ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γίνει η σύνθεση (f ο g)(x) και (g ο f)(x) όταν α) f(x)=+x και g(x)=+5x β) f(x)=x και g(x)=x+ β) f(x)=x x και g(x)=x/. Να λυθούν οι παρακάτω εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις ως προς x. ( x ) 8 ( x ) 6 log ( ) x 8 x e 5 x log (log x ) x x 9 x 5 ln( x ) x e 5 ln( x ) ln(ln x ) x bx e ce, b, c ln x ln ln b log x log b log c. Η συνάρτηση r(n) του Mono περιγράφει το ρυθμό αύξησης ενός οργανισμού σαν συνάρτηση της συγκέντρωσης του θρεπτικού. Έστω N r ( N), N N Να υπολογίσετε το ποσοστό αύξησης του ρυθμού όταν η συγκέντρωση του θρεπτικού διπλασιάζεται από Ν=, σε Ν=,. Συγκρίνετε την τιμή που βρήκατε με αυτή που θα προκύψει αν διπλασιάσετε τη συγκέντρωση από Ν= σε Ν=. Τι παρατηρείται?. Έστω ότι το μέγεθος ενός οργανισμού αυξάνει σύμφωνα με την εξίσωση,5t S( t), α) Να βρείτε το μέγεθος του οργανισμού τη χρονική στιγμή t=. β) Να βρείτε το χρόνο διπλασιασμού χωρίς να μετατρέψετε την εξίσωση σε εκθετική με βάση e. γ) Να γράψετε την εξίσωση σαν εκθετική συνάρτηση με βάση το e και να βρείτε το χρόνο διπλασιασμού. 5. Η ραδιενεργός ουσία Stroium 9 έχει χρόνο ημιζωής περίπου 9 χρόνια. Η ποσότητα του Stroium, Α(t), στο χρόνο t δίνεται από την εκθετική συνάρτηση kt A( t) A e όπου A A() η αρχική ποσότητα του Stroium. Να βρεθεί η σταθερά k. 6. Η σχέση μήκους-βάρος ενός είδος βακαλάου του Ειρηνικού περιγράφεται αρκετά καλά από τον τύπο: W,75L, όπου W είναι το βάρος σε κιλά και L το μήκος σε μέτρα. α) Το 97, ένας βακαλάος μήκους 67 cm πιάστηκε στις ακτές του Καναδά. Δώστε μια εκτίμηση του βάρους του. β) Ο μεγαλύτερος βακαλάος που έχει λεπτομερώς καταγραφεί έχει βάρος κιλά. Δώστε μια εκτίμηση του μήκους του. 7. Έρευνα έδειξε ότι ο μέσος αριθμός θηλαστικών ειδών, S, που υπάρχουν σε ένα νησί σχετίζεται με την έκταση, Α, (σε km ) του νησιού σύμφωνα με την εξίσωση S ca Η σταθερά c εξαρτάται από την τοποθεσία του νησιού και από το αν υπάρχουν κοντά άλλα νησιά.
α) Αν υποθέσουμε ότι αυξάνουμε την έκταση ενός νησιού κατά ένα παράγοντα, πόσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών; β) Αν σε ένα νησί έκτασης km υπάρχουν 9 διαφορετικά είδη θηλαστικών, πόσα διαφορετικά είδη περιμένει κάποιος να βρει σε ένα κοντινό νησί (ίδιο c) έκτασης, km ; γ) Αν ανακαλύψετε ότι σε ένα άλλο κοντινό νησί υπάρχουν διαφορετικά είδη θηλαστικών, ποια είναι, με βάση τον παραπάνω τύπο, προσεγγιστικά η έκταση του νησιού; δ) Να γίνει η γραφική παράσταση του αριθμού των θηλαστικών ειδών ως προς την έκταση του νησιού 8. Μετρήσεις έδειξαν ότι ο χρόνος ζωής των ερυθροκυττάρων (ερυθρά αιμοσφαίρια) στα θηλαστικά είναι μια αλλομετρική συνάρτηση του βάρους. Ο μέσος χρόνος ζωής των ερυθροκυττάρων σε έναν άνδρα 7 kg είναι μέρες. Ο μέσος χρόνος ζωής των ερυθροκυττάρων σε ένα λαγό,5 kg είναι 65 μέρες Χρησιμοποιείστε αυτά τα στοιχεία για να βρείτε την εξίσωση του χρόνου ζωής των ερυθροκυττάρων T σαν συνάρτηση του βάρους W, δηλαδή T kw Να βρεθούν οι σταθερές k και. Χρησιμοποιείστε το μοντέλο για να βρείτε το μέσο χρόνο ζωής των ερυθροκυττάρων σε ένα σκύλο kg. Επίσης, να βρείτε το βάρος ενός ζώου του οποίου τα ερυθροκύτταρα ζουν για μέρες. 9. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει δεδομένα για τη μάζα του σώματος (Β) ενός είδους καβουριού χωρίς τις δαγκάνες και για τη μάζα της δαγκάνας (C). Να προσαρμόσετε μια συνάρτηση C B στα δεδομένα. Β (gr) 58 56.8.9. C (gr) 5 78 96 57 77.8. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει δεδομένα για την αύξηση ενός πληθυσμού φασιανών (N) σε μια προστατευόμενη περιοχή. Να προσαρμόσετε μια εκθετική συνάρτηση N cekt στα δεδομένα, όπου t= αντιστοιχεί στο χρόνο 99. Έτος 99 9 9 9 Πληθυσμός 8 8 6.9. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων: (α) t και t, στους ίδιους άξονες. (β) t και ( t / ), στους ίδιους άξονες. (γ) (t ). Βρείτε μια συνάρτηση για τη θερμοκρασία της μορφής T B A t t ) τέτοια ώστε ( (α) η μέγιστη θερμοκρασία να είναι 8 C στις : μ.μ. (β) η μέγιστη διαφορά θερμοκρασίας κατά τη διάρκεια της ημέρας να είναι (γ) ο χρόνος t= να αντιστοιχεί στις : π.μ. Στη συνέχεια (α) να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης, (β) να βρεθούν οι ώρες της ημέρας που η θερμοκρασία είναι 6 C, και (γ) τα διαστήματα της ημέρας που η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη από C. C.
. Η ένταση του ηλιακού φωτός ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο I x ( x) I e, όπου I είναι η ένταση του φωτός στην επιφάνεια της λίμνης και I (x) η ένταση του φωτός σε βάθος x. Το α (/m) είναι ο κατακόρυφος συντελεστής θολερότητας της λίμνης (Εδώ υποθέτουμε ότι είναι σταθερός). (α) Έστω ότι σε βάθος μέτρου απορροφάται το % της έντασης του φωτός. Να βρείτε το α. (β) Τι ποσοστό της έντασης που φτάνει στο m απορροφάται στο επόμενο μέτρο; (γ) Τι ποσοστό της αρχικής έντασης φτάνει σε βάθος m, m και m; (δ) Το βάθος στο οποίο φτάνει % της ένταση του φωτός που πέφτει στην επιφάνεια της λίμνης έχει βιολογική σημασία. Προσεγγιστικά, είναι το βάθος στο οποίο σταματάει η ανάπτυξη του φυτοπλαγκτού. Η ζώνη πάνω από αυτό το βάθος ονομάζεται ευφωτική ζώνη (euphotic zone). Υπολογίστε το βάθος της ευφωτικής ζώνης ως συνάρτηση του α.. Τα αποτελέσματα μιας μελέτης που αφορούσε στο μεταβολικό ρυθμό των πουλιών (7 ειδών) έδειξαν ότι αν γίνει η γραφική παράσταση του μεταβολικού ρυθμού R (Wtts) ως προς τη μάζα του σώματος M (kg) σε log-log plot οι μετρήσεις είναι πολύ κοντά σε μια ευθεία γραμμή η οποία τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο,58 και έχει κλίση,7. Να βρείτε μια εξίσωση που να δίνει το μεταβολικό ρυθμό συναρτήσει της μάζας του σώματος. Απαντήσεις. (f ο g)(x)= f[g(x)] και (g ο f)(x)= g[f(x)] α) (f ο g)(x)= +x και (g ο f)(x)= 9+x β) (f ο g)(x)= (x+) και (g ο f)(x)= x + γ) (f ο g)(x)= (x/) x/ και (g ο f)(x)= (x x )/. ( x x ) 8 6 ln x,7 x, ln x 5 log (log x ) x ln(x ) e x x bx e ce ln c x b b, c x e x 6 5 ln 5 x ln x ln ln b x b log 8 ( x ) x 6 x x 9 x ή x ln(x ) e x log x log b x c / b log c ( e x ) x ln,88 x 5 δεν υπάρχει x που να ικανοποιεί την εξίσωση. ln(ln x e x) ( e )
. 7,% και %.. Έστω ότι το μέγεθος ενός οργανισμού αυξάνει σύμφωνα με την εξίσωση,5 α) S (),, β) S( t, t,5t ) S(),5t log(), ln ln,6 γ),5t ln,5t,5t S( t),,( e ),e.ο χρόνος διπλασιασμού t είναι t =ln()/,5=,67 5. Ο χρόνος ημιζωής t h, υπολογίζεται από τη σχέση ln, 5 t h. Επομένως k=,69/9=, k 6. α) W=97,8 κιλά. β) L=,8 μέτρα. 7. α) Αν Α = Α τότε S =,5 S. β) 9=c /, συνεπώς c=,9. Σε κοντινό νησί έκτασης, km υπάρχουν S=,9 (,) / = είδη. γ) Η έκταση του νησιού είναι Α=(S/,9) =(/,9) =,777 km δ)
log(c) C (gr) 8. k=6,78 και =,6. T=6,78 W,6 Ο μέσος χρόνος ζωής των ερυθροκυττάρων σε ένα σκύλο kg είναι T=6,78,6 = 98,6 μέρες. Το βάρος ενός ζώου του οποίου τα ερυθροκύτταρα ζουν για μέρες είναι W=(T/6,78) /,6 =(/6,78) /,6 =, kg. 9. X=Log(B),76,77,79,,6,9 Y=Log(C),699,89,9,7,888, Η εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία (,76,,699) και (,6,,888) είναι Y,6, 566X. Επομένως, C,87B,566,5,5,5,5 log(b) 8 6 8 6 5 5 5 B (gr). T Y=log(N),98,5,87,77 Η εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία (,,98) και (,,77) είναι Y,98, 9t. Επομένως, N 8,9e,898t 5
. (α) cos t cos t - (β) 9 sin t sin (t-π/) - (γ),5 +,5 sin(πt-π),5 - -,75 -,5 -,5,5,5,75,5,5,75 6
θερμοκρασία. Η μέγιστη θερμοκρασία B A 8 C στις : μ.μ. δηλαδή t=5 (t μετράει ώρες μετά τα μεσάνυχτα). Μέγιστη διαφορά θερμοκρασίας κατά τη διάρκεια της μέρας ( B A) ( B A) A C. Άρα A,5 C και B 6,5 C. Η περίοδος είναι ώρες, επομένως. Η θερμοκρασία έχει T μέγιστο όταν t t ) t t 6 n, n,, το μέγιστο συμβαίνει όταν t=5. Άρα ( t 9. Η συνάρτηση που περιγράφει τη θερμοκρασία είναι T 6,5,5 ( t 9), και η γραφική παράστασή της φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ελάχιστη θερμοκρασία T 5 C όταν t=, μέγιστο θερμοκρασία T 8 C όταν t=5, και μέση θερμοκρασία T 6,5 C όταν t=9 και t=. (α) 5 5 χρόνος (ώρες) (β) Για να βρούμε τις ώρες της ημέρας που η θερμοκρασία είναι 6 C πρέπει να λύσουμε την εξίσωση: 6 6,5,5 ( t 9) ή ( t 9), 9. Οι λύσεις είναι : ( t 9) (,9) n και ( t 9) (,9) n, n,,,.κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε : t,6 n και t 5, n, n,,,. Μας ενδιαφέρουν οι λύσεις στο διάστημα [,]. Οι μόνες λύσεις στο διάστημα [,] είναι t=, και t=,6 που αντιστοιχούν στις : π.μ. και :6 π.μ.. (γ) Παρόμοια βρίσκουμε ότι το διάστημα της ημέρας που η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη από C είναι [,8, 9,8], δηλαδή μεταξύ : π.μ. και 7:9 μ.μ.. (α) α= -ln,9 (m - ) (β) % (γ) m : 9%, m :8%, m :7,9% ln, ln, (δ) x. 7 m ln,9. R =,8 M,7 7