δ. = 7. Ένα σώµα ακολουθεί έναν από τους παρακάτω δρόµους,, 3 για να φτάσει στο έδαφος (αντιστάσεις αµελητέες) 3 ι.με ποιον από τους παραπάνω δρόµους

ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ηµήτρης Αθανασίου - Φυσικός Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.έργο µιας δύναµης ονοµάζουµε α.το γινόµενο της δύναµης που ασκείται σ ένα σώµα επί την ταχύτητα υ β.το γινόµενο της δύναµης που ασκείται σ ένα σώµα επί τη µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της κατά τη διεύθυνσή της γ.το γινόµενο της δύναµης που ασκείται σ ένα σώµα επί την επιτάχυνση a δ.τίποτα από τα παραπάνω.το έργο µιας δύναµης εκφράζει α.την αύξηση της ενέργειας ενός σώµατος β.τη µείωση της ενέργειας ενός σώµατος γ.τη µεταφορά της ενέργειας από ένα σώµα σ ένα άλλο ή τη µετατροπή της από µια µορφή σε µια άλλη δ.τίποτα από τα παραπάνω 3.Όταν η δύναµη είναι οµόρροπη και παράλληλη µε τη µετατόπιση, το έργο της δίνεται από τη σχέση α. = συνφ β. = γ.µηδέν δ. = 4.Όταν η δύναµη είναι αντίρροπη και παράλληλη µε τη µετατόπιση, το έργο της δίνεται από τη σχέση α. = συνφ β. = γ.µηδέν δ. = 5.Αν µια δύναµη ασκείται κάθετα στη µετατόπιση ενός σώµατος τότε α.παράγει το µέγιστο έργο β.επιταχύνει το σώµα γ.δεν παράγει έργο δ.τίποτα από τα παραπάνω 6.Όταν η δύναµη σχηµατίζει γωνία φ µε τη µετατόπιση, το έργο της δίνεται από τη σχέση α. = συνφ β. = γ.µηδέν

δ. = 7. Ένα σώµα ακολουθεί έναν από τους παρακάτω δρόµους,, 3 για να φτάσει στο έδαφος (αντιστάσεις αµελητέες) 3 ι.με ποιον από τους παραπάνω δρόµους το έργο του βάρους είναι µεγαλύτερο α.µε τον β.µε τον γ.µε τον 3 δ.µε κανένα από τους παραπάνω ιι.με ποιο δρόµο το σώµα φτάνει στο έδαφος µε τη µεγαλύτερη ταχύτητα α.µε τον β.µε τον γ.µε τον 3 δ.µε κανένα από τους παραπάνω 8.Για το παρακάτω σχήµα το θεώρηµα µεταβολής κινητικής ενέργειας γράφεται Ν Τ ηρεµεί m φ m υ α. mυ β. υ γ. υ = + συνφ + T + + N m = + συνφ - T + m = + συνφ - T

δ. υ m = - + συνφ - T + N 9.Ένα σώµα έχει µάζα m, ταχύτητα υ και κινητική ενέργεια K. Αν διπλασιάσουµε την ταχύτητα, η κινητική ενέργεια του σώµατος α.διπλασιάζεται β.τετραπλασιάζεται γ.υποδιπλασιάζεται δ.παραµένει σταθερή.σώµα µάζας m αφήνεται από ύψος. Οι µορφές ενέργειας που έχει το σώµα στις θέσεις, Γ και του παρακάτω σχήµατος είναι αντίστοιχα Γ υ υ επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας U = α.κινητική, δυναµική, κινητική β.δυναµική, κινητική, δυναµική γ.δυναµική, κινητική, κινητική δ.δυναµική, δυναµική & κινητική, κινητική.για µια δύναµη συντηρητική ισχύει α.το έργο της κατά µήκος µιας κλειστής διαδροµής είναι µηδέν β.το έργο είναι ανεξάρτητο της διαδροµής που ακολουθεί το σώµα, εξαρτάται µόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώµατος γ.η µηχανική ενέργεια του συστήµατος που ασκούνται διατηρείται σταθερή δ.όλα τα παραπάνω.ένα σώµα αφήνεται από ύψος m να πέσει στο έδαφος. Μετά την αναπήδηση ανεβαίνει σε µικρότερο ύψος από το αρχικό. Τι από τα παρακάτω ισχύει; α.η µηχανική ενέργεια του σώµατος είναι σταθερή β.µέρος της µηχανικής ενέργειας µετατράπηκε σε θερµότητα γ.η δυναµική ενέργεια του σώµατος είναι σταθερή δ.η κινητική ενέργεια του σώµατος είναι σταθερή Ερωτήσεις σωστού-λάθους.το έργο εκφράζει την ενέργεια που µεταφέρεται από ένα σώµα σε ένα άλλο ή που µετατρέπεται από µια µορφή σε µια άλλη 3

.Όταν το έργο µιας δύναµης έχει θετική τιµή χρησιµοποιούµε την έκφραση «καταναλώνεται» ενώ όταν έχει αρνητική τιµή χρησιµοποιούµε την έκφραση «παράγεται» 3.Το έργο της τριβής είναι πάντα αρνητικό, γιατί εκφράζει την ενέργεια που προσφέρεται στο σύστηµα 4.Ένα σώµα έχει κινητική ενέργεια K = mυ εφ όσον κινείται και δυναµική ενέργεια U = mg εφ όσον βρίσκεται σε ύψος από την επιφάνεια της Γης 5.Όταν οι δυνάµεις που ασκούνται σ ένα σύστηµα σωµάτων δεν είναι συντηρητικές, η ολική ενέργεια του συστήµατος διατηρείται 6.Η ισχύς µιας µηχανής εκφράζει το έργο που παράγει η µηχανή Ερωτήσεις συµπλήρωσης κενών.η µεταβολή της ενός σώµατος είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των έργων των δυνάµεων που ασκούνται πάνω του. υναµική ενέργεια ενός σώµατος σε ύψος πάνω από την επιφάνεια της Γης, είναι η ενέργεια που έχει το σώµα λόγω... 3.Το έργο του βάρους είναι. της διαδροµής που ακολουθεί το σώµα 4.Το έργο της τριβής ολίσθησης δίνεται από τη µαθηµατική σχέση 5.Με βάση το σχήµα της ερώτησης (πολλαπλής επιλογής) να συµπληρωθεί ο πίνακας υναµική ενέργεια Κινητική ενέργεια Μηχανική ενέργεια Θέση Α J Θέση Γ 4 J Θέση 6.Η µηχανική ενέργεια ενός σώµατος ή ενός συστήµατος διατηρείται όταν οι δυνάµεις που δρουν σ αυτό είναι 7.Η ισχύς µιας µηχανής είναι το πηλίκο του έγου που παράγει, προς το...... στο οποίο παράγεται 8.Η ισχύς είναι... µε τον οποίο µια µορφή ενέργειας µετατρέπεται σε κάποια άλλη 4

Ερωτήσεις αντιστοίχισης ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΥΠΟΣ α.έργο Α. P= t β.δυναµική ενέργεια Β. = συνφ γ.κινητική ενέργεια Γ. U = mg δ.ισχύς. K = mυ ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΟΝΑ ΕΣ α.έργο Α. Joule β.δύναµη γ.ισχύς B.att Γ. N δ.ενέργεια ΥΝΑΜΕΙΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ α.βάρος σώµατος β.τριβή ολίσθησης Α.Συντηρητική δύναµη γ. ύναµη ελατηρίου Β.Μη συντηρητική δύναµη δ.ηλεκτρικές δυνάµεις 5

ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΡΓΟ ΥΝΑΜΗΣ ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις.αν η δύναµη είναι σταθερού µέτρου π.χ.αν η δύναµη είναι µεταβλητού µέτρου π.χ = N = ΥΝΑΜΗ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ Υπολογίζουµε τα έργα των δυνάµεων είτε από τις σχέσεις που αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο είτε από γραφική παράσταση. Συνήθως για ευκολία από τους τύπους Με τον τρόπο αυτό θα υπολογίσουµε τα έργα των δυνάµεων στις ασκήσεις,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, Α,, 3, 4, 6, 9 και ΒΗΜΑ ο Σχεδιάζουµε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα ΒΗΜΑ ο Αναλύουµε τις δυνάµεις (αν χρειάζεται) και ορίζουµε την απόσταση, κατά την οποία θα γίνει υπολογισµός του έργου. Ο άξονας Χ συµπίπτει µε τη µετατόπιση του κινητού ΒΗΜΑ 3ο Γράφουµε τις σχέσεις για τα έργα λαµβάνοντας υπόψη τα εξής α.εάν η δύναµη είναι οµόρροπη µε τη µετατόπιση, το έργο υπολογίζεται από τη σχέση = φ = φ = 6

β.εάν η δύναµη είναι αντίρροπη µε τη µετατόπιση, το έργο υπολογίζεται από τη σχέση φ = 8 φ = 8 = φορά κίνησης χ Τέτοια δύναµη είναι η τριβή δηλ. το έργο της τριβής είναι πάντα T = T γ.εάν η δύναµη είναι κάθετη στη µετατόπιση, το έργο είναι µηδέν δηλ. = φ = 9 ή φορά κίνησης φ = 9 Τέτοιες δυνάµεις είναι πάντα η αντίδραση του δαπέδου και η κεντροµόλος. Επίσης είναι το βάρος όταν το σώµα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο δ.εάν η δύναµη σχηµατίζει γωνία φ µε τη µετατόπιση, το έργο δίνεται από τη σχέση = συνφ φ φ φορά κίνησης χ Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε αν αναλύσουµε τη δύναµη σε συνιστώσες και εφαρµόσουµε τις προηγούµενους τύπους Αναλύω τη δύναµη δε συνιστώσες την οριζόντια φ = συνφ και την κατακόρυφη = ηµφ φ φορά κίνησης Ισοδύναµο σχήµα χ 7

φορά κίνησης χ Από τις συνάµεις που ασκούνται στο σώµα έργο παράγει µόνο η, η οποία είναι οµόρροπη µε τη µετατόπιση φ = άρα σύµφωνα µε το ΒΗΜΑ 3ο, περίπτωση α, το έργο είναι = = συνφ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στις ασκήσεις επιλέγουµε τη µέθοδο µε την ανάλυση των δυνάµεων δηλ οι ασκούµενες δυνάµεις καταλήγουν να είναι είτε οµόρροπες µε τη µετατόπιση είτε αντίρροπες είτε κάθετες στη µετατόπιση. Εποµένως όλα τα προς υπολογισµό έργα υπάγονται στις περιπτώσεις α, β και γ Αν το έργο το υπολόγιζα για τις παραπάνω περιπτώσεις από γραφική παράσταση δύναµης µε µετατόπιση, η γραφική παράσταση θα είχε την εξής µορφή ( =σταθ. είναι πάντα παραλληλόγραµµο) Το εµβαδόν του παραλληλογράµµου Ε = είναι ίσο µε το έργο της δύναµης δηλ. = Ε = χ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ι ΑΣΚΗΣΗ Α κατά τη Να βρεθεί το έργο δύναµης διεύθυνσή της κατά = m = 4N η οποία µετατοπίζει το σηµείο εφαρµογής της ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η δύναµη είναι οµόρροπη µε τη µετατόπιση, το έργο υπολογίζεται από τη σχέση = 8

= 4N φ = φ = = 4N = m Εποµένως = = 4 N m= 4J ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΙΙ ΑΣΚΗΣΗ Α Να βρεθεί το έργο δύναµης σε σώµα µάζας 5N = η οποία ασκείται υπό γωνία φ = 6 m= Kg και το µετατοπίζει κατά m = ίνεται συν 6 = ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η δύναµη σχηµατίζει γωνία σχέση = συνφ φ = 6 µε τη µετατόπιση, το έργο δίνεται από τη φ φ φορά κίνησης χ=m Εποµένως = συνφ = 5 N m = 5J Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε αν αναλύσουµε τη δύναµη σε συνιστώσες και εφαρµόσουµε τις προηγούµενους τύπους Αναλύω τη δύναµη δε συνιστώσες την οριζόντια φ = 5N = συνφ = 5 = 5N και την κατακόρυφη = ηµφ φ φορά κίνησης χ=m 9

Ισοδύναµο σχήµα = 5N φορά κίνησης χ=m Από τις συνάµεις που ασκούνται στο σώµα έργο παράγει µόνο η, η οποία είναι οµόρροπη µε τη µετατόπιση φ = άρα σύµφωνα µε το ΒΗΜΑ 3ο, περίπτωση α, το έργο είναι = = συνφ = 5 N m = 5J ΥΝΑΜΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ Με τον τρόπο αυτό θα υπολογίσουµε τα έργα των δυνάµεων στις ασκήσεις Β, 5, 8, και Το έργο οποιασδήποτε δύναµης µεταβλητού µέτρου, το υπολογίζουµε από τη γραφική παράσταση της δύναµης µε τη µετατόπιση. Το εµβαδόν του χωρίου µεταξύ γραµµής που προκύπτει από την απεικόνιση και άξονα - Χ είναι ίσο µε το έργο της δύναµης ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ι ΑΣΚΗΣΗ Β της κατά τη Να βρεθεί το έργο δύναµης διεύθυνσή της κατά = m = ( ) N η οποία µετατοπίζει το σηµείο εφαρµογής ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η δύναµη είναι οµόρροπη µε τη µετατόπιση, το έργο υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση της δύναµης µε τη µετατόπιση (είναι µεταβλητού µέτρου) = φ = φ = = = m

Η σχέση την οποία έχουµε υπόψη για τη γραφική πράσταση είναι α.για = έχουµε = N και β.για = έχουµε = m = Τοποθετούµε τα παραπάνω σηµεία στους άξονες και προκύπτει η γραφική παράσταση Το εµβαδόν του τριγώνου που προκύπτει από τη γραφική παράσταση είναι ίσο µε το έργο της δύναµης δηλ. βάση ύψος = E = = = 5J χ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ΘΜΚΕ) Ή ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΡΓΟΥ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Το χρησιµοποιούµε για να υπολογίσουµε ταχύτητες και αποµακρύνσεις. εν µας δεσµεύει το είδος των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα (είτε είναι συντηρητικές είτε όχι, είτε είναι σταθερού είτε µεταβλητού µέτρου) Αν σε κάποια άσκηση ζητάµε χρόνο κίνησης ή επιτάχυνση χρησιµοποιούµε βοηθητικά τις εξισώσεις κίνησης όπως εξηγείται η χρήση τους στο κεφάλαιο ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΒΗΜΑ ο Ορίζουµε τις θέσεις µεταξύ των οποίων θα εφαρµόσουµε το θεώρηµα. Το κριτήριο για τον ορισµό των θέσεων είναι να γνωρίζουµε την ταχύτητα του σώµατος στις συγκεκριµένες θέσεις. ΒΗΜΑ ο Σχεδιάζουµε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα (µπορώ και σε τυχαία θέση για καλύτερο σχήµα) Αναλύουµε τις δυνάµεις (αν χρειάζεται) και ορίζουµε την απόσταση, κατά την οποία θα γίνει υπολογισµός του έργου. Ο άξονας Χ συµπίπτει µε τη µετατόπιση του κινητού

ΒΗΜΑ 3ο Γράφουµε το ΘΜΚΕ στη γενική του µορφή π.χ Θ MKE ( Z ) : K K = τελ αρχ ολ Η θέση είναι η αρχική θέση και η θέση Z είναι η τελική θέση ΒΗΜΑ 4ο Αντικαθιστούµε τα µεγέθη στον τύπο ως εξής α. K υ τελ = m αν το σώµα στη θέση Z κινείται K τελ = αν το σώµα στη θέση Z είναι ακίνητο β. K = αν το σώµα στη θέση είναι ακίνητο αρχ K υ αρχ = m αν το σώµα στη θέση κινείται γ.το ολ το αναλύουµε και γράφουµε κατ αρχήν τα έργα όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα. Κατόπιν τα αντικαθιστούµε µε βάση την ανάλυση που έχει γίνει για το έργο δύναµης ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Ένα µικρό κιβώτιο µε µάζα m= 5Kg συγκρατείται ακίνητο πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο µε το οποίο έχει συντελεστή τριβής ολίσθησης µ =. 4. Αν αυξήσουµε την τιµή της δύναµης, ώστε να γίνει = N το σώµα ολισθαίνει προς τα πάνω. Πόση ταχύτητα θα έχει µετά από µετατόπιση = 5m ίνονται: ηµθ =. 6συνθ =. 8 µ στ = µ ολ και g = m / s ΣΧΟΛΙΟ Το σώµα είναι αρχικά ακίνητο, οι δυνάµεις που ασκούνται είναι σταθερού µέτρου

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΒΗΜΑ ο ΘΕΣΗ Ζ έχει ταχύτητα υ ΒΗΜΑ ο ΘΕΣΗ Α ακίνητο Ν = συνθ Ν χ=5m Τ ηµθ συνθ Τ χ =ηµθ θ θ Ισοδύναµο σχήµα χ Τ Ν ηµθ συνθ συνθ ηµθ Στο σώµα ασκούνται οι δυνάµεις Άξονας Χ = ηµθ = mgηµθ = 5.6= 3 = συνθ =.8= 8N T = µn όπου N = συνθ + ηµθ = 4 + 6= N εποµένως T =µ N = 4N Άξονας Y = mg = 5.8= 4N = συνθ συνθ = ηµθ =.6= 6N και N θ η δύναµη N την οποία υπολογίζουµε από Σ = N = N = + = συνθ + ηµθ = 4 + 6= N ΒΗΜΑ 3ο Επειδή ψάχνω ταχύτητα θα εφαρµόσω Θ MKE µεταξύ των θέσεων (όπου είναι ακίνητο) και Z όπου έχει ταχύτητα υ Θ MKE ( Z ) : K K = τελ αρχ ολ 3

ΒΗΜΑ 4ο Ανάλυση των όρων του ΘΜΚΕ K υ τελ = m K αρχ = = + + + + + ολ T N όπου = = mgηµθ = 3 5= 5N (περίπτωση β ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ αντίρροπη µε τη µετατόπιση) T = µ N=.4 5= N (περίπτωση β ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ αντίρροπη µε τη µετατόπιση) = = συνθ = 8 5= 4N (περίπτωση α ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ οµόρροπη µε τη µετατόπιση) = (περίπτωση γ ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ κάθετη στη µετατόπιση) N = (περίπτωση γ ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ κάθετη στη µετατόπιση) = (περίπτωση γ ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ κάθετη στη µετατόπιση) εποµένως το ΘΜΚΕ γράφεται ΘMKE ( Z ) : Kτελ Kαρχ = ολ mυ = + + + + + T N 5 mυ = 5J J + 4J + + + υ = 5 υ = = 5m / s υσκολία άσκησης Η ανάλυση των δυνάµεων ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6 ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Ισοδύναµο σχήµα ΒΗΜΑ ο και ΒΗΜΑ ο Ν συνθ χ Τ ηµθ συνθ ηµθ 4

Στο σώµα ασκούνται οι δυνάµεις Άξονας Χ = θ ηµθ = mgηµθ = 5.6= 3 = συνθ =.8= 8N T = µn όπου N = συνθ + ηµθ = 4 + 6= N εποµένως T =µ N = 4N Άξονας Y = mg = 5.8= 4N = συνθ συνθ N η δύναµη N την οποία υπολογίζουµε από Σ = N = = + N = ηµθ =.6= 6N και = συνθ + ηµθ = 4 + 6= N ΒΗΜΑ 3ο Το σώµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, κινούµενο στον άξονα -Χ Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του είναι Σ = ma Σ = υ = at και = at ΒΗΜΑ 4ο Προσαρµογή των εξισώσεων στην άσκηση Σ = N = N + = συνθ + ηµθ = 4 + 6= N Σ = ma T = ma 8 3 4= 5a = 5a = at 5= t t = 5s υ = at υ = 5m / s = συνθ a= m / s mgηµθ µ N = ma. 8 5. 6.4 = 5a ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΑΣΚΗΣΗ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ εδοµένα Μάζα σώµατος m= Kg, αρχικά ηρεµεί, η δύναµη είναι µεταβλητού µέτρου και σχηµατίζει γωνία θ µε το οριζόντιο επίπεδο, ηµθ=.8, συνθ=.6, µ=.5 και g = m / s Ζητούνται Το µήκος του οριζόντιου επιπέδου και η ταχύτητα τη στιγµή 5

που το εγκαταλείπει Η δυσκολία της άσκησης είναι η εύρεση του µήκους χ του οριζοντίου ΣΧΟΛΙΟ επιπέδου, απόσταση η οποία θα χρησιµοποιηθεί στον υπολογισµό των έργων. Η τεχνική που χρησιµοποιείται και στις επόµενες τάξεις είναι η εξής. Θέτουµε στο Σ των δυνάµεων τη στιγµή που αποχωρίζεται το σώµα το επίπεδο, Ν= δηλ. αντίδραση ίση µε µηδέν, και επιλύουµε τη σχέση του Σ Κατά τα λοιπά η δύναµη σχηµατίζει γωνία άρα χρειάζεται ανάλυση σε άξονες και επειδή είναι µεταβλητού µέτρου τα έργα των δυνάµεων υπολογίζονται από γραφικές παραστάσεις ΠΡΟΣΟΧΗ Επειδή οι δυνάµεις είναι µεταβλητού µέτρου οι ασκήσεις αυτές λύνονται µόνο µε θεωρήµατα ενέργειας και όχι µε εξισώσεις κίνησης ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΒΗΜΑ ο Σχεδιάζω τις δυνάµεις και ορίζω την απόσταση που θα κινηθεί το σώµα ΘΕΣΗ Α ακίνητο ΘΕΣΗ Ζ ταχύτητα υ Ν Ν Τ θ Τ w ΒΗΜΑ ο Αναλύω τις δυνάµεις (όσες χρειάζονται) σε άξονες Χ και Y. Επιλέγω τυχαία θέση για καλύτερο σχήµα. Το ίδιο σχήµα είναι και στις θέσεις Α και Ζ 6

ΘΕΣΗ Α ακίνητο =ηµθ Ν ΘΕΣΗ Ζ ταχύτητα υ Τ θ χ=συνθ χ Ισοδύναµο σχήµα ΘΕΣΗ Α ακίνητο =8+4χ ΘΕΣΗ Ζ ταχύτητα υ Ν=-4χ Τ=3- χ=6+3 χ =mg Στο σώµα ασκούνται οι δυνάµεις Άξονας Χ = συνθ = ( + 5).6= 6+ 3 T = µn όπου N = 4 εποµένως T = µ N = ( 4) = 3 4 Άξονας Y = mg = = N = ηµθ = ( + 5).8= (8+ 4) N και η δύναµη N την οποία υπολογίζουµε από Σ = N + = N = N = (8+ 4) N = N = 4 7

ΒΗΜΑ 3ο Εύρεση της απόστασης χ του οριζοντίου επιπέδου Στο σηµείο Ζ ισχύει N = 4= = 4 = 3m άρα το µήκος του οριζοντίου επιπέδου είναι = 3m. Ο υπολογισµός των έργων θα γίνει για απόσταση = 3m Άλλος τρόπος Ισχύει (γιατί δεν έχω κίνηση στον άξονα Y) Σ = N + = + = = 8+ 4 = = 4 = 3m Επειδή ψάχνω ταχύτητα θα εφαρµόσω (όπου έχει ταχύτητα υ) Θ MKE ( Z ) : K K = τελ αρχ ολ Θ MKE µεταξύ των θέσεων (όπου είναι ακίνητο) και Z ΒΗΜΑ 4ο Ανάλυση των όρων του ΘΜΚΕ K υ τελ = m K αρχ = = + + + + ολ T N όπου = (περίπτωση γ ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ κάθετη στη µετατόπιση) T από γραφική πράσταση (ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ T αρνητικό) = 3, αντίρροπη, πάντα Η σχέση την οποία έχουµε υπόψη για τη γραφική πράσταση είναι T = 3 α.για = έχουµε T = 3N και β.για = 3m έχουµε T = Τοποθετούµε τα παραπάνω σηµεία στους άξονες και προκύπτει η γραφική παράσταση 3 τ Το εµβαδόν του τριγώνου που προκύπτει από τη γραφική παράσταση είναι ίσο µε το έργο της δύναµης T δηλ. βάση ύψος 3 3 T = E = = = 4. 5J 3 χ 8

από γραφική πράσταση (ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ = 6+ 3 οµόρροπη, θετικό έργο) Η σχέση την οποία έχουµε υπόψη για τη γραφική πράσταση είναι = 6+ 3 α.για = έχουµε 6N β.για = 3m έχουµε = 5N = και Τοποθετούµε τα παραπάνω σηµεία στους άξονες και προκύπτει η γραφική παράσταση 5 6 3 Το εµβαδόν του τραπεζίου που προκύπτει από τη γραφική παράσταση είναι ίσο µε το έργο της δύναµης δηλ. B µεγ + β µικρ ή 5+ 6 = E = ύψος = 3= 3. 5 χ J = (περίπτωση γ ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ κάθετη στη µετατόπιση) N = (περίπτωση γ ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ κάθετη στη µετατόπιση) εποµένως το ΘΜΚΕ γράφεται ΘMKE ( Z ) : Kτελ Kαρχ = ολ mυ = mυ = 4.5J + 3.5J + + υ = 7 υ = + T + + + N 7 = 3 3m / s 9

ΑΡΧΗ ΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Α ΜΕ) Το χρησιµοποιούµε για να υπολογίσουµε ταχύτητες και αποµακρύνσεις. Το χρησιµοποιούµε όταν η µηχανική ενέργεια του συστήµατος διατηρείται δηλ. δεν έχουµε απώλειες κυρίως από τριβές (άρα στην πράξη χρησιµοποιείται όταν δεν έχουµε τριβές στην άσκηση) Αν σε κάποια άσκηση ζητάµε χρόνο κίνησης ή επιτάχυνση χρησιµοποιούµε βοηθητικά τις εξισώσεις κίνησης όπως εξηγείται η χρήση τους στο κεφάλαιο ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΒΗΜΑ ο Ορίζουµε τις θέσεις µεταξύ των οποίων θα εφαρµόσουµε το θεώρηµα. Το κριτήριο για τον ορισµό των θέσεων είναι να γνωρίζουµε την ταχύτητα του σώµατος στις συγκεκριµένες θέσεις. Σε κάποια από τις δύο θέσεις θεωρούµε ότι η δυναµική ενέργεια του σώµατος είναι µηδέν δηλ. ορίζουµε επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας ΒΗΜΑ ο Γράφουµε τις σχέσεις που δίνουν τη δυναµική και κινητική ενέργεια του σώµατος σε κάθε θέση και επιλύουµε τη σχέση ΣΧΟΛΙΟ Όπως φαίνεται από τα παραπάνω η λύση της άσκησης µε Α ΜΕ (εφόσον συντρέχουν οι προϋποθέσεις) πλεονεκτεί έναντι άλλων τρόπων επίλυσης ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α ΕΡΩΤΗΜΑ εδοµένα Σώµα µάζας m= Kg, αφήνεται (αρχικά ηρεµεί), λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας θ, ύψος και g = m / s Ζητούνται η ταχύτητα τη στιγµή που φτάνει στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΒΗΜΑ ο ΘΕΣΗ Α ακίνητο ΘΕΣΗ Ζ ταχύτητα υ επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας δηλ. U = Z υ ΒΗΜΑ ο Γράφουµε την αρχή διατήρησης µηχανικής ενέργειας (Α ΜΕ) για τις δύο θέσεις Α και Ζ E M = E MZ U + K = U Z + K Z mg+ = + mυ υ = g ΛΥΣΗ ΤΗΣ Ι ΙΑΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΒΗΜΑ ο Σχεδιάζουµε τις δυνάµεις Ν θ

ΒΗΜΑ ο Αναλύουµε τις δυνάµεις Ν χ=mgηµθ =mgσυνθ θ Ισοδύναµο σχήµα Ν χ=mgηµθ =mgσυνθ ηµθ = = ηµθ θ ΒΗΜΑ 3ο Κίνηση ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα Σχέσεις που επιλύουν την άσκηση (κίνηση στον άξονα Χ ) Σ = ma = ma mgηµθ = ma a= gηµθ Σ = N = (χρησιµοποιείται κυρίως για υπολογισµό της Ν και της τριβής) = at υ = at t = t = a ηµθ t = gηµθ υ = gηµθt υ = gηµθ υ = g ηµθ g t = gηµ θ ηµθ g υ = g g g = υ g

ΛΥΣΗ ΤΗΣ Ι ΙΑΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΜΕ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ΘΜΚΕ) ΒΗΜΑ ο Σχεδιάζουµε τις δυνάµεις ορίζουµε την απόσταση που θα κινηθεί το σώµα ΘΕΣΗ Α ακίνητο Ν ΘΕΣΗ Ζ ταχύτητα υ ηµθ = = ηµθ θ ΒΗΜΑ ο Αναλύουµε τις δυνάµεις Ν χ=mgηµθ =mgσυνθ ηµθ = = ηµθ θ Ισοδύναµο σχήµα Ν χ=mgηµθ =mgσυνθ ηµθ = = ηµθ θ 3

ΒΗΜΑ 3ο Επειδή ψάχνω ταχύτητα θα εφαρµόσω Θ MKE µεταξύ των θέσεων (όπου είναι ακίνητο) και Z όπου έχει ταχύτητα υ Θ MKE ( Z ) : K K = τελ αρχ ολ ΒΗΜΑ 4ο Ανάλυση των όρων του ΘΜΚΕ K = τελ m υ K αρχ = = + + ολ N όπου = = mgηµθ = mgηµθ = mg (περίπτωση α ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ ηµθ οµόίρροπη µε τη µετατόπιση) = (περίπτωση γ ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ κάθετη στη µετατόπιση) N = (περίπτωση γ ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ κάθετη στη µετατόπιση) εποµένως το ΘΜΚΕ γράφεται ΘMKE ( Z ) : Kτελ Kαρχ = ολ mυ = mυ = mg + + υ = g υ = g + N + 4

ΑΡΧΗ ΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Α Ε) Είναι γενική αρχή και ισχύει πάντα Το χρησιµοποιούµε όταν η µηχανική ενέργεια του συστήµατος δεν διατηρείται γιατί έχουµε απώλειες κυρίως από τριβής Η σχέση για δύο θέσεις Α και Ζ του σώµατος γράφεται E = E Z U + K = U Z + K Z + Q όπου Q η θερµότητα που παράγεται λόγω τριβής και συνήθως είναι ίση µε το έργο της τριβής Τα βήµατα που χρησιµοποιούµε είναι τα ίδια όπως στη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας, σηµειώνουµε µόνο τη δύναµη της τριβής ΒΗΜΑ ο Ορίζουµε τις θέσεις µεταξύ των οποίων θα εφαρµόσουµε το θεώρηµα. Το κριτήριο για τον ορισµό των θέσεων είναι να γνωρίζουµε την ταχύτητα του σώµατος στις συγκεκριµένες θέσεις. Σε κάποια από τις δύο θέσεις θεωρούµε ότι η δυναµική ενέργεια του σώµατος είναι µηδέν δηλ. ορίζουµε επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας ΒΗΜΑ ο Γράφουµε τις σχέσεις που δίνουν τη δυναµική και κινητική ενέργεια του σώµατος σε κάθε θέση, συν τη θερµότητα στην τελική θέση, και επιλύουµε τη σχέση ΣΧΟΛΙΟ Όπως φαίνεται από τα παραπάνω η λύση της άσκησης µε Α Ε χρησιµοποιείται όταν έχουµε απώλειες λόγω τριβών 5

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΜΕ Α Ε ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΒΗΜΑ ο ΘΕΣΗ Ζ έχει ταχύτητα υ Ισοδύναµο σχήµα από προηγούµενη επεξεργασία συνθ ΘΕΣΗ Α ακίνητο χ Τ Ν ηµθ συνθ ηµθ θ ΒΗΜΑ ο Μας ενδιαφέρει µόνο η τριβή Από την ανάλυση προκύπτει ότι η δύναµη της τριβής είναι T = 4N και για µετακίνηση κατά = 3m το έργο της είναι T = µ N=.4 5= N Απόδειξη T = µn όπου N + = 4 + 6= N N = συνθ ηµθ εποµένως T =µ N = 4N Άξονας Y = συνθ = mgσυνθ = 5.8= 4N = ηµθ =.6= 6N και η δύναµη N την οποία υπολογίζουµε από Σ = N = = + = συνθ + ηµθ = 4 + 6= N 6

ΘΕΣΗ Ζ έχει ταχύτητα υ Ισοδύναµο σχήµα ΘΕΣΗ Α ακίνητο Τ Ισχύει ηµθ = = ηµθ = 5.6= 3m Επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας U = θ Γράφουµε την αρχή διατήρησης ενέργειας (Α Ε) για τις δύο θέσεις Α και Ζ E = E Z U + K = U Z + K Z + Q όπου Q= T = J εποµένως 5 5 + = mg+ mυ J + = 5 3+ 5υ = 5+ υ = υ 5 5 5= υ = υ υ = m / s ΑΣΚΗΣΗ 3 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑ Α Ε ΟΜΕΝΑ Ένας µαθητής πετάει µια πέτρα κατακόρυφα προς τα πάνω και το µέγιστο ύψος που φτάνει είναι = 4m ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ το ύψος στο οποίο η κινητική ενέργεια της πέτρας είναι η µισή της αρχικής ΑΠΑΝΤΗΣΗ Επειδή το ζητούµενο είναι απόσταση θα το λύσουµε µε εξισώσεις ενέργειας και επειδή οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα είναι συντηρητικές (ασκείται µόνο το βάρος) θα χρησιµοποιήσουµε την Α ΜΕ 7

ΒΗΜΑ ο Θέση Α Το σώµα έχει µόνο δυναµική ενέργεια ενέργεια στη θέση Α γράφεται U = mg εποµένως η Μηχανική EM = U + K = mg+ = mg = 4m Θέση Ζ Το σώµα έχει δυναµική ενέργεια ενέργεια γράφεται K Z E K = U U Z = mg και κινητική = εποµένως η Μηχανική ενέργεια στη θέση Ζ MZ = U Z + K Z = U Z + K D = U Z + U = mg+ mg Θέση Το σώµα έχει µόνο κινητική ενέργεια ενέργεια στη θέση γράφεται K = E M εποµένως η Μηχανική E M = U + K = + K K = ΒΗΜΑ ο Γράφουµε την αρχή διατήρησης µηχανικής ενέργειας (Α ΜΕ) για τις δύο θέσεις Α και Ζ E M = E MZ U + K = U Z + K Z mg+ = mg + mg = + = = m ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για τις θέσεις Α, Ζ και ισχύει η αρχή διατήρησης µηχανικής ενέργειας εποµένως µπορούµε να γράψουµε E M = EMZ = EM Αν την εφαρµόσουµε µεταξύ των θέσεων Α και προκύπτει EM = E M U + K = U + K U + = + K U = K Με βάση τα παραπάνω προκύπτουν επισης οι χρήσιµες σχέσεις E U K mg m M = = D = = EMD = K D = U = m = mg U = U ma και K = K ma και EM = EMZ = EM = U ma = K ma 8

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑ Α ΜΕ ΘΜΚΕ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΒΗΜΑ ο Επιλέγουµε τα σηµεία µεταξύ των οποίων θα εφαρµόσουµε το ΘΜΚΕ. Είναι τα σηµεία και Ζ στα οποία γνωρίζω τις κινητικές ενέργειες. Θεωρείται δεδοµένο ότι K = K ma = m υ = U ma = mg Σχεδιάζω τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα Θέση Α Το σώµα έχει µόνο δυναµική ενέργεια ενέργεια στη θέση Α γράφεται E U = mg εποµένως η Μηχανική = U + K = mg+ mg M = = 4m Θέση Ζ Το σώµα έχει δυναµική ενέργεια mg U Z = και κινητική ενέργεια K Z = K = U w= mg Θέση Το σώµα έχει µόνο κινητική ενέργεια K E = M ΒΗΜΑ ο και 3ο 9

εν χρειάζεται ανάλυση η δύναµη του βάρους που ασκείται στο σώµα Επειδή ψάχνω απόσταση θα εφαρµόσω Θ MKE µεταξύ των θέσεων (όπου έχει αρχική κινητική ενέργεια K αρχ ) και Z (όπου έχει κινητική ενέργεια K τελ ) Θ MKE ( Z) : K K = τελ αρχ ολ ΒΗΜΑ 4ο Ανάλυση των όρων του ΘΜΚΕ K τελ = K ar = U ma = mg K U = mg αρχ = ma ολ = όπου = = mg (περίπτωση β ΕΡΓΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΥ αντίρροπη µε τη µετατόπιση) εποµένως το ΘΜΚΕ γράφεται ΘMKE ( Z ) : Kτελ Kαρχ = ολ mg mg= mg mg= mg = = m Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 3

ΑΣΚΗΣΗ Η γραφική παράσταση της δύναµης µε τη µετατόπιση δίνεται στο παρακάτω διάγραµµα (N) 4 8 (m) α.να υπολογιστεί το έργο της δύναµης που παράγεται όταν το σώµα µετακινείται κατά 8 m β.αν η ταχύτητα του σώµατος µάζας Kg όταν έχει µετατοπιστεί κατά m από την αρχική του θέση είναι 4 m / s, να υπολογιστεί η ταχύτητά του όταν έχει µετατοπιστεί κατά 4 m από την αρχική του θέση Απάντηση: 5 J 6m / s ΑΣΚΗΣΗ Η γραφική παράσταση της δύναµης µε τη µετατόπιση δίνεται στο παρακάτω διάγραµµα (N) 8 4 5 8 (m) Να υπολογιστεί 3

το έργο της δύναµης που παράγεται όταν το σώµα µετακινείται κατά 8 m Απάντηση: 78 J ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε οριζόντιο δρόµο ένας κύβος µάζας 5 Kg αρχίζει να κινείται µε την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναµης N Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ των δύο επιφανειών είναι. Να εφαρµόσετε το θεώρηµα της κινητικής ενέργειας για να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώµατος σε απόσταση m από το σηµείο που ξεκίνησε ίνεται: g = m / s ΑΣΚΗΣΗ 4 Απάντηση: 6 m / s 9. Ένα σώµα µάζας m= Kg βρίσκεται ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στο σώµα αρχίζει να ασκείται µια οριζόντια δύναµη = 6N, για χρονικό διάστηµα t = s Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι µ =. 3 Να υπολογίσετε α.την ταχύτητα του σώµατος στο τέλος του χρονικού διαστήµατος των β.τη µετατόπιση του σώµατος κατά το χρονικό αυτό διάστηµα γ.τη θερµότητα που παράγεται κατά την κίνηση του σώµατος ίνεται: g = m / s ΑΣΚΗΣΗ 5 s Απάντηση: m / s, m 36 J Ένα σώµα µάζας m= Kg εκτοξεύεται µε αρχική ταχύτητα υ = m / s, από τη βάση O ενός κεκλιµένου επιπέδου. Το σώµα σταµατά στιγµιαία αφού διανύσει απόσταση = 8m και επιστρέφει στο σηµείο O µε ταχύτητα υ = 6m/ s υ θ O α.να βρείτε το µέτρο της τριβής που ασκήθηκε στο σώµα. β.nα υπολογιστεί η µέγιστη δυναµική ενέργεια που αποκτά το σώµα ίνεται g = m / s Απάντηση: 4 N, 68 J ΑΣΚΗΣΗ 6 3

Το σώµα του σχήµατος, µάζας m= Kg, αφήνεται σε ένα σηµείο λείου κεκλιµένου επιπέδου, από κάποιο ύψος Α Γ θ θ 3 ίνεται η κλίση του επιπέδου θ = 3 ( ηµθ = συνθ = ) και g = m / s α. Να υπολογίστε το βάρος του σώµατος β. Να σχεδιάστε στο σχήµα τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα γ. Να αναλύσετε το βάρος και να βρείτε τις συνιστώσες του πάνω στους άξονες και που φαίνονται στο σχήµα δ. Να βρείτε (διεύθυνση φορά και µέτρο) τη δύναµη που ασκεί το σώµα στο κεκλιµένο επίπεδο ε. Να υπολογίστε την επιτάχυνση του σώµατος και την απόσταση που θα διανύσει σε χρονικό διάστηµα 4 s Αν από το ίδιο ύψος ενός όµοιου κεκλιµένου επιπέδου, ταυτόχρονα µε το σώµα, αφεθεί το σώµα Γ, µικρότερης µάζας, τότε α. Το σώµα Γ θα αποκτούσε µικρότερη επιτάχυνση β. Πρώτο στη βάση του επιπέδου θα έφτανε το σώµα γ. Το Γ θα ασκούσε µικρότερη δύναµη στο επίπεδο δ. Η κίνηση του σώµατος Γ θα ήταν ευθύγραµµη οµαλή Χαρακτηρίστε τις παραπάνω προτάσεις ως σωστές ή λανθασµένες. Απάντηση: N, 5m / s 33