Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Σχετικά έγγραφα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 93 96

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

Εξισώσεις Β βαθμού. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4. Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε R. Μονάδες 8 γ) Αν x

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Ορισμός Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται µε. Ε = πρ 2.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ. Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος

Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β.

Ιστορία των Μαθηματικών

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Transcript:

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν από τις τεχνικές των εποπτών, οι οποίοι ήταν υποχρεωμένοι να εργάζονται με τετράγωνα και ορθογώνια καθώς επόπτευαν εκτάσεις γης για οικοδομικούς σκοπούς. Οι τεχνικές στις οποίες κατέληγαν τελικά διατηρούνταν από τους γραφείς σε πήλινες πινακίδες, γραμμένες σε σφηνοειδή γραφή, εκατοντάδες από τις οποίες ανακαλύφθηκαν τον 0 ο αι. από τους αρχαιολόγους. Οι Αιγύπτιοι, οι Κινέζοι και οι Έλληνες μαθηματικοί έλυναν διαφόρων τύπων δευτεροβάθμιες εξισώσεις, το ίδιο και οι Άραβες από τον 9 ο έως τον 1 ο αι. Αυτοί οι Άραβες ζούσαν σε μια αυτοκρατορία που εκτεινόταν από την Ισπανία και το Μαρόκκο Δυτικά έως το Πακιστάν Ανατολικά και η οποία είχε κοινή γλώσσα τα Αραβικά και κοινή θρησκεία το Ισλάμ. Ο Muhammad ibn Musa al-khwarizmi, από τους πρώτους Άραβες μαθηματικούς (περίπου 780-850 μ.χ), εργαζόταν στον Οίκο της Σοφίας στη Βαγδάτη ( στο σημερινό Ιράκ). Ο Al-Khwarizmi έγραψε ένα βιβλίο για την άλγεβρα, στο οποίο εμφανίζονται οι λέξεις al-jabr ( από όπου και η λέξη άλγεβρα) και al-muqabala. Το όνομα al-khwarizmi έγινε η σημερινή λέξη αλγόριθμος. Στο βιβλίο του, μεταξύ άλλων λύνει και το ακόλουθο πρόβλημα : Ποιο πρέπει να είναι το τετράγωνο το οποίο όταν αυξηθεί κατά δέκα από τις ρίζες του, ισοδυναμεί με 39; (με την λέξη τετράγωνο εννοεί αυτό που σήμερα λέμε x και με την λέξη ρίζα εννοεί απλά το x) Ο Al-Khwarizmi έδινε οδηγίες για την επίλυση με λόγια: Ποιο πρέπει να είναι το τετράγωνο το οποίο αυξημένο κατά δέκα από τις ρίζες του ισοδυναμεί με 39; Η λύση είναι η εξής: Μοιράζεις στο μισό το πλήθος των ριζών, το οποίο για το παρόν παράδειγμα κάνει πέντε. Αυτό το πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του, το γινόμενο είναι 5. Πρόσθεσε το στο 39. Το άθροισμα είναι 64. Τώρα πάρε τη ρίζα αυτού, που είναι οκτώ και αφαίρεσε από αυτό το μισό πλήθος των ριζών που είναι πέντε. Το υπόλοιπο είναι τρία. Αυτή είναι η ρίζα του τετραγώνου που έψαχνες. 1

Δραστηριότητα 1 Α) Nα διατυπώσουμε το πρόβλημα με σύγχρονο αλγεβρικό συμβολισμό. Β) Ας δούμε τώρα τις οδηγίες που δίνει ο Al-Khwarizmi Το πλάτος ενός ορθογωνίου είναι 10 μονάδες, το μήκος του είναι άγνωστο. Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο στη μία πλευρά του ορθογωνίου με πλευρά το μήκος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο σχήματα μαζί έχουν εμβαδόν 39 μονάδες. Ποιό είναι το μήκος του ορθογωνίου; Λύση Ζητούμενο: Η γεωμετρική λύση της εξίσωσης x 10x 39 Χωρίζουμε στη μέση το ορθογώνιο με πλευρές 10 και x κατακόρυφα και μετά μετακινούμε το ένα μισό στη βάση του τετραγώνου.

Παρατηρούμε ότι αν συμπληρώσουμε στην κάτω δεξιά γωνία του σχήματος ένα τετράγωνο πλευράς 5, δηλαδή με εμβαδόν 5 =5, τότε δημιουργείτε ένα τετράγωνο με πλευρά x+5, δηλαδή με εμβαδόν E x 5 Δηλαδή είχαμε ένα ορθογώνιο με εμβαδόν x 10x Άρα x 10x 39 x 10x 5 39 5 x 5 64 Οπότε x 5 8 x 8 5 3 ή x 8 5 13 Βέβαια στη περίπτωση του σχήματος είναι x 3. και θέλαμε x 10x 39 Να επαναλάβετε τη διαδικασία με ένα ορθογώνιο που έχει πλάτος 8, άγνωστο μήκος, του οποίου το εμβαδόν μαζί με το τετράγωνο που σχηματίζεται με πλευρά το άγνωστο μήκος, είναι ίσο με 9 3

Περιγράψτε ρητά τα βήματα της λύσης. 4

Δραστηριότητα Ας γενικεύσουμε το πρόβλημα χωρίς τη χρήση συγκεκριμμένων αριθμών. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα τύπο που να μας επιτρέπει να λύνουμε όλα τα αντίστοιχα προβλήματα. Γι αυτό θα χρησιμοποιήσουμε γράμματα για να αντιπροσωπεύουμε τους αριθμούς. Θα χρησιμοποιήσουμε το β για να αντιπροσωπεύσουμε το πλάτος, γ για το συνολικό εμβαδόν και ως συνήθως στην άλγεβρα, x για το άγνωστο μήκος. Αρχικά πρέπει να μεταφράσουμε το πρόβλημα σε αλγεβρική εξίσωση και μετά να χρησιμοποιήσουμε τα βήματα της δραστηριότητας 1 για να βρούμε τον άγνωστο. Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς x είναι. Το εμβαδόν ορθογωνίου πλάτους β και μήκους x είναι. Η εξίσωση που δηλώνει ότι το άθροισμα των δύο προηγούμενων εμβαδών ισούται με γ είναι Επιλύστε το πρόβλημα όπως στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις 5

Πρέπει να φτάσετε σε ένα αποτέλεσμα ισοδύναμο με το επόμενο: β β β β γ x γ Δηλαδή αυτός ο τύπος δίνει τη λύση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης χ βχ γ ή χ βχ γ 0 Χρησιμοποιείστε το τύπο για να επαληθεύσετε τα αποτελέσματα των προηγούμενων προβλημάτων. Δραστηριότητα 3 Θέλουμε να γενικεύσουμε τον τύπο ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε εξισώσεις δευτέρου βαθμού άλλης μορφής. Αρχικά θέλουμε να τον εφαρμόσουμε σε εξισώσεις της μορφής: αx + βx = γ Για να γίνει αυτό διαιρούμε και τα δύο μέλη με a. Η νέα εξίσωση είναι... Τώρα εφαρμόστε τον τύπο σε αυτή την εξίσωση δηλαδή αντικαταστήστε τους νέους συντελεστές. Ο νέος τύπος είναι Σημειώστε ότι στον τύπο δεν μας ενδιαφέρει εάν α,β ή γ είναι θετικοί ή αρνητικοί. Στην αρχαία Μεσοποταμία οι άνθρωποι δεν είχαν καθόλου αρνητικούς αριθμούς, εμείς μπορούμε να τους χρησιμοποιήσουμε παρόλο που δεν είναι και πολύ προφανές πως μπορούμε να μεταφράσουμε τα τετράγωνα και τα ορθογώνια όταν οι αριθμοί είναι αρνητικοί. Συνεπώς θα εφαρμόσουμε τον τύπο για να λύσουμε την πιο γενική μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx + βx - γ = 0 6

Πρέπει να την ξαναγράψουμε στη μορφή του τύπου που έχουμε δηλαδή ο σταθερός όρος στο δεύτερο μέλος. Έτσι γίνεται Η διαφορά είναι απλά ότι το γ έχει αντικατασταθεί από το γ. Επιλύστε το πρόβλημα όπως στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις β β 4αγ Πρέπει να φτάσετε σε ένα αποτέλεσμα ισοδύναμο με τον τύπο: χ α Βέβαια αλγεβρικά για να έχει νόημα ο προηγούμενος τύπος, πρέπει β 4αγ 0. 7