ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ II Μάθημα 3 ο και 4 ο Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής
Εμβαδά Υπολογισμός του εμβαδού μιας επιφάνειας γίνεται πάντα στο οριζόντιο επίπεδο με τις παρακάτω μεθόδους: Από τις επίπεδες καρτεσιανές συντεταγμένες (x,y) των κορυφών του σχήματος που την ορίζει Με χωρισμό της επιφάνειας σε βασικά γεωμετρικά σχήματα και εφαρμογή κατάλληλων γεωμετρικών τύπων
Ανάλυση Επιφάνειας Σε Βασικά Σχήματα Όταν μια επιφάνεια μπορεί να χωριστεί σε βασικά σχήματα όπως: Τρίγωνο Παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο Τραπέζιο Τετράγωνο Κυκλικός Τομέας Τότε το ολικό εμβαδόν προκύπτει ως το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους γεωμετρικών σχημάτων
Α β γ Ε 1 Β b c Γ Ε 2 Δ
Η Απλούστερη Περίπτωση Κατάτμηση της επιφάνειας σε επιμέρους τμήματα σχήματος τριγώνου Α E = ½ *α *υ γ a υ β Ε = ½ *β * γ* sina Ε = ½ *α * γ* sinb Β b α c Γ Ε = ½ *α * β* sinc
Τύπος του Ήρωνα για Εμβαδόν Τριγώνου Α β a υ γ Β b α c Γ Εμβαδόν τριγώνου Ε = τ τ α τ β (τ γ) Οπου τ η ημιπερίμετρος τριγώνου τ=(α+β+γ)/2
Εμβαδό Παραλληλόγραμμου Ε = β*υ
Εμβαδό Τραπεζίου E = β1+β2 2 υ
Ε 1 = α 1 h 2 + α 2 (h 2 +h 3 ) + α 3 (h 3 +h 4 ) + α 4 (h 4 +h 5 ) + α 5 h 5 2
Υπολογισμός Εμβαδού που Αντιστοιχεί σε Πλευρά που Τέμνει τον Άξονα Αποτύπωσης Το εμβαδόν που αντιστοιχεί στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ θα είναι (Β ΒΓΓ )+(ΑΑ Β )-(ΑΒ Β) = (Β ΒΓΓ ) + ah1 (Β ΒΓΓ ) + a(h1 h2) 2 ah2 = 2 2
Άσκηση Προσδιορίστε τον Εμβαδόν του οικοπέδου
Λύση Τύπος Εμβαδού Πλευρα Σχήμα Βάση1 (β1) Βάση 2 (β2) Ύψος (υ) (β * υ)/2 υ*(β1+β2)/2 υ*(β1- β2)/2 1 -- 2 Τρίγωνο 32.56 2.2 35.8160 2--3 Τραπέζιο 32.56 28.08 61.94 1878.0208 Πλευρά που 3--4 Τέμνει τον Άξονα Αποτύπωσης 28.08 10.2 21.74 194.3556 4--5 Τραπέζιο 10.24 10.2 100.08 1022.8176 5--1 Τρίγωνο 10.24 14.2 72.7040 Μερικό Σύνολο -36.8880 2900.8384 194.3556 Σύνολο 3058.31
Άσκηση: Βρείτε το Εμβαδόν της ΑΒΓΔΑ
Λύση Α. ΤΡΑΠΕΖΙΑ β1 β2 υ Ε ΑΕΖΔ 56,26 19,77 25,85 982,69 ΕΡΣΖ 18,61 19,35 19,76 375,04 Β. ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ β υ Ε ΒΡΕ 20,7 18,61 192,61 ΓΣΖ 15,2 19,35 147,06 Γ. ΤΥΧΑΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ α β γ τ Ε ΑΒΕ 43,67 33,75 27,83 52,625 469,63 ΔΖΓ 45,76 29,78 24,61 50,075 334,17 ΣΥΝΟΛΟ 2501,20
Εμβαδά από τις Συντεταγμένες των Σημείων (Gauss) n 2E = x i (y i 1 y i+1 ) i=1 n 2E = y i (x i 1 x i+1 ) i=1
Παράδειγμα Ε = 1 2 5 i=0 x i (yi 1 yi + 1) = = 1 2 [X A (Y E Y B )+X B (Y A -Y Γ )+Χ Γ (Y B -Y Δ )+Χ Δ (Υ Γ -Υ Ε )+Χ Ε (Υ Δ -Υ Α )]
Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που ορίζεται από τις κορυφές 12345671 των οποίων οι καρτεσιανές συντεταγμένες δίνονται στον πίνακα Κορυφή Xi (g) Yi (m) 1 136.27 53.24 2 153.12 62.19 3 167.29 54.4 4 160.13-2.76 5 137.49-25.83 6 125.58 4.78 7 102.75 44.85
Άξιο Προσοχής Πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στη σειρά, που δίνεται στις κορυφές Η σειρά των κορυφών παίρνεται πάντα δεξιόστροφα. Από αυτή τη σειρά θα ξέρουμε για κάθε κορυφή ποια είναι η επόμενη και ποια η προηγούμενη στους τύπος n 2E = x i (y i 1 y i+1 ) i=1 n 2E = y i (x i 1 x i+1 ) i=1
Αν ληφθεί αριστερόστροφη φορά αρίθμησης, τότε το αποτέλεσμα θα προκύψει αρνητικό. Επειδή δεν υπάρχει αρνητικό εμβαδό, θεωρούμε ότι το εμβαδό είναι η απόλυτη τιμή της υπολογισμένης ποσότητας. Η απόλυτη τιμή των υπολογισμών θα είναι ίδια με οποιαδήποτε φορά και αν δουλέψουμε.
Παράδειγμα Μια πολυγωνική έκταση 6 κορυφών αποτυπώθηκε με τις ορθογώνιες συντεταγμένες των κορυφών της ΣΗΜ. X Y Α 1049,7628 1063,0219 Β 954,2688 1077,0507 Γ 1020,4469 970,61356 Δ 909,12504 1030,6358 Ε 939,17463 1044,5582 Ζ 916,28517 945,85281 Η έκταση δεν αποτυπώθηκε με κάποια λογική σειρά. Η σειρά των σημείων του πίνακα δεν ανταποκρίνεται ούτε στη δεξιόστροφη ούτε στην αριστερόστροφη φορά. Για την εμβαδομέτρηση της έκτασης πρέπει να γράψουμε σε ένα πίνακα τις κορυφές και τις συντεταγμένες τους με τη δεξιόστροφη σειρά.
ΣΗΜ. X Y E(m 2 ) 6 954,2688 1077,0507 1 1049,7628 1063,0219 70348,804 2 1020,4469 970,61356-129555,2 3 916,28517 945,85281-105294,1 4 909,12504 1030,6358 23590,691 5 939,17463 1044,5582 47155,289 6 954,2688 1077,0507 119109,03 1 1049,7628 1063,0219 12677,264
Εμβαδόν Επιφάνειας με Γνωστές τις Πολικές Συντεταγμένες των Κορυφών Όπου ΟΣ μία επιλεγμένη διεύθυνση αναφοράς θi και Di οι πολικές συντεταγμένες της κορυφής i θi+1 και Di+1 οι πολικές συντεταγμένες της κορυφής i+1
Εμβαδόν Επιφάνειας Με Γνωστές τις Πολικές Συντεταγμένες των Κορυφών Ε = 1 2 n i=1 D i D i+1 sin (θ i+1 θ i )
Άξιο Προσοχής Η δεξιόστροφη φορά ισχύει και εδώ. Σε κάθε τρίγωνο πρώτη κορυφή είναι αυτή που βρίσκεται αριστερά και δεύτερη αυτή που βρίσκεται δεξιά.
Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που ορίζεται από τις κορυφές 12345671 των οποίων οι πολικές συντεταγμένες δίνονται στον πίνακα Κορυφή θι (g) Di (m) 1 32,76 48,75 2 94,7 40,15 3 120,44 41,18 4 156,07 46,74 5 233,58 49,80 6 296,25 38,96 7 370,12 39,52
Διαδεδομένη Μέθοδος Ο υπολογισμός του εμβαδού ενός γηπέδου με τη μέθοδο των πολικών συντεταγμένων είναι αρκετά διαδεδομένη διότι: Με τα όργανα είναι εύκολο από μία στάση να υπολογιστούν οι γωνίες και οι αποστάσεις κάθε κορυφής του γηπέδου Το γήπεδο χωρίζεται σε τρίγωνα των οποίων μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα το εμβαδόν με τον τύπο Ε = ½ *β * γ* sina όπου β και γ οι πλευρές που έχουν μετρηθεί και a η γωνία που αυτές οι πλευρές σχηματίζουν
Π.χ. στο τρίγωνο ΣΔΕ η γωνία της κορυφής Σ είναι: Επομένως το εμβαδό του τριγώνου ΣΔΕ είναι: 1 ( ) = L L sin( ) 2
Αποτύπωση Γηπέδου από Εξωτερική Στάση
Το εμβαδό της έκτασης ΑΒΓΔΕ είναι: (ΑΒΓΔΕ)=(ΣΕΑΒΓΔ)-(ΣΕΔ) Ισχύει, όμως: (ΣΕΑΒΓΔ)=(ΣΕΑ)+(ΣΑΒ)+(ΣΒΓ)+(ΣΓΔ) Οπότε (ΑΒΓΔΕ)= (ΣΕΑ)+(ΣΑΒ)+(ΣΒΓ)+(ΣΓΔ)+(-ΣΔΕ)
) sin( 2 1 ) ( L L ) sin( 2 1 ) ( L L ) sin( 2 1 ) ( L L ) ( 2 1 ) ( L L ) sin( 2 1 ) ( L L
ΚΟΡΥΦΗ α(grad) L(m) Ε(m2) Α 251,63 284,89 Β 277,02 273,11 Γ 293,29 263,8 Δ 312,4 141,53 Ε 222,03 120,5 Α 251,63 284,89 ΣΥΝΟΛΟ 29000,43
ΔΙΑΝΟΜΕΣ
Διανομή Τριγωνικής Επιφάνειας με Ευθεία Σταθερού Σημείου και Γνωστές τις Συντεταγμένες των Κορυφών του 1. Χρησιμοποιείται ένας από τους τύπους του Gauss για να υπολογιστεί το συνολικό εμβαδόν του τριγώνου n i=1 2E = x i (y i 1 y i+1 ) 2. Με βάση τον τύπο Ε= (ΒΓ*ΑΥ)/2 υπολογίζουμε το μήκος ΑΥ (το μήκος του ύψους του τριγώνου) ΑΥ = (2 * Ε) / ΒΓ 3. Έστω ΑΜ η ζητούμενη ευθεία. Τότε πρέπει το εμβαδό της ΑΒΜ να είναι ίσο με το εμβαδό της διανομής Ε Δ. Άρα Ε Δ =(ΒΜ*ΑΥ)/2 από το οποίο προκύπτει. ΒΜ = (2*Ε Δ )/ΑΥ 4. Ξέροντας τις συντεταγμένες του Β και το μήκος της ΒΜ, μπορούμε να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ
Διανομή Τριγωνικής Επιφάνειας με Γνωστές τις Συντεταγμένες των Κορυφών του και με Ευθεία Παράλληλη στη Βάση
1. Χρησιμοποιείται ένας από τους τύπους του Gauss για να υπολογιστεί το συνολικό εμβαδόν του τριγώνου n 2E = x i (y i 1 y i+1 ) i=1 2. Έστω ΜΝ η ζητούμενη ευθεία. Τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΜΝ είναι όμοια. Από την ομοιότητα των τριγώνων ισχύει η σχέση: ΜΝ/ΒΓ = ΑΤ/ΑΥ = υ Δ /υ 3. Τα εμβαδά των τριγώνων ΑΜΝ και ΑΒΓ δίνονται από τις σχέσεις: Ε Δ = (ΜΝ*υ Δ )/ 2 και Ε = (ΒΓ*υ)/ 2 με συνέπεια 4. Ε Δ /Ε = (ΜΝ/ΒΓ)* (υ Δ /υ) Ε Δ /Ε = (υ Δ /υ) 2 5. Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι μια παράλληλη προς τη βάση ΒΓ σε απόσταση υ Δ από την κορυφή Α με υ Δ = υ * Ε Δ Ε
Άσκηση Δίνονται οι καρτ. συντεταγμένες της έκτασης ΑΒΓ: Α( 50, 0), Β(0,-80), Γ(110,-77). Ζητείται να γίνει διανομή αυτής της έκτασης σε δύο ισεμβαδικές με τη βοήθεια της ΑΜ. Βρείτε τις καρτ. συντεταγμένες του Μ.
Διανομή Τραπεζοειδούς Επιφάνειας με Ευθεία Διερχόμενη από Γνωστό Σημείο μιας Βάσης
1. Με 2 ΘΠ υπολογίζονται τα μήκη των βάσεων ΒΓ και ΑΔ 2. Υπολογίζεται το εμβαδόν του τραπεζίου με τη βοήθεια των τύπων του Gauss π.χ. n 2E = x i (y i 1 y i+1 ) i=1 3. Υπολογίζεται το ύψος υ του τραπεζίου, με τη χρήση του τύπου E = ΑΔ+ΒΓ 2 Ε υ υ = 2 ΑΔ+ΒΓ 4. Έστω ΜΝ η ζητούμενη ευθεία. Τότε πρέπει το εμβαδό της έκτασης ΑΒΝΜ να είναι ίσο με Ε Δ. Το σχήμα ΑΒΝΜ είναι επίσης τραπέζιο και έχει το ίδιο ύψος υ με το αρχικό τραπέζιο. Επομένως το εμβαδό του δίνεται από τον τύπο: E Δ = ΑΜ+ΒΝ 2 υ 5. Λύνοντας την παραπάνω ως προς ΒΝ και με τη χρήση του τύπου για το υ από το βήμα 3 θα έχουμε τελικά ΒΝ = E Δ Ε (ΑΔ + ΒΓ) - ΑΜ
Άσκηση Δίνονται οι καρτ. συντεταγμένες της έκτασης ΑΒΓΔ: Α (11, -180), Β( 53, 32), Γ(114, 32), Δ(150,-180). Ζητείται να γίνει διανομή αυτής της έκτασης σε δύο ισεμβαδικές με τη βοήθεια της ΑΜ με τον όρο ότι (ΑΜ) = 2*(ΜΔ) Βρείτε τις καρτ. συντεταγμένες του Ν.
Διανομή Τραπεζοειδούς Επιφάνειας με Ευθεία Παράλληλη της Βάσης
1. Με 2 ΘΠ υπολογίζονται τα μήκη των βάσεων ΒΓ και ΑΔ 2. Υπολογίζεται το εμβαδόν του τραπεζίου με τη βοήθεια των τύπων του n Gauss π.χ. 2E = i=1 x i (y i 1 y i+1 ) 3. Υπολογίζεται το ύψος υ του τραπεζίου, με τη χρήση του τύπου E = ΑΔ+ΒΓ 2 Ε υ υ = 2 ΑΔ+ΒΓ 4. Έστω ΜΝ η ζητούμενη ευθεία. Από την κορυφή Γ θεωρούμε την ευθεία ΓΤ παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ του τραπεζίου. Τότε προκύπτουν τα όμοια τρίγωνα ΓΡΝ και ΓΤΔ. Από τις σχέσεις ομοιότητας έχουμε: υ Δ υ = ΡΝ = ΜΝ ΒΓ ΤΔ ΑΔ ΒΓ υ Δ = ΜΝ ΒΓ ΑΔ ΒΓ *υ 5. Το τμήμα διανομής ΒΓΝΜ είναι επίσης τραπέζιο, διότι έχει δύο παράλληλες πλευρές. Επομένως το εμβαδό του δίνεται από τον τύπο: E Δ = ΜΝ+ΒΓ 2 υ Δ E Δ = ΜΝ2 +ΒΓ 2 2 (ΑΔ ΒΓ) ΜΝ= ΒΓ2 + E Δ Ε (ΑΔ2 ΒΓ 2 ) 6. Αντικαθιστούμε το MN που βρήκαμε παραπάνω στην σχέση του βήματος 4 οπότε προκύπτει υ Δ = ΒΓ2 + E Δ Ε (ΑΔ 2 ΒΓ 2 ) ΒΓ *υ ΑΔ ΒΓ Για την ευθεία διανομής γνωρίζουμε τη διεύθυνσή της (παράλληλη προς τις βάσεις) και την απόστασή της από μια βάση (υ Δ ), επομένως είναι πλήρως ορισμένη στο επίπεδο.
Διανομή Επιφανειών Δύο βασικές περιπτώσεις Με ευθεία παράλληλη προς γνωστή διεύθυνση Με ευθεία διερχόμενη από γνωστό σημείο
Διανομή με Ευθεία που Διέρχεται από Γνωστό Σημείο
Γενική Περίπτωση Από το γνωστό σημείο να διέλθει μία ευθεία η οποία θα αποκόψει από την επιφάνεια ένα ζητούμενο εμβαδόν.
Για μια έκταση γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών. Επομένως είναι εύκολο να υπολογίσουμε το εμβαδό της. Ζητείται η διανομή της έκτασης σε δύο ισεμβαδικά τμήματα με μια ευθεία που θα διέρχεται από γνωστό σημείο (ας υποθέσουμε από το σημείο 1). Η ζητούμενη ευθεία θα αρχίζει από το σημείο 1 και θα καταλήγει σε ένα σημείο (έστω Μ), το οποίο θα βρίσκεται σε κάποια άλλη πλευρά της περιμέτρου της έκτασης. Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε σε ποια πλευρά θα βρίσκεται το Μ.
Ξεκινώντας από το σημείο 1, ξεχωρίζουμε το πρώτο τρίγωνο και εξετάζουμε αν λύνει το πρόβλημά μας. (Σημειώνεται ότι για το τρίγωνο 1-2-3 είναι εύκολο να υπολογίσουμε το εμβαδό, αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών του.) Αν το τμήμα αυτό έχει εμβαδό μικρότερο του ζητούμενου, τότε προχωρούμε τον έλεγχο ξεχωρίζοντας μεγαλύτερο τμήμα.
Παίρνουμε επιφάνεια ίση με το τετράπλευρο που ορίζεται από τα 4 πρώτα σημεία της έκτασης. (Και πάλι το εμβαδό υπολογίζεται εύκολα από τις συντεταγμένες). Αν και το τμήμα αυτό έχει εμβαδό μικρότερο του ζητούμενου, τότε προχωρούμε τον έλεγχο ξεχωρίζοντας ακόμη μεγαλύτερο τμήμα.
Τώρα το τμήμα που αποχωρίσαμε είναι ένα πεντάγωνο. (Κανένα πρόβλημα, το εμβαδό του υπολογίζεται από τις συντεταγμένες των κορυφών). Και πάλι διαπιστώνουμε ότι δεν έχουμε φτάσει στο επιθυμητό εμβαδό, άρα προχωρούμε με ένα ακόμη μεγαλύτερο τμήμα. Σημειώνουμε ότι η έκταση διανομής θα είναι μεγαλύτερη του πολυγώνου 1-2-3-4-5.
Αυτό το τμήμα ορίζεται από τα 6 πρώτα σημεία της έκτασης. (Και πάλι, το εμβαδό του υπολογίζεται από τις συντεταγμένες των κορυφών). Τώρα διαπιστώνουμε ότι το εμβαδό είναι μεγαλύτερο του ζητούμενου. Επομένως η έκταση διανομής θα είναι μικρότερη από το πολύγωνο 1-2-3-4-5-6.
Αφού η έκταση διανομής θα είναι μεγαλύτερη του πολυγώνου 1-2-3-4-5 και μικρότερη του πολυγώνου 1-2-3-4-5-6, συμπεραίνουμε ότι το ζητούμενο σημείο Μ θα βρίσκεται στην πλευρά 5-6 της έκτασης.
Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων x M, y M σχηματίζουμε το σύστημα εξισώσεων: 1. Το εμβαδό του 1-2-3-4-5-Μ θα είναι ίσο με το μισό του εμβαδού της έκτασης (Gauss). 2. Το σημείο Μ θα βρίσκεται στην πλευρά 5-6 της έκτασης. (Δηλ α 5Μ = α 56 ) Λύνοντας το παραπάνω σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους, βρίσκουμε τις συντεταγμένες του δεύτερου σημείου της ευθείας διανομής.
Εναλλακτικός Τρόπος Επίλυσης
Προσδιορίζουμε την πλευρά επέκτασης όπως με την προηγούμενο τρόπο. Έστω λοιπόν ότι το Μ βρίσκεται στην πλευρά 5-6 Η επιφάνεια 12345Μ1 αποτελείται από τα εμβαδά των τρίγωνων : Ε 132 + Ε 134 + Ε 145 + Χ όπου Χ η διανομή του τριγώνου Ε Δ156 Για το Ε Δ156 ισχύει: Ε Δ156 = Ε Δ - Ε 132 - Ε 134 - Ε 145 Και άρα το πρόβλημα ανάγεται στη διανομή τριγώνου με ευθεία διερχόμενη από την κορυφή του (δες παραπάνω διαφάνειες)
Διανομή με Ευθεία Παράλληλη Προς Γνωστή Διεύθυνση
Γενικές Περιπτώσεις Να υπολογιστεί το αποκοπτόμενο εμβαδό της επιφάνειας από την ευθεία που είναι παράλληλη και σε δεδομένη απόσταση από τη γνωστή ευθεία Να ορίσουμε τη θέση της ευθείας που τέμνει την επιφάνεια (δηλ την απόστασή της από τη γνωστή ευθεία) έτσι ώστε να αποκόπτεται ορισμένο εμβαδό
Για μια έκταση γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών. Επομένως είναι εύκολο να υπολογίσουμε το εμβαδό της. Ζητείται η διανομή της έκτασης σε δύο ισεμβαδικά τμήματα με μια ευθεία που θα έχει γνωστή διεύθυνση (ας υποθέσουμε παράλληλη στον άξονα y). Για τη ζητούμενη ευθεία δεν έχουμε κανένα γνωστό σημείο. Αν η ζητούμενη ευθεία είναι η ΜΝ, τότε τα σημεία Μ και Ν θα βρίσκονται πάνω σε δύο πλευρές, που πρέπει να αναζητήσουμε.
Φέρουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα y που διέρχεται από την κορυφή 3. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. (Το x K = x 3, αφού προβάλλονται στο ίδιο σημείο του άξονα x. To y K θα ικανοποιεί την εξίσωση της ευθείας 1-2). Αν το τμήμα 2-3-Κ έχει εμβαδό μικρότερο του ζητούμενου, τότε προχωρούμε τον έλεγχο ξεχωρίζοντας μεγαλύτερο τμήμα (με ευθεία πάντα παράλληλη στον y).
Φέρουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα y που διέρχεται από την κορυφή 1. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. Αν και το τμήμα αυτό έχει εμβαδό μικρότερο του ζητούμενου, τότε προχωρούμε τον έλεγχο ξεχωρίζοντας ακόμη μεγαλύτερο τμήμα.
Φέρουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα y που διέρχεται από την κορυφή 4. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. Και πάλι διαπιστώνουμε ότι δεν έχουμε φτάσει στο επιθυμητό εμβαδό, άρα προχωρούμε με ένα ακόμη μεγαλύτερο τμήμα.
Φέρουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα y που διέρχεται από την κορυφή 9. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. Τώρα διαπιστώνουμε ότι το εμβαδό είναι μεγαλύτερο του ζητούμενου.
Συνεπώς η ευθεία διανομής θα βρίσκεται κάπου ανάμεσα στις δύο τελευταίες δοκιμαστικές ευθείες και θα είναι παράλληλη με τον άξονα y. Το σημείο Μ θα βρίσκεται στην πλευρά 4-5 και το σημείο Ν στην πλευρά 1-9.
Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων x M, y M, x Ν, y Ν σχηματίζουμε το σύστημα εξισώσεων: 1. Το εμβαδό του 1-2-3-4-Μ-Ν θα είναι ίσο με το μισό του εμβαδού της έκτασης. 2. Το σημείο Μ θα βρίσκεται στην πλευρά 4-5 της έκτασης. 3. Το σημείο Ν θα βρίσκεται στην πλευρά 1-9. 4. Οι τετμημένες των σημείων Μ και Ν ταυτίζονται. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των δύο σημείων της ευθείας διανομής.
Άσκηση Η έκταση ΑΒΓΔΑ πρόκειται να χωριστεί σε δύο ισεμβαδικά τμήματα Ι και ΙΙ, με τη βοήθεια της τέμνουσας και με τον όρο ότι (ΜΒ) = 2* (ΑΜ). Ζητούνται οι ορθογώνιες συντεταγμένες (Χ,Υ) του σημείου Ν. Δίνονται Σημείο Χ(m) Y(m) Α 415,87 238,10 Β 466,53 234,93 Γ 471,18 213,48 Δ 405,02 204,96