- Μηχανική στερεού σώματος Ασκήσεις 1. Στερεό στρέφεται γύρω Ένας δίσκος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο και είναι κάθετος στο επίπεδο του. Ο δίσκος είναι αρχικά ακίνητος και τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α 1, οπότε τη χρονική στιγμή t 1=4 s έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 1=8 rad/s. Από τη στιγμή αυτή και μετά αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερό ρυθμό και τελικά σταματά τη χρονική στιγμή t 2=6 s. i. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας τις χρονικές στιγμές 2 s και 5s. ii. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t 2=6 s. iii. Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση που σχεδιάσατε να υπολογίσετε τη γωνιακή μετατόπιση του δίσκου στη χρονική διάρκεια από 0 έως 6 s. 2. Ο κύλινδρος του σχήματος, ακτίνας R=0,2m, σύρεται από την ηρεμία του, μέσω του νήματος, σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα. Καθώς το νήμα ξετυλίγεται, ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και σε χρόνο 2s το άκρο Β του νήματος μετατοπίζεται οριζόντια κατά 0,8m. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου, β. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου, γ. το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας του κυλίνδρου, δ. τη γωνία στροφής που διαγράφει μια ακτίνα του κυλίνδρου σε χρονική διάρκεια 4s. 3. Τροχός ακτίνας R=0,8 m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο τη χρονική στιγμή t=0. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού ισούται με α cm=4 m/s 2. Να υπολογίσετε: i. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού. ii. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του τροχού τη χρονική στιγμή t 1=2 s. iii. Τον αριθμό των περιστροφών που εκτέλεσε ο τροχός από τη στιγμή που ξεκίνησε να κινείται μέχρι τη χρονική στιγμή t 1. iv. Το μήκος που διάνυσε ο τροχός στο οριζόντιο επίπεδο από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t 1. 4. Ένας κύλινδρος έχει ακτίνα R=0,5m και ξεκινά από τη βάση ενός κεκλιμένου επιπέδου με αρχική γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 0. Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και, αφού ανέβει στην ανώτερη θέση της τροχιάς του, επιστρέφει πάλι στη βάση του πλάγιου επιπέδου. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου σε συνάρτηση με το χρόνο κατά τη διάρκεια της κίνησης του. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της αρχικής γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου και το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας με την οποία περιστρέφεται ο κύλινδρος μόλις επιστρέψει στη βάση του. β. Να κάνετε το διάγραμμα του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου σε σχέση με το χρόνο. γ. Να υπολογίσετε το συνολικό διάστημα που διάνυσε ο κύλινδρος σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του. Νίκος Κυριαζόπουλος - Φυσικός 1
5. Η αβαρής ράβδος του διπλανού σχήματος έχει μήκος L=0,8 m και δέχεται τέσσερις ομοεπίπεδες δυνάμεις που έχουν ίσα μέτρα F 1=F 2=F 3=F 4=20 N. Αν δίνεται ότι ημφ=0,6, να υπολογίσετε: i. Τη ροπή των δυνάμεων F 1. F 2 και F 4 ως προς το μέσο Μ της ράβδου. ii. Τη ροπή της F 3 ως προς το σημείο Β, αν δίνεται ότι η συνισταμένη ροπή των τεσσάρων δυνάμεων ως προς το μέσο Μ έχει αλγεβρική τιμή +3 Ν.m. iii. Τη συνισταμένη ροπή των τεσσάρων δυνάμεων ως προς το σημείο Ζ. 6. Η ομογενής ράβδος του διπλανού σχήματος έχει μήκος L = 2m,μάζα m=6 kg και ισορροπεί οριζόντια με τη βοήθεια αβαρούς και μη εκτατού νήματος. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος στο επίπεδο που σχηματίζουν η ράβδος και το νήμα. Το όριο θραύσης του νήματος ισούται με Τ max = 90 Ν. Να υπολογίσετε : α) Την τάση του νήματος που δέχεται η ράβδος β) Τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής γ) Να βρείτε τη θέση πάνω στη ράβδο όπου πρέπει να τοποθετήσουμε σώμα μάζας m 1 = 2 kg, ώστε μόλις να μη σπάει το νήμα. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s 2 7. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια ομογενής ράβδος, η οποία μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από το ένα άκρο της με τη βοήθεια άρθρωσης. Η ράβδος έχει μήκος L=0,8 m και βάρος w=18 N. Με τη βοήθεια αβαρούς και μη εκτατού νήματος η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση. Το σημείο Μ όπου είναι δεμένο το νήμα απέχει από το άκρο Α της ράβδου h=0,6 m. i. Να υπολογίσετε τη ροπή της τάσης του νήματος ως προς το Α. ii. Να υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση. iii. Αν κρεμάσουμε ένα σώμα μάζας m από το άκρο Β, η τάση του νήματος διπλασιάζεται. Να βρείτε τη μάζα m του σώματος. Δίνεται g=10 m/s 2. 8. Μια ομογενής και ισοπαχής ράβδος βάρους Β = 10 3 Ν ακουμπάει με το ένα της άκρο σε λείο κατακόρυφο τοίχο και με το άλλο της άκρο σε οριζόντιο τραχύ δάπεδο με συντελεστή οριακής 3 τριβής.αν η ράβδος σχηματίζει γωνία 60ο με το οριζόντιο δάπεδο να βρεθούν : 2 α) οι δυνάμεις που ενεργούν που ενεργούν πάνω της στα σημεία επαφής. β) Η ελάχιστη γωνία που μπορεί να σχηματίζει η ράβδος με το οριζόντιο δάπεδο ώστε αυτή να ισορροπεί. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 2
9. Ο τροχός του σχήματος έχει μάζα M=4kg και ακτίνα R=20cm. Tη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να ασκείται σταθερού μέτρου δύναμη F=20Ν, οπότε ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z z που περνά από το cm του. Α. Να υπολογίσετε: i. τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, ii. τη στροφορμή και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του τροχού τη χρονική στιγμή 5s, iii. το έργο της ροπής της δύναμης μετά από χρόνο 5s. iv. το ρυθμό με τον οποίο μεταφέρει ενέργεια η δύναμη στο τροχό τη χρονική στιγμή 5s και τη μέση ισχύς της ροπής της δύναμης στη χρονική διάρκεια Δt=5s v. το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η κινητική ενέργεια του τροχού τη χρονική στιγμή που η στροφορμή του δίσκου έχει μέτρο L=8 kgm 2 /s. Β. Τη χρονική στιγμή t=5s παύει να ενεργεί η δύναμη. Ένα κομμάτι λάσπης μάζας 0,5kg, αφήνεται να πέσει κατακόρυφα και κολλά πάνω στον τροχό σε απόσταση R/2 από τον άξονα περιστροφής του τροχού. Να υπολογίσετε: vi. τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού αμέσως μετά την προσκόλληση της λάσπης σ αυτόν και την κινητική ενέργεια του τροχού τη χρονική στιγμή 7s. vii. πόσο έργο απαιτείται για να σταματήσει το σύστημα; Δίνεται: η ροπή αδράνειας τροχού ως προς άξονα που περνά από το κέντρο mάζας του Icm = ΜR 2 /2 Θεωρήστε αμελητέες τις τριβές. 10. Οι δύο δίσκοι του διπλανού σχήματος έχουν μάζες m 1 = 5 kg και m 2 = 2 kg και ακτίνες R 1 = l m και R 2 = 0,5 m αντίστοιχα. Οι δύο αυτοί δίσκοι περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από τον ίδιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από τα κέντρα τους και είναι κάθετος στο επίπεδο τους. Ο κάτω δίσκος έχει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 1 = 10 rad/s, με φορά που φαίνεται στο σχήμα, ενώ ο πάνω δίσκος έχει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 2 = 56 rad/s, που έχει αντίθετη κατεύθυνση από τη γωνιακή ταχύτητα του κάτω δίσκου. Κάποια στιγμή ο πάνω δίσκος πέφτει από μικρό ύψος πάνω στον κάτω δίσκο, οπότε από κάποια χρονική στιγμή και μετά οι δύο δίσκοι αρχίζουν να περιστρέφονται ως ένα σώμα με γωνιακή ταχύτητα. Να υπολογίσετε: α) την αρχική στροφορμή του κάθε δίσκου ξεχωριστά, β) τη γωνιακή ταχύτητα γ) τη μεταβολή της στροφορμής του κάθε δίσκου, δ) το μέτρο της μέσης ροπής που δέχθηκε ο κάθε δίσκος, αν δίνεται ότι από τη στιγμή που οι δύο δίσκοι ήρθαν σε επαφή μέχρι τη στιγμή που άρχισαν να περιστρέφονται ως ένα σώμα πέρασε χρόνος Δt = 0,2 s. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας κάθε δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του υπολογίζεται από τον τύπο Icm = ½ MR 2. 11. Συμπαγής και ομογενής σφαίρα μάζας Μ = 10kg και ακτίνας R = 0,2m είναι αρχικά ακίνητη πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F=28N, η οποία ασκείται κατάλληλα στο κέντρο της, η σφαίρα αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο επίπεδο. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας. β. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας κατά τη διάρκεια της κίνησης της. γ. το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας, όταν έχει διαγράψει Ν = 40/περ. δ. την κινητική ενέργεια της σφαίρας λόγω στροφικής κίνησης, τη στιγμή που η κινητική της ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης είναι Κ μετ = 50 J. Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας περί άξονα διερχόμενο από το κέντρο της Icm=2/5ΜR 2. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 3
12. Γύρω από τον ομογενή τροχό του οχήματος,ακτίνας R = 0,3 m και μάζας m = 2 kg,είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί,στο ελεύθερο άκρο Γ του οποίου τη στιγμή t=0 ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 9Ν. Αν ο τροχός κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει, να βρείτε: Α) την επιτάχυνση του κέντρου Κ Β) την γωνιακή επιτάχυνση του τροχού και τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή t=10sec Γ) την επιτάχυνση του σημείου Γ Δ) τη δύναμη της στατικής τριβής που δέχεται ο τροχός από το επίπεδο και τη ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ του τροχού και του εδάφους ώστε ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Δίνονται για το τροχό I cm = 1/2mR 2 και g = 10 m/s 2 13. Συμπαγής και ομογενής κύλινδρος μάζας M=2kg και ακτίνας R = 0,4m βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με τον άξονα του οριζόντιο. Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής του κυλίνδρου με το οριζόντιο επίπεδο είναι μ s = 0,4. Στην περιφέρεια του κυλίνδρου, σε ίσες αποστάσεις από τις δύο βάσεις του, είναι τυλιγμένο λεπτό αβαρές νήμα. Ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=12N. Α. Να αποδείξετε ότι ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να ολισθαίνει. Β. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου. β. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου, ως προς τον άξονα του, κατά τη διάρκεια της κίνησης του. γ. τον αριθμό των περιστροφών που έχει διαγράψει ο κύλινδρος, όταν το σημείο εφαρμογής της δύναμης F έχει μετατοπιστεί κατά Δx = 8 m. Δίνονται: η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του,, και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s 2. 14. Λεπτός δακτύλιος μάζας m = 2 kg και ακτίνας R = 0,2 m με τη μάζα του ομοιόμορφα κατανεμημένη στην περιφέρειά του αφήνεται τη χρονική στιγμή t 0 = 0 χωρίς αρχική ταχύτητα από ένα σημείο Α που βρίσκεται στο πάνω μέρος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ = 30ο οπότε αρχίζει αμέσως να κυλά χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου, μέχρι που φτάνει στη βάση του τη χρονική στιγμή t 1, όπου το κέντρο μάζας του έχει υποστεί κατακόρυφη μετατόπιση κατά h = 10 m. Να βρείτε: α. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού. β. Το μέτρο της στροφορμής του δακτυλίου τη χρονική στιγμή t 1. γ. Τον αριθμό περιστροφών του δακτυλίου μέχρι τη χρονική στιγμή t 1. δ. Την ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μ s ώστε ο δακτύλιος να κυλά χωρίς να ολισθαίνει. Δίνεται g = 10 m/s 2. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 4
15. Συμπαγής και ομογενής κύλινδρος μάζας Μ= 10 kg και ακτίνας R = 0,2rn κυλίεται ευθύγραμμα χωρίς ολίσθηση ανερχόμενος κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ. Τη χρονική στιγμή t = 0 το κέντρο μάζας του κυλίνδρου έχει ταχύτητα με μέτρο υο= 8m/s. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου, ως προς τον άξονα του, τη χρονική στιγμή t = 0. β. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. γ, το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου, λόγω περιστροφικής κίνησης, τη χρονική στιγμή που το κέντρο μάζας του έχει ταχύτητα μέτρου u=4m/s δ. τον αριθμό των περιστροφών που θα διαγράψει ο κύλινδρος μέχρι να σταματήσει στιγμιαία. Δίνονται: η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του Ιcm = ½ MR 2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10m/s 2 και ημφ = 0,6 16. Η σφαίρα του σχήματος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου με την επίδραση της δύναμης F στο κέντρο της που είναι παράλληλη του πλαγίου επιπέδου. Αν γνωρίζετε ότι: F = 1,2 mg, φ = 30, g = 10 m/s 2, R = 0,5 m, m = 0,5 kg, και Ιcm =2/5mR 2 να υπολογίσετε: 1) Την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της σφαίρας και τη γωνιακή επιτάχυνση της, 2) Τη στατική τριβή που ενεργεί στη σφαίρα. 3) Την κατακόρυφη ανύψωση της σφαίρας μετά από χρόνο t 1= 4s από τη στιγμή που ξεκίνησε (υ 0 = 0). 4) Τον αριθμό των περιστροφών της σφαίρας μετά από χρόνο t 2 = 6s από τη στιγμή που ξεκίνησε. 5) Την ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής στατικής τριβής ώστε η σφαίρα να μην ολισθαίνει. 6) Τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας. 17. Η ομογενής τροχαλία του σχήματος ακτίνας R = 0,2m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο της. Σώμα Σ μάζας m= 1kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος, το οποίο είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια της τροχαλίας. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο. Τη χρονική στιγμή tο=0 αφήνουμε το σύστημα τροχαλίας-σώματος Σ ελεύθερο να κινηθεί. Τη χρονική στιγμή t = 2s έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους l=4m. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα Σ. β. τη ροπή αδράνειας της τροχαλίας. γ. το μέτρο της στροφορμής και της κινητικής ενέργειας του συστήματος τροχαλίας-σώματος Σ, τη χρονική στιγμή t =2s. δ. το έργο της δύναμης που ασκείται στην τροχαλία από το νήμα από τη χρονική στιγμή to = 0 έως τη χρονική στιγμή t =2s και την ισχύ της τάσης του νήματος που δέχεται η τροχαλία τη χρονική στιγμή t =2 s. ε. Το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος τροχαλίας-σώματος Σ, Να θεωρήσετε ότι οι διαστάσεις του σώματος Σ είναι αμελητέες και ότι το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10m/s 2. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 5
18. Στα ελεύθερα άκρα του αβαρούς σχοινιού που περνά από το αυλάκι της τροχαλίας ακτίνας R=0,2m είναι δεμένα τα σώματα με μάζες m 1 = 25 kg και m 2 = 15 kg. Η τροχαλία έχει μάζα Μ = 20 kg. Κάποια στιγμή t = 0 αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα. Να βρείτε: i) την επιτάχυνση τους ii) τις τάσεις του σχοινιού, iii) Tην χρονική στιγμή που τα σώματα θα απέχουν μεταξύ τους d = 8m. iv) Αυτή τη χρονική στιγμή να υπολογιστούν το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας, το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της τροχαλίας καθώς και η κινητική ενέργεια του συστήματος τροχαλία - σώματα. v) τη δύναμη F που δέχεται η τροχαλία από τo σημείο στήριξης της όταν τα σώματα κινούνται. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της I cm = 2 1 ΜR 2 και g=10m/s 2. Τριβές δεν υπάρχουν και τo σχοινί δεν γλιστρά στο αυλάκι της τροχαλίας. 19. Για τη διάταξη του παρακάτω σχήματος δίνονται: η μάζα και η ακτίνα του κυλίνδρου M=12kg και R=0,5m, η μάζα του σώματος Σ m = 1kg, η μάζα και η ακτίνα της τροχαλίας m T = 2kg και r = 0,2m αντίστοιχα. Όταν το σώμα Σ αφεθεί ελεύθερο πέφτει προς τα κάτω, θέτοντας ταυτόχρονα την τροχαλία και τον κύλινδρο σε κίνηση. Να υπολογίσετε: α. την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου, και την επιτάχυνση του σώματος μάζας m, β. το μέτρο της στατικής τριβής που ασκείται στον κύλινδρο, γ. την τιμή της ροπής που θέτει σε κίνηση την τροχαλία, δ. το λόγο της γωνιακής επιτάχυνσης τον κυλίνδρου προς τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Το νήμα που συνδέει τον κύλινδρο με το σώμα Σ δε γλιστράει στο αυλάκι της τροχαλίας. ε. Αν το σώμα Σ πέσει κατά h = 1m να βρεθούν οι κινητικές ενέργειες της τροχαλίας και του κυλίνδρου Δίνονται: οι ροπές αδράνειας του κυλίνδρου και της τροχαλίας ως προς άξονα συμμετρίας τους I cm,κ = 2 1 ΜR 2 και I cm,τ = 2 1 mτr 2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s 2. 20. Γύρω από έναν ομογενή κύλινδρο, μάζας Μ = 10kg, και ακτίνας R = 0,45 m είναι τυλιγμένο ένα αβαρές σχοινί, το οποίο περνά από τροχαλία και έχει δεμένο στο άλλο άκρο του σώμα μάζας m 1. Αν η τροχαλία έχει αμελητέα μάζα και όταν αφήνουμε το σώμα μάζας m 1 ελεύθερο, ο κύλινδρος κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει.tη χρονική στιγμή t1 που το σώμα μάζας m έχει μετατοπισθεί προς τα κάτω κατά h = 1,8 m, το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι ucm = 2m/s. Nα βρείτε: α) την ταχύτητα του σώματος μάζας m τη στιγμή t 1 β) τη μάζα m 1 του σώματος γ) την επιτάχυνση του άξονα περιστροφής του κυλίνδρου. δ) την επιτάχυνση του σώματος μάζας m 1 ε) την τάση του σκοινιού στ) τις τιμές του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου για τις οποίες δεν έχουμε ολίσθηση. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 6
ζ) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του. Δίνονται Ι cm = ½ MR 2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s 2. 21. Ένας δίσκος ακτίνας R 1=0,25m και ένας μεγαλύτερος ακτίνας R 2 έχουν ίδιο πάχος d και είναι κατασκευασμένοι από το ίδιο υλικό. Οι δύο δίσκοι προσαρμόζονται στον ίδιο οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους ώστε να κινούνται σαν ένα σώμα, Ο μικρός δίσκος έχει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα αυτό Ι 1=1/170kgm 2. Δύο σώματα με μάζες m 1= 0,4 kg και m 2=0,2 kg δένονται από αβαρή νήματα που τυλίγονται στους δύο δίσκους όπως στο σχήμα. Αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα και παρατηρούμε ότι το σύστημα ισορροπεί. Ενώ τα δύο σώματα απέχουν την ίδια κατακόρυφη απόσταση H=3,2m από το έδαφος, κόβουμε το νήμα που συγκρατεί το σώμα μάζας m 2 οπότε οι δίσκοι περιστρέφονται χωρίς το σχοινί να ολισθαίνει. Να υπολογίσετε: α. την ακτίνα R 2 του μεγάλου δίσκου. β. τη ροπή αδράνειας του συστήματος των δίσκων. γ. τη γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σύστημα των δύο δίσκων. δ. πόσο απέχει από το έδαφος το σώμα μάζας m 1 τη στιγμή που το σώμα m 2 φτάνει στο έδαφος. I cm = 2 1 ΜR 2 και g=10m/s 2 22. Γύρω από ομογενή κύλινδρο μάζας m = 0,2 kg και ακτίνας R = 0,1m είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί. Στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκείται κατακόρυφη δύναμη F προς τα πάνω, έτσι ώστε, όταν το σχοινί ξετυλίγεται ο άξονας του κυλίνδρου να παραμένει σε σταθερό ύψος από το έδαφος. α) να βρείτε τη δύναμη F β) πόσο είναι το έργο της δύναμης F από τη στιγμή που ασκείται μέχρι ο κύλινδρος να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω = 100 rad/s γ) ποιο είναι το μήκος του σχοινιού που ξετυλίγεται μέχρι ο κύλινδρος να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω = 100 rad/s Δίνεται: I cm = ½ MR 2 23. Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα m = 0,15 kg και ακτίνα R = 0,1m. Γύρω από τον κύλινδρο έχει τυλιχτεί πολλές φορές νήμα, του οποίου το ελεύθερο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Αφήνοντας τον κύλινδρο τη χρονική στιγμή t 0 = 0 να κατεβαίνει, το νήμα ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από ένα νοητό οριζόντιο άξονα x x. Τη χρονική στιγμή t 1 το κέντρο μάζας του κυλίνδρου έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά h = l,2 m. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου, τη χρονική στιγμή t 1 β. το μέτρο της δύναμης Τ που ασκείται στον κύλινδρο από το νήμα, κατά τη διάρκεια της κίνησης του. γ. το ρυθμό μεταβολής της ορμής του κυλίνδρου, κατά τη διάρκεια της κίνησης του. δ. το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου, λόγω περιστροφικής κίνησης, τη χρονική στιγμή t 1. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 7
24. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους L = 0,3 m και μάζας m = 0,25 kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι διαρκώς κάθετος σ αυτήν. Βάζουμε τη ράβδο σε κατακόρυφη θέση έτσι ώστε ο άξονας περιστροφής να βρίσκεται στο κάτω άκρο της και στη συνέχεια την αφήνουμε ελεύθερη. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ αυτήν Icm = 1/12 ml 2. και g= 10m/s 2. Nα βρεθούν Α) Η επιτάχυνση της ράβδου τη χρονική στιγμή που γίνεται οριζόντια Β) Το έργο που εκτελεί το βάρος της ράβδου από την αρχική κατακόρυφη θέση μέχρι τη χρονική στιγμή που η ράβδος γίνεται για πρώτη φορά οριζόντια Γ) Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν για πρώτη φορά ξαναγίνεται κατακόρυφη μετά την στιγμή που αφήνεται. Δ) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας της ράβδου όταν για πρώτη φορά η ράβδος διέρχεται από την οριζόντια θέση. 25. Ομογενής ράβδος μάζας Μ = 2Kg και μήκους L = 3m αφήνεται να πέσει σε κατακόρυφο επίπεδο, στρεφόμενη περί το ένα άκρο της Κ,έχοντας αρχική θέση που σχηματίζει γωνία 60 ο με την κατακόρυφο,πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Να βρεθούν : Α) ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου αμέσως μόλις αφεθεί ελεύθερη Β) τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή που περνάει από την οριζόντια θέση Γ) την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής στην κατακόρυφη θέση. Δ) την ισχύ της ροπής της ράβδου τη στιγμή που περνάει από τη οριζόντια θέση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας Ι cm = ML 2 /12 και g = 10m/s 2. 26. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ με μήκος l = 1,5 m και μάζα m=2kg ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άκρο Γ της ράβδου συνδέεται με τον τοίχο με οριζόντιο αβαρές νήμα ΓΔ. Η ράβδος σχηματίζει γωνία φ = 60 με τον τοίχο. Α. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από το νήμα. Β. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Γ και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από την άρθρωση, χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου, μόλις κοπεί το νήμα. β. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής της, τη στιγμή που διέρχεται από την οριζόντια θέση. γ. την κινητική ενέργεια της ράβδου, τη στιγμή που διέρχεται από την κατακόρυφη θέση Δίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου Ιcm = ML 2 /12 και g = 10m/s 2 27. Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος ΟΑ έχει μάζα Μ = 3kg μήκος d = 2,8m και ισορροπεί με τη βοήθεια οριζόντιου νήματος σχηματίζοντας γωνία φ με τον ορίζοντα. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο που σχηματίζουν το νήμα και η ράβδος. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 8
1. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος που δέχεται η ράβδος Από το άκρο Ο της ράβδου αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί μικρή σφαίρα μάζας m = 1,4kg και ακτίνας r = 2/7 m, η οποία κυλίεται στη ράβδο χωρίς να ολισθαίνει. 2. Nα υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της σφαίρας 3. Nα υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Δίνεται: Ι cmσφαίρας = 2/5 mr 2 ημφ = 0,6 συνφ = 0,8 28. Μια ομογενής ράβδος ΑΒ που έχει μήκος l = 1 m και μάζα Μ = 6 kg, έχει στο άκρο της Β μόνιμα στερεωμένο ένα σώμα μικρών διαστάσεων με μάζα m = 2 kg. Η ράβδος στηρίζεται με το άκρο της Α μέσω άρθρωσης και αρχικά διατηρείται οριζόντια με τη βοήθεια νήματος, το ένα άκρο του οποίου είναι δεμένο στο μέσο της ράβδου και το άλλο στον κατακόρυφο τοίχο, όπως στο σχήμα. Η διεύθυνση του νήματος σχηματίζει γωνία φ = 30ο με την διεύθυνση της ράβδου στην οριζόντια θέση ισορροπίας. Α. Να υπολογίσετε: Α.1. Το μέτρο της τάσης του νήματος. Α.2. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου-σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος. Β. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται και η ράβδος μαζί με το σώμα που είναι στερεωμένο στο άκρο της, αρχίζει να περιστρέφεται στο επίπεδο του σχήματος. Θεωρώντας τις τριβές αμελητέες να υπολογίσετε το μέτρο: Β.1. Της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος ράβδου-σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής, μόλις κόβεται το νήμα. Β.2. Της ταχύτητας του σώματος στο άκρο της ράβδου, όταν αυτή φτάνει στην κατακόρυφη θέση. Δίνονται: Για τη ράβδο η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής της: Icm = (1/12)Ml 2. Η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s 2. 29. Η ράβδος ΟΑ του σχήματος με μήκος L = 1 m και μάζα Μ = 6 kg είναι οριζόντια και περιστρέφεται υπό την επίδραση οριζόντιας δύναμης F που έχει σταθερό μέτρο και είναι διαρκώς κάθετη στη ράβδο, στο άκρο της Α. Η περιστροφή γίνεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το Ο. Αρχικά η ράβδος είναι ακίνητη. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. Να υπολογιστούν: α. Η τιμή της δύναμης F, αν γνωρίζουμε ότι το έργο που έχει προσφέρει η δύναμη στη διάρκεια της πρώτης περιστροφής είναι 30π J. β. Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. γ. Ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη μεταφέρει ενέργεια στη ράβδο στο τέλος της πρώτης περιστροφής. Δίνονται: 30 = 9,7 και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο Ιcm =1/12ML 2. 30. Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΟΑ μήκους L =1,2m και μάζας Μ = 3kg, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Αρχικά η ράβδος ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα βλήμα μάζας m = 10g το οποίο κινείται οριζόντια με ταχύτητα Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 9
μέτρου υ = 720 m/s συγκρούεται σε σημείο Κ της ράβδου που απέχει από το σημείο 0 απόσταση χ = 0,8m. Το βλήμα μόλις που εξέρχεται από τη ράβδο. α) να υπολογίσετε την απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση β) να εξετάσετε αν η ράβδος εκτελεί ανακύκλωση γ) να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας που πρέπει να έχει το βλήμα ώστε η ράβδος μετά τη κρούση μόλις που να φτάσει σε οριζόντια θέση Δίνεται: Ι cm = 1/12 M L 2. Θεωρήστε ότι η κρούση του βλήματος με τη ράβδο διαρκεί αμελητέο χρόνο και ότι μετά τη κρούση απομακρύνουμε το βλήμα από την περιοχή κίνησης της ράβδου. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 10