ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2015-16 Λύσεις Τέταρτου Πακέτου Ασκήσεων 1. Πρώτη άσκηση 2. Δεύτερη άσκηση
3. α) Για τη συνάρτηση κέρδους έχουµε Π=P f(x) - c x = 100 * 4x^(1/2) - 50 x = 400x^(1/2) - 50 x. β) Για το πλήθος των εισροών που µεγιστοποιούν το κέρδος, θα υπολογίσουµε την πρώτη παράγωγο του Π και θα την θέσουµε ίση µε το µηδέν. Έχουµε Π =400 * (1/2) x^(1/2-1) -50 = 200x^(-1/2) - 50 = 0, που µας δίνει x=16. (Μπορούµε επίσης να ελέγξουµε και την δεύτερη παράγωγο, για να βεβαιωθούµε ότι η συνάρτηση έχει µέγιστο στο x=16). To κέρδος σε αυτήν την περίπτωση είναι Π(16)=800. γ) Αν υπάρχει φόρος 20 ευρώ ανά τεµάχιο και κάθε εισροή επιχορηγείται µε 10 ευρώ, τότε το κέρδος Π2= (P-20) f(x) - (c-10) x = 80 * 4x^(1/2)-40x=320x^(1/2)-40x. Όπως και πριν, για το πλήθος των εισροών που µεγιστοποιούν το κέρδος, θα υπολογίσουµε την πρώτη παράγωγο του Π2 και θα την θέσουµε ίση µε το µηδέν. Έχουµε Π2 =320 * (1/2) x^(1/2-1) -40 = 160x^(-1/2) - 40 = 0, που µας δίνει x=16 (Μπορούµε επίσης να ελέγξουµε και την δεύτερη παράγωγο, για να βεβαιωθούµε ότι η συνάρτηση έχει µέγιστο στο x=16). To κέρδος σε αυτήν την περίπτωση είναι Π2(16)=640. δ) Αν τώρα αντί για φόρο και επιχορήγηση, η εταιρία πληρώνει φόρο 50% του κέρδους, τότε έχουµε συνάρτηση κέρδους Π3= 0.50 * (400x^(1/2) - 50 x). Το
πρόβληµα µεγιστοποίησης τώρα είναι το ίδιο µε το (β), οπότε για µεγιστοποίηση κέρδους x=16, για µεγιστοποίηση κέρδους πωλούνται f(16)=16 τεµάχια και το κέρδος µετά φόρων είναι Π3(16)=400. 4. α) Για τις καµπύλες ίσου κόστους έχουµε: Η κλίση των ευθειων είναι ίση µε -4. β) Η εταιρία θέλει να µεγιστοποιήσει το κέρδος, άρα θα επιλέξει έναν συνδυασµό L,M όπου η γραµµές ίσου κόστους εφάπτονται µε την συνάρτηση παραγωγής, όπως απεικονίζεται παραπάνω. Το πρόβληµα µπορεί να επιλυθεί εύκολα µε Lagrange ή εξισώνοντας τον λόγο τον µερικών παραγώγων της f µε τον λόγο του κόστους L,M. Έχουµε f_l / f_m = P_L / P_M, όπου οι συµβολισµοί αναφέρονται στις µερικές παραγώγους και στο κόστος ανα ώρα εργασίας και ανα µηχανή, και αντικαθιστώντας, προκύπτει ότι M/L = 4, δηλαδή χρειάζονται τέσσερις µηχανές ανά ώρα εργασίας. γ) Οι συνδυασµοί M,L που έχουν ίδια συνολική παραγωγή και ίση µε 40 απεικονίζονται στην καµπύλη παραπάνω. Για να παραχθεί εµπόρευµα ίσο µε f=40 µε ελάχιστο κόστος, και δεδοµένου ότι M=4L, αντικαθιστούµε στην συνάρτηση παραγωγής και προκύπτει ότι 40=4 L^(1/2) (4L)^(1/2) ή 40=8L, και L=5, M=20. To ελάχιστο κόστος σε αυτήν την περίπτωση είναι c(l,m)=40l+10m=200+200=400. δ) Γενικά για να παραχθεί f=y εµπόρευµα µε το λιγότερο κόστος, και δεδοµένου ότι
M=4L, αντικαθιστούµε στην συνάρτηση παραγωγης όπως και στο (γ) και έχουµε y=4 L^(1/2) (4L)^(1/2)=8L, οπότε L=y/8 και Μ=4L=y/2. To κόστος σε αυτήν την περίπτωση είναι c(l,m)=40l+10m=10y. 5. α) Έχουµε F=200, οπότε c(y)=y^2/200 και για την συνάρτηση οριακού κόστους έχουµε MC=y/100, ενώ για την συνάρτηση µέσου κόστους AC=FC/y+VC/y= 200/y+y/200. To µέσο κόστος AC έχει ελάχιστο για y=200 (αυτό προκύπτει θέτοντας την πρώτη παράγωγο ίση µε µηδέν, είτε από την γνωστή ταυτότητα του λυκείου a/b + b/a 2). Το ελάχιστο µέσο κόστος για y=200 είναι AC=2. β) Για F=500 τετραγωνικά µέτρα, έχουµε MC=y/250, ενώ για την συνάρτηση µέσου κόστους AC=FC/y+VC/y= 500/y+y/500, όπου το µέσο κόστος (προκύπτει όπως και προηγουµένως) έχει ελάχιστο για y=500, οπότε και AC=2. γ) Για F=1000 τετραγωνικά µέτρα, έχουµε MC=y/500, ενώ για την συνάρτηση µέσου κόστους AC=FC/y+VC/y= 1000/y+y/1000, όπου το µέσο κόστος (προκύπτει όπως και προηγουµένως) έχει ελάχιστο για y=1000, οπότε και AC=2. δ και ε) Παρακάτω απεικονίζονται µε κόκκινο οι καµπυλες µέσου και οριακού κόστους για 200 τετραγωνικά, µε µπλε και 500 και µε µαύρο για 1000. Με κίτρινο απεικονίζεται η µακροπρόθεσµη καµπήλη µέσου και οριακού κόστους.
6. α) Για την συνάρτηση οριακού κόστους MC, υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο και MC(y)=3y^2-16y+30 β) Για την συνάρτηση µέσου µεταβλητού κόστους έχουµε AVC(y)=[c(y)-c(0)]/y=y^2-8y+30 γ) Η παρακάτω γραφική παράσταση απεικονίζει το MC και AVC δ και ε) Η συνάρτηση µέσου µεταβλητού κόστους AVC είναι φθίνουσα όταν το y 4 και αύξουσα όταν y 4. Αυτό προκύπτει εύκολα υπολογίζοντας τα ακρότατα της AVC θέτοντας την πρώτη παράγωγο ίση µε µηδέν ή παρατηρώντας ότι AVC(y)=y^2-8y+30=(y-4)^2 +14. Ενας άλλος τρόπος είναι επίσης να θέσουµε AVC=MC και να υπολογίσουµε το y, µιας και το οριακό κόστος είναι ίσο µε το µέσο µεταβλητό κόστος όταν το AVC έχει ελάχιστο, οπότε και y=4. ζ) Η επιχείρηση θα επιλέξει να µην παράγει καθόλου αν AVC > P ή (y-4)^2 +14 > P. Δηλαδή αν η τιµή είναι κάτω από 14, τότε για οποιοδήποτε y θα ισχύει AVC>P και θα είναι ασύµφορο για την επιχείρηση να παράγει. Εξάλλου, η καµπύλη προσφοράς µιας επιχείρησης σε περιβάλλον τέλειου ανταγωνισµού είναι το κοµµάτι της καµπύλης MC για το οποίο MC>AVC, η προσφορά θα είναι µηδέν όταν MC<AVC.
η) Η επιχειρηση δεν θα παρήγαγε ποτέ λιγότερο από y=4, αφού σε αντίθετη περίπτωση θα είχε AVC>MC και θα προτιµούσε να µην παράγει καθόλου. (Η καµπύλη προσφοράς µιας επιχείρησης σε περιβάλλον τέλειου ανταγωνισµού είναι το κοµµάτι της καµπύλης MC για το οποίο MC>AVC). Για να παράγει η επιχείρηση έξι µονάδες προϊόντος, y=6, MC(6)=42 και σε συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού, P=MC=42. 7. α και β) Θέλουµε να βρούµε την συνάρτηση της καµπύλης προσφοράς για κάθε επιχείρηση ξεχωριστά (εκ παραδροµής η άσκηση ζητούσε καµπύλη ζήτησης, που είναι ήδη γνωστή). Έχουµε, για κάθε επιχείρηση, µια συνάρτηση κέρδους ως εξής: Π(y)=yp-c(y)=yp-(y^2+1), για τιµές y>0 και Π=0 για y=0. Η κάθε επιχείρηση µπορεί να επιλέξει πόσο y θα παράγει για να µεγιστοποιήσει το κέρδος Π. Το πρόβληµα της µεγιστοποίησης λύνεται αν θέσουµε την πρώτη παράγωγο του Π ίση µε µηδέν, δηλαδή Π =p-2y=0, οπότε η συνάρτηση προσφοράς είναι y(p)=p/2. Αν υπάρχουν n επιχειρήσης, τότε η συνάρτηση προσφοράς για όλο τον κλάδο είναι Y=ny=np/2. (Οι λύσεις αυτές ισχύουν µε την προϋπόθεση ότι Π 0, όπως θα δούµε). Η µικρότερη τιµή για την οποία θα γίνονται πωλήσεις είναι η τιµή όπου Π=0, δηλαδή yp-(y^2+1) = 0 και αντικαθιστώντας από την σχέση y(p)=p/2 έχουµε (p^2)/2 - (p^2)/4-1 = 0 που µας δίνει p=2. Άρα για τιµές p 2, δεν θα γίνονται πωλήσεις και η συνάρτηση προσφοράς του (α) γίνεται y(p)=0. γ, δ και ε) Σε κατάσταση ισορροπίας, πρέπει D(p)=Y(p). Εδώ µπορούµε να βρούµε πολλές λύσεις, για παράδειγµα αν p*=2, τότε y(2)=1, D(2)=50, και για n*=50 έχουµε D(2)=Y(2)=50*1. Για διαφορετικά p* µπορεί να προκύψουν διαφορετικές λύσεις. ζ) Τώρα που η ζήτηση έχει αυξηθεί λίγο, µπορούµε να εξετάσουµε αν θα συµφέρει για µια καινούρια επιχείρηση να εισελθει στον κλάδο. Τότε θα έχουµε 51 επιχειρήσεις και από την σχέση D(p)=Y(p) προκύπτει ότι 52.5-p=51p/2, ή p=105/53<2. Για τιµές µικρότερες του δυο η προσφορά είναι µηδενική και καµία καινούρια εταιρία δεν θα εισέλθει στον κλάδο παρά την αυξηµένη ζήτηση. Άρα θα εξακολουθούµε να έχουµε n*=50, και από την σχέση D(p)=Y(p) προκύπτει ότι 52.5-p=50p/2 ή p*=2.02, y*=1.01 και για καθε επιχείρηση Π=0.02. η) Και πάλι, τώρα που η ζήτηση έχει αυξηθεί λίγο, µπορούµε να εξετάσουµε αν θα συµφέρει για µια καινούρια επιχείρηση να εισελθει στον κλάδο. Τότε θα έχουµε 51 επιχειρήσεις και από την σχέση D(p)=Y(p) προκύπτει ότι 53-p=51p/2, ή p*=2. Για αυτήν την τιµή, οριακά µια εταιρία µπορεί να επιλέξει να εισέλθει στον κλάδο, οπότε n*=51, y*=1 και Π=0.