F=2x(6/7)εW 6 F=2x(5/7)εW 5 F=2x(4/7)εW 4 1 Παράδειγμα 8: Σεισμικός Σχεδιασμός κλιμακοστασίου και θεμελίωσης F=2x(3/7)εW 3 F=2x(2/7)εW 2 W W W W W H H B B 1.5m A A 0.1m M A A 1.5m B B 3.0m F=(2/7)εW 1 W H Υποστυλώματα A Το κλιμακοστάσιο 3-όροφου κτιρίου φαίνεται στην κάτοψη και τομή του Σχήματος. (α) Ζητείται η διαστασιολόγηση των βραχιόνων και των πλατυσκάλων με βάση την οριακή κατάσταση αστοχίας. Η στήριξη βραχιόνων και πλατυσκάλων γίνεται σε δοκούς ΑΑ (πλάτος 0.3m) οι οποίες στηρίζονται σε υποστυλώματα 0.25x0.25m στις θέσεις Α. (β) Στους ημιορόφους του κλιμακοστασίου ασκούνται οριζόντιες σεισμικές δυνάμεις με τριγωνική καθ ύψος κατανομή (αριστερά στο Σχήμα) με σεισμικό συντελεστή βάσης ε=0.15 και βάρος ημιορόφου W=70kN. Η συνολική σεισμική τέμνουσα κάθε ημιορόφου είναι το άθροισμα των οριζοντίων δυνάμεων από εκεί και πάνω. Οι σεισμικές δυνάμεις δρουν χωριστά στις 2 οριζόντιες διευθύνσεις. Ζητείται η διαστασιολόγηση των βραχιόνων της σκάλας και των στοιχείων στήριξής της (υποστυλώματα και δοκοί, αν εντείνονται από το σεισμό) για το συνδυασμό G+ψ 2 Q+E, με τη σεισμική ένταση Ε (με + και -) που προκύπτει από την εφαρμογή των ανωτέρω δυνάμεων, θεωρώντας ότι το κατακόρυφο φορτίο, W, ανά ημιόροφο κατανέμεται ομοιόμορφα στα στοιχεία στήριξης της σκάλας, προκαλώντας στα υποστυλώματα μόνο αξονική δύναμη. Η διαστασιολόγηση να περιορισθεί στον κατώτατο ημιόροφο, όπου ο βραχίονας θεωρείται πακτωμένος στο θεμέλιό του. Η συμβολή των βραχιόνων της σκάλας στην ανάληψη των σεισμικών δυνάμεων να ληφθεί ως εξής: Οταν οι σεισμικές δυνάμεις δρουν σε επίπεδο παράλληλο στον άξονα της σκάλας, οι βραχίονες αναπτύσσουν αξονικές δυνάμεις μόνο (εφελκυσμό ή θλίψη), για τις οποίες θα
2 πρέπει να διαστασιολογηθούν μαζί με την ένταση (ροπή κάμψης) λόγω G+ψ 2 Q. Οταν οι σεισμικές δυνάμεις δρουν σε οριζόντια διεύθυνση κάθετη στον άξονα των βραχιόνων, οι βραχίονες να θεωρηθούν ως λοξά τοιχώματα πακτωμένα μέσα στο επίπεδό τους στις στάθμες των πλατυσκάλων, τα οποία αναλαμβάνουν το σύνολο της σεισμικής τέμνουσας στην αντίστοιχη στάθμη και χρειάζεται να διαστασιολογηθούν σε κάμψη και διάτμηση. (γ) Ζητείται ο σχεδιασμός της θεμελίωσης των 4 υποστυλωμάτων του κλιμακοστασίου. Να εξετασθούν διάφορες εναλλακτικές λύσεις για ένα ή περισσότερα κοινά πέδιλα για τον κατώτατο βραχίονα και τα υποστυλώματα. Στο σχεδιασμό αυτό να ληφθεί υπόψη χωριστά η σεισμική δράση κάθετα στον άξονα της σκάλας και χωριστά παράλληλα στον άξονα της σκάλας, και στις δύο περιπτώσεις με πρόσημα + και για το σεισμό. Η σεισμική ένταση στη θεμελίωση και στα στοιχεία στήριξης της σκάλας, να υπολογισθεί κατά τρόπο συμβατό με τον υπολογισμό της σεισμικής έντασης στους βραχίονες. Υψος ορόφου Η=3.5m. ψ 2 =0.3. Υλικά: C16/20, S500. Φορτία επιστρώσεων κ.λ.π.: 1kN/m 2 οριζ. επιφάνειας. Κινητά φορτία: 3.5kN/m 2 οριζ. επιφάνειας, Πάτημα βαθμίδας 280mm, ρίχτι βαθμίδας 170mm. Eπικάλυψη οπλισμών με σκυρόδεμα 25mm. Υψος επίχωσης πεδίλων: μηδέν. Βάθος θεμελίωσης: ύψος πεδίλου. Εδαφος: άργιλλος με c ud =90kPa, k s =35MPa/m, γ εδ =21kN/m 3. Να θεωρηθεί ότι ισχύουν οι κανόνες του ΕΚ8 για Κατηγ. Πλαστιμότητας Μ. Λύση: (α) Κλίση σκάλας: tanθ=0.17/0.28=0.607 cosθ=0.855 L=0.5H/tanθ=0.5x3.5/0.607=2.9m Για βραχίονες: dal/30=0.6x2.9/30=0.058m Για πλατύσκαλα: d2.4x1.35/30=0.108m Ενιαίο h0.108+0.025+0.010/2=0.138m. Εστω h=0.14m Βραχίονες: g ιβ =25x(h/cosθ+s/2)=25x(0.14/0.855+0.17/2)=6.22kN/m 2 οριζ. προβολής g βρ =6.22+1=7.22kN/m 2 οριζ. προβολής Φορτίο σχεδιασμού βραχίονα: q d,βρ =1.35g+1.5q=1.35x7.22+1.5x3.5=15kN/m 2 οριζ. προβολής Πλατύσκαλο: g ιβ =25x0.14+1=4.5kN/m 2 Φορτίο σχεδιασμού πλατυσκάλων: q d,πλ =1.35x4.5+1.5x3.5=11.32kN/m 2
3 (β) β.1) Στο άνοιγμα, για φόρτιση πλατυσκάλων με g πλ =4.5kN/m 2 : M αν =15x2.9 2 /8-4.5x1.35 2 /2=11.67kNm/m, μ sd =11.67/(0.112x16000/1.5)=0.0904, ω=0.096, Α s =0.096x1000x110x(16/1.5)/(500/1.15)=259mm 2 /m. Στη στήριξη: Μ στ =11.32x1.35 2 /2=10.32kNm/m, μ sd =10.32/(0.11 2 x16000/1.5)=0.08, ω=0.084, Α s =0.084x1000x110x(16/1.5)/(500/1.15)=227mm 2 /m. Η ροπή είναι μέγιστη στην πάκτωση του κατώτατου βραχίονα στο πέδιλό του, όπου είναι: M στ =15x2.9 2 /8-0.5x4.5x1.35 2 /2=13.72kNm/m, μ sd =13.72/(0.11 2 x16000/1.5)=0.106, ω=0.114, Α s =0.114x1000x110x(16/1.5)/(500/1.15)=308mm 2 /m. Α s,min =0.0015x1000x110=165mm 2 /m, ή Φ8/(1.5d=)165: 305mm 2 /m. Τοποθετούνται παντού Φ8/165 mm 2 /m (και στο άνοιγμα, και στη στήριξη, με πρόσθετα για τις στηρίξεις Φ8/330). Οι οπλισμοί αυτοί αντιστοιχούν σε ω=0.113. Σεισμική τέμνουσα κατώτατου ημιορόφου: Τέμνουσα βάσης V b =ε(6w)=0.15x6x70=63kn Για σεισμική δράση παράλληλα στον άξονα: Η συνολική σεισμική τέμνουσα αναλαμβάνεται από τους βραχίονες, με αξονική δύναμη N=V b /cosθ=63/0.855=73.7kn. Διαστασιολόγηση βραχιόνων: Η λόγω G+ψ 2 Q ροπή κάμψης βραχιόνων στην πάκτωση στο θεμέλιο είναι: Μ στ,g+ψ2q =(7.22+0.3x3.5)x2.9 2 /8-0.5x(4.5+0.3x3.5)x1.35 2 /2=6.17kNm/m. Η διατομή στήριξης χρειάζεται να διαστασιολογηθεί για Μ=6.17kNm/m και N=73.7/(2.9/2)=50.8kN/m (εφελκυσμός), όπου 2.9/2=1.45m είναι το πλάτος του βραχίονα. Ροπή ως προς τη στάθμη του οπλισμού: M sd =M-y s N=6.17-(0.07-0.03)x50.8= 4.14kNm/m, μ sd =4.14(0.11 2 x16000/1.5)=0.032, ω=0.0327+50.8/ (1.0x0.11x16000/1.5)(:ν d )=0.076. Επειδή η τιμή ω που απαιτείται είναι μικρότερη από αυτή για την οποία διαστασιολογήθηκε η σκάλα για τα κατακόρυφα φορτία, αρκεί ο οπλισμός που τοποθετήθηκε στο (α): Φ8/165 (305mm 2 /m). Διαστασιολόγηση στοιχείων στήριξης: Εντείνονται από το σεισμό μόνον τα υποστυλώματα, με αξονικές δυνάμεις εφελκυσμού ή θλίψης λόγω της σεισμικής ροπής ανατροπής.
4 β.2) Ροπή ανατροπής στη βάση: M over =(2/3)x3HxV b =2x3.5x63=441kNm. Αξονικές δυνάμεις στα υποστυλώματα: 2N E =M over /L άρα N E =441/2x2.9=76kN. Αξονική δύναμη κάθε υποστυλώματος λόγω κατακορύφων φορτίων: N g+ψ2q =6W/4=6x70/4=105kN. Αρα ο σεισμός προκαλεί στα υποστυλώματα μέγιστη αξονική δύναμη θλίψης N max =105+76=181kN και ελάχιστη: N min =105-76=29kN. Η διατομή του υποστυλώματος αναπτύσσει, υπό τη μέγιστη δύναμη θλίψης, ανηγμένη αξονική δύναμη: ν d =181/(0.25 2 x16000/1.5)=0.27, η οποία είναι πολύ μικρότερη της οριακής τιμής ν d =0.65 που επιτρέπεται υπό σεισμικές δράσεις για Κατηγ. Πλαστιμότητας Μ. Αν η ελάχιστη αξονική δύναμη ήταν εφελκυστική, θα έπρεπε να διαστασιολογηθεί γι αυτήν ο κατακόρυφος οπλισμός των υποστυλωμάτων, λειτουργώντας με τάση f yd. Επειδή προκύπτει θλιπτική, τοποθετείται ο ελάχιστος οπλισμός των τριών ράβδων ανά πλευρά: 8Φ12=905mm 2 ρ=1.48% > ρ min =1%. Ο ελάχιστος οπλισμός θα επαρκούσε για να αναλάβει σε καθαρό εφελκυσμό αξονική δύναμη: 905x500/1.15x10-3 = 393kN. Σεισμική δράση κάθετα στον άξονα: Ο κατώτερος βραχίονας αναλαμβάνει τη συνολική σεισμική τέμνουσα ως τέμνουσα δύναμη V=63kN. Επειδή θεωρείται πακτωμένος στα άκρα του για κάμψη μέσα στο επίπεδό του, αναπτύσσει εκεί ροπές κάμψης ίσες με V επί το μισό του λοξού του μήκους, L/(2cosθ)=2.9/(2x0.855)=1.7m, δηλ. με Μ=63x1.7=107kNm. Οι ροπές αυτές έχουν διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο του βραχίονα. Διαστασιολόγηση βραχίονα σε κάμψη, σαν (λοξό) τοίχωμα: Ο οπλισμός του βραχίονα είναι Φ8/165, δηλ. 9Φ8 ισοκατανεμημένα σε πλάτος 8x0.165=1.32m του βραχίονα, αφήνοντας (1.45-1.32)/2=0.065m δεξιά-αριστερά, μέχρι το άκρο του πλάτους του βραχίονα. Η διατομή του τοιχώματος θεωρείται ως ορθογωνική, με ύψος h=1.45m, πλάτος b=0.14m, Ν=0 και οπλισμό 9Φ8=452.4mm 2. Τα 9Φ8/165 καταλαμβάνουν θεωρητικά 9x0.165=1.485m στη διεύθυνση του πλάτους του βραχίονα. Δηλαδή, αν θεωρηθούν ως οπλισμός ισοκατανεμημένος καθ ύψος της διατομής, τότε αρχίζουν και τελειώνουν σε απόσταση d 1 =(1.45-1.485)/2=-0.0175m από τα άκρα της διατομής. Στη διατομή του βραχίονα ασκείται και ροπή κάμψης με διάνυσμα οριζόντιο, λόγω των φορτίων g+ψ 2 q. Η τιμή της ροπής αυτής στη διατομή βάσης (στην πάκτωση στο
5 πέδιλο) υπολογίσθηκε ανωτέρω ίση με 6.17kNm/m, που δίνει (για Ν=0): μ sd =(6.17/13.72)x0.106=0.0477, που αντιστοιχεί σε ω=0.0491, δηλ. σε A s =(0.0491/0.114)x308=133mm 2 /m. Η ταυτόχρονη καταπόνηση της διατομής του βραχίονα από τις δύο (κάθετες μεταξύ τους) συνιστώσες της ροπής μπορεί να ληφθεί υπόψη προσεγγιστικά, αφαιρώντας τη διατομή του οπλισμού που χρειάζεται για την ανάληψη της συνιστώσας λόγω φορτίων g+ψ 2 q, δηλαδή τα 133mm 2 /m, από τη διατιθέμενη διατομή των (Φ8/165) 305mm 2 /m, αφήνοντας διαθέσιμο για την άλλη συνιστώσα της ροπής οπλισμό: 305-133=172mm 2 /m, δηλαδή συνολικά: 1.45x172=249.4mm 2. Η ροπή αντοχής της διατομής, M Rd, μπορεί να υπολογισθεί κατά την 4.13.2(Ι) των «Μαθημάτων Οπλισμένου Σκυροδέματος Ι», με ω 1 =0, ν=0, d 1 =-0.0175m, ω 2 =249.4/(140x1450)x(500/1.15)/(16/1.5)=0.05 (εφαρμόζεται η περίπτωση Ι, στην οποία και ο εφελκυόμενος και ο θλιβόμενος οπλισμός είναι σε διαρροή, επειδή για ν=0 στην αστοχία και τα δύο άκρα της διατομής θα ξεπερνούν την παραμόρφωση διαρροής του χάλυβα, ε yd =500/(1.15x200000)=0.217%): Είναι: ω 2 =ω 2 /(1-2d 1 /h)=0.05/(1+2x0.0175/1450)=0.0488 και η εξ.(4.76) δίνει: ξ=0.0488/(0.688+2x0.0488)=0.062, οπότε από τον εξ. (4.78), για d 1 /h=-0.0175/1.45=- 0.012, προκύπτει: μ Rd =0.344x0.062x(1-0.832x0.062)+ 0.0488x[(0.062+0.012)(1-0.062+0.012)-(0.062x(500/1.15)/700) 2 /3]=0.024, οπότε M Rd =0.024x0.14x1.45 2 x16000/1.5= 75.4kNm. Σημειωτέον ότι για ν=0 ικανοποιείται η εξ. (4.79), που δίνει για τα όρια ισχύος της 4.13.2(Ι): 0.442>ν>-0.075. Εναλλακτικά της ανωτέρω μεθόδου, εφαρμόζεται η προσεγγιστική μέθοδος της 11.3.2, εξ. (11.29), (11.30), για τη ροπή αντοχής τοιχωμάτων με οπλισμό ισοκατανεμημένο στον κορμό τους: Από εξ. (11.29): x=1.45x249.4x500/1.15/(2x249.4x500/1.15+0.68x140x1450x16/1.5)=0.093m. (H τιμή ξ=0.066 που υπολογίσθηκε παραπάνω δίνει x=0.066x1.45=0.0955m). Από εξ. (11.30): M Rd =0.5x249.4x(500/1.15)x(1.45-0.0955)x10-3 =73.4kNm, που δεν διαφέρει σημαντικά από την προηγούμενη εκτίμηση. Επειδή M Rd <107kNm, δεν επαρκεί ο οπλισμός του βραχίονα. Από την εξ. (11.31) μπορεί να υπολογισθεί πρόσθετος οπλισμός στα άκρα του πλάτους του βραχίονα: A s,ακρ =(107-73.4)x10-3 /(500/1.15)/(1.45-0.13)=58.5mm 2.
6 Τοποθετείται 1Φ8 (50.3mm 2 ) σε κάθε άκρο, στην ίδια θέση κατακόρυφα με τα ακραία Φ8 από τα 9Φ8/165, αλλά στην απέναντι επιφάνεια της διατομής της σκάλας. Ελέγχεται κατόπιν η επάρκεια της διατομής με την ακριβή διαδικασία της 4.13.2(Ι), με τιμή ω 1 0 στην εξ. (4.78). Τα Φ8 σε απόσταση d 1 =0.065m από κάθε άκρο δίνουν: ω 1 =2x50.2x(500/1.15)/(140x1450x16/1.5)=0.02, συμβάλλοντας στην εξ. (4.78) κατά 0.05x0.02x(1-2x0.065/1.45)=0.09, οπότε τελικά μ Rd =0.024+0.09=0.033, και M Rd =75.4x0.033/0.024=104kNm ~ OK. Εναλλακτικά, θα μπορούσε να αυξηθεί ο ισοκατανεμημένος οπλισμός του βραχίονα πέραν των Φ8/165 και να εφαρμοσθεί η προηγούμενη διαδικασία. Διαστασιολόγηση βραχίονα σε τέμνουσα, ως λοξό τοίχωμα. Θεωρούμε ότι στις διατομές του βραχίονα στις στηρίξεις στο πλατύσκαλο και στο πέδιο αναπτύσσεται η ροπή αντοχής του: M Rwo =104kNm (όπως υπολογίσθηκε παραπάνω για το διατιθέμενο οπλισμό) με διάνυσμα κάθετο στο βραχίονα. Η τέμνουσα σχεδιασμού υπολογίζεται θεωρώντας το βραχίονα σαν λοξό υποστύλωμα μήκους H/cos= 3.4m. Άρα V CD =1.1x104/3.4=67.3kN Η διαστασιολόγησή των βραχιόνων σε διάτμηση γίνεται ως σε ΕΚ2: V Rd = 0.8l w (A sw /s) f ywd cot με 1.0 cot 2.5, V cd =0 V Rd,max = 0.24(1-f ck (MPa)/250)b wo l w f cd sin2, 21.8 o 45 o A sw /s=67.3/(0.8x1.45x2.5x500/1.15)x10 3 =53.4mm 2 /m. Αρκεί μία στρώση (στο ένα πέλμα) Φ8/250 (201mm 2 /m) κατά το πλάτος του βραχίονα, ως δευτερεύων οπλισμός, με την προϋπόθεση ότι το άκρο τους διαμορφώνεται κατάλληλα για πλήρη αγκύρωση (ορθογωνικό άγκιστρο κατά τη διεύθυνση του πάχους του βραχίονα). =21.8 o V Rd,max = 0.24(1-16/250)x0.14x1.45x(16000/1.5)x0.69=335.6kN > V CD = 67.3 kn Ως διαμήκεις οπλισμοί επαρκούν τα Φ8/165 (305mm 2 /m). Διαστασιολόγηση στοιχείων στήριξης. Οπως και για σεισμό παράλληλα στον άξονα της σκάλας, η ένταση περιορίζεται σε αξονικές δυνάμεις στα υποστυλώματα, λόγω ροπής ανατροπής. Ομως οι δυνάμεις αυτές υπολογίζονται από τη ροπή ανατροπής στη στάθμη του μισού του ύψους του κατώτατου ορόφου, όπου η σεισμική ροπή κάμψης στο βραχίονα, θεωρούμενου ως αμφίπακτου στις στάθμες των πλατυσκάλων, είναι μηδέν: Ροπής ανατροπής: V b (2/3x(3H)-H/4)=(7/4)V b H=(7/4)x63x3.5=386kNm, άρα N=
7 (γ) γ.1) 0.5x385.9/(3-0.25)=70.2kN. Επειδή η τιμή της αξονικής δύναμης είναι μικρότερη από την αντίστοιχη για σεισμό παράλληλα στον άξονα της σκάλας (: 76kN) δεν χρειάζονται περαιτέρω έλεγχοι. Επιλογή γεωμετρίας πεδίλων ώστε να λειτουργούν ως δύσκαμπτα. Εξετάζεται ως αρχική επιλογή ένα κοινό πέδιλο για το βραχίονα και τα δύο δεξιά υποστυλώματα. Για τη διευκόλυνση των υπολογισμών θα πρέπει η επιλογή του ύψους του, h, να δικαιολογεί το χαρακτηρισμό του ως δύσκαμπτη πεδιλοδοκό. Για πέδιλο σταθερού πλάτους b στη διεύθυνση κάθετα στον άξονα της σκάλας είναι: λ= (k s b/4e c I) 1/4 =(3k s /E c h 3 ) 1/4 καθότι I=bh 3 /12. Για να χαρακτηρισθεί το κοινό πέδιλο ως δύσκαμπτη πεδιλοδοκός, θα πρέπει λl<1.0, οπότε και το μήκος L συνιστάται να είναι όσο γίνεται μικρότερο. Επιλέγεται L=3.0m, δηλαδή κοινό πέδιλο από εξωτερική παρειά σε εξωτερική παρειά των δύο δεξιά υποστυλωμάτων. Οπότε, για k s =35MPa/m, E c =27500MPa και L=3.0m, πρέπει 3x35/(27500h 3 )<(1/3) 4, που δίνει h0.676m, εφόσον η μέγιστη διάσταση του πεδίλου δεν ξεπερνά τα 3.0m. Αν η μέγιστη διάσταση του κοινού πεδίλου είναι L=5.0, τότε, για να θεωρηθεί το πέδιλο ως δύσκαμπτο, πρέπει h1.3m. Λαμβάνεται τελικώς L=3.0m και h=0.7m. Χάριν απλότητας και επειδή προσφέρεται καλύτερα για τη μεταφορά της σεισμικής έντασης στο πέδιλο, επιλέγεται ένα κοινό πέδιλο και για τα δύο αριστερά υποστυλώματα, αντί δύο χωριστά. Μετά από τις επιλογές αυτές, θα εξετασθεί και ένα κοινό πέδιλο και για τα 4 υποστυλώματα και το βραχίονα της σκάλας. Σεισμός κάθετα στον άξονα της σκάλας: Το κοινό πέδιλο των δύο δεξιά υποστυλωμάτων και του βραχίονα μεταφέρει στο έδαφος: 1. Το μισό της κατακόρυφης δύναμης του κλιμακοστασίου: 0.5x6W=3W=210kN, συν το βάρος του πεδίλου. 2. Το σύνολο της σεισμικής τέμνουσας βάσης, V b =63kN, η οποία μεταφέρεται στο πέδιλο μέσω του κατώτατου βραχίονα. 3. Σεισμική ροπή ανατροπής ως προς τη στάθμη θεμελίωσης, που προέρχεται από τα δύο υποστυλώματα και από τη σεισμική τέμνουσα του βραχίονα. Η ροπή ανατροπής που μεταφέρεται από τα δύο υποστυλώματα ισούται με τη σεισμική αξονική τους δύναμη, N E =70.2kN, επί την απόστασή τους, 2.75m, δηλαδή 193kNm. Η ροπή ανατροπής λόγω της τέμνουσας του κατώτατου βραχίονα
8 V b =63kN ισούται με επί την απόσταση του μέσου του ύψους του από τη στάθμη θεμελίωσης: H/4+h πεδ =3.5/4+0.7=1.575m, δηλαδή με 99.2kNm. Σύνολο 292.2kNm. 4. Στατική ροπή (δηλαδή με σταθερό πρόσημο) στη βάση του βραχίονα λόγω G+ψ 2 Q, ίση με 6.17kNm/mx1.45=8.95kNm, με διάνυσμα ροπής κάθετο προς αυτό της ροπής ανατροπής στον άξονα της σκάλας. Τα σεισμικά εντατικά μεγέθη πρέπει να πολλαπλασιασθούν επί τον ικανοτικό συντελεστή, α CD =1.2M Rd /M E της εξ. (12.27), ο οποίος υπολογίζεται με βάση τις ροπές στη βάση του βραχίονα (εκεί δηλαδή που μπορεί να σχηματισθεί καμπτική πλαστική άρθρωση): α CD =1.2x106.9/107=1.2. Εναλλακτικά και απλοποιητικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί α CD =1.4, καθότι πρόκειται για κοινό πέδιλο περισσοτέρων του ενός στοιχείων. Το κοινό πέδιλο των δύο αριστερά υποστυλωμάτων μεταφέρει στο έδαφος κατακόρυφη δύναμη 210kN κατά το ανωτέρω 1, και τη ροπή ανατροπής 193kNm από τα δύο υποστυλώματα, χωρίς όμως σεισμική τέμνουσα (ανωτέρω 2). Εστω b το προς επιλογή πλάτος του κοινού πεδίλου (διάσταση παράλληλα στον άξονα της σκάλας). Γίνεται πρώτα η διαστασιολόγηση του κοινού πεδίλου των αριστερά υποστυλωμάτων, ως απλούστερη λόγω της απουσίας τέμνουσας. Λαμβάνεται ύψος πεδίλου h πεδ =0.7m. Ροπή στη βάση πεδίλου: Μ=1.2x193=231.6kNm. Βάρος πεδίλου: 25x0.7x3b=52.5b Εκκεντρότητα: e=231.6/(210+52.5b). Για να είναι e<l/3=1m (που δεν απαιτείται), χρειάζεται b0.41m. Ομοιόμορφη τάση στη βάση πεδίλου: σ=(210+52.5b)/[b(3-2x231.6/(210+52.5b))] Φέρουσα ικανότητα πεδίλου (για τάση λόγω βάρους εδάφους στη στάθμη θεμελίωσης: 21x0.7=14.7kN/m 2 ): q ud =14.7+(π+2)x90{1+0.2b/[3-2x231.6/(210+52.5b)]}. Αν το κλάσμα που πολλαπλασιάζει το 0.2 μέσα στην αγκύλη ληφθεί ίσο με 1.0, η σχέση σ<q ud δίνει 2-βάθμια εξίσωση ως προς b, η επίλυση της οποίας δίνει b0.41m. Η πραγματικά απαιτούμενη τιμή είναι μεγαλύτερη: b0.45m, επειδή ο όρος που πολλαπλασιάζει το 0.2 είναι λίγο μικρότερος του 1.0.
9 γ.2) Το κοινό πέδιλο των δύο δεξιά υποστυλωμάτων και της σκάλας χρειάζεται να διαστασιολογηθεί για ροπή στη βάση στη διεύθυνση της μεγάλης διάστασης (3.0m): Μ=1.2x292.2=350.6kNm και για οριζόντια δύναμη V=1.2x63=75.6kN. Στην άλλη διεύθυνση (αυτή της μικρής διάστασης b) ασκείται η στατική ροπή 8.95kNm, λόγω της κάμψης του βραχίονα. Για ύψος πεδίλων πάλι h πεδ =0.7m, e x =350.6/(210+52.5b), e y =8.95/(210+52.5b), η τάση στη βάση του πεδίλου είναι: σ=(210+52.5b)/{[b-2x8.95/(210+52.5b)][3-2x350.6/(210+52.5b)]} και η φέρουσα ικανότητα: q ud =14.7+(π+2)x90x{1+0.2[3-2x350.6/(210+52.5b)]/[b-2x8.95/(210+52.5b)]} x0.5x{1+[1-75.6/[90[b-2x8.95/ (210+52.5b)] [3-2x350.6/(210+52.5b)]]] 1/2 }. Για να είναι το υπόρριζο στον τελευταίο όρο θετικό, που σημαίνει να μην έχουμε αστοχία του εδάφους λόγω της τέμνουσας και μόνο, πρέπει b>1.52m. Η τιμή b=1.55m δίνει σ=329.8kpa έναντι q ud =329.3kPa. Αρα b=1.55m επαρκεί. Εναλλακτικά εξετάζεται ένα κοινό στοιχείο θεμελίωσης, διαστάσεων κάτοψης 3.0x3.15m και ύψους h πεδ =0.7m, και για τα 4 υποστυλώματα και το βραχίονα της σκάλας. Τα εντατικά μεγέθη είναι το άθροισμα αυτών που ασκούνται στα δύο προηγούμενα χωριστά πέδιλα. Λαμβάνοντας το ίδιο ύψος πεδίλου, h πεδ =0.7m, προκύπτει: - Κατακόρυφη δύναμη: Ν=420+25x3.0x3.15x0.7=585.4kN - Στατική ροπή: M y =8.95kNm - Ροπή ανατροπής: M x =1.2V b (2H+h πεδ )=1.2x63x7.7=582.1kNm - Τέμνουσα: 75.6kN Εκκεντρότητα: e x =582.1/585.4=0.99m, e y =8.95/585.4=0.015m Διαστάσεις πεδίλου, μειωμένου λόγω της διπλής εκκεντρότητας: (3.15-2x0.015)x(3-2x0.99)=3.12x1.02m, σ=585.4/(3.12x1.02)=183.9kpa Φέρουσα ικανότητα: q ud =14.7+(π+2)x90x(1+0.2x1.02/3.12)x0.5x[1+[1-75.6/(90x3.12x1.02)] 1/2 ]= 472.7kPa > 183.9kPa. Σεισμός παράλληλος στον άξονα της σκάλας. Πρέπει να υπολογισθεί ο ικανοτικός συντελεστής α CD =1.2M Rd /M E με τον οποίο χρειάζεται να πολλαπλασιασθούν τα σεισμικά εντατικά μεγέθη από την ανάλυση για τον υπολογισμό της θεμελίωσης. Στην προκειμένη περίπτωση ο σεισμός δεν προκαλεί
10 ροπές κάμψης, αλλά αξονική δύναμη Ν Ε =50.8kN/m στο βραχίονα, στη διατομή σύνδεσής του με το θεμέλιο. Πρέπει λοιπόν να υπολογισθεί ο α CD ως α CD =1.2Ν Rd /Ν E, όπου Ν Rd η αξονική δύναμη που προκαλεί καμπτική αστοχία της διατομής στήριξης του βραχίονα στο θεμέλιο, για τον οπλισμό που τοποθετήθηκε εκεί (Φ8/165, ω=0.113, καθώς το 1Φ8 επιπλέον στο κάθε άκρο της διατομής, τοποθετείται στο κάτω, δηλαδή θλιβόμενο, πέλμα, και αγνοείται για την αντοχή της διατομής σε συνδυασμό εφελκυσμού και κάμψης). Αναζητείται η τιμή της ανηγμένης αξονικής δύναμης που εξαντλεί την καμπτική αντοχή της διατομής για ω=0.113 και ταυτόχρονη ροπή M g+ψ2q =6.17kNm/m (μ d =6.17/(0.11 2 x16000/1.5)=0.0478): 0.113=ν d +(1-{1-2.4[0.0478-(0.04/0.11)ν d ]} 1/2 )/1.2, που δίνει ως 2-βάθμια: ν d =0.1024 (εφελκυσμός). Αρα Ν Rd =0.1024x0.11x16000/1.5=120kNm/m και α CD =1.2x120/50.8=2.835. Η τιμή αυτή του α CD ισχύει όταν ο κατώτατος βραχίονας είναι σε εφελκυσμό, οπότε η ροπή ανατροπής προκαλεί στα αριστερά υποστυλώματα και το πέδιλό τους θλίψη, και στα δεξιά εφελκυσμό. Στην περίπτωση που η σεισμική δράση έχει αντίθετη φορά, προκαλώντας εφελκυσμό στα αριστερά υποστυλώματα και θλίψη στα δεξιά, τότε κρίσιμος είναι σε εφελκυσμό (συν κάμψη λόγω G+ψ 2 Q) ο βραχίονας του αμέσως ανωτέρω ημι-ορόφου, όπου αναπτύσσεται τέμνουσα ορόφου V b -2/7εW=εW(6-2/7)=(40/42)V b. Αρα και η σεισμική αξονική δύναμη είναι τα 40/42 αυτής του κατωτάτου βραχίονα, δηλαδή (40/42)x50.8=48.4kN/m. Οι ροπές λόγω G+ψ 2 Q στο βραχίονα αυτό είναι: - στη στήριξη: (4.5+0.3x3.5)x1.35 2 /2=5.06kNm/m, - στο άνοιγμα: (7.22+0.3x3.5)x2.9 2 /8-5.06=3.64kNm/m Κρίσιμη είναι η στήριξη, όπου μ d =5.06/(0.11 2 x16000/1.5)=0.0392. Η σχέση: 0.113=ν d +(1-{1-2.4[0.0392-(0.04/0.11)ν d ]} 1/2 )/1.2 δίνει ν d =0.116 άρα N Rd =136kN/m και α CD =1.2x136/48.4=3.37. Οπως και στην περίπτωση της σεισμικής δράσης κάθετα στον άξονα της σκάλας, εξετάζεται αν είναι εφικτή η θεμελίωση με ένα (κοινό) πέδιλο για τα δύο αριστερά υποστυλώματα και ένα δεύτερο (κοινό) για τα δύο δεξιά και το βραχίονα της σκάλας. Για να αποφύγει την ανύψωση το κοινό πέδιλο των δύο αριστερά υποστυλωμάτων όταν οι σεισμικές ροπές των υποστυλωμάτων αυτών είναι εφελκυστικές, πρέπει να
11 έχει βάρος τουλάχιστον ίσο με τη δύναμη ανύψωσης, δηλαδή: 210+52.5b3.37x2x76 b5.75m!! Αντιθέτως, αν το α CD των κοινών πεδίλων είχε θεωρηθεί ίσο με α CD =1.4, δεν θα υπήρχε πρόβλημα ανύψωσης. Για να είναι η εκκεντρότητα στη βάση του κοινού πεδίλου των δύο δεξιά υποστυλωμάτων και του βραχίονα μικρότερη του μισού του πλάτους του πεδίλου, ώστε να μην προκύπτει μηδενική επιφάνεια μειωμένου πεδίλου όταν τα αντίστοιχα υποστυλώματα είναι σε εφελκυσμό, πρέπει, για τη ροπή της σεισμικής τέμνουσας V b =63kN ως προς τη βάση του πεδίλου (με h πεδ =0.7m), 2.835x63x0.7=125kNm συν την ομόρροπη στατική ροπή λόγω G+ψ 2 Q στη βάση του βραχίονα, 8.95kNm, να είναι: e=(125+8.95)/(210+52.5b-2.835x2x76)<b/2, δηλαδή b5.2m Ενώ αν ήταν α CD =1.4 θα χρειαζόταν b1.7m. Είναι λοιπόν πιο πρακτική η χρήση ενός κοινού πεδίλου για όλα τα στοιχεία, πλάτους κάθετα στον άξονα της σκάλας 3m και μήκους b. Με βάση τους ανωτέρω υπολογισμούς για τα δύο χωριστά πέδιλα, εκτιμάται ότι η μέγιστη διάσταση του κοινού πεδίλου θα είναι περίπου 5m. Για να θεωρηθεί ένα τέτοιο πέδιλο ως δύσκαμπτο, χρειάζεται πάχος περίπου 1.3m. Εστω λοιπόν ότι το πάχος του είναι: h πεδ =1.3m. Για τη δυσμενέστερη περίπτωση που τα αριστερά υποστυλώματα είναι σε εφελκυσμό, είναι α CD =3.37 και: Η ροπή ανατροπής ισούται με: 3.37x63x8.3=1762.2kNm, στην οποία προστίθεται η στατική ροπή στη βάση του βραχίονα, 8.95kNm. Αρα Μ=1771kNm. Η οριζόντια δύναμη ισούται με: 3.37x63=212.3kN και Η κατακόρυφη δύναμη ισούται με: 420+25x3x1.3xb=420+97.5b Για να είναι η εκκεντρότητα μικρότερη του b/2, ώστε η μειωμένη επιφάνεια πεδίλου να μην είναι μηδενική, πρέπει: e=1771/(420+97.5b)b/2 b4.25m Ενώ αν α CD =1.4, δεν υπάρχει πρόβλημα ακόμη και αν επιλεγεί η ελάχιστη διάσταση του κοινού πεδίλου, b=3.15m, ακόμη και αν το πάχος πεδίλων ήταν h επ =0.7m. Η ορθή τάση στο μειωμένων διαστάσεων πέδιλο είναι: σ=(420+97.5b)/[3x(b-2x1771/(420+97.5b))] και η φέρουσα ικανότητα: q ud =21x1.3+(π+2)x90x{1+0.2[b-2x1771/(420+97.5b)]/3}x0.5x{1+[1-212.3/(90x3(b-
12 2x1771/(420+97.5b)))] 1/2 } Για να είναι το υπόρριζο στον τελευταίο όρο θετικό, δηλαδή για να μην έχουμε διατμητική αστοχία του εδάφους στη διεπιφάνεια με το πέδιλο, πρέπει b4.8m. Η τιμή b=4.85m (δηλαδή πέδιλο που να φθάνει μέχρι 0.85m πέρα από το άκρο των υποστυλωμάτων), πρακτικώς εξαντλεί την τιμή σχεδιασμού της διατμητικής αντοχής του εδάφους σε οριζόντιο επίπεδο, δίνει δε: σ=337kpa < q ud =353kPa. Τελικώς, επιλέγεται κοινό πέδιλο, διαστάσεων κάτοψης 3x4.85m, πάχους 1.3m. Το πέδιλο αυτό καλύπτει προφανώς και τις απαιτήσεις για σεισμό κάθετα στον άξονα της σκάλας. Διαστασιολόγηση πεδίλου σε διάτμηση και κάμψη Δυσμενέστερη ασφαλώς είναι η διεύθυνση του σεισμού παράλληλα στον άξονα της σκάλας, καθώς συνδέεται με υψηλότερη τιμή του α CD =3.37. Για σεισμό που προκαλεί εφελκυσμό στα δεξιά υποστυλώματα, είναι α CD =3.37, e x =1771/892.9=1.985m, οπότε η ενεργός περιοχή για γραμμική κατανομή τάσεων φθάνει μέχρι απόσταση από το άκρο του πεδίλου: x=3(b/2-e)=1.325m, δηλαδή, μόλις 1.325-0.85-0.25=0.225m από την εσωτερική παρειά των δεξιά υποστυλωμάτων. Η τέμνουσα του πεδίλου ελέγχεται σε 2 διατομές: Σε απόσταση d=1.25m από τη δεξιά παρειά των δεξιά υποστυλωμάτων, που βρίσκεται εκτός κάτοψης πεδίλου. Επομένως ο έλεγχος δεν έχει νόημα. Ακριβώς στην αριστερή (εσωτερική) παρειά των δεξιά υποστυλωμάτων, όπου η τέμνουσα ισούται με το άθροισμα των κατακορύφων δυνάμεων των υποστυλωμάτων αυτών (που είναι προς τα πάνω): 2x(3.37x76-105)=302.24kN, μείον το βάρος του πεδίλου (προς τα κάτω) από την παρειά αυτή μέχρι το αριστερό άκρο του πεδίλου: 25x3.0x1.3x1.10=107.25kN, δηλαδή συνολικά: 195kN. Τέμνουσα αντοχής ΕΚ2: με b w, d σε m, f ck σε MPa, ρ L = ποσοστό διαμήκους οπλισμού εφελκυόμενου πέλματος, V Rd,c και N Εd σε kn: V Rd, c 180 max 100 L c max120 0.15 1/ 3 0.2, 35 1 f d 0.2 1.25 1/ 6 ck 1 0.2 1.25 0.2 f d N 0.15 A bwd 1/ 3 1/ 6 1/ 3, 35 1 16 1 16 3.0 1.25 870kN 107.25kN Η ροπή κάμψης του πεδίλου υπολογίζεται σε 2 διατομές: 1/ 3 ck Ed c
13 Στη δεξιά παρειά των δεξιά υποστυλωμάτων, δηλαδή σε απόσταση από το κέντρο του πεδίλου s x =3.15/2=1.575m. Η εξ. (12.41β) δίνει: M Sd,x =(4x892.9x4.85/27)x(4-9x1.985/4.85+1.575/4.85)(0.5-1.575/4.85) 2 / (1-2x1.985/4.85) 2-0.5x(892.9-420)x4.85x(0.5-1.575/4.85) 2 =348.6kNm. Στην αριστερή (εσωτερική) παρειά των δεξιά υποστυλωμάτων, όπου οι κατακόρυφες δυνάμεις των αριστερά υποστυλωμάτων (που είναι προς τα πάνω) δίνουν ροπή: 302.24x(2.9-0.25/2)=838.7kNm (εφελκυσμός στην κάτω επιφάνεια), και το ίδιο βάρος του πεδίλου από εκεί και πέρα δίνει ροπή: 25x3x1.3x3.75 2 /2=685.5kNm (εφελκυσμός στην πάνω επιφάνεια του πεδίλου). Χάριν απλότητας, αγνοείται η μικρή ροπή λόγω των τάσεων εδάφους στη στενή λωρίδα πλάτους 0.225m δεξιά της διατομής ελέγχου. Αρα M=838.7-685.5=153.2kNm. Οπλισμοί κάτω επιφάνειας: A s =348.6x10 3 /(0.85x1.25x500/1.15)=755mm 2. A s,min =0.0015x3000x1250=5625mm 2 > 755mm 2. Τοποθετείται εσχάρα Φ16/100 (2010mm 2 /m, δηλαδή 6030mm 2 στο σύνολο του πλάτους των 3.0m).