Εισαγωγικές έννοιες. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Περιοδική κίνηση ονοµάζεται η κίνηση η οποία επαναλαµβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήµατα. Περίοδος Τ µιας περιοδικής κίνησης είναι ο χρόνος που απαιτείται για να ολοκληρωθεί µια φορά η περιοδική κίνηση. Η περίοδος είναι χρόνος και µετριέται σε s. t T= N Συχνότητα f µιας περιοδικής κίνησης είναι ο αριθµός των επαναλήψεων της περιοδικής κίνησης στη µονάδα του χρόνου. Η συχνότητα µετριέται σε Hz ή s -. Σχέση περιόδου Τ συχνότητας f : N f = t T= f Ταλάντωση είναι η κίνηση που κάνει ένα σώµα όταν παλινδροµεί ανάµεσα σε δύο ακραίες θέσεις. Π.χ. µία σφαίρα κρεµασµένη από ένα ελατήριο. Πλάτος ή µέγιστη αποµάκρυνση A, είναι η απόσταση της ακραίας θέσης από την θέση ισορροπίας. Αµείωτη ταλάντωση είναι η ταλάντωση µε σταθερό πλάτος. Φθίνουσα ταλάντωση είναι η ταλάντωση της οποίας το πλάτος συνεχώς ελαττώνεται. Ελεύθερη ταλάντωση είναι η ταλάντωση που εκτελεί ένα σώµα το οποίο αφού δεχθεί µια αρχική διέγερση αφήνεται ελεύθερο να ταλαντώνεται. Εξαναγκασµένη ταλάντωση είναι η ταλάντωση στην οποία περιοδικά ασκείται εξωτερική δύναµη F. Π.χ. η κούνια της παιδικής χαράς. Απλή αρµονική ταλάντωση. Απλή αρµονική ταλάντωση είναι η κίνηση της οποίας η θέση του σώµατος δίνεται από την σχέση : x=aηµωt. Σχέσεις στην απλή αρµονική ταλάντωση (t=0, x=0, υ>0). Αποµάκρυνση : x=αηµ ωt Ταχύτητα : υ=υ max συν ωt=ωασυν ωt Επιτάχυνση : α=-α max ηµ ωt=-ω Αηµ ωt=-ω x Το ω είναι η γωνιακή συχνότητα και δίνεται από την σχέση : π ω = = πf. Τ ύναµη επαναφοράς : F=mα=-mω x=-dx Όπου D η σταθερά επαναφοράς : D=mω. Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σώµα αρµονική ταλάντωση είναι να ασκείται στο σώµα δύναµη επαναφοράς ανάλογη της αποµάκρυνσης. F=-Dx. Παράδειγµα. Σώµα εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε πλάτος A=0cm και περίοδο Τ=s. Βρείτε : α) Την γωνιακή συχνότητα ω β) Τη µέγιστη ταχύτητα υ max γ) Τη µέγιστη επιτάχυνση α max. Παράδειγµα. Η θέση ενός σώµατος που εκτελεί αρµονική ταλάντωση δίνεται από την σχέση : x=0,ηµπt (S.I.). Βρείτε την αποµάκρυνση του σώµατος τις χρονικές στιγµές : α) t=t/ β) t=t/6 Σελίδα
Παράδειγµα 3. Η θέση ενός σώµατος που εκτελεί αρµονική ταλάντωση δίνεται από την σχέση : x=0,ηµπt (S.I.). Βρείτε : α) Την περίοδο, τη συχνότητα και την γωνιακή συχνότητα β) Το πλάτος, τη µέγιστη ταχύτητα και τη µέγιστη επιτάχυνση γ) ιατυπώστε τις εξισώσεις της ταχύτητας και τις επιτάχυνσης. Περίοδος στην απλή αρµονική ταλάντωση. D= mω π ω= Τ 4π = m Τ D Τ= π m D Παράδειγµα 4. Σώµα µάζας m=00g είναι δεµένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k=0,8n/m και εκτελεί αρµονική ταλάντωση. Βρείτε την περίοδό του Τ. Ενέργεια στην απλή αρµονική ταλάντωση. Ένα σώµα που εκτελεί αρµονική ταλάντωση έχει κινητική και δυναµική ενέργεια. Κινητική ενέργεια : υναµική ενέργεια : K= U= mu Dx Στη θέση ισορροπίας Χ=0 το σώµα έχει την µέγιστη ταχύτητα υ max =ωα. Στη θέση αυτή έχει δυναµική ενέργεια µηδέν και η κινητική παίρνει την µέγιστη τιµή : K max = mu max. Στη θέση µέγιστης αποµάκρυνσης x=α η ταχύτητα µηδενίζεται και η δυναµική ενέργεια παίρνει την µέγιστη τιµή της : U max = DA. Σε κάθε άλλη θέση το σώµα έχει και δυναµική και κινητική ενέργεια και το άθροισµά τους ισούται µε την µηχανική ενέργεια. E + = K+ U= mu Dx. Στην αρµονική ταλάντωση, ενώ η κινητική και η δυναµική ενέργεια συνεχώς µεταβάλλονται, το άθροισµά τους δηλαδή η µηχανική ενέργεια παραµένει σταθερή. Παράδειγµα 5. Η µηχανική ενέργεια ταλάντωσης ενός σώµατος είναι Ε=J η µάζα του m=00g και η σταθερά του ελατηρίου k=00n/m. Βρείτε : α) Το πλάτος της ταλάντωσης β) Τη µέγιστη ταχύτητα υ max. Σελίδα
Παράδειγµα 6. Σώµα εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε πλάτος Α=0cm. Αν η µέγιστη δύναµη επαναφοράς είναι F max =00Ν βρείτε την ενέργεια της ταλάντωσης. Σχέση ταχύτητας αποµάκρυνσης. Μεθοδολογία για τη λύση των ασκήσεων Όταν µας δίνεται η εξίσωση της αποµάκρυνσης ή της ταχύτητας ή της επιτάχυνσης, µπορούµε να τη συγκρίνουµε µε την αντίστοιχη εξίσωση της θεωρίας και να βρούµε το πλάτος, τη γωνιακή συχνότητα, τη µέγιστη ταχύτητα και την επιτάχυνση.(παραδείγµατα φυλλαδίου,3, ασκήσεις φυλλαδίου 7, ασκήσεις σχ. βιβλίου 33, 34, 35, 45) Όταν µας ζητείται η εξίσωση της αποµάκρυνσης ή της ταχύτητας ή της επιτάχυνσης, υπολογίζουµε τα βασικά µεγέθη της ταλάντωσης όπως: ω, Α, υ max, α max, φ 0 και τα αντικαθιστούµε στις γνωστές εξισώσεις της θεωρίας: x=αηµ(ωt+φ 0 ), υ=υ max συν(ωt+φ 0 ) κτλ. (ασκήσεις σχ. βιβλίου 34, 35, 37) Όταν ο ταλαντωτής αποµακρύνεται κατά x από τη θέση τη θέση ισορροπίας και µετά αφήνεται ελεύθερος, τότε το πλάτος της ταλάντωση είναι: Α=x.(άσκηση σχ. βιβλίου.38) Όταν η τροχιά του ταλαντωτή έχει µήκος s, τότε το πλάτος της ταλάντωσης είναι: Α=s/. Όταν ο ταλαντωτής στη θέση ισορροπίας έχει ταχύτητα υ, τότε η µέγιστη ταχύτητα είναι:υ max =υ.(άσκηση σχ. βιβλίου.40) Ο χρόνος t και η διαφορά φάσης φ συνδέονται µε τη σχέση: T π φ = t= T t φ π Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση δεν υπάρχει αρχική φάση όταν: (t=0, x=0, υ>ο) ή (t=0, υ=υ max ) ή (t=0, α=0, υ>0). ιαφορετικά υπάρχει αρχική φάση και πρέπει να υπολογιστεί.(ασκήσεις σχ. βιβλίου.37,.38,.39) Η ενέργεια ταλάντωσης ισούται µε την ενέργεια που δαπανούµε για να µεταφέρουµε τον ταλαντωτή από τη θέση ισορροπίας στην ακραία θέση της ταλάντωσης. Για να αποδείξουµε ότι ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, εργαζόµαστε ως εξής: α)στη θέση ισορροπίας εφαρµόζουµε τη συνθήκη ΣF=0. β) Σε µια τυχαία αποµάκρυνση x προσπαθούµε να αποδείξουµε τη σχέση F=-Dx. (παράδειγµα σχ. Βιβλίου -, ασκήσεις σχ. Βιβλίου.7, φυλλάδιο άσκηση 4, 5). Ασκήσεις ) Σώµα µάζας m=0,0kg κάνει αρµονική ταλάντωση και τη χρονική στιγµή t η αποµάκρυνση είναι cm ενώ η επιτάχυνση είναι 8m/s. Υπολογίστε: α) Την περίοδο της ταλάντωσης β) Τη δύναµη επαναφοράς τη χρονική στιγµή t. ) Ένας δίσκος που είναι στερεωµένος σε ένα ελατήριο σταθεράς k εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε περίοδο 0,s. Όταν τοποθετήσουµε πάνω στο δίσκο µία µάζα,5kg η περίοδος γίνεται 0,4s. Βρείτε τη µάζα του δίσκου. 3) Σώµα µάζας Kg εκτελεί αρµονική ταλάντωση συχνότητας Hz. Βρείτε: α) Τη σταθερά επαναφοράς β) Τη δυναµική ενέργεια όταν η δύναµη είναι 0Ν. 4) Σώµα µάζας Kg είναι δεµένο στα άκρα δύο οριζοντίων ελατηρίων(τα ελατήρια συνδέονται παράλληλα και έχουν ίδιο µήκος) µε σταθερές k =0N/m και k =6N/m. Αν αποµακρύνουµε το σώµα από τη θέση ισορροπίας κατά A=0cm : Σελίδα 3
α) είξτε ότι το σώµα εκτελεί αρµονική ταλάντωση β) Βρείτε την περίοδό του γ) Βρείτε τη µέγιστη κινητική ενέργειά του 5) Κυλινδρικός φελλός επιπλέει σε υγρό. Το βυθισµένο τµήµα του φελλού είναι h. Πιέζουµε το φελλό κατακόρυφα προς τα κάτω και τον αφήνουµε ελεύθερο. Να υπολογίστε την περίοδο της ταλάντωσης. 6) Στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου αναρτάται σώµα το οποίο αφήνεται να κινηθεί. Στον ακόλουθο πίνακα δίνονται η µηχανική ενέργεια (Ε), η κινητική ενέργεια (Κ) και η δυναµική ενέργεια (U) του συστήµατος σε τρεις διαφορετικές θέσεις Α, Β, Γ του σώµατος. (Πανελλήνιες Β Λυκείου 999) Ε K U Α 0 J 0 Β 4 J Γ J 7) Σύστηµα ελατηρίου-µάζας εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε πλάτος A και εξίσωση αποµάκρυνσης x=aηµωt. Σε ποιες αποµακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή είναι ίση µε τη δυναµική ενέργειά του; Να εκφρασθούν οι αποµακρύνσεις σαν συνάρτηση του A. (Πανελλήνιες Γ Λυκείου 000) 8) Η εξίσωση της αποµάκρυνσης σε έναν απλό αρµονικό ταλαντωτή, πλάτους Α και γωνιακής συχνότητας ω, δίνεται από τη σχέση: x=aηµωt. Η εξίσωση της ταχύτητας δίνεται από τη σχέση: α. υ = Αωηµωt (Πανελλαδικές 00) β. υ = -Αωηµωt γ. υ = Αωσυνωt δ. υ = -Αωσυνωt. 9) Το πλάτος ταλάντωσης ενός απλού αρµονικού ταλαντωτή διπλασιάζεται. Τότε: α. η ολική ενέργεια διπλασιάζεται (Πανελλαδικές 00) β. η περίοδος παραµένει σταθερή γ. η σταθερά επαναφοράς διπλασιάζεται δ. η µέγιστη ταχύτητα τετραπλασιάζεται. 0) Στο άκρο ιδανικού ελατηρίου µε φυσικό µήκος l 0 και σταθερά ελατηρίου k είναι συνδεδεµένο σώµα µάζας m, όπως δείχνει το σχήµα. α. Ποια από τις καµπύλες Ι και ΙΙ του παρακάτω διαγράµµατος αντιστοιχεί στη δυναµική ενέργεια του ελατηρίου και ποια στην κινητική ενέργεια του σώµατος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ολικής ενέργειας, αφού µεταφέρετε το παραπάνω διάγραµµα στο τετράδιό σας. (Πανελλαδικές 00) ) Υλικό σηµείο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση υπό την επίδραση συνισταµένης δύναµης F. Αν x είναι η αποµάκρυνση του σηµείου από τη θέση ισορροπίας του και D θετική σταθερά, τότε για τη δύναµη ισχύει: (Πανελλαδικές 00) α. F = D β. F = D x γ. F = D x δ. F = 0 ) Σώµα µάζας m εκτελεί γραµµική απλή αρµονική ταλάντωση. Η αποµάκρυνση x του σώµατος από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη σχέση x=αηµωt, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης και ω η Σελίδα 4
γωνιακή συχνότητα. Να αποδείξετε ότι η συνολική δύναµη, που δέχεται το σώµα σε τυχαία θέση της τροχιάς του, δίνεται από τη σχέση F= - mω x. (Πανελλαδικές 003) 3) Ο ωροδείκτης ενός ρολογιού έχει περίοδο σε ώρες (h): α. h β. h γ. 4h δ. 48h (Πανελλαδικές 003) 4) ύο σώµατα Σ και Σ µε ίσες µάζες ισορροπούν κρεµασµένα από κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια k µε σταθερές k και k αντίστοιχα, που συνδέονται µε τη σχέση k =. Αποµακρύνουµε τα σώµατα Σ και Σ από τη θέση ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω κατά x και x αντίστοιχα και τα αφήνουµε ελεύθερα την ίδια χρονική στιγµή, οπότε εκτελούν απλή αρµονική ταλάντωση. Τα σώµατα διέρχονται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας τους: α. ταυτόχρονα. β. σε διαφορετικές χρονικές στιγµές µε πρώτο το Σ. γ. σε διαφορετικές χρονικές στιγµές µε πρώτο το Σ. (Πανελλαδικές 004) 5) Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC στη διάρκεια µιας περιόδου η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται ίση µε την ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου: α. µία φορά. β. δύο φορές. (Πανελλαδικές 004) γ. τέσσερις φορές. δ. έξι φορές. 6) Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση η συχνότητα του διεγέρτη είναι µικρότερη από την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Αυξάνουµε συνεχώς τη συχνότητα του διεγέρτη. Το πλάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης θα: α. αυξάνεται συνεχώς. (Πανελλαδικές 004) β. µειώνεται συνεχώς. γ. µένει σταθερό. δ. αυξάνεται αρχικά και µετά θα µειώνεται. 7) Σώµα συµµετέχει ταυτόχρονα σε δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις που περιγράφονται από τις σχέσεις x =Αηµω t και x =Aηµω t, των οποίων οι συχνότητες ω και ω διαφέρουν λίγο µεταξύ τους. Η συνισταµένη ταλάντωση έχει: α. συχνότητα (ω -ω ) β. συχνότητα ω +ω. (Πανελλαδικές 004) γ. πλάτος που µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών µηδέν και Α. δ. πλάτος που µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών µηδέν και Α. 8) Στη σύνθεση δύο αρµονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο µε το ίδιο πλάτος και λίγο διαφορετικές συχνότητες, ο χρόνος ανάµεσα σε δύο διαδοχικές µεγιστοποιήσεις του πλάτους ονοµάζεται... του διακροτήµατος. (Πανελλαδικές 003) 9) Το ηλεκτρικό κύκλωµα του σχήµατος αποτελείται από πυκνωτή µε χωρητικότητα 0-5 F, ένα ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής 0,05H και διακόπτη όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήµα. Αρχικά ο διακόπτης είναι ανοικτός και ο πυκνωτής είναι φορτισµένος µε ηλεκτρικό φορτίο 5 0-7 C. Οι αγωγοί σύνδεσης έχουν αµελητέα αντίσταση. Τη χρονική στιγµή t=0 κλείνουµε το διακόπτη. ++ + + Να υπολογίσετε: C. την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης - - - -. το πλάτος της έντασης του ρεύµατος 3. την ένταση του ρεύµατος τη στιγµή που το φορτίο του πυκνωτή C είναι 3 0-7 C. ίνεται: π = 3,4. (Πανελλαδικές 003) 0) Η ιδιοσυχνότητα ενός συστήµατος που εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς τριβή είναι 0 Hz. Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται µέγιστο όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι: (Πανελλαδικές 00) α. 0 Hz β. 0 Hz γ. 30 Hz δ. 40 Hz L ) Ηλεκτρικό κύκλωµα LC, αµελητέας ωµικής αντίστασης, εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση µε περίοδο Τ. Αν τετραπλασιάσουµε τη χωρητικότητα του πυκνωτή χωρίς να µεταβάλουµε το συντελεστή Σελίδα 5
αυτεπαγωγής του πηνίου, τότε η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης θα είναι: (Πανελλαδικές 00) α. Τ/ β. Τ γ. Τ δ. 4Τ ) Σε κύκλωµα εναλλασσόµενου ρεύµατος RLC σε σειρά, η γωνιακή συχνότητα ω της πηγής σταθερού πλάτους αυξάνεται συνεχώς, ξεκινώντας από µια πολύ µικρή τιµή. Το πλάτος της έντασης του ρεύµατος Ι 0 στο κύκλωµα: α. αυξάνεται συνεχώς (Πανελλαδικές 00) β. ελαττώνεται συνεχώς γ. αρχικά αυξάνεται και στη συνέχεια ελαττώνεται δ. παραµένει σταθερό. 3) ίνεται ότι το πλάτος µιας εξαναγκασµένης µηχανικής ταλάντωσης µε απόσβεση υπό την επίδραση µιάς εξωτερικής περιοδικής δύναµης είναι µέγιστο. Αν διπλασιάσουµε τη συχνότητα της δύναµης αυτής το πλάτος της ταλάντωσης θα: α) διπλασιασθεί β) µειωθεί γ) τετραπλασιασθεί δ) παραµείνει το ίδιο. 4) Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο σε οριζόντιο επίπεδο. Στο άλλο άκρο του συνδέεται σταθερά σώµα Α µάζας Μ = 3kg. Πάνω στο σώµα Α είναι τοποθετηµένο σώµα Β µάζας m = kg και το σύστηµα ισορροπεί µε το ελατήριο συσπειρωµένο από το φυσικό του µήκος κατά y = 0,4m. Στη συνέχεια εκτρέπουµε το σύστηµα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y = 0,8m από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουµε ελεύθερο τη χρονική στιγµή t = 0. α. Να υπολογίσετε την γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης του συστήµατος και τη σταθερά επαναφοράς D καθεµιάς µάζας ξεχωριστά. β. Να δείξετε ότι το σώµα Β θα εγκαταλείψει το σώµα Α και να βρείτε τη θέση και την ταχύτητα που έχει εκείνη τη χρονική στιγµή. γ. Να υπολογίσετε την ώθηση της δύναµης του ελατηρίου από τη χρονική στιγµή t = 0 µέχρι τη χρονική στιγµή που το σώµα Β εγκαταλείπει το σώµα Α. ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0m/s. 5) Σε ιδανικό ελατήριο προσφέρουµε ενέργεια Ε και προκαλούµε συσπείρωση του φυσικού του µήκους κατά L. Για να επιτύχουµε συσπείρωση του φυσικού του µήκους κατά L η ενέργεια που πρέπει να προσφέρουµε είναι: α) Ε β) 4Ε γ) Ε δ) Ε/ 6) Σώµα µάζας Μ έχει προσδεθεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ του οποίου το άνω άκρο είναι στερεωµένο σε ακλόνητο σηµείο. Αποµακρύνουµε το σώµα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά απόσταση α από τη θέση ισορροπίας και το αφήνουµε ελεύθερο να κάνει ταλάντωση. Επαναλαµβάνουµε το πείραµα και µε ένα άλλο ελατήριο σταθεράς Κ = 4Κ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των δυναµικών ενεργειών των δύο ταλαντώσεων σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση στο ίδιο διάγραµµα. (Πανελλαδικές 005) Σελίδα 6