υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 0. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. - 0. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Εκπαιδευτική Ενότητα 0 η Μοντελοποίηση υναµικών Συστηµάτων Εφαρµογές (Προσδιορισµός σταθερών υναµικού Συστήµατος c Β.Ε Bi-Sensrs/Bi-MEMS) Γενικά Στην παρούσα Εκπαιδευτική Ενότητα, θα πραγµατοποιηθεί µία σύντοµη ανασκόπηση του δυναµικού συστήµατος c µε ένα Βαθµό Ελευθερίας, θα αναφερθούν βασικές συνδεσµολογίες µεταξύ των δυναµικών στοιχείων ελαστικότητας (ελατήριο) και απόσβεσης (αποσβεστήρας), ενώ θα εξετασθούν και δύο τυπικές περιπτώσεις απλού ταλαντωτή. Στην πρώτη περίπτωση περιγράφεται ο προσδιορισµός των σταθερών ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος c και στη δεύτερη περίπτωση περιγράφεται µία τεχνολογική εφαρµογή στο πεδίο των Βιολογικών Συστηµάτων (Bilgy Systes), η οποία αφορά στη χρήση µονοβάθµιου ταλαντωτή για την ανίχνευση βιοµορίων (περισσότερα θα αναφερθούν στην αντίστοιχη ενότητα). υναµική συµπεριφορά µονοβάθµιου συστήµατος c Σε προηγούµενες Εκπαιδευτκές Ενότητες (π.χ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03), µελετήθηκαν τα µονοβάθµια δυναµικά συστήµατας c, τα οποία απεικονίζονται στο Σχήµα. (α) (β) (γ) Σχήµα : υναµικό σύστηµα c (α) χωρίς απόσβεση/χωρίς εξωτερική διέγερση, (β) µε απόσβεση/χωρίς εξωτερική διέγερση και (γ) µε απόσβεση/µε εξωτερική διέγερση Μελετήθηκαν δύο βασικές περιπτώσεις: χωρίς εξωτερική διέγερση και µε εξωτερική (αρµονική) διέγερση. Πιο συγκεκριµένα: Περίπτωση η : υναµικό σύστηµα χωρίς εξωτερική διέγερση Η απόκριση του συστήµατος, για διάφορες περιπτώσεις απόσβεσης, φαίνεται στο Σχήµα. x(t) x(t) t ζ= (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα : Τυπική απόκριση µονοβάθµιου συστήµατος c χωρίς εξωτερική διέγερση: (α) χωρίς απόσβεση, (β) µε υπερκρίσιµη απόσβεση, (γ) µε κρίσιµη απόσβεση και (δ) µε υποκρίσιµη απόσβεση. t - 0.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Υποπερίπτωση α: χωρίς απόσβεση ( ζ = 0 ) (βλ. Σχήµα α & Σχήµα α) Το σύστηµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε φυσική συχνότητα (ιδιοσυχνότητα) ω=. Η απόκριση του συστήµατος ισούται µε x( t) = Asin( ωt+ ϕ). Υποπερίπτωση β: υπερκρίσιµη απόσβεση ( ζ ) (βλ. Σχήµα β & Σχήµα β) Για πολύ µεγάλες τιµές του λόγου απόσβεσης, Το σύστηµα δεν ταλαντώνεται και η s t s t s t s t απόκριση ισούται µε x( t) = xh( t) = x( se + se ) + v( e e ) s s. Υποπερίπτωση γ: κρίσιµη απόσβεση ( ζ = ) (βλ. Σχήµα β & Σχήµα γ) Το σύστηµα επιστρέφει στην κατάσταση ηρεµίας χωρίς να ταλαντωθεί (εκτός και εάν υπάρχει αρχική ταχύτητα v ). Το σύστηµα ηρεµεί µετά από χρόνο t ( 3ω) t ( ) απόκριση του συστήµατος ισούται µε ( ω ) x t = x + v + x t e ω. Υποπερίπτωση δ: υποκρίσιµη απόσβεση ( 0< ζ < ) (βλ. Σχήµα β & Σχήµα δ) Το σύστηµα ταλαντώνεται µε ιδιοσυχνότητα ω ω και η n = ζ (ιδιοσυχνότητα αποσβενόµενης ταλάντωσης). Η απόκριση του συστήµατος ισούται µε ζωt sin( ω ϕ) x t = Ae t+, όπου A είναι το πλάτος της ταλάντωσης και ϕ η διαφορά n φάσης. Ο ρυθµός µείωσης του πλάτους της ταλάντωσης ισούται µε ( 3 ( ζω) ) e ζωt. Για χρόνο t=, το πλάτος της ταλάντωσης έχει µειωθεί κατά 95%. Για πρακτικές εφαρµογές Μηχανικού, θεωρείται ότι, σε αυτήν την περίπτωση, το πλάτος ταλάντωσης έχει µηδενισθεί. Περίπτωση η : υναµικό σύστηµα µε εξωτερική αρµονική διέγερση συχνότητας Ω Σύστηµα µε απόσβεση (βλ. Σχήµα γ). Η απόκριση (ολική λύση) του συστήµατος ισούται µε x( t) x ( t) x ( t) h ζωt sin( ω ϕ) n = +, όπου x t = Ae t+ είναι η οµογενής λύση του συστήµατος (µεταβατική κατάσταση, ταλάντωση µε συχνότητα ω ) και x ( t) X cs( t ϑ) n p h = Ω είναι η µερική λύση του συστήµατος (µόνιµη κατάσταση, ταλάντωση µε συχνότητα Ω )). p Σχήµα 3: Τυπική απόκριση µονοβάθµιου συστήµατος c µε εξωτερική αρµονική διέγερση: (α) οµογενής λύση h x t, (β) µερική λύση x ( t ), (γ) ολική λύση p x t. - 0.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Για αυτού του τύπου τα δυναµικά συστήµατα, πολύ χρήσιµη ποσότητα είναι ο Συντελεστής υναµικής Ενίσχυσης H = f ( ζ, q), ο οποίος εκφράζει ποσοτικά το λόγο του πλάτους X της ταλάντωσης, ενός συστήµατος µε εξωτερική αρµονική διέγερση πλάτους F, προς τη στατική µετατόπιση X S, που θα είχε το σύστηµα όταν σε αυτό επιβάλλεται σταθερή εξωτερική δύναµη F. Στο Σχήµα 4 απεικονίζεται µία τυπική γραφική παράσταση του συντελεστή H. H 3.5 ZONE I ZONE II ZONE III Ζώνη Ι: Στατική περιοχή ( Ω ω ) κυριαρχούν οι δυνάµεις ελαστικότητας.5 Ζώνη ΙΙ: Περιοχή συντονισµού ( Ω ω ) 0.5 0 0 0.5.5.5 3 q Ζώνη ΙΙΙ: Περιοχή υψίσυχνων διεγέρσεων ( Ω ω ) κυριαρχούν οι δυνάµεις αδρανείας Σχήµα 4: Γραφική παράσταση Συντελεστή υναµικής Ενίσχυσης συναρτήσει του λόγου q Συµπεριφορά βασικών δυναµικών στοιχείων χωρίς µάζα Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η συµπεριφορά µίας κατηγορίας βασικών δυναµικών στοιχείων, στα οποία απουσιάζει το στοιχείο αδράνειας (µάζα). Σε αυτήν την κατηγορία, ανήκουν τα ακόλουθα στοιχεία: Ελατήριο (στοιχείο ελαστικότητας) Για γραµµικό ελατήριο, ισχύει ο νόµος του He, δηλαδή F( t) = x( t), όπου F( t ) είναι η εξωτερική διέγερση, x( t ) είναι η απόκριση του ελατηρίου και είναι η σταθερά του ελατηρίου. Σύµφωνα µε τον εν λόγω νόµο, η µορφή της απόκρισης είναι όµοια µε αυτήν της εξωτερικής διέγερσης, µε σταθερά αναλογίας ( ). Συνεπώς, εάν η εξωτερική διέγερση είναι µία βηµατική συνάρτηση (συνάρτηση Heaviside), τότε και η απόκριση θα είναι οµοίως βηµατική συνάρτηση (βλ. Πίνακα, Α/Α:). Αποσβεστήρας (στοιχείο απόσβεσης) Θεωρώντας στοιχείο απόσβεσης µε ροή Quette (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/σελ.3.4), ισχύει F( t) c x( t) =, δηλαδή η εξωτερική διέγερση είναι ανάλογη της πρώτης χρονικής παραγώγου της απόκρισης. Σύµφωνα µε αυτόν τον νόµο, εάν η εξωτερική διέγερση είναι µία βηµατική συνάρτηση, τότε η απόκριση είναι γραµµική και για µηδενικές αρχικές συνθήκες, η απόκριση θα είναι µηδενική τη στιγµή αρχής µέτρησης του χρόνου (βλ. Πίνακα, Α/Α:α). Επίσης, εάν η απόκριση είναι η βηµατική συνάρτηση τότε η διέγερση είναι η συνάρτηση Dirac (βλ. Πίνακα, Α/Α:β). - 0.5 -
Πίνακας : Συµπεριφορά βασικών δυναµικών στοιχείων υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Α/Α Στοιχείο ιέγερση Απόκριση Ελατήριο α Αποσβεστήρας β 3 Kelvin-Vigt 4 Maxwell 5 Kelvin-Vigt σε σειρά µε ελατήριο Στοιχείο Kelvin-Vigt Το εν λόγω στοιχείο αποτελείται από ένα ελατήριο συνδεδεµένο παράλληλα µε έναν αποσβεστήρα. Λόγω της παράλληλης σύνδεσης, το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου µετατοπίζεται όπως ακριβώς µετατοπίζεται και το ελεύθερο άκρο του αποσβεστήρα. Η εξίσωση ισορροπίας του στοιχείου είναι F( t) = F ( t) + F ( t), όπου εξωτερική διέγερση, F ( t ) είναι η δύναµη στο ελατήριο και Fc c F t είναι η t είναι η δύναµη στον αποσβεστήρα. Από την επίλυση της εξίσωσης ισορροπίας προκύπτει η απόκριση του * στοιχείου. Για βηµατική διέγερση F( t) F H ( t) =, η απόκριση παρουσιάζεται στον Πίνακα, Α/Α:3. Η ποιοτική ερµηνεία της µορφής της απόκρισης είναι άµεση. Μετά από την πάροδο ικανοποιητικού χρονικού διαστήµατος (µόνιµη κατάσταση), το ελεύθερο άκρο του στοιχείου ακινητεί (µηδενική ταχύτητα), συνεπώς η δύναµη F ( t) c x( t) c = στον - 0.6 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 αποσβεστήρα µηδενίζεται και παραµένει µόνον η δύναµη F t του ελατηρίου. Αυτό σηµαίνει ότι η εξωτερική διέγερση F( t ) παραλαµβάνεται εξ ολοκλήρου από το ελατήριο (ως εάν δεν υπάρχει αποσβεστήρας). Σε αυτήν την κατάσταση, η µετατόπιση του * ελεύθερου άκρου του στοιχείου ισούται µε x= F H t /, δηλαδή ισούται µε x = F / (βλ. Πίνακα, Α/Α:). Αντιθέτως, στην αρχή µέτρησης του χρόνου, το ελεύθερο άκρο, από ακινησία, τίθεται σε κίνηση, άρα εµφανίζει σηµαντική µεταβολή στη µετατόπισή του (εµφανίζει ταχύτητα). Ως εκ τούτου, η δύναµη απόσβεσης επικρατεί σηµαντικά της δύναµης ελαστικότητας (ως εάν δεν υπάρχει ελατήριο). Αναλυτικός υπολογισµός της απόκρισης του στοιχείου Kelvin-Vigt σε βηµατική διέγερση παρατίθεται στο Παράρτηµα Α. Στοιχείο Maxwell Το εν λόγω στοιχείο αποτελείται από ένα ελατήριο συνδεδεµένο σε σειρά µε έναν αποσβεστήρα. Λόγω της σύνδεσης αυτής, η εξωτερική διέγερση F( t ) παραλαµβάνεται ολόκληρη και από το ελατήριο και από τον αποσβεστήρα. Με άλλα λόγια ισχύει F t = F t = F t, άρα η απόκριση του ελατηρίου (βλ. Πίνακα, Α/Α:) και η c απόκριση του αποσβεστήρα (βλ. Πίνακα, Α/Α:) είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Συνεπώς, η συνολική απόκριση του στοιχείου Maxell προέρχεται από την υπέρθεση των προαναφεροµένων αποκρίσεων (βλ. Πίνακα, Α/Α:4). Στοιχείο Kelvin-Vigt συνδεδεµένο σε σειρά µε ελατήριο Με σκεπτικό παρόµοιο µε εκείνο, το οποίο αναπτύχθηκε στο στοιχείο Maxwell, προκύπτει ότι F( t) F ( t) F ( t) = =, συνεπώς η απόκριση του στοιχείου Kelvin-Vigt Maxwell (βλ. Πίνακα, Α/Α:3) και η απόκριση του ελατηρίου σταθεράς (βλ. Πίνακα, Α/Α:) είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Ως εκ τούτου, η συνολική απόκριση του εξεταζοµένου στοιχείου (στοιχείο Kelvin-Vigt συνδεδεµένο σε σειρά µε ελατήριο) προέρχεται από την υπέρθεση των προαναφεροµένων αποκρίσεων (βλ. Πίνακα, Α/Α:5). Επίσης, µε βάση όσα αναφέρθηκαν στο στοιχείο Kelvin-Vigt, µετά την παρέλευση ικανοποιητικού χρονικού διαστήµατος (µόνιµη κατάσταση), η παρουσία του αποσβεστήρα αµελείται και το εξεταζόµενο στοιχείο εκφυλίζεται σε δύο ελατήρια, σταθεράς και σταθεράς, συνδεδεµένων σε σειρά. Βάσει αυτών των διευκρινίσεων, προκύπτει ότι ισχύει A = ( ) και xb = ( F( t) tt), όπου ( tt) ( ) ( ) x F t = +. Ισοδύναµα δυναµικά συστήµατα Σε ένα δυναµικό σύστηµα, ένα δυναµικό στοιχείο είναι δυνατόν να αντικατασταθεί µε ένα άλλο, αρκεί η δυναµική συµπεριφορά των δύο στοιχείων να είναι ακριβώς η ίδια. Κατ αντιστοιχία, µία οµάδα από δύο ή περισσότερα δυναµικά στοιχεία είναι δυνατόν να αντικατασταθεί µε ένα δυναµικό στοιχείο, αρκεί η δυναµική συµπεριφορά του στοιχείου - 0.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 αντικατάστασης να είναι ακριβώς η ίδια µε εκείνην της οµάδος στοιχείων, την οποία αντικαθιστά. Και στις δύο προαναφερθείσες περιπτώσεις, το δυναµικό στοιχείο αντικατάστασης καλείται ισοδύναµο στοιχείο. Κατ επέκταση, ισοδύναµα καλούνται εκείνα τα δυναµικά συστήµατα, τα οποία περιέχουν ισοδύναµα δυναµικά στοιχεία. Σε αυτήν την κατηγορία, αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα αποτελούν οι περιπτώσεις, οι οποίες παρουσιάζονται στον Πίνακα. Πίνακας : Ισοδύναµα συστήµατα Α/Α Περιγραφή στοιχείου Συµβολισµός στοιχείου Ισοδύναµο στοιχείο Ισοδύναµη σταθερά ύο ελατήρια = + συνδεδεµένα σε σειρά ισ ύο ελατήρια συνδεδεµένα παράλληλα = + ισ 3 Ράβδος σε εφελκυσµό ισ AE = L 3EI 4 Πρόβολος σε κάµψη δ = 3 L 5 Μάζα ανηρτηµένη µε ελατήριο στο άκρο προβόλου = + δ, δ 6 Μάζα σε ελαστική έδραση και ανηρτηµένη µε ελατήριο στο άκρο προβόλου = + δ, δ = + δ,, δ, ύο ελατήρια συνδεδεµένα σε σειρά (βλ. Πίνακα, Α/Α:) Η εξωτερική διέγερση F παραλαµβάνεται ολόκληρη και από το ελατήριο σταθεράς και από το ελατήριο σταθεράς, συνεπώς οι αποκρίσεις των δύο ελατηρίων είναι µεταξύ τους ανεξάρτητες. Η απόκριση του ισοδύναµου ελατηρίου προέρχεται από την - 0.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 υπέρθεση των προαναφεροµένων αποκρίσεων xισ = x+ x. Για γραµµικά ελατήρια, από τον νόµο He F = x, προκύπτει ( F ) = ( F ) + ( F ) ( ) = ( ) + ( ). ισ ισ ύο ελατήρια συνδεδεµένα παράλληλα (βλ. Πίνακα, Α/Α:) Το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθεράς µετατοπίζεται όπως ακριβώς µετατοπίζεται και το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθεράς, δηλαδή x = x = x. Από την ισορροπία δυνάµεων, ισχύει F = F + F. Για γραµµικά ελατήρια, από τον νόµο He F = x, προκύπτει ότι x = x + x = +. ισ ισ ισ ισ Ράβδος σε εφελκυσµό (βλ. Πίνακα, Α/Α:3) Για την περιοχή της γραµµικής ελαστικότητας, σύµφωνα µε το νόµο He, η εφελκυστική τάση σ σε µία ράβδο είναι ανάλογη της παραµόρφωσης ε της ράβδου, µε σταθερά αναλογίας το µέτρο ελαστικότητας του υλικού ( σ = ε E ). Από τον ορισµό της τάσης, ισχύει σ = ( F A), όπου F είναι η εφελκυστική δύναµη και A είναι το εµβαδόν της επιφανείας, επί της οποίας ασκείται η δύναµη F. Επίσης, από τον ορισµό της παραµόρφωσης ισχύει ε = ( L L), όπου L είναι το αρχικό µήκος της ράβδου και L είναι η µεταβολή του µήκους της ράβδου. Από το συνδυασµό των ανωτέρω ορισµών προκύπτει σ ε = E F A = E L L F = AE L L. εδοµένου ότι η ποσότητα L εκφράζει και τη µετατόπιση x του ελευθέρου άκρου της ράβδου, έπεται ότι ισχύει F = AE L x. Από την τελευταία σχέση, προκύπτει ότι µία ράβδος σε εφελκυσµό είναι δυνατόν να θεωρηθεί ως ένα ελατήριο σταθεράς ( AE L) δύναµη F και το ελεύθερο άκρο του µετατοπίζεται κατά x. ισ =, το οποίο εφελκύεται µε Πρόβολος σε κάµψη (βλ. Πίνακα, Α/Α:4) Από τη Μηχανική του Παραµορφωσίµου Σώµατος προκύπτει, για παράδειγµα χρησιµοποιώντας την τεχνική της ελαστικής γραµµής, ότι το βέλος κάµψης δ προβόλου (µονόπακτη δοκός σε κάµψη) µήκους L υπό καµπτικό φορτίο P, ασκούµενο στο ελεύθερο άκρο του, ισούται µε δ = PL 3 ( 3EI), όπου E είναι το µέτρο ελαστικότητας του υλικού και I είναι η ροπή αδρανείας της διατοµής της δοκού. Αναδιατάσσοντας τους 3 όρους, προκύπτει P ( 3 ) = EI L δ. Εποµένως, η περίπτωση προβόλου σε κάµψη είναι 3 δυνατόν να θεωρηθεί ως ένα ελατήριο σταθεράς ισ ( 3EI L ) δύναµη F και το ελεύθερο άκρο του µετατοπίζεται κατά δ. =, το οποίο εφελκύεται µε Μάζα ανηρτηµένη µέσω ελατηρίου στο άκρο προβόλου (βλ. Πίνακα, Α/Α:5) Σε αυτήν την περίπτωση, ο πρόβολος αντικαθίσταται από το ισοδύναµο στοιχείο του (βλ. Πίνακα, Α/Α:4), δηλαδή από ένα ελατήριο σταθεράς δ. Συνεπώς, προκύπτει ένα νέο - 0.9 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 (ισοδύναµο) σύστηµα, το οποίο αποτελείται από δύο ελατήρια, σταθεράς δ και αντίστοιχα, συνδεδεµένα σε σειρά, µία µάζα και ένα ελατήριο σταθεράς. Το εν λόγω σύστηµα απλοποιείται περαιτέρω, αντικαθιστώντας τα ελατήρια σταθεράς δ και µε ένα ισοδύναµό τους, δ, όπου ( ) ( ) ( ) = + (βλ. Πίνακα, Α/Α:). Με δ, δ βάση τα ανωτέρω, τελικά προκύπτει ένα µονοβάθµιο σύστηµα,,. δ Μάζα επί ελαστικής έδρασης και ταυτόχρονα ανηρτηµένης µέσω ελατηρίου στο άκρο προβόλου (βλ. Πίνακα, Α/Α:5) Σε αυτήν την περίπτωση, ο πρόβολος αντικαθίσταται από το ισοδύναµο στοιχείο του (βλ. Πίνακα, Α/Α:4), δηλαδή από ένα ελατήριο σταθεράς δ. Συνεπώς, προκύπτει ένα νέο (ισοδύναµο) σύστηµα, το οποίο αποτελείται από δύο ελατήρια συνδεδεµένα σε σειρά, σταθεράς δ και αντίστοιχα, από µία µάζα και από ένα ελατήριο σταθεράς. Το εν λόγω σύστηµα είναι δυνατόν να απλοποιηθεί, αντικαθιστώντας τα δύο ελατήρια σταθεράς δ και µε ένα ισοδύναµό τους, δ, όπου ( ) ( ) ( ) = + (βλ. δ, δ Πίνακα, Α/Α:). Προκύπτει, λοιπόν, το σύστηµα του Σχήµατος α. Στο σύστηµα αυτό παρατηρούµε ότι τα σηµεία Α και Γ (ελεύθερα άκρα των ελατηρίων σταθεράς δ, και, αντίστοιχα), θεωρώντας το στοιχείο µάζας ως απαραµόρφωτο, εµφανίζουν κοινή µετατόπιση. Επίσης, παρατηρούµε ότι και το ελατήριο σταθεράς δ, και το ελατήριο σταθεράς αντιτίθενται στην κατακόρυφη µετακίνηση της µάζας (βλ. Σχήµα β, γ). ιαπιστώνουµε, λοιπόν, ότι το δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος α εµφανίζει την ίδια συµπεριφορά µε εκείνην του συστήµατος του Σχήµατος δ. Συνεπώς, τα δύο εν λόγω συστήµατα είναι ισοδύναµα. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα : Μονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c υπό αρµονική διέγερση Με βάση την ανωτέρω παρατήρηση, το σύστηµα του Σχήµατος α απλοποιείται περαιτέρω στο σύστηµα του Σχήµατος δ., στο οποίο αναγνωρίζουµε ότι τα ελατήρια σταθεράς δ, και είναι συνδεδεµένα παράλληλα µεταξύ τους, άρα είναι δυνατόν να αντικατασταθούν από ένα ισοδύναµο ελατήριο σταθεράς,, =,+. δ δ - 0.0 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Εφαρµογή #: Προσδιορισµός σταθερών µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος c Έστω το µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c του Σχήµατος, στο οποίο η εξωτερική αρµονική (ηµιτονοειδής) διέγερση έχει πλάτος F = 500N. Αρχικά, το σύστηµα διεγέρθηκε, από κατάσταση ηρεµίας, µε συχνότητα Ω = 6 rad s και, στη µόνιµη κατάσταση, µετρήθηκε πλάτος ταλάντωσης X 8 0 3 = c και διαφορά φάσης 5 ϑ =. Στη συνέχεια, το σύστηµα, πάλι από κατάστασης ηρεµίας, διεγέρθηκε µε συχνότητα Ω = 5 rad s και, στη µόνιµη κατάσταση, µετρήθηκε πλάτος ταλάντωσης ϑ = 55. X 36 0 3 = c και διαφορά φάσης Σχήµα : Μονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c υπό αρµονική διέγερση Ζητούνται: Α) οι σταθερές, c,, ω, ζ του συστήµατος Β) οι µεταβολές των ελαστικών δυνάµεων, όταν ο λόγος απόσβεσης ζ τεθεί ίσος προς 0. Λύση Για το ερώτηµα (Α): Από την εκφώνηση προκύπτει ότι το σύστηµα, στη µόνιµη κατάσταση, ταλαντώνεται µε σταθερό πλάτος ταλάντωσης (µόνιµη ταλάντωση). Αυτή η συµπεριφορά εµφανίζεται όταν το σύστηµα χαρακτηρίζεται είτε από λόγο απόσβεσης 0< ζ <, είτε από λόγο απόσβεσης ζ = 0 (για άλλες τιµές του λόγου απόσβεσης, δεν εµφανίζεται µόνιµη ταλάντωση, βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα /Σχήµα ). Επίσης, αναφέρεται ότι στη µόνιµη κατάσταση, µετρήθηκε διαφορά φάσης ϑ 0. Αυτό σηµαίνει ότι η συχνότητα του διεγέρτη δεν ταυτίζεται µε την συχνότητα της απόκρισης του συστήµατος (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Πίνακα 3). Ο συνδυασµός των ανωτέρω δύο πληροφοριών οδηγεί στο συµπέρασµα ότι το σύστηµα χαρακτηρίζεται από λόγο απόσβεσης 0< ζ < (για ζ = 0, η διαφορά φάσης ϑ µεταξύ συχνότητας διεγέρτη και απόκρισης συστήµατος είναι µηδενική). Συνεπώς, για το εξεταζόµενο µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί η έννοια του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης H. Ειδικότερα, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.()): H = () ( q ) + ( ζ q) Επίσης, για τη διαφορά φάσης ϑ ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.(30)): ζ q tanϑ= q () - 0. -
Από την τριγωνοµετρία, εξ ορισµού ισχύει: Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(3), προκύπτει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 sin ϑ cs ϑ + = (3) ϑ ϑ+ ϑ= + = ϑ+ = ϑ= sin sin cs tan cs csϑ cs ϑ cs ϑ tan ϑ+ (4) Ο συνδυασµός των Εξ.(,4) δίδει: csϑ = = = = ζ q ζ q q ( ) q q q ζ q ζ + q + q + + q q q q ( q ) csϑ= csϑ = ( q ) ( ζ q) + ( q ) ( ζ q) + ( q ) H (5) Ο συνδυασµός των Εξ.(,5) δίδει: csϑ csϑ= H H = (6) ( q ) ( q ) Επίσης, εξ ορισµού, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.(0)): Ως X H= X = X SH (7) X S X S ορίζεται το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.(0)): X S F = (8) Ο συνδυασµός των Εξ.(6,7,8) δίδει: F csϑ F csϑ F csϑ X = ( q ) = q = X X ( q ) (9) Ο λόγος q ορίζεται ως εξής (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.(8)): Ω q= ω (0) Υπενθυµίζεται ότι ως Ω συµβολίζεται η συχνότητα του διεγέρτη. Ο συνδυασµός των Εξ.(9,0) δίδει: - 0. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 F csϑ F csϑ ω = Ω F csϑ = Ω = Ω = ω X ω X ( ) X F csϑ Ω = () X Εφαρµόζοντας την Εξ.(), για την πρώτη περίπτωση διέγερσης, προκύπτει: 500 cs 5 500 0.966 6 = 6 = 56= 34.56 0 8 0 0 8 0 c 5 3 5 Εφαρµόζοντας την Εξ.(), για τη δεύτερη περίπτωση διέγερσης, προκύπτει: 500 cs 55 500 0.574 5 = 5 = 65= 39.83 0 36 0 0 36 0 c 5 3 5 () (3) Αφαιρώντας κατά µέλη τις Εξ.(,3),προκύπτει: 56 65 = 34.56 0 5 39.83 0 5 369 = 94.35 0 5 = 556g (4) Ο συνδυασµός των Εξ.(3,4) δίδει: 5 = 556 5 = 39.83 0 + 65 = 39.83 0 + 65 5557 = (5) 7.996 0 N Συνεπώς, η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος ισούται µε: 7.996 0 ω= = ω= 7.943rad (6) 556 s Επίσης, πάλι από την Εξ.(3) και εκτελώντας πράξεις, προκύπτει: sin ϑ+ cs ϑ= sin ϑ = cs ϑ (7) Εισάγοντας την Εξ.(5) στην Εξ.(7), προκύπτει: sin ϑ q q q + q q ( ζ ) = = = ( ζ q) ( q ) ( ζ q) ( q ) ( ζ q) ( q + + + ) - 0.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ( ζ q) sin ϑ= = ( ζ q) sin ϑ= ( ζ q) H ( ζ q) + ( q ) ( ζ q) + ( q ) H Ω X. 0 :.( 0 ): sin q ξ ϑ Ε ξ = Ε H ω sin ϑ = X ω sin ϑ S ζ = ζ = ζ ( q) 4 = H 4 ( Ω ) H X ω Ω X S H F F F sin sin ϑ ϑ ω X sin X S S ϑ = ω ω ζ = ζ ζ = = 4 Ω X 4 Ω X 4 Ω X F ω ζ = sinϑ Ω X (8) ιευκρινίζεται ότι στην Εξ.(8), απόλυτη τιµή έχει επιβληθεί µόνον στην τριγωνοµετρική ποσότητα sinϑ, διότι όλες οι άλλες ποσότητες λαµβάνουν πάντοτε θετική τιµή. Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(8), προκύπτει η τιµή του λόγου απόσβεσης ζ. Προς τούτο, είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθούν τα δεδοµένα είτε από την πρώτη περίπτωση διέγερσης είτε από τη δεύτερη περίπτωση διέγερσης. Έστω ότι επιλέγεται η πρώτη περίπτωση διέγερσης, οπότε προκύπτει: ω F 7.946 500 ζ = sinϑ = sin 5 7 3 Ω X.996 0 6 8 0 0 c 7.943 500 69857.5 ζ = sin 7 5 ( 5 ) 0.588 =.996 6 8 0 0 49.7 0 ζ = 0.57 (9) Από τον ορισµό του λόγου απόσβεσης ζ, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 0/Εξ.()): Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(0), προκύπτει: c ζ = c= ζω (0) ω = rad = () s 5 c 0.57 7.943 556g c.47 0 g s - 0.4 -
Για το ερώτηµα (Β): υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Για την πρώτη περίπτωση διέγερσης, η ελαστική δύναµη F el,, εξ ορισµού, ισούται µε: 7 3,.996 0 N Fel = X = 8 0 0 Fel, 359.8N = c () Για τη δεύτερη περίπτωση διέγερσης, η ελαστική δύναµη F el,, εξ ορισµού, ισούται µε: 7 3,.996 0 N Fel = X = 36 0 0 Fel, 785.6N = c (3) Από τον ορισµό του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης (βλ. Εξ.(7)), προκύπτει ότι η ελαστική δύναµη F el του συστήµατος ισούται µε: Εποµένως, η ελαστική δύναµη X X F H H F (4) el = = = Fel = X S X S F F el, για διαφορετική τιµή του λόγου απόσβεσης ζ, είναι δυνατόν να υπολογισθεί από την Εξ.(4), αφού πρώτα υπολογισθεί η νέα τιµή του Συντελεστού Ενίσχυσης H. Συνεπώς, ισχύει: Για την πρώτη περίπτωση διέγερσης και για ζ = 0.: Από την Εξ.(0), προκύπτει: Ω 6 q = = q = 0.575 ω 7.946 (5) Με βάση την Εξ.(), ισχύει: Ο συνδυασµός των Εξ.(5,6), δίδει: H = (6), new ( 0.575 ) + ( 0. 0.575) ( q ) + ( ζ, newq) H, new = = H, new =.466 (7) 0.459+ 0.03 Ο συνδυασµός των Εξ.(4,7) δίδει: F =.466 500 F = 3665N (8) el,, new el,, new Για τη δεύτερη περίπτωση διέγερσης και για ζ = 0. (όπως και για την πρώτη περίπτωση διέγερσης): Από την Εξ.(0), προκύπτει: - 0.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 q Ω 5 = = q = 0.8946 ω 7.946 (9) Με βάση την Εξ.(), ισχύει: H = (30), new Ο συνδυασµός των Εξ.(9,30), δίδει: ( 0.8946 ) + ( 0. 0.8946) ( q) + ( ζ, newq) H, new = = H, new = 3.79 (3) 0.03987+ 0.030 Ο συνδυασµός των Εξ.(4,3) δίδει: F = 3.79 500 F = 93.5N (3) el,, new el,, new Εφαρµογή #: Προσδιορισµός πρωτεϊνών µέσω υπολογισµού σταθερών µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος c Πληροφοριακό σηµείωµα Ένα θέµα, πολύ ενδιαφέρον από θεωρητικής απόψεως και εξαιρετικής αξίας από πρακτικής απόψεως, είναι η δυνατότητα ανίχνευσης βιοµορίων. Για παράδειγµα, η δυνατότητα ανίχνευσης πρωτεϊνών στον ανθρώπινο οργανισµό αποτελεί ένα εξαίρετο µέσο έγκαιρης και έγκυρης διάγνωσης διαφόρων παθολογικών καταστάσεων, όπως είναι ο καρκίνος. Επίσης, η δυνατότητα ανίχνευσης είτε µικροβίων είτε των αποκαλουµένων biarers σε φαγητά, αποτελεί ένα εξαίρετο µέσο αξιολόγησης επικινδυνότητας τροφών. Η δυνατότητα αναγνώρισης µικροβίων, όπως αυτό του άνθρακα, αποτελεί ένα εξαίρετο µέσο πρόληψης. Προς την κατεύθυνση της δυνατότητα ανίχνευσης βιοµορίων, έχουν αναπτυχθεί διατάξεις αποκαλούµενες ως lab-n-a-chip. Η ονοµασία τους οφείλεται στο γεγονός ότι πρόκειται για διατάξεις µικροσκοπικού µεγέθους, οι οποίες, ωστόσο, επιτελούν έργο, παραδοσιακά υλοποιούµενο σε διαγνωστικά εργαστήρια. Το µικροσκοπικό τους µέγεθος επιτυγχάνεται µε την εφαρµογή κατάλληλης τεχνολογίας (τεχνολογία chip). Στις εν λόγω διατάξεις, είναι τοποθετηµένα διάφορα ηλεκτροκινούµενα µηχανικά συστήµατα, το µέγεθος των οποίων ποικίλει µεταξύ 0µ και (συστήµατα MEMS, αρκτικόλεξο του όρου MicrElectrMechanicalSystes). Συνήθως, αποτελούνται από µία κεντρική µονάδα επεξεργασίας δεδοµένων, έναν µικροεπεξεργαστή και ένα σύνολο τεµαχίων µεγέθους µεταξύ µ και 00µ. Αξιοποιώντας, λοιπόν, τα MEMS στο πεδίο των Βιολογικών Συστηµάτων (Bilgy Systes), είναι δυνατή η κατασκευή και χρήση Βιο-αισθητήρων (Bi-Sensrs/Bi- Biarer (βιολογικός επισηµαντήρας): Συγκεκριµένες πρωτεΐνες, οι οποίες χρησιµοποιούνται στην αντικειµενική αξιολόγηση της βιολογικής κατάστασης (π.χ. φυσιολογική, παθολογική) ενός οργανισµού. - 0.6 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 MEMS), µε τους οποίους επιδιώκεται και επιτυγχάνεται η ανίχνευση βιοµορίων, π.χ. ανίχνευση πρωτεϊνών στον ανθρώπινο οργανισµό, όπως αναφέρθηκε προηγουµένως. ιαδικασία ανίχνευσης Έστω µονοβάθµιος ταλαντωτής µάζας και ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης f = 40Hz, στην επιφάνεια του οποίου έχουν προσαρµοσθεί αντισώµατα. Η προσκόλληση µικροβίων στα προαναφερθέντα αντισώµατα έχει ως αποτέλεσµα τη µεταβολή της µάζας του ταλαντωτή και ως εκ τούτου και τη µεταβολή της ιδιοσυχνότητας ταλάντωσή του. Συνεπώς, η µέτρηση της µεταβολής της ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης είναι δυνατόν να πληροφορήσει για την παρουσία µικροβίων και γενικά βιοµορίων. Προς τούτο, ζητείται να υπολογισθεί η µεταβολή της συχνότητας ταλάντωσης του ταλαντωτή του Σχήµατος 3, εάν η µάζα του προσαυξηθεί κατά pr = 0.%, λόγω προσκόλλησης µικροβίων, όπου pr είναι η µάζα των µικροβίων. Σχήµα 3: Μονοβάθµιος ταλαντωτής ανίχνευσης βιοµορίων Η συχνότητα ελεύθερης ταλάντωσης ενός µονοβάθµιου ταλαντωτή ισούται µε (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 0/Εξ.(0)): ω = (33) Όταν προσκολληθούν βιοµόρια µάζας µάζα του συστήµατος ταλαντωτής-βιοµόρια ισούται ( pr) του εν λόγω συστήµατος ισούται µε: pr στην επιφάνεια του ταλαντωτή, τότε η συνολική + και η ιδιοσυχνότητα ω, pr ω ω ω ω+ pr= ω+ ω + pr = + = + pr + pr (34) Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(34), προκύπτει: Τα αντισώµατα είναι συγκεκριµένες πρωτεΐνες του αίµατος ή άλλων σωµατικών υγρών των σπονδυλωτών και χρησιµοποιούνται από το ανοσοποιητικό σύστηµα για την ανίχνευση και εξουδετέρωση ξένων µικρο-οργανισµών, όπως είναι τα βακτήρια και οι ιοί. Στον ανθρώπινο οργανισµό υπάρχουν περίπου 0000 αντισώµατα. - 0.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ω = ω + ω( ω) + ( ω) = ω + ω( ω) + ( ω ) = pr pr + + pr ω ω ω + ω( ω) + ( ω) = = pr pr pr + + pr pr ω ( ω) ( ω) ω + ω( ω) + ( ω) = + + = ω ω pr pr Θεωρώντας ότι η µάζα των προσκεκολλήµένων βιοµορίων (35) pr είναι σηµαντικά µικρότερη της µάζας του ταλαντωτή, έπεται ότι και η µεταβολή ω θα είναι αρκετά µικρότερη της ιδιοσυχνότητας ω του ταλαντωτή, εποµένως όροι ανωτέρας τάξεως της µορφής ( ω ω) n είναι δυνατόν να αµεληθούν. Συνεπώς, θα ισχύει: pr pr 0 (36) ω 0 ω Εισάγοντας την Εξ.(36) στην Εξ.(35), προκύπτει: ( ω) ( ω) pr pr + = = ω ω (37) Η φυσική σηµασία του αρνητικού προσήµου στο δεξί µέλος της Εξ.(37) είναι ότι λόγω της προσαύξησης της µάζας του συστήµατος ταλαντωτής-βιοµόρια, η µεταβολή ω της ιδιοσυχνότητας του συστήµατος αυτού είναι αρνητική. Με άλλα λόγια, η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή, λόγω της παρουσίας των βιοµορίων, θα µειωθεί. Συνεπώς, για µία µάζα βιοµορίων = 0.%, από την Εξ.(37), προκύπτει: pr ( ω) ω = 0.% ( ω) = 0.05% ω (38) Επίσης, εξ ορισµού ισχύει: - 0.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ω= ω ω= π f π f ω= π f f ω= π f (39) Ο συνδυασµός των Εξ.(38,39) δίδει: new new new ( ω) 0.05% ω π 0.05% π 0.05% 0.05% 40 = f = f f = f f = Hz 3 f 0.05% 40Hz 5 0 = = 0 4 0 0 f = 0Hz (40) Συνεπώς, για µία µεταβολή της µάζας του ταλαντωτή της τάξεως 0.%, προκαλείται µεταβολή (µείωση) στην ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή κατά 0Hz. ιευκρινίζεται ότι για τη µέτρηση της ταλάντωσης, άρα και της µεταβολής της, ο ταλαντωτής προσβάλλεται µε µια φωτεινή δέσµη, την ανάκλαση της οποίας καταγράφουν ειδικοί αισθητήρες. Επειδή, δε, οι µεταβολές στην ταλάντωση είναι πολύ µικρές, χρησιµοποιούνται οι αποκαλούµενες διατάξεις PM (αρκτικόλεξο του όρου PhtMultiplierube), οι οποίες έχουν την ικανότητα να διακρίνουν µεταβολή ταλάντωσης της τάξεως Hz. Συµπληρωµατικό πληροφοριακό σηµείωµα Η ανιχνευτική διάταξη που αναφέρθηκε προηγουµένως λειτουργεί θεωρώντας ότι ο ταλαντωτής βρίσκεται µέσα σε αέρα ή σε αέρια, άρα η όποια ανίχνευση βιοµορίων αφορά σε τέτοιο περιβάλλον. Ωστόσο, για τη διάγνωση βιοµορίων σε υγρό περιβάλλον, όπως για παράδειγµα σε αίµα, δεν είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί η συγκεκριµένη µορφή του ταλαντωτή, διότι, εξ αιτίας του υγρού περιβάλλοντος, οι αναπτυσσόµενες υδροδυναµικές αντιστάσεις είναι πολύ µεγάλες, επηρεάζοντας σηµαντικά τη µεταβολή της συχνότητας ταλάντωσης. Ειδικότερα, η ενεργός µάζα (effective ass) του ταλαντωτή, eff, ακριβώς λόγω των αναπτυσσοµένων υδροδυναµικών αντιστάσεων, γίνεται έως και 00 φορές µεγαλύτερη της µάζας του ταλαντωτή: Συνεπώς, για µάζα, eff, η Εξ.(37) δίδει: ( ω) ( ω), eff 00 (4) pr pr pr = = = ω ω 00 00 new, eff new ( ω) ω ld ( ω) ( ω) = ω ω 00 new ld (4) Από την Εξ.(4) προκύπτει ότι ο ταλαντωτής του Σχήµατος 3, όταν λειτουργεί σε υγρό περιβάλλον, καθίσταται έως και 00 φορές λιγότερο ευαίσθητος, άρα απολύει το πλεονέκτηµα της ανιχνευτικής του ικανότητας (οι µεταβολές στην ταλάντωσή του λόγω προσκόλλησης βιοµορίων καθίστανται µη-ανιχνεύσιµες). - 0.9 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Αναλυτικός υπολογισµός της απόκρισης του στοιχείου Kelvin-Vigt σε βηµατική διέγερση Εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Lapalce στην εξίσωση ισορροπίας δυνάµεων προκύπτει: { } { } { } { } { } F + F = F t cx + x= F H t L cx + x = L F H t cl x + L x = FL H t * * * c c( sx x ) + X = F csx cx + X = F ( cs+ ) X = F + cx s s s Θεωρώντας µηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλαδή ότι ισχύει x = 0, η Εξ.(Α.) δίδει: Θέτοντας cs+ X = F X F F = = s s cs+ s c s+ ( c) a= c, η Εξ.(Α.) δίδει: F X = c s s+ a Εφαρµόζοντας την τεχνική των µερικών κλασµάτων στην Εξ.(Α.3), προκύπτει: + + A B A s+ a + Bs A A s A a Bs + B s+ A a = + = = = s s+ a s s+ a s s+ a s s+ a s s+ a Από την Εξ.(Α.4), έπεται ότι: ( ) ( c ) 0 B A B a B A + B = = = a = = c A ( a= A = a) A c = A a = Ο συνδυασµός των Εξ.(Α.3,Α.5) δίδει: ( c ) ( c ) F A B F F X ( c = ) c + = + = s s+ a c s s+ a c s s+ a F X = s s+ a Εφαρµόζοντας τον Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(Α.6), προκύπτει: F F L{ X } = L x( t) = s s+ a L L s s+ a F at F x( t) = H ( t) e H ( t) x t = e H t * * * ( at) Η Εξ.(7) εκφράζει την απόκριση του στοιχείου Kelvin-Vigt σε βηµατική διέγερση. (Α.) (Α.) (Α.3) (Α.4) (Α.5) (Α.6) (Α.7) - 0.0 -