ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος

Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση των σχετικών σχημάτων και ασκήσεων Φυσική 1

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος ΔΥΝΑΜΙΚΗ Ανάλυση και επαλληλία δυνάμεων; Όπως όλα τα διανύσματα! R F 1 + F... + Fn R F F... F x 1x x nx R F F... F y 1y y ny Οι δυνάμεις μπορούν να αντικατασταθούν από τις συνιστώσες τους Φυσική

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος y 1 ος Νόμος του Νεύτωνα Κάθε σώμα πάνω στο οποίο η συνολική δύναμη είναι μηδενική κινείται με σταθερή διανυσματική ταχύτητα (η οποία μπορεί να είναι και μηδενική) και με μηδενική επιτάχυνση F 0 = 0 r 0 v r v = dr dt a c r r vt 0 Φυσική 3 x

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος ος Νόμος του Νεύτωνα Αν η συνολική δύναμη δεν είναι μηδενική, το σώμα επιταγχύνεται με επιτάχυνση ανάλογη με τη δύναμη και η αναλογία αυτή είναι σταθερή για κάθε σώμα F/ a. Η σταθερή αναλογία ονομάζεται μάζα αδράνειας, m F ma Fma Fx max Fy may Fz maz Φυσική 4

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος 1 ος - ος Νόμος του Νεύτωνα 1 ος Νόμος του Νεύτωνα Μόνο στα συστήματα αναφοράς που ισχύει η σχέση F 0 a 0 v σταθ. ος Νόμος του Νεύτωνα ισχύει και η σχέση: F ma Τα συστήματα που ισχύει ο 1 ος Νόμος του Νεύτωνα λέγονται αδρανειακά συστήματα αναφοράς Φυσική 5

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος 3 ος Νόμος του Νεύτωνα Αν ένα σώμα Α ασκεί σε ένα σώμα B μία δύναμη, τότε το σώμα Β ασκεί στο σώμα Α δύναμη (ίδιου τύπου) ίση σε μέτρο και με αντίθετη κατεύθυνση. F Β από Α. A από Β F Αρχή διατήρησης δυνάμεων ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Οι δυνάμεις ασκούνται σε ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ Φυσική 6

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ & ΕΡΓΟ Τι είναι Ενέργεια ; Εξαιρετικά δύσκολο να οριστεί!!! Βασική έννοια ενός θεμελιώδη νόμου (Διατήρησης της Ενέργειας), που (όπως όλοι οι νόμοι διατήρησης) βεβαιώνει ότι το σύνολό της είναι σταθερό π.χ. αντίστοιχος με το νόμο διατήρησης της μάζας Φυσική 7

ΕΝΕΡΓΕΙΑ Διατήρηση Ενέργειας Ελαστική σύγκρουση Διατήρηση της ποσότητας ½mu (Κινητική ενέργεια) Φυσική 8

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Μη ελαστική σύγκρουση u u 1 Μη Διατήρηση της ποσότητας ½mu (Κινητική ενέργεια)-γιατί; Ένα άλλο είδος ενέργειας (Εσωτερική ενέργεια!) συμμετέχει, ώστε να διατηρείται η συνολική ενέργεια Σε κάθε περίπτωση που θεωρήθηκε ότι η αρχή αυτή δεν ισχύει, οδηγηθήκαμε σε ανακάλυψη μίας νέας μορφής ενέργειας Φυσική 9

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ & ΕΡΓΟ Έργο Συνδεδεμένο με τη δράση δύναμης σε ένα σώμα Μεταβάλλει την Κινητική Ενέργεια ½mu Έργο στην ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή δύναμη με την ίδια διεύθυνση F W F s s Φυσική 10

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ & ΕΡΓΟ Έργο Μονάδα 1Ν*m=1Joule Έργο στην ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή δύναμη που σχηματίζει γωνία φ με τη μετατόπιση W F s cos W F s Φυσική 11

ΕΡΓΟ Ευθύγραμμη κίνηση W F s cos W Fs W F s 0 W F s 0 Όταν υπάρχουν πολλές δυνάμεις: W F s Υπολογίζουμε τη συνολική δύναμη και μετά βρίσκουμε το έργο της ή Υπολογίζουμε το έργο κάθε δύναμης και αθροίζουμε τα έργα 0 Φυσική 1

ΕΡΓΟ Παράδειγμα 6- Ένα τρακτέρ σέρνει καυσόξυλα σε απόσταση 0m. Το συνολικό βάρος του τρακτέρ και των ξύλων είναι 14700Ν και το τρακτέρ ασκεί δύναμη 5000Ν υπό γωνία φ=36.9 ο στα ξύλα, στα οποία ασκείται και τριβή 3500Ν. Τι έργο παράγει η κάθε δύναμη; W F T F s T 5000 * cos(36.9) * 0 80000J W T T s 3500 * cos(180) * 0 70000J F T W W W 10000J Φυσική 13 T

ΕΡΓΟ Παράδειγμα 6-3 Ηλεκτρόνιο κινείται με σταθερή ταχύτητα 8*10 7 m/sec. Πάνω του ασκούνται ηλεκτρικές, μαγνητικές και βαρυτικές δυνάμεις. Ποιο το έργο που παράγεται όταν μετακινηθεί κατά 1m; 1 ος Νόμος του Νεύτωνα v σταθ a 0 F 0 W F s 0 Φυσική 14

ΕΡΓΟ Μεταβαλλόμενη δύναμη στην ευθύγραμμη κίνηση y F ds dw F ds cos dw F ds x Φυσική 15

ΕΡΓΟ Μεταβαλλόμενη δύναμη στην ευθύγραμμη κίνηση Αν θεωρήσουμε ότι η κίνηση γίνεται (για λόγους απλότητας) στον άξονα x και ότι η δύναμη είναι παράλληλη με τον x τότε: Wa Fa xa Wb Fb xb Wc Fc xc F a Δx a Δx b F b Δx c F c W W W a b... Φυσική 16

ΕΡΓΟ Μεταβαλλόμενη δύναμη στην ευθύγραμμη κίνηση F Δx W W W a b... W dw Fdx Φυσική 17

ΕΡΓΟ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Παράδειγμα: Ελατήριο F kx Νόμος Hooke W dw Fdx kxdx W 1 kx Φυσική 18

ΕΡΓΟ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Παράδειγμα: Ελατήριο x 1 x x x x W Fdx kxdx x 1 1 1 1 W kx kx 1 Φυσική 19

ΕΡΓΟ & ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα: Κίνηση με σταθερή Επιτάχυνση a. Απαλείφοντας το t: v v a( x x ) 0 0 v v at 0 v v F ma F m s 1 1 W Fs mv mv v v as 0 0 0 1 x x v t at 0 0 a Φυσική 0 v 0 s v

ΕΡΓΟ & ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα: Κίνηση με σταθερή Επιτάχυνση 1 1 W Fs mv mv 0 K 1 mv Κινητική Ενέργεια!!! W K K K tot 1 Το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη εξωτερική δύναμη επί ενός σωματίου είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειάς του Φυσική 1

ΕΡΓΟ & ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 1 1 W mv mv K 0 tot 1Ν*m = 1 Joule = 1Kgr*m /sec Γενική μορφή κίνησης x a = dv dx dv dv v dt dt dx dx dv W m v dx m v dv dx v x x W F dx ma dx 1 1 1 1 mv mv 1 x v 1 1 Φυσική x x 1

ΕΡΓΟ Παράδειγμα 6-7 Σε ένα σύστημα πάκτωσης δοκών μία σφύρα 00kg πέφτει με τη βοήθεια μεταλλικών οδηγών από ύψος 3m σε δοκό διατομής Ι, βυθίζοντάς την σε βάθος 7.4cm. Οι κατακόρυφοι οδηγοί ασκούν δύναμη τριβής 60Ν στην σφύρα. Βρείτε: α) την ταχύτητα της σφύρας πριν την πρόσκρουση στη δοκό και, β) τη μέση δύναμη που ασκεί η σφύρα στη δοκό διατομής Ι w mg 00*9.8 1960N W F * s (1960 60)*3 5700J Φυσική 3

ΕΡΓΟ W F * s (1960 60)*3 5700J 1 W K K mv 0 1 v W 7.55 m / s m Μετά την πρόσκρουση W K K 0 mv 1 (1960 60 n) * 0.074 5700 n 79000N 1 Φυσική 4

ΕΡΓΟ και ΙΣΧΥΣ Μέση Ισχύς Μέση ενέργεια ανά μονάδα χρόνου W -W 1 P = = av t - t 1 W t Στιγμιαία Ισχύς P= W lim dw t 0 t dt Μονάδα 1Joule/sec = 1Watt Λάμπα 100W Κατανάλωση 1KWh =1000W*3600s=3.6*10 6 J=3.6MJ Φυσική 5

ΕΡΓΟ και ΙΣΧΥΣ Ενέργεια - Ισχύς Η ενέργεια ενώ δεν μπορεί να οριστεί (όπως π.χ έστω και προσεγγιστικά η δύναμη) είναι το βασικό εμπορεύσιμο προϊόν dw F ds P = = = F dt dt dt ds P= F v P av = F vav Φυσική 6

ΕΡΓΟ και ΙΣΧΥΣ Παράδειγμα 6-9 Μία μαραθωνοδρόμος με μάζα 50Kg ανεβαίνει (με τις σκάλες) ουρανοξύστη ύψους 443m σε 15 λεπτά. Ποια η μέση ισχύς της αθλήτριας σε Watt A Τρόπος W mgh 50 *9.8* 443.17 *10 J 5 W.17 *10 P = = 41W av t 515 * 60 Β Τρόπος P = Fv = ( mg) v av av av P = av 50 *9.8* 443 / 900 41W 5 w h Φυσική 7

ΕΡΓΟ Άσκηση 6-10 Σε ένα μηχάνημα εκγύμνασης (ποδοπρέσα) ένας άνθρωπος παράγει έργο 40J όταν μετακινεί τα ελατήρια 0.m. Πόσο πρόσθετο έργο πρέπει να παράγει για να πάει τα ελατήρια ακόμα 0.m μακρύτερα; 1 1 1 1 0 1 / 1 000 / W kx k k W x N m 1 1 W kx kx W 160 40J 10J 1 Φυσική 8

ΕΡΓΟ Άσκηση 6-11 Μία δύναμη παράλληλη με τον x άξονα ασκείται σε ένα σώμα. Η δύναμη μεταβάλλεται με το χρόνο όπως δείχνει το διάγραμμα. Υπολογίστε το έργο που παράγεται από τη δύναμη F όταν το σώμα μετακινείται: α) από τη θέση x=0 στη θέση x=1m, β) από τη θέση x=1m στη θέση x=8m W dw Fdx Wa W 1 1*10 60 J 1 4*10 0 J Φυσική 9

ΕΡΓΟ Άσκηση 6-50 Κύβος μάζας 5Kg κινείται με ταχύτητα 6m/s κατά μήκος μίας οριζοντίου επιφάνειας χωρίς τριβή και προσκρούει σε ελατήριο σταθεράς k=500n/m που είναι στερεωμένο σε τοίχο. Ποιο το μέγιστο μήκος που θα συμπιεστεί το ελατήριο; W 1 m 5 x v0 x 6 0.6m 500 k 1 1 kx 0 mv Φυσική 30 F 0

ΕΡΓΟ Άσκηση 6-5 Στο σύστημα του σχήματος ο συντ. τριβής του σώματος 8Kg με το τραπέζι είναι μ κ =0.3. Θεωρείστε ότι το σχοινί και η τροχαλία δεν έχουν μάζα. Με ενεργειακή μέθοδο υπολογίστε την ταχύτητα του σώματος 6Kg μετά από 1.5m, αν ξεκινάει από ηρεμία W tot 1 (6*9.8 8*9.8* 0.3)1.5 v 1 Τ ( ) mv w T x. 1.1 m/sec (8 6)v. w Φυσική 31

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Φυσική 3

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Τι είναι Δυναμική ενέργεια ; Εξαιρετικά δύσκολο να οριστεί!!! Ενέργεια που συνδέεται με τη θέση και όχι με την κίνηση Οι σχετικές δυνάμεις λέγονται διατηρητικές δυνάμεις Η ολική μηχανική ενέργεια είναι η κινητική και η δυναμική Όταν η ολική ενέργεια είναι σταθερή, το σύστημα λέγεται διατηρητικό Φυσική 33

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα Βαρυτική Δυναμική ενέργεια Άμεσα συνδεδεμένη με τη θέση ενός σώματος σε σχέση με τη Γη W Fs w( y y ) mgy mgy grav 1 1 Η ποσότητα U=mgy (w * y) ονομάζεται βαρυτική ενέργεια W U U U grav 1 Φυσική 34

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ W U U U grav 1 Έ Fother 0 W W U U tot grav 1 W U U tot 1 1 1 U U 1 1 Ολική μηχανική ενέργεια Φυσική 35

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα 7-1 Μία μπάλα μπέϊζμπολ μάζας 0.15Kg ρίχνεται προς τα πάνω, δίνοντας μία αρχική ταχύτητα 0m/s. Με ενεργειακά κριτήρια βρείτε σε τι ύψος θα φτάσει η μπάλα (θεωρείστε μηδενική αντίσταση αέρα) 1 1 mgy mv1 mgy mv 1 y y v 1 1 v 0m g 1 Φυσική 36

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ W U U U grav 1 Fother 0 W W W K K tot grav other 1 other 1 1 U U W U W U 1 1 other Το έργο που παράγεται από όλες τις δυνάμεις (εκτός από τη βαρυτική) ισούται με τη μεταβολή της ολικής μηχανική ενέργειας Φυσική 37

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Καθορισμός αρχικής (1 ) και τελικής ( ) κατάστασης Καθορισμός του συστήματος συντεταγμένων (το y προς τα πάνω για τη σχέση U=mgy ) Καταγραφή τιμών ενέργειας (Κ 1, Κ, U 1, U ) Υπολογισμός έργου άλλων δυνάμεων W other Χρήση σχέσης: U W U 1 1 other Προσοχή: Η βαρύτητα στο ΔU, άλλες δυνάμεις στο W other Φυσική 38

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα 7- Μία μπάλα μπέϊζμπολ μάζας 0.15Kg ρίχνεται προς τα πάνω, δίνοντας μία αρχική ταχύτητα 0m/s. Για να γίνει αυτό, ασκήθηκε στη μπάλα σταθερή δύναμη για μήκος 0.5m. Με ενεργειακά κριτήρια βρείτε: α) Τι δύναμη ασκήθηκε; β) Τι ταχύτητα θα έχει 15m πάνω από το σημείο που έφυγε από το χέρι; W Όσο ακουμπάει τη μπάλα το χέρι: U U other 1 1 mgy mv 1 1 Fs mgy mv 1 0.15*9.8*( 0.5) 0 F *0.5 0 0.15* 0 F 6N Φυσική 39 1 1

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα 7- Μία μπάλα μπέϊζμπολ μάζας 0.15Kg ρίχνεται προς τα πάνω, δίνοντας μία αρχική ταχύτητα 0m/s. Για να γίνει αυτό, ασκήθηκε στη μπάλα σταθερή δύναμη για μήκος 0.5m. Με ενεργειακά κριτήρια βρείτε: α) Τι δύναμη ασκήθηκε; β) Τι ταχύτητα θα έχει 15m πάνω από το σημείο που έφυγε από το χέρι; Όταν δέν ακουμπάει τη μπάλα το χέρι: U U 1 1 mgy mv 3 3 mgy mv 1 1 0.15*9.8*15 0.15* v3 0 0.15* 0 v 100 v 10 m / s 3 3 3 3 Φυσική 40

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Τι συμβαίνει με τη Δυναμική ενέργεια όταν το σώμα κινείται σε καμπύλη τροχιά; W w* s *cos W m * g * y h Παράδειγμα 6-9 Το έργο (και η αντίστοιχη ισχύς) της μαραθωνοδρόμου ήταν ανεξάρτητο από το «σχήμα» που είχαν οι σκάλες!!! w Φυσική 41

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U Παράδειγμα 7-3 Ένας φίλος σας κάνει πατίνι κατά μήκος μίας πίστας κυκλικού σχήματος (τεταρτημόριο ακτίνας R). Αν η συνολική μάζα του φίλου σας (με το πατίνι) είναι 5Kg και δεν υπάρχει τριβή, με τι ταχύτητα «βγαίνει» από την πίστα; W U 1 1 other mgr 1 Η μη ενεργειακή επίλυση είναι εξαιρετικά δύσκολη!!! 0 0 mv 0 w ds Φυσική 4 n W n ds other 0 v gr 7.67 m / s

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα 7-4 Αν στο παράδειγμα 7-3 υπάρχουν τριβές και ο φίλος σας «βγαίνει» από την πίστα με ταχύτητα 7m/s, τι έργο παρήγαγε η τριβή; U mgr W U 1 1 other W 1 0 mv 0 T W 1J T Η μη ενεργειακή επίλυση είναι εξαιρετικά δύσκολη!!! Τ w ds Φυσική 43 n

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα 7-7 Κιβώτιο μάζας 80Kg πρέπει να μεταφορτωθεί με ολίσθηση κατά μήκος μίας ράμπας μήκους.5m και κλίσης 30 ο. Ο εργάτης εκτίμησε ότι αν το κινήσει με ταχύτητα 5m/s από το κατώτατο σημείο θα φορτωθεί κανονικά. Όμως λόγω τριβής το φορτίο προχώρησε 1.6m και επέστρεψε. Βρείτε: α) Ποια η τριβή; β) Με τι ταχύτητα επιστρέφει στο κάτω μέρος της ράμπας W W U1 1 U T 1 0 80*5 W 0 80*9.8*1.6*sin 30 T 373 W 373J T 33N T 1.6 W Ts other T Φυσική 44 o Τ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα 7-7 U W W U 1 1 other 3 U W T ( s) 746J other T 1 1 80*5 746 80* v v 1 3 W other U 1 3 3.5 m/ s 3 Φυσική 45

ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος Έργο W F s cos W F Μεταβαλλόμενη δύναμη στην ευθύγραμμη κίνηση W dw Fdx s Φυσική 46

ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος Έργο W dw Fdx F kx W 1 kx Φυσική 47

ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος Μέση Ισχύς Μέση ενέργεια ανά μονάδα χρόνου W -W 1 P = = av t - t 1 W t Στιγμιαία Ισχύς P= W lim dw t 0 t dt Φυσική 48

ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος 1 1 W Fs mv mv 1 0 K mv Κινητική Ενέργεια!!! W K K K tot 1 Το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη εξωτερική δύναμη επί ενός σωματίου είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειάς του Φυσική 49

ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος Βαρυτική Δυναμική ενέργεια W mgy mgy U U U grav 1 1 0 Ολική μηχανική ενέργεια U U Fother 1 1 0 U W U Fother 1 1 other Το έργο που παράγεται από όλες τις δυνάμεις (εκτός από τη βαρυτική) ισούται με τη μεταβολή της ολικής μηχανική ενέργειας Φυσική 50

ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Καθορισμός αρχικής (1 ) και τελικής ( ) κατάστασης Καθορισμός του συστήματος συντεταγμένων (το y προς τα πάνω για τη σχέση U=mgy ) Καταγραφή τιμών ενέργειας (Κ 1, Κ, U 1, U ) Υπολογισμός έργου άλλων δυνάμεων W other Χρήση σχέσης: U W U 1 1 other Προσοχή: Η βαρύτητα στο ΔU, άλλες δυνάμεις στο W other Φυσική 51