ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι:

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ ΟΝΟΜΑ ΤΜΗΜΑ Διαγώνισμα Προσομοίωσης Μαθηματικών Προσανατολισμού 11/5/19 Γ Λυκείου ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΟ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) F(x) c, c, είναι παράγουσες της f στο Δ. Κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) F(x) c, c Μονάδες 7 Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Fermat και να σχεδιάσετε διάγραμμα συνάρτησης f που να το επιβεβαιώνει. Α3. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση : i. Δίνεται η γραφική παράσταση συνάρτησης f και ευθείας (ε) Σελίδα 1 από 5

2 Η ευθεία (ε) είναι εφαπτόμενη της C f στα σημεία : α) Β β) Β και Γ γ) Β και Δ δ) Δ ii. α) Αν το 3 x x x lim xx 3 x x β) δεν υπάρχει τότε : γ) 1 δ) 1 Α4. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ώστε να προκύψουν σωστοί ισχυρισμοί. α) Αν η συνάρτηση f είναι στο διάστημα [, ], β) Αν [x,x ] k1 k με k {1,,...v}, ν... ισομήκη διαστήματα του [, ] μήκους x και k [x k1,x k] επιλεγμένο... αυθαίρετα για κάθε k {1,,...v} τότε το ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το α στο β. lim f(x), xx xx (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: lim(...) lim g(x), x {, }, και. f(x) f (x) lim lim. g(x) g (x) x x γ) Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο (,...) (..., ). Καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα x'x πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό x Μονάδες 1, οι τιμές της f(x) αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε αριθμό Μ. Τότε λέμε ότι η f έχει στο..... όριο..... και γράφουμε limf(x) A5. Δίνεται ο ισχυρισμός : Για την πολυωνυμική συνάρτηση P(x) x x 1, με ισχύει: 1 lim P(x) lim ( x ). x x i. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. Μονάδες 1 ii. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα i χρησιμοποιώντας κατάλληλο παράδειγμα. Σελίδα από 5

3 ΘΕΜΑ Β Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους x cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης 1cm και ύψους 5cm Β1. α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε σε τετραγωνικά εκατοστά και η περίμετρος Π σε εκατοστά συναρτήσει του x, είναι αντίστοιχα (x) x 1x και (x) x,x (,5). β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου μεγιστοποιείται, όταν η βάση του ΚΛ είναι διπλάσια από το ύψος του, ΚΝ. γ) Αν ο ρυθμός αύξησης του εμβαδού Ε του ορθογωνίου είναι 5cm / sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του ύψους του και της περιμέτρου του όταν το ορθογώνιο έχει εμβαδόν ίσο με το 3% του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ. Β. Έστω ότι το κόστος C σε ευρώ, της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός προϊόντος από μια βιοτεχνία που απασχολεί ν εργάτες δίνεται από τον τύπο 3 C(x) x (x) x(5x 3 x) 1,x, (,1] και το κέρδος ανά μονάδα προϊόντος είναι ( ) ευρώ, με την συνάρτηση του Β1. και (,1]. Να βρείτε πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγονται ημερησίως και από πόσους εργάτες, ώστε να έχουμε ελάχιστο κόστος και μέγιστο κέρδος καθώς και πόσα ευρώ θα είναι τα έσοδα της βιοτεχνίας από την πώληση του προϊόντος. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f : (, ) και εξής : g(x),x f(x),x x x,x για τις οποίες γνωρίζετε τα Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ). f(x) lim 1 x1x 1 f(xy) xf(y) yf(x), για κάθε x,y Ισχύει το θεώρημα Rolle για την g στο διάστημα [ 1,]. Σελίδα 3 από 5

4 Γ1. Να αποδείξετε ότι : α) xf '(x) x f(x), για κάθε x. β) f(x) xlnx,x. γ) Για κάθε x, καθώς το x φορά. αυξάνεται η εφαπτόμενη της C f στρέφεται κατά την θετική δ) 1 f( ) [f( ) f( )] όταν. 3 3 Γ. Να υπολογίσετε το. Στα ακόλουθα ερωτήματα να θεωρήσετε ότι 1 Γ3. α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης g στο διάστημα [ 1,1]. β) Αν 1 να αποδείξετε ότι 1 1 g(x)dx. e ΘΕΜΑ Δ Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (, ) για την οποία ισχύει f (x) Δ1. Να βρείτε το διάστημα Δ και τις εξισώσεις των εφαπτομένων 1, της το σημείο A( 1,). 4x, για κάθε x. Cf που διέρχονται από Δ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο να βρείτε τους τύπους της f και το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραμμές y f (x), : y x 1, : y x 1. 1 Μονάδες 6 Δ3. Να βρείτε την ευθεία x η οποία χωρίζει το χωρίο του ερωτήματος σε δυο ισεμβαδικά χωρία. Δ4. i. Δίνεται ότι I x * x e dx, και. Να δείξετε ότι I e I 1, για κάθε Σελίδα 4 από 5

5 e 1 ii. Έστω η συνάρτηση g συνεχής στο [, ) με g() και g(1) για την οποία ισχύει f(x) g'(x) e για κάθε x με. α) Να μελετήσετε την g'ως προς την παραγωγισιμότητα. f(x) β) Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής και στην συνέχεια να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. γ) Να αποδείξετε ότι 1 e 1 g(x)dx. 4 Σελίδα 5 από 5