Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

Transcript

1 Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

2 Α ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να λυθούν γραφικά τα συστήματα: y y6 y 5 1 : 1 : 3 : y 6 0 y 5 0 y ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθούν τα συστήματα: 5 8y y 5 8 5y 5y : : : 3 y y 31 3y 31y i. 1 3 y y ii. 1: : y 1 y y 14 3 : y y y y 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Να λυθούν τα συστήματα για τις διάφορες τιμές y 1 y 0 1: : ΑΣΚΗΣΗ 4 η Για ποιες τιμές του το σύστημα: ky 3 k 4y 6 έχει λύση y, που ικανοποιεί τις ανισώσεις 1 y 0 ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να λυθεί το σύστημα: 1 : y y 1. Να δείξετε ότι, 1 0 κάθε λύση του Σ1 επαληθεύει το σύστημα: : y y 0 ΑΣΚΗΣΗ 6 η Για ποιες τιμές του το σύστημα: y a y a έχει λύση στο. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα

3 Β ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 η Αν f : a, a i. Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο συναρτήσεις μια άρτια g και μια περιττή h με g, h : a, a ώστε f g h ii. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f f με a, a άρτια. Άσκηση η είναι Να δείξετε ότι αν f : περιττή τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τν αρχή των αξόνων. Άσκηση 3 η Δίνεται η συνάρτηση f 1 ln 1 i. Να δείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι D 1,1 ii. Η συνάρτηση f είναι περιττή. y iii. Αν, y Df τότε D f 1 y iv. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1. v. Να βρεθεί η συνάρτηση Άσκηση 4 η f, 1 Αν i. Να δείξετε ότι f f και περιττή. και μάλιστα y f f y f 1 y ii. Να δείξετε ότι f 1 1 min f, f 1 1 ma f iii. Αν Άσκηση 5 η * τότε f 1 f Αν η συνάρτηση f α είναι ρητός. Άσκηση 6 η είναι περιοδική να δείξετε ότι ο αριθμός f Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 3

4 Δείξετε ότι η συνάρτηση f Άσκηση 7 η Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: i. g, 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R., 1 ii. h ln 1 στο διάστημα 0, και να δείξετε ότι η εξίσωση h 0 έχει μοναδική λύση 1. iii. f, 1 στο διάστημα 1, u e iv. Άσκηση 8 η Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις ως «Σωστή» ή «Λάθος». i. Αν είναι σωστή να την αποδείξετε. ii. Αν δεν είναι σωστή,να δώσετε ένα παράδειγμα γιατί είναι λάθος. f : 1, f είναι περιττή. 1. Η συνάρτηση 3. Η συνάρτηση f 3. Η συνάρτηση είναι άρτια στο R. f είναι περιττή στο R. 4. Η συνάρτηση f ln 1 είναι περιττή. 5. Το άθροισμα δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση Η συνάρτηση f είναι περιττή στο R. 1 1 f 4 είναι άρτια. 7. Η συνάρτηση 8. Η συνάρτηση f, 0 είναι άρτια., 0 9. Αν f γνησίως μονότονη στο R τότε η εξίσωση f f 4 έχει δύο ακριβώς ρίζες στο R. 10. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια είναι 1-1. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 4

5 Γ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Άσκηση 1 η Να μετατρέψετε σε ακτίνια (rad) τα τόξα: α) 330 0, β) 10 0, γ) 0 30 και δ) Άσκηση η Να μετατρέψετε σε μοίρες τα τόξα: 7 0 ) rad, ) rad, ) rad )1rad Άσκηση 3 η Αν 3, Να υπολογίστε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Άσκηση 4 η Αν ένα τόξο ανήκει στο τέταρτο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου 5 με.να υπολογίστε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. 1 Άσκηση 5 η Να δείξετε ότι: Άσκηση 6 η Υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των τόξων: ,405,10,5,300, 30 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 5

6 Άσκηση 7 η Να δείξετε ότι τα σημεία ύ ύ ά 3 έ 0,1,... είναι κορυφές κανονικού εξαγώνου και να υπολογίσετε το για τις διάφορες τιμές του. 3 Άσκηση 8 η Να λυθούν στο R οι εξισώσεις: Αν 0 να λύσετε την εξίσωση: 4 Άσκηση 9 η Να δείξετε τις ισότητες: y y y 1. y y y. 3. Αν k, y, k έ ό ό Άσκηση 10 η Να δείξετε ότι: y y y y y , ό ό ύ : 1 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 6

7 ά ύ : 0 6. Αν έ ό ά έ ώ : k 1 Άσκηση 11 η 1 3 Αν 0, με να δείξετε ότι: Άσκηση 1 η Να λυθούν στο R οι εξισώσεις : Άσκηση 13 η Αν f 4 4 4, 1. Να δείξετε ότι f 3 4. Να βρεθούν η μεγίστη και ελαχίστη τιμή της συνάρτησης f. 3. Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο και να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα 0,. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 7

8 4. Να βρεθούν αλγεβρικά και γραφικά τα κοινά σημεία της συνάρτησης Άσκηση 14 η f με την ευθεία 7 y στο διάστημα 0,. Να λυθεί στο R η εξίσωση: cos 6 Άσκηση 15 η Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί y, που ικανοποιούν την εξίσωση: y Άσκηση 16 η Να λυθούν οι ανισώσεις: Άσκηση 17 η. Να λυθεί στο R η εξίσωση: a 1ό 0 Άσκηση 18 η Να λυθεί στο R οι εξισώσεις: ln ln 3. 1, * Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 8

9 Δ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Άσκηση 1 η Να βρεθούν οι,, τέτοιοι ώστε 3 πολυώνυμο f με f και το Άσκηση η Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης f : 3 αν είναι γνωστό ότι όταν το πολυώνυμο f διαιρείται με τα πολυώνυμα και 3 δίνει υπόλοιπα αντίστοιχα 1 και 17 αντίστοιχα. Άσκηση 3 η Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου με είναι: f : i., f f f f ii., f f f f iii. Άσκηση 4 η Να προσδιορίσετε τους αριθμούς, έτσι ώστε το πολυώνυμο v1 να διαιρείται με το πολυώνυμο 1 f. Άσκηση 5 η Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης P : 3 4 τα υπόλοιπα των διαιρέσεων P : 1 και P : 4 είναι 5. Να βρεθούν Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 9

10 Άσκηση 6 η 3 Για ποιες τιμές του οι εξισώσεις 3 : 3 0 έχουν μια κοινή ρίζα και να την βρείτε. Άσκηση 7 η Να λυθούν οι εξισώσεις: 1 : 1 0 και α) β) γ) δ) Άσκηση 8 η Να δείξετε ότι: Άσκηση 9 η 4 3 Δίνεται το πολυώνυμο P 1 έχει παράγοντα 1 i. Να βρεθεί ο αριθμός α. ii. Να λυθεί η ανίσωση P 0 Άσκηση 10 η Να βρεθούν τα,, P έχει ώστε το πολυώνυμο 4 τον αριθμό τριπλή ρίζα. Στη συνέχεια να λυθεί η ανίσωση Pe 0 Άσκηση 11 η Αν οι εξισώσεις έχουν κοινή ρίζα. i. Να δείξετε ότι 0 ii. Να βρεθεί η κοινή ρίζα των εξισώσεων (1) και (). Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 10

11 Άσκηση 1 η α) Να βρεθούν οι αριθμοί, ώστε: β) Υπολογίστε το άθροισμα: Άσκηση 13 η Δίνεται το πολυώνυμο S P έχει παράγοντα το πολυώνυμο διαίρεσης P : 3 δίνει υπόλοιπο 4. i. Να βρεθούν οι αριθμοί,, P,,,. Αν το πολυώνυμο 4 3 και το υπόλοιπο της ii. Να γίνει γινόμενο πρώτων παραγόντων το πολυώνυμο P. iii. Αν 0 Άσκηση 14 η P ln t 0. t να λυθεί η ανίσωση 1 Να δείξετε ότι το πολυώνυμο 1. Άσκηση 15 η Το πολυώνυμο f f 1 1 έχει παράγοντα όταν διαιρείται δια 1 1 δίνει υπόλοιπα 1 και 1 αντίστοιχα. Να προσδιορίσετε το υπόλοιπο της διαίρεσης f : 4 1 Άσκηση 16 η. Να δείξετε ότι κάθε ρίζα ρ του 1 πολυωνύμου f 1, 0 ικανοποιεί την ανίσωση 1 1. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 11

12 E Εκθετική συνάρτηση- Λογάριθμοι Άσκηση 1 η Να λυθούν οι εξισώσεις: i. e 4e 3 0 ii. iii. iv. 4e 4e 3 0 4e e 0 e e 13e 6 0 v. ln 6 1 ln vi. ln 4 1 ln 1 ln vii. viii. 4 ln 4ln 3 0 ln 3ln 4 0 i. ln ln 3 ln. ln 0 i. ln 0 ii. ln 1 ln 3 ln 0 iii. ln 3 4 ln 4 Άσκηση η Να λυθούν οι ανισώσεις : i. ln ln 1 ii. ln ln 5 ln ln 3 iii. ln 1 0 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

13 Άσκηση 3 η Να λυθεί το σύστημα: 5 3 y y Άσκηση 4 η Αν 7 Άσκηση 5 η 1 3 να δείξετε ότι ln ln ln Αν 0, 1 να δείξετε ότι: log log 1 Άσκηση 6 η a Να απλοποιήσετε τη παράσταση: log log log Άσκηση 7 η Να δείξετε ότι: 1 1 log log 4,5 Άσκηση 8 η Αν 0, 1 να δείξετε ότι: log log Άσκηση 9 η Να λυθεί η ανίσωση log 1 log 5 Άσκηση 10 η 0,1 0,1 1 Να λυθεί η ανίσωση : Άσκηση 11 η Να λυθεί η ανίσωση; log 1 log 1 Άσκηση 1 η 3 Να λυθεί η εξίσωση: e ln Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 13