καλύτερα αποτελέσµατα στα έργα του Α µέρους. Επιπλέον, το γεγονός ότι σε έργα ίδιας δυσκολίας, αλλά διαφορετικού είδους είχαµε διαφορετικά αποτελέσµατα, οδηγεί σε µια πειστική πειραµατική απόρριψη της πεποίθησης αρκετών δασκάλων και ερευνητών της παιδαγωγικής, ότι µόνο η γνώση υπολογισµού κλασµάτων αρκεί για να κατανοηθεί ο 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 241

Μ. Αναστασίου κ.á. στοιχειώδης υπολογισµός πιθανοτήτων. Το εύρηµα αυτό έρχεται σε συµφωνία µε την έρευνα του Alarcon (1982). Γενικά, φαίνεται ότι ακόµα επικρατεί µια σύγχυση στο µυαλό των παιδιών ηλικίας 11-12 ετών σχετικά µε την έννοια των πιθανοτήτων, αφού τα περισσότερα δίνουν «συµβιβαστικές», επιφυλακτικές θα µπορούσε να λεχθεί απαντήσεις, µε αποτέλεσµα να αποτυγχάνουν στα έργα του Β και Γ µέρους. Το γεγονός αυτό ενισχύεται και από το «φαινόµενο της αβεβαιότητας» που εντοπίζεται στα προβλήµατα ισοδυναµίας του Β µέρους, σύµφωνα µε το οποίο µια µικρή τροποποίηση στην εκφώνηση των ερωτήσεων κλονίζει την απόφαση των µαθητών για µια πιθανολογική κατάσταση. Τα ευρήµατα αυτά έρχονται σε συµφωνία µε τις προαναφερθείσες έρευνες των Bagni & Cecchini (2001) και Alarcon (1982). Ωστόσο, έχει διαφανεί από τα αποτελέσµατα ότι µερικοί µαθητές ηλικίας 11-12 ετών είναι ικανοί να αποφασίζουν λογικά, µε βάση την άτυπη γνώση που έχουν αποκοµίσει από την καθηµερινή τους εµπειρία, υιοθετώντας «πιθανολογικές» συµπεριφορές, ακόµα και στα δύσκολα έργα του δοκιµίου. Συγκεκριµένα οι µαθητές αυτοί ενδιαφέρονται για τις αναλογίες, θεωρούν ένα γεγονός «απίθανο» αν η πιθανότητα του είναι πολύ µικρή και είναι ικανοί να επιλέξουν τον κατάλληλο δειγµατοχώρο που θα τους οδηγήσει στην επιλογή της ορθής απάντησης, γεγονός που καταδεικνύει την ύπαρξη πιθανολογικού συλλογισµού. Πράγµατι από µια «πιθανολογική άποψη», όταν υπάρχει µια ακριβής πρόβλεψη σε καταστάσεις που παρεµβαίνουν «δύσκολοι λόγοι», αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει «γνώση» της πιθανότητας και όχι µόνο µια αριθµητική ικανότητα υπολογισµού λόγων. Τα ευρήµατα αυτά έρχονται σε συµφωνία µε τις απόψεις των Fischbein (1975) και Piaget & Inhelder (1975), σύµφωνα µε τους οποίους οι τυπικές διεργασίες του µαθηµατικού υπολογισµού των πιθανοτήτων αποκαθίστανται σε µερικούς µαθητές γύρω στα 11-12 χρόνια. Ίσως αυτός να είναι και ένας από τους λόγους, που η Way (2003) κατατάσσει τους µαθητές αυτής της ηλικιακής οµάδας ανάµεσα σε δύο στάδια στην ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης. ηλαδή µερικοί από αυτούς πιθανό να βρίσκονται στο στάδιο της «αναδυόµενης πιθανοθεωρητικής σκέψης» και άλλοι να έχουν προχωρήσει στο στάδιο της «ποσοτικοποίησης των πιθανοτήτων». Σηµαντικό είναι επίσης το γεγονός ότι υπάρχει διαφορά µεταξύ των τάξεων Ε και Στ µόνο στο Α µέρος του δοκιµίου, δηλαδή στα έργα «χυµού πορτοκαλιού» που αποτελούν ένα πιο οικείο πλαίσιο για τους µαθητές. Αντίθετα, στα άλλα δύο µέρη δεν παρατηρείται ουσιαστική διαφορά µεταξύ των δύο τάξεων, γιατί πιθανό να αντιστοιχούν σε έννοιες που δεν είναι κατάλληλες για την ηλικία των εξεταζόµενων µαθητών. Θα ήταν λοιπόν ενδιαφέρον σε µελλοντική έρευνα να διερευνηθούν οι ιδέες των µαθητών αυτής της ηλικιακής οµάδας στις ίδιες ή σε άλλες πιθανολογικές καταστάσεις, µετά από παρεµβατικά προγράµµατα διδασκαλίας, αφού όπως υποστηρίζουν και οι Bagni & Cecchini (2001) και ο Wilensky (1997) αυτά βοηθούν τους µαθητές να ξεπεράσουν παρανοήσεις και εµπόδια που ενδεχοµένως να έχουν στη σκέψη τους σχετικά µε την προσέγγιση των πιθανολογικών καταστάσεων. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 242

Κατανόηση Πιθανοτήτων ΑΝΑΦΟΡΕΣ Alarcon, J. (1982). L appréhension des situations probabilistes chez des élèves de 12-14 ans: résultats d une enquête proposée à des élèves de 4ème et de 5ème, Thèse de 3e cycle. Strasbourg. Bagni, G., & Cecchini, C. (2001). A first approach to elementary probability: An experimental educational research. In A. Gagatsis (Ed.), Learning in mathematics and science and educational technology (pp. 25-44). Nicosia: Intercollege Press. Γαγάτσης, Α. (1987α). Πειραµατική ιδακτική των Μαθηµατικών: Μέρος 1ο: Ιστορικές ρίζες της Πειραµατικής ιδακτικής. Σύγχρονη Εκπαίδευση, 35, 43-48. Γαγάτσης, Α. (1987β). Πειραµατική ιδακτική των Μαθηµατικών: Μέρος 2ο: Έννοιες και µέθοδοι της ιδακτικής των Μαθηµατικών - Σχόλια σε µια εργασία της C. Laborde. Σύγχρονη Εκπαίδευση, 36, 70-77. Γαγάτσης, Α. (1987γ). Πειραµατική ιδακτική των Μαθηµατικών: Μέρος 3ο: Μια έρευνα ιδακτικής των Μαθηµατικών - Η κατανόηση πιθανολογικών καταστάσεων από µαθητές Γυµνασίου (12-14 ετών). Σύγχρονη Εκπαίδευση, 37, 44-52. Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. London: Reidel. Jones, G., Langrall, C., Thornton, C., & Mogill, A. (1997). A framework for assessing and nurturing young children s thinking in probability. Educational Studies in Mathematics, 32, 101-125. Laborde, C. (1992). Trends in French research in mathematics education. In A. Gagatsis, (Εd.), Topics on Didactics of Mathematics. Thessaloniki: Art of text. Piaget, J., & Inhelder, B. (1975). The origin of the idea of chance in children. London: Routledge & Kegan Paul. Way, J. (2003). The development of young children s notions of probability, Third Conference of European Society for Research in Mathematics Education (CERME 3), Bellaria,Italy. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 243

Μ. Αναστασίου κ.á. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 244