Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 1

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης

Πίνακας Περιεχομένων Β. Η Παράγωγος... 5.1 Βασικά... 5.1.1 Ορισμός... 5.1. Παρατήρηση (συμβολισμός Leibniz)... 5.1. Ορισμός (πλευρικές παράγωγοι)... 5.1.4 Ορισμός (παραγωγίσιμη συνάρτηση)... 5.1.5 Ορισμός (συνεχώς παραγωγίσιμη)... 6.1.6 Θεώρημα... 6.1.7 Παρατήρηση... 6. Γεωμετρική Ερμηνεία... 7..1 Παρατήρηση... 7. Φυσική Ερμηνεία... 7.4 Κανόνες Παραγώγισης... 8.4.1 Παράγωγος Αθροίσματος και Διαφοράς... 8.4. Παράγωγος Γινομένου Συναρτήσεων... 8.4. Παρατήρηση (Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου γινομένου)... 8.4.4 Παράγωγος Πηλίκου... 1.4.5 Παρατήρηση (Κανόνας της αντιστροφής)... 11.4.6 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης... 11.4.7 Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης... 1.4.8 Παρατήρηση (κανόνας της αντιστροφής)... 1.5 Ασκήσεις... 1.5.1 Ασκηση... 1.5. Ασκηση... 1.5. Ασκηση... 1.5.4 Ασκηση... 1.5.5 Ασκηση... 1.5.6 Ασκηση... 1.5.7 Ασκηση... 14.5.8 Ασκηση... 14.5.9 Ασκηση... 14.5.1 Ασκηση... 14.5.11 Ασκηση... 14 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης

.5.1 Ασκηση... 15.5.1 Ασκηση... 15.5.14 Ασκηση... 15.5.15 Ασκηση... 15.5.16 Ασκηση... 16.5.17 Ασκηση... 16.5.18 Ασκηση... 16.5.19 Ασκηση... 16.5. Ασκηση... 17.5.1 Ασκηση... 17.5. Ασκηση... 17.5. Ασκηση... 17.5.4 Ασκηση... 17.5.5 Ασκηση... 18.5.6 Ασκηση... 18.5.7 Ασκηση... 18.5.8 Ασκηση... 18.5.9 Ασκηση... 18.5. Ασκηση... 19.5.1 Ασκηση... 19.5. Ασκηση... 19.5. Ασκηση... 19 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 4

Β. Η Παράγωγος Συνάρτησης.1 Βασικά.1.1 Ορισμός Έστω η συνάρτηση f() ορισμένη στο διάστημα (a,b) και έστω σημείο a,b. Ονομάζουμε παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο όταν βέβαια υπάρχει., και την συμβολίσουμε με f () Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 5 h f, το όριο Αν θέσω h τότε η έκφραση αυτή μπορεί να γραφεί.1. Παρατήρηση (συμβολισμός Leibniz) f f h f( ) h f f Η παράγωγος της συνάρτησης f() στο σημείο συμβολίζεται και ως εξής a. f b. f f f df f h f f f().1. Ορισμός (πλευρικές παράγωγοι) d h h α. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη από δεξιά όταν το Όριο υπάρχει. f f( h) f( ) h h β. Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη από αριστερά όταν το όριο υπάρχει..1.4 Ορισμός (παραγωγίσιμη συνάρτηση) f h f h f Μια συνάρτηση f() ορισμένη στο διάστημα Ι=(a,b) θα λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη όταν a,b υπάρχει η f και υπάρχουν f και f h

.1.5 Ορισμός (συνεχώς παραγωγίσιμη) Εάν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι και αυτή συνεχής συνάρτηση τότε η f λέγεται συνεχώς παραγωγίσιμη..1.6 Θεώρημα Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Απόδειξη (S+H, pp. 11, M+W, pp.7) Παρατηρούμε ότι είναι ακριβώς το ίδιο με το f f f f όπως προκύπτει με την βοήθεια του κανόνα αθροίσματος ορίων και του κανόνα σταθερής συνάρτησης που εφαρμόζουμε στην συνάρτηση f. Με και Δy f f να είναι ακριβώς το ίδιο με το y. Πολλαπλασιάζουμε τώρα αριθμητή και παρονομαστή με κατάλληλο παράγοντα και έχουμε y y (κανόνας αντικατάστασης) y y (κανόνας γινομένου) f = (επειδή.1.7 Παρατήρηση Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο δεν συνεπάγεται ότι είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 6

. Γεωμετρική Ερμηνεία Θεωρούμε τα σημεία f, και f h, h o Η ευθεία που περνά από την ευθεία και την τέμνει στα σημεία αυτά λέγεται τέμνουσα. Αν θεωρήσουμε το όριο h f h f Παρατηρούμε ότι αυτό ισούται με την παράγωγο και ότι, στο όριο, η τέμνουσα, καθίσταται η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο (σχήμα., Apostol, p. 1) h (σχήμα., Apostol, p.1) Αυτό σημαίνει ότι καθώς το h πλησιάζει ολοένα και περισσότερο το μηδέν το σημείο Q κινείται πάνω στην καμπύλη πλησιάζοντας το (σταθερό) σημείο P, ενώ η ευθεία PQ αλλάζει διεύθυνση με τέτοιο τρόπο ώστε η κλίση της να πλησιάζει τον αριθμό f'() ως το όριό της. για τους λόγους αυτούς φαίνεται φυσικό να ορίσουμε ως κλίση της καμπύλης στο σημείο P τον αριθμό f'(). Η ευθεία που περνάει από το σημείο P και της οποίας η κλίση είναι f'() λέγεται εφαπτομένη στο σημείο P της καμπύλης...1 Παρατήρηση Η κλίση της γωνίας δεν συμπίπτει πάντα με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει αυτή με τον άξονα των. Σύμπτωση έχουμε μόνο όταν το σύστημα αξόνων είναι ορθοκανονικό δηλαδή ορθογώνιο και οι μονάδες μήκους είναι ίδιες και στους δύο άξονες.. Φυσική Ερμηνεία Συντελεστής μεταβολής Όταν μεταβλητή είναι ο χρόνος τότε ο συντελεστής μεταβολής ονομάζεται ρυθμός μεταβολής. "Εάν y=f(), τότε f'() είναι ο συντελεστής μεταβολής του y συναρτήσει του " Η έννοια της παραγώγου εφαρμόζεται σε πολύ περισσότερες περιπτώσεις από αυτές τις ταχύτητας και της κλίσης. Για να εξηγήσουμε αυτές τις άλλες εφαρμογές της παραγώγου θα ξεκινήσουμε με την περίπτωση όπου δύο ποσότητες συνδέονται γραμμικά. Υποθέτουμε ότι δύο ποσότητες και y συνδέονται με τέτοιο τρόπο ώστε μια μεταβολή Δ στην να προκαλεί Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 7

πάντα μία μεταβολή Δy στην y που είναι ανάλογος της Δ. Δηλαδή ο λόγος Δ/Δy ισούται με μια σταθερά m. Θα λέμε τότε ότι η y μεταβάλλεται ανάλογα ή γραμμικά με την. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα ένα ελατήριο στο οποίο έχουμε κρεμάσει ένα σώμα. Έστω το βάρος του σώματος σε gr και y το τελικό μήκος του ελατηρίου σε cm. Είναι πειραματικό δεδομένο και ονομάζεται νόμος του Hooke ότι (για τιμές του Δ όχι πολύ μεγάλες) μια μεταβολή Δ στο βάρος του σώματος προκαλεί μία ανάλογη μεταβολή Δy στο μήκος του ελατηρίου. (σχήμα.1.1, M+W, p.99) αν παραστήσουμε γραφικά το y συναρτήσει του παίρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα με κλίση y m όπως φαίνεται στο (σχήμα.1. M+W, p.1). Η εξίσωση της γραμμής είναι y=m+b και η συνάρτηση f()=m+b είναι μία γραμμικά συνάρτηση. Η κλίση m του ευθύγραμμου τμήματος παριστά τον συντελεστή μεταβολής του y συναρτήσει του. Το b παριστά το μήκος του ελατηρίου όταν απομακρύνουμε το σώμα..4 Κανόνες Παραγώγισης.4.1 Παράγωγος Αθροίσματος και Διαφοράς "Η παράγωγος του αθροίσματος ή διαφοράς δύο ή περισσότερων συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα ή την διαφορά των παραγώγων των συναρτήσεων" Ισχύει δηλαδή.4. Παράγωγος Γινομένου Συναρτήσεων Ισχύει f g f g f g f g f g " Η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων ισούται με την παράγωγο της πρώτης επί την δεύτερη συν την πρώτη επί την παράγωγο της πρώτης".4. Παρατήρηση (Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου γινομένου) Για να βρούμε το f g t θεωρούμε το όριο f g f g f g f g Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 8

Η απλοποίηση της έκφρασης αυτής δεν είναι εύκολη όπως στην περίπτωση του κανόνα αθροίσματος. Θεωρούμε την Γεωμετρική ερμηνεία. Έστω ότι f() και g() είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το γινόμενο f().g() είναι το εμβαδόν. Το εμβαδόν του μεγάλου ορθογωνίου είναι f g. Η διαφορά τους f g. Τ εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου είναι f g f g είναι το εμβαδόν του μη γραμμοσκιασμένου εμβαδού που μπορεί να αναλυθεί σε τρία ορθογώνια με εμβαδά Έχουμε επομένως την ταυτότητα f f g f f g g g g f f g f g f f g f g g f f g g η οποία εκτός από Γεωμετρικά μπορεί να επιβεβαιωθεί και Αλγεβρικά. Αντικαθιστώντας την (...) στην (...) έχουμε Με την βοήθεια των νόμων των ορίων η (...) γίνεται f f g g g f f f g g f f f g g g f f g g Παρατηρούμε ότι τα δύο πρώτα όρια στην (...) είναι f g f g Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 9

ακριβώς δηλαδή ο κανόνας του γινομένου. Για να δείξουμε ότι το πρώτο Όριο παριστά Γεωμετρικά το εμβαδόν του ορθογωνίου στην άνω δεξιά γωνία και έχει Όριο το μηδέν με την βοήθεια της συνέχειας της g() έχουμε.4.4 Παράγωγος Πηλίκου Έστω h f f g g f f g όπου οι συναρτήσεις f() και g() είναι διαφορίσιμες στο και υποθέτουμε ότι ισχύει g έτσι ώστε το πηλίκο να είναι ορισμένο στο σημείο. Εάν υποθέσουμε την ύπαρξη της h μπορούμε να την υπολογίσουμε με την βοήθεια του κανόνα του γινομένου. Εφ' όσον h f g θα έχουμε f g h. Εφαρμόζοντας τον κανόνα του γινομένου βρίσκουμε f g h g h Λύνοντας ως προς h, παίρνουμε h g g g f g h f g f g f g f g που είναι και ο ζητούμενος κανόνας. Έτσι προκειμένου να παραγωγίσουμε το πηλίκο f g, όπου g, παίρνουμε την παράγωγο του αριθμητή επί τον παρανομαστή μείον την παράγωγο του παρονομαστή επί τον αριθμητή και διαιρούμε με τον παρονομαστή στο τετράγωνο. Γράφουμε g f f g f g g du /d v udv /d d u d v v Παρατήρηση: Είναι σημαντικό να έχουμε στον αριθμητή την σωστή σειρά των όρων. Αν δεν θυμόμαστε θα πρέπει να ελέγχουμε αν για g()=1 (που σημαίνει g'()=) η έκφραση που έχουμε γράψει καταλήγει στην f'. Αν κα- Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 1

ταλήγει στην -f' τότε έχουμε λάθος σειρά..4.5 Παρατήρηση (Κανόνας της αντιστροφής) Εάν η g είναι διαφορίσιμη στο σημείο και g, τότε η 1/g() είναι διαφορίσιμη στο και ισχύει 1 g g g Αφού η g() είναι διαφορίσιμη στο τότε, σύμφωνα με το Θεώρημα (...) θα είναι και συνεχής στο. Αφού g γνωρίζουμε ότι η 1/g() θα είναι συνεχής στο και ότι θα ισχύει Για h και αρκετά μικρό ισχύει g( h) και Αν θεωρήσουμε το όριο της παράστασης αυτής για Απόδειξη h 1 1 g h g 1 1 1 g h g() 1 1 h g h g h g h g h βρίσκουμε ότι το β' μέλος ισούται με f g f g f g g Το πηλίκο f/g μπορούμε να το γράψουμε ως γινόμενο των συναρτήσεων 1 f g Εφαρμόζοντας τώρα τον κανόνα για την παράγωγο γινομένου και στην συνέχεια τον κανόνα για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης προκύπτει....4.6 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Υποθέτουμε ότι η y είναι διαφορίσιμη συνάρτηση της μεταβλητής u, ισχύει δηλαδή y=y(u) και ότι η μεταβλητή u είναι και αυτή διαφορίσιμη συνάρτηση της μεταβλητής, ισχύει δηλαδή u=u() Έχουμε επομένως ότι η y είναι σύνθετη συνάρτηση της μορφής y=f(u)=f(g()) Τότε η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης y ως προς την μεταβλητή είναι Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 11

dy dy du d du d.4.7 Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης Εάν η συνάρτηση f είναι διαφορίσιμη τότε μπορούμε να βρούμε μια νέα συνάρτηση που είναι η παράγωγος της f και συμβολίζεται με f' ή df/d. Ονομάζεται επίσης πρώτη παράγωγος ή παράγωγος πρώτης τάξης. Η πρώτη παράγωγος είναι και αυτή από μόνη της συνάρτηση. Αν είναι και διαφορίσιμη τότε μπορούμε να βρούμε την παράγωγο αυτής που την συμβολίζουμε με f'' και ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της f ή δεύτερης τάξης παράγωγος της f. Συμβολίζεται επίσης d df d f d d d Εάν και αυτή είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση μπορούμε να βρούμε την παράγωγο τρίτης τάξης που την συμβολίζουμε με f ή df d Αν ισχύουν οι κατάλληλες προϋποθέσεις μπορούμε να υπολογίσουμε και παραγώγους ανώτερης τάξης που τώρα τις συμβολίζουμε με f n ή n d f d n.4.8 Παρατήρηση (κανόνας της αντιστροφής) Εάν η Απόδειξη g είναι διαφορίσιμη στο σημείο και g, τότε η 1/g() είναι διαφορίσιμη στο και ισχύει 1 g g g Αφού η g() είναι διαφορίσιμη στο τότε, σύμφωνα με το Θεώρημα (...) θα είναι και συνεχής στο. Αφού g γνωρίζουμε ότι η 1/g() θα είναι συνεχής στο και ότι θα ισχύει Για h h και αρκετά μικρό ισχύει g( h) και Αν θεωρήσουμε το όριο της παράστασης αυτής για 1 1 g h g Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 1 1 1 1 g h g() 1 1 h g h g h g h g h βρίσκουμε ότι το β' μέλος ισούται με

f g f g f g g Απόδειξη Το πηλίκο f/g μπορούμε να το γράψουμε ως γινόμενο των συναρτήσεων 1 f g Εφαρμόζοντας τώρα τον κανόνα για την παράγωγο γινομένου και στην συνέχεια τον κανόνα για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης προκύπτει....5 Ασκήσεις.5.1 Ασκηση Να ευρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων 1. f e. f.5. Ασκηση Να υπολογισθεί η παράγωγος των συναρτήσεων 1. e..5. Ασκηση e. 4. Να υπολογισθεί η παράγωγος των συναρτήσεων 1. ln..5.4 Ασκηση e ln. 8log 8 Να υπολογισθεί η παράγωγος των συναρτήσεων e 5. 1. ln1 1. 4 sin ln e sin e 6. sin.5.5 Ασκηση Να υπολογισθεί η παράγωγος των συναρτήσεων 1. y. y.5.6 Ασκηση Πόσο πιο γρήγορα μεταβάλλεται η f στο χ= από ότι στο =; Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 1

.5.7 Ασκηση Πόσο πιο γρήγορα μεταβάλλεται η f 4 στο = από ότι στο =;.5.8 Ασκηση Πόσο πιο γρήγορα μεταβάλλεται η.5.9 Ασκηση Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων f 1 στο 1 από ότι στο =; 1. 1 e. e 1 e. 1 e 4. e cos e 5. 6. tan 7. ln1 8. 9. ln 1. ln 11. lnsin 1. lntan 1. ln 1 14. 17. ln ln 15. sin ln 16. log 5 ln 1 18. lntan 1 ln 19..5.1 Ασκηση Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων 1. y sin. sin y. ln cos. log7 cos y sin 4. y 1 8 7 5. y 4 6. 5 8 1 y 7. y 8 9 8 y.5.11 Ασκηση Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων 1. sin e. e. 5 ln 4. 6ln e e ln 5. 8sin 14 6. log sin 7. ln ln 8. e sinln 1 sin cos 9. cos 1. sin 11. 1. e 1. 1 tan sec 14. ln 15. 4 16. 8 sin 1 log 14 sin 17. log cos 5 18. 19. sin. 1 cos ln 1. sin. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 14

.5.1 Ασκηση Να εκφρασθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων ως συναρτήσεις των f,g,f,g. 1. f e g. f e g. f e 4. f e g 5. f g.5.1 Ασκηση 1. e. e. e cos 4. cos e 5. cos e 6. cos e 7. cos 1 e 8. e 9. 6 cos e 1. e cossin 11. cos 1 e cos 1. e 1. ln 14. 1 e 15. sine e 16. tan sine 17. e cos 18. sin e 19. e 1. cose 1. ln. ln 6. 1 ln t 7. cos. sin ln t 6 ln 4. log 5 5. log.5.14 Ασκηση Με την βοήθεια του ορισμού να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων 1. f 4. f c. f 4. f 4 1 5. f 5 6. 7. f 4 8. f 1 9. f 1 1. f 4 11. f 1 1. f 1 f 1.5.15 Ασκηση Να ευρεθεί ο f με την διαμόρφωση του λόγου f h f h και τον υπολογισμό του ορίου όταν h. 1. f 7 9. f 7. f 4 4. f 5 4 5. f 6. f 6 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 15

.5.16 Ασκηση Να ευρεθούν οι εξισώσεις της εφαπτόμενης και της κάθετης στην γραφική παράσταση της f στο σημείο,f 1. f ;. f ; 4. f 5 ; 4 1 f ; 4. f 5 ; 5. 1 f ; 6..5.17 Ασκηση Εστω f 1, 1 1. να υπολογισθεί η f για. να δειχθεί ότι η f δεν είναι διαφορίσιμη στο =.5.18 Ασκηση Δοθέντος ότι η f είναι διαφορίσιμη στο c και ότι η g είναι συνάρτηση που ορίζεται ως g c f, f c c f c, c 1. Να δειχθεί ότι η g είναι διαφορίσιμη στο c. Τι συμβαίνει με την. Εστω ότι η γραφική παράσταση της f είναι αυτή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να σχεδιασθεί η γραφική παράσταση της g..5.19 Ασκηση Να δοθεί παράδειγμα της συνάρτησης f που ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς και ικανοποιεί τις αναφερόμενες συνθήκες 1. f. για όλα τα πραγματικά f για όλα τα και η f δεν υπάρχει Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 16

. f υπάρχει για όλα τα 1 και f 1 δεν υπάρχει 4. f υπάρχει για όλα τα 1. Δεν υπάρχουν ούτε το 5. και f1 7 f 1 ούτε το.5. Ασκηση Εστω ότι η f είναι περιττή συνάρτηση. Να δειχθεί ότι εάν είναι διαφορίσιμη τότε η είναι μια άρτια συνάρτηση. f.5.1 Ασκηση Εστω ότι η f είναι άρτια συνάρτηση. Να δειχθεί ότι εάν είναι διαφορίσιμη τότε η είναι μια περιττή συνάρτηση. f.5. Ασκηση f 1 για 1 Εστω 1. Να υπολογισθεί η f για κάθε,1. Να υπολογισθεί η f εάν υπάρχει.5. Ασκηση Εστω f 1,, 1. να ευρεθεί η f. να ευρεθεί η f εάν υπάρχει εάν υπάρχει. είναι διαφορίσιμη η f στο = 4. Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο. 5. Να ευρεθούν οι f και f 6. Να ευρεθεί αν η f είναι διαφορίσιμη στο..5.4 Ασκηση Να υπολογισθούν οι ποσότητες Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 17

1 1 1. log 64. log. log64 4. log 1 15 64 5. log 5 1 6. log 5. 7. log.1 log 4 8. 1 9. log 8 1. 1 4 5 log 1 11. 4 5 log 1 1 1. 9 log.5.5 Ασκηση Να δειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες 1 1. log p y log p log p y. logp logp y. logp ylog 4. logp logp logp y y.5.6 Ασκηση Να ευρεθούν, εάν υπάρχουν, οι αριθμοί που ικανοποιούν τις παρακάτω εξισώσεις 1. 1 e. log.4. log 1 log 1 5 4 4. log log 5. log dt t 1 6. log 1 log 1.5.7 Ασκηση Να υπολογισθεί το lnα δοθέντος ότι e e t1 t.5.8 Ασκηση Να υπολογισθεί το b e δοθέντος ότι ln bln 1.5.9 Ασκηση Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων 1. y 5 ln. y 4. y 4. y 5 5. y log 6. sin y 7 7. log y tan log 5 8. y 1 9. y cos 1. 5 Y log log 4 1 1. y log 1 11. y cosb Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 18

.5. Ασκηση Να ευρεθεί το fe για τις παρακάτω συναρτήσεις 1. y log. y log. y lnln 4. y log log.5.1 Ασκηση Να υπολογισθούν οι παράγωγοι d d 1. 1 d d. ln d d. ln ln 4. d 1 d d d 5. ln d ln d 6. d 7. sin d d cos d 8. 1 d d 9. sin sin d 1. d d 11. d d d 1. tan sec.5. Ασκηση Για τα παρακάτω ζεύγη συναρτήσεων να σχεδιασθούν οι γραφικές παραστάσεις και να συγκριθούν 1. f e και g. f e και g. f e και g e 4. f και g 5. f ln και log 6. f ln και g log 7. f και g log 8..5. Ασκηση Για τις συναρτήσεις 1 log f 1 και 1 1 1 1 1. f 1. f 1. f 1 4. f log 1 να ευρεθούν 1. το πεδίο ορισμού. τα διαστήματα όπου η συνάρτηση είναι αύξιυσα και φθίνουσα. τα ακρότατα της f 1 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης 19

Σημειώματα Α) Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της Μαθηματικής Ανάλυσης προέρχεται από τις σημειώσεις του Επίκουρου Καθηγητή κ. Γεωργίου Ν. Μπροδήμα για τις ανάγκες διδασκαλίας του ομώνυμου μαθήματος στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών. Β) Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γεώργιος Ν. Μπροδήμας. «Μαθηματική Ανάλυση. Ενότητα Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης». Έκδοση: 1.. Πάτρα 15. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses /PHY191/ Γ) Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Δ) Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ όσον υπάρχει). Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης