ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» Μαθημα: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: Ο ρoλος Των ΑναπαραστατικΩΝ Μεσων Στην Επιλυση Προβληματος ΥΠΕΥΘΥΝΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: Μαρία Καλδρυμίδου, Μαριάννα Τζεκάκη, Χαράλαμπος Λεμονίδης ΓΕΩΡΓΙΑ ΚΑΣΑΡΗ ΑΜ 564 ΓΕΝΟΒΕΦΑ ΤΣΙΡΙΚΙΔΟΥ ΑΜ 591 ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΚΑΝΤΑΣΗΣ ΑΜ 571 ΠΑΣΧΑΛΗΣ ΒΟΤΑΝΗΣ ΑΜ 557 1 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2016
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ü Βασικό εργαλείο της Σύγχρονης Διδακτικής των Μαθηµατικών αποτελεί η ιδέα της αναπαράστασης η οποία κυριαρχεί σε όλη την έκταση της Θεωρίας της Γνώσης και της Γνωστικής Ψυχολογίας (Billman, 1999). ü Οι ιδέες γύρω από τις αναπαραστάσεις στην έρευνα, τη διδασκαλία και τη µάθηση των µαθηµατικών έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια καθώς ο ρόλος και η χρήση τους έχουν αποτελέσει αντικείµενο µελέτης και εκτενούς συζήτησης στη µαθηµατική κοινότητα. ü Ο λόγος για τον οποίο δίνεται ιδιαίτερη έµφαση στην έννοια αυτή στο χώρο της διδακτικής των µαθηµατικών είναι ότι οι αναπαραστάσεις θεωρούνται σύµφυτες µε τα µαθηµατικά (Dufur & Janvier et al, 1987). Υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι αναπαραστάσεις είναι τόσο στενά δεµένες µε µία µαθηµατική έννοια, ώστε είναι δύσκολο να γίνει κατανοητή η έννοια χωρίς τη χρήση της συγκεκριµένης αναπαράστασης. 2
Η Σηµασια της Οπτικησ Ικανοτητασ ü Η οπτική ικανότητα είναι πηγή πληροφοριών. ü Στο κοινωνικοπολιτισµικό περιβάλλον που ζούµε, η µετάδοση πληροφοριών γίνεται ως επί το πλείστον οπτικά και ενισχύεται και από την τεχνολογία. ü Η οπτικοποίηση προσφέρει έναν τρόπο να δεις αυτό που δεν µπορείς να δεις (Mc Cormick, 1987). ü Σύµφωνα µε τον Jackson (2002) η αναπαράσταση-απεικόνιση µπορεί να πάει µακρύτερα από τη φυσιολογική αίσθηση της όρασης. 3
Τι Ειναι Αναπαρασταση ; ü Κατά τον Arcavi (2003) η αναπαράσταση είναι η ικανότητα, η διαδικασία και το αποτέλεσµα της δηµιουργίας και της ερµηνείας, είναι η χρήση και η αντανάκλαση πάνω στη ζωγραφιά, στην εικόνα, στο διάγραµµα, στο µυαλό µας, στο χαρτί ή µε τεχνολογικά εργαλεία, µε σκοπό να απεικονίσει και να µεταδώσει πληροφορίες και σκέψεις και να αναπτύξει προηγούµενες άγνωστες ιδέες προωθώντας κατανοήσεις. ü Κατά τους Pape & Tchoshanov (2001, p.119) στο πεδίο των µαθηµατικών ο όρος αναπαράσταση σηµαίνει «µια εσωτερική αφαιρετική διαδικασία των µαθηµατικών ιδεών ή των γνωστικών σχηµάτων που αναπτύσσονται από τον µαθητή µέσω της εµπειρίας,[ ] ένα εξωτερικό κατασκεύασµα χειρισµού των µαθηµατικών εννοιών [ ] το οποίο µας βοηθά να κατανοήσουµε αυτές τις έννοιες, [ ] ακόµα και η πράξη της εξωτερίκευσης της εσωτερικής νοητικής αφαιρετικής διαδικασίας». 4
Εσωτερικες Και Εξωτερικες Αναπαραστασεις ü Από την κονστρουκτιβιστική οπτική των Cobb et al. (1992) οι εξωτερικές αναπαραστάσεις βρίσκονται στα περιβάλλοντα των µαθητών, ενώ οι εσωτερικές αναπαραστάσεις αναπτύσσονται στη σκέψη τους. ü Οι εσωτερικές αναπαραστάσεις (internal or mental representations) παίζουν σηµαντικό ρόλο στη µάθηση (Hiebert & Carpenter, 1992 Schwartz, 1993), καθώς µέσω αυτών αναδεικνύονται οι αντιλήψεις που έχουν οι µαθητές για τα µαθηµατικά αντικείµενα και τις διαδικασίες. ü Μέσω των εξωτερικών αναπαραστάσεων οι µαθηµατικές ιδέες µπορούν να γίνουν αντιληπτές στους µαθητές, µπορούν δηλαδή οι µαθητές να τις χειριστούν. ü Πολύ συχνά οι αµφίδροµες αλληλεπιδράσεις ανάµεσα στις εσωτερικές και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις συµβαίνουν ταυτόχρονα. (Πατσιοµίτου & Εµβαλωτής, 2011 Goldin & Kaput, 1996) 5
Εσωτερικες και Εξωτερικες Αναπαραστασεις Στο σχήµα οι εξωτερικές αναπαραστάσεις της έννοιας του αριθµού 5 τοποθετούνται: Ø Στον εξωτερικό δακτύλιο [δηλαδή εικόνες (ζωγραφιές), διαχειρίσιµα αντικείµενα, γραπτά σύµβολα και ακουστικές εικόνες (λεκτικά σύµβολα)] Ø Οι νοητικές στον εσωτερικό κύκλο Ø Στον εσωτερικό δακτύλιο τοποθετείται η αλληλεπίδραση µεταξύ των εσωτερικών και εξωτερικών αναπαραστάσεων. 6
Ειδη Αναπαραστασεων Κάποιες ενδεικτικές αναπαραστάσεις είναι : ü Εικόνες ü Σχέδιο ü Διάγραµµα ü Μοντέλα (π.χ. αριθµογραµµή) ü Γραφική παράσταση ü Πίνακας (συνδυαστικά έργα ή έργα επαγωγικού συλλογισµού) ü Δίκτυο (π.χ. χάρτης µε γραµµές των τρένων) ü Ιεραρχία (π.χ. οικογενειακό δέντρο) ü Γραφικά των Η/Υ ü Τυπικά και λεκτικά σύµβολα (+ κάνω πρόσθεση) 7
Πως Λειτουργει η Αναπαρασταση Η αναπαράσταση περιλαµβάνει περισσότερες από µία µεταφράσεις, ο λύτης φαντάζεται µια οπτική ιστορία, την εφαρµόζει στο πρόβληµα και παράγει τη λύση από αυτήν. Σχετίζεται µε την πρότερη εµπειρία και γνώση του καθενός που τον βοηθά να οπτικοποιήσει την αριθµητική αξία σε ένα καλούπι. Σε κάθε περίπτωση η αναπαράσταση µπαίνει στην υπηρεσία λύσης του προβλήµατος και εµπνέει σε δηµιουργικές λύσεις. (Arcavi, 2003) 8
Πως Λειτουργει η Αναπαρασταση στην Επιλυση Προβληµατοσ Η ικανότητα µετάφρασης από το ένα σύστηµα αναπαράστασης µιας έννοιας στο άλλο είναι ιδιαίτερα σηµαντική για την επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος και γενικότερα για τη µάθηση µαθηµατικών εννοιών (Janvier, 1987). Η επιλογή ή όχι της κατάλληλης αναπαράστασης διαδραµατίζει καθοριστικό ρόλο στην επίλυση προβλήµατος και οι µαθητές, παρόλο που γνωρίζουν τις διαφορετικές αναπαραστάσεις κάποιας έννοιας, συνήθως εγκλωβίζονται στην αναπαράσταση που δίνεται στην εκφώνηση, αγνοώντας τις υπόλοιπες αναπαραστάσεις της ίδιας έννοιας, οι οποίες ενδεχοµένως να απλουστεύουν το πρόβληµα. Βέβαια για να προσφύγει ο µαθητής σε µια διαφορετική αναπαράσταση της ίδιας έννοιας, θα πρέπει ή να γνωρίζει κάποια τέτοια, η οποία µπορεί να αναπαρασταθεί ή να µπορεί να κατασκευάσει µια τέτοια (Μαυρίκιος, 2006). 9
Σηµασια Αναπαραστασης Στην Επιλυση Προβληµατος Οι αναπαραστάσεις σηµατοδοτούν τη γνωστική γέφυρα µεταξύ του διακριτού και του αφηρηµένου στα µαθηµατικά (Saundry & Nicol, 2006), γιατί αξιοποιούν το χώρο µε ουσιαστικό τρόπο και επιτρέπουν την ολιστική αναπαράσταση πολύπλοκων διεργασιών και δοµών (Winn, 1987 στο Diezmann, 2000a). Επιπλέον, προσφέρουν µια εικόνα των δυνατοτήτων και των αδυναµιών των µαθηµατικών γνώσεων των µαθητών (Diezmann, 2000b). Η αναπαράσταση όχι µόνο οργανώνει τα δεδοµένα σε κατανοητές δοµές αλλά είναι επίσης ένας σηµαντικός παράγοντας που οδηγεί την αναλυτική εξέλιξη µιας λύσης (Fischbein, 1987 στο Arcavi, 2003). Η δηµιουργία µιας αναπαράστασης από τους µαθητές διευκολύνει τη νοηµατοδότηση του προβλήµατος και είναι το πρώτο βήµα για την επιτυχή λύση του (Van Essen & Hamaker, 1990 στο Diezmann, 2000a). 10
Η Αναπαρασταση Ωσ Στρατηγικη Επιλυσησ Προβληµατοσ Η βιβλιογραφία στις γνωστικές επιστήµες αναφέρει ότι το κλειδί στην επίλυση προβλήµατος είναι η εύρεση της σωστής αναπαράστασης: η επίλυση ενός προβλήµατος σηµαίνει απλά να το αναπαραστήσεις έτσι ώστε να κάνεις τη λύση διαφανή (Meirelles, 2007 ) Σύµφωνα µε τους Wheatley & Cobb (1990) η επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος αφορά σε αναλυτικό συλλογισµό, κατασκευή εικόνας και χρήση της εικόνας για την υποστήριξη επιπλέον εννοιολογικών συλλογισµών. Είναι µια πολυκυκλική διαδικασία από την αναπαράσταση στην ανάλυση και από την ανάλυση στην αναπαράσταση (Saundry & Nicol, 2006). Στάδια επίλυσης προβλήµατος 1. εντοπισμός προβλήματος 2. ερμηνεία για το τι πρέπει να κάνω 3. επιλογή μιας στρατηγικής για την επίλυση (χρήση αναπαράστασης) 4. τέλος αξιολόγηση της λύσης στο κατά πόσο είναι λογική 11 Saundry & Nicol (2006)
Η ΑναπαρΑσταση ως ΑπΟδειξη Οι µαθηµατικοί έχουν λάβει υπόψιν τους την αξία των διαγραµµάτων και άλλων οπτικών εργαλείων για τη διδασκαλία. Παρόλα αυτά η αναπαράσταση παραµένει σε δεύτερη θέση τόσο στη θεωρία όσο και στην πρακτική των µαθηµατικών. Στην πραγµατικότητα όλοι ζητάµε αποδείξεις ακόµα και στα διαγράµµατα και αυτό περνάµε και στα παιδιά. Εποµένως, η αναπαράσταση είναι τόσο σηµαντική όσο τα νόµιµα στοιχεία µια µαθηµατικής απόδειξης. Σύµφωνα µε τη νέα άποψη η απόδειξη µε χρήση αναπαράστασης δε σηµαίνει µόνο την υποστήριξη της ανακάλυψης ενός νέου αποτελέσµατος ή ενός τρόπου απόδειξής του, αλλά πρέπει να αναπτύσσεται σε έναν αποδεκτό τρόπο συλλογισµού. Η αναπαράσταση ως απόδειξη αναδεικνύει το επίπεδο της συµβολικής αίσθησης των µαθητών. (Arcavi, 2003) 12
Τροποι Χρησης Αναπαραστασεων Απο Τους Μαθητες Στην έρευνα των Saundry & Nicol (2006) δόθηκε στους µαθητές η εξής προβληµατική κατάσταση 12 παιδιά µοιράζονται 18 µπισκότα. Πόσα µπισκότα θα πάρει κάθε παιδί; Ø Όσοι χρησιµοποίησαν αναπαραστάσεις ως τρόπο µέτρησης, αναπαρέστησαν τη µοιρασιά των µπισκότων µε βέλη, κύκλους και γραµµές και µετρούσαν σαν να έχουν πραγµατικά µπροστά τους αυτήν την προβληµατική κατάσταση. Ø Όσοι χρησιµοποίησαν αναπαραστάσεις ως σύστηµα υποστήριξης, δηµιούργησαν 2 οµάδες, κατά τις οποίες στη µια µεριά του χαρτιού σχεδίασαν τα µπισκότα και στην άλλη τα παιδιά και έπειτα διέγραφαν τα µπισκότα που αντιστοίχιζαν κάθε φορά. Ø Και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις τα παιδιά που χρησιµοποιούσαν τις αναπαραστάσεις σαν είδος ελέγχου ή καταµέτρησης δεν έχαναν τα δεδοµένα του προβλήµατος 13
Τροποι Χρησης Αναπαραστασεων Απο τους Μαθητες Όσα παιδιά δεν έκανα σχέδιο χρησιµοποιούσαν τη νοερή οπτικοποίηση (κοιτούσαν ψηλά και σκέφτονταν) και έγραφαν µόνο το τελικό αποτέλεσµα στο χαρτί. Μερικά παιδιά σχεδίασαν αναλυτικές εικόνες ακόµα και για τα πιο απλά προβλήµατα, αναπαριστώντας την τελική τους λύση µε λεπτοµερή µορφή αναπαράστασης. Οι µαθητές που επικεντρώνονται στη σχεδίαση λεπτοµερειών (π.χ. τις βλεφαρίδες των παιδιών), µπορεί να χάσουν το µαθηµατικό νόηµα του προβλήµατος. 14
Οι Δυσκολιεσ στη Χρηση Αναπαραστασεων Σύµφωνα µε τον Arcavi (2003), oι δυσκολίες των µαθητών στη χρήση αναπαραστάσεων µπορεί να είναι γνωστικές, κοινωνιολογικές και πολιτισµικές. Ειδικότερα, κάποιες ενδεικτικές δυσκολίες είναι: Η αποκωδικοποίηση γλωσσικών πληροφοριών και κωδικοποίηση οπτικής πληροφορίας (Diezmann,2000) Η σύγχυση των συνώνυµων όρων όπως εικόνα, σχέδιο, γράφηµα, διάγραµµα Η λανθασµένη αντίληψη για τη χρήση µιας αναπαράστασης (π.χ. είναι πολύ χρονοβόρο να σχεδιάσεις 100 ζώα της φάρµας) Η έλλειψη χωρικής αντίληψης στη χρήση αναπαράστασης (π.χ. δεν υπάρχει αρκετός χώρος στο χαρτί για να σχεδιάσεις ένα δέντρο 10 µ.) Γενικές δυσκολίες στη δηµιουργία αναπαράστασης (π.χ. ακατάλληλο διάγραµµα : πολύ µικρό για να δείξει όλες τις απαραίτητες πληροφορίες ή βρίσκεται σε ανεπαρκή χώρο για να επεκταθεί ή είναι µη ξεκάθαρο/ µουτζουρωµένο) Η λανθασµένη αναπαράσταση της ποσότητας 15
Οι Δυσκολιεσ στη Χρηση Αναπαραστασεων 16
Οι Δυσκολιεσ στη Χρηση Αναπαραστασεων Ιδιόµορφες δυσκολίες στη δηµιουργία αναπαραστάσεων : Έλλειψη ακρίβειας (µετρήσεις) Παράβλεψη του ζητούµενου του προβλήµατος (συνέχισαν τη µέτρηση µετά τα 10 µ.) Λανθασµένη επιλογή (σήµανση) του σηµείου έναρξης (βρήκαν το ύψος ενός πηγαδιού ως ένα τούβλο) 17
Οι Δυσκολιεσ στη Χρηση Αναπαραστασεων 18
Συµπερασµατικα ü Οι µαθητές πρέπει να εκπαιδευτούν στη χρήση αναπαραστάσεων ως εργαλείο επίλυσης προβληµάτων για να ενδυναµωθούν στη στρατηγική αυτή και να ξέρουν, γιατί µπορεί να είναι χρήσιµες, ποιες είναι χρήσιµες σε µία δεδοµένη κατάσταση και πώς χρησιµοποιούνται για την επίλυση. ü Οι αναπαραστάσεις πρέπει να µας υπενθυµίζουν τη δοµή του προβλήµατος, να είναι µεγάλες και ευδιάκριτες. ü Όσο περισσότερες µεταφράσεις αναπαραστάσεων µπορεί να χρησιµοποιήσει ο µαθητής στην επίλυση προβλήµατος, τόσο καλύτερη εννοιολογική κατανόηση παρουσιάζει, µε αποτέλεσµα να οδηγείται ασφαλέστερα σε επιτυχή επίλυση. ü Είναι πολύ σηµαντικές στην επίλυση του προβλήµατος αν ξέρουµε να τις χρησιµοποιούµε, αλλιώς είναι ένα άχρηστο εργαλείο. 19 (Diezman, 2000a)
Βιβλιογραφικεσ Αναφορεσ Arcavi, A. (2003). The Role of Visual Representamons in the Learning οf Mathemamcs. Educa&onal Studies in Mathema&cs, 52: 215 241. Diezmann, C., M. (2000a). The difficulmes students experience in generamng diagrams for novel problems. In T. Nakahara & M. Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th Conference of the Interna&onal Group for the Psychology of Mathema&cs Educa&on, Vol. 2, pp. 241-248. Hiroshima: Hiroshima University. Diezmann, C. M. (2000b) Making sense with diagrams: Students' difficulmes with feature- similar problems. In Proceedings of the 23rd Annual Conference of Mathema&cs Educa&on Research Group of Australasia, pages 228-234, Freemantle. Goldin, G. A., & Kaput, J. J. (1996). A Joint Perspecmve of the Idea of Representamon in Learning and Doing Mathemamcs. In von L. P. Steffe &.Mahwah, Theories of Mathema&cal Learning (pp. 397-430). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Μαυρίκιος, Χ. (2006). Ο ρόλος και η ανάπτυξη μεταγνωστικών διεργασιών στην επίλυση αυθεντικού Μαθηματικού προβλήματος. (Μεταπτυχιακή εργασία, Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών», Αθήνα, Ελλάδα). Ανακτήθηκε 31 Οκτωβρίου, 2015, από h p://www.math.uoa.gr/me/dipl/. Meirelles, I. (2007). Diagrams and problem solving. In Spinillo, Farias & Padovani (Eds) Selected Readings of the 2nd Informa&on Design Interna&onal Conference (pp. 45-53). São Paulo: SBDI - Brazilian Society of Informamon Design Pape, S., & Tchoshanov, M. (2001). The role of representamon(s) in developing mathemamcal understanding. Theory into Prac&ce, 40(2), 118-125. Πατσιομίτου, Σ., & Εμβαλωτής, Α. (2011). Οι αναπαραστάσεις μαθηματικών αντικειμένων ως μέσο οικοδόμησης της μαθηματικής γνώσης. Ευκλείδης (74), 83-111 Saundry, C., & Nicol, C. (2006). Drawing as problem- solving: Young children's mathema&cal reasoning through pictures. In J. Novotna 20 & H. Moraova & M. Kratka & N. Stehlikova (Eds.), Proceedings of 30th Interna&onal Group of Psychology of Mathema&cs Educa&on, Vol. 5, pp. 57-64. Prague: PME.
Δεν ξέρουμε τι βλέπουμε, βλέπουμε ό,τι ξέρουμε Σας ευχαριστούµε για την προσοχή σας!!! 21