Διανύσματα 1. Διανύσματα Πρόσθεση Διανυσμάτων Φυσική ποσότητα που περιγράφεται μόνο από ένα αριθμό ονομάζεται βαθμωτή. Η διανυσματική ποσότητα έχει διεύθυνση, φορά και μέτρο. Δύο διανυσματικές ποσότητες είναι ίσες αν όλα τα στοιχεία τους ταυτίζονται και αντίθετες αν έχουν ίδιο μέτρο και διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά. Η απλούστερη διανυσματική ποσότητα είναι η μετατόπιση. Μετατόπιση είναι η αλλαγή θέσης ενός σωματίου δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα που κατευθύνεται από το αρχικό προς το τελικό του σημείο. Διανύσματα 1 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Το άθροισμα διανυσμάτων είναι ένα άνυσμα με αρχή την αρχή του πρώτου και τέλος το τέλος του δευτέρου (τα προστιθέμενα διανύσματα τοποθετούνται διαδοχικά). Στην πρόσθεση διανυσμάτων ισχύει η μεταθετική και η προσετεριστική ιδιότητα. ( ) ( ) C C Διανύσματα PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
. Ανάλυση, σύνθεση και πρόσθεση διανυσμάτων στον χώρο. cosθ snθ cosφ snφ snθ snθ cosφ snφ Διανύσματα 3 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Διανύσματα 4 φ θ tn cos PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Διανύσματα 5 Αφού αναλυθούν στους τρεις άξονες όλα τα προστιθέμενα διανύσματα ισχύει: n n n R R R 1 1 1 Το ολικό άθροισμα R προκύπτει από την σύνθεση των συνιστωσών του. PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
3. Μοναδιαία Διανύσματα Έχουν σκοπό την περιγραφή μιας κατεύθυνσης στον χώρο. u Για κάθε άνυσμα έχουμε: Tο μοναδιαίο διάνυσμα σε κάθε άξονα ορίζεται σαν:,, και επομένως: Διανύσματα 6 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
4. Βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων. cosφ Ισούται με το μέτρο του ενός διανύσματος επί το μέτρο της προβολής του άλλου πάνω στο πρώτο. Στο βαθμωτό γινόμενο ισχύει η μεταθετική ιδιότητα. Διανύσματα 7 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Διανύσματα 8 ) ( ) ( 0 1cos 90 1 1 1cos0 1 0 0 Από τον ορισμό του βαθμωτού γινομένου ισχύει: Άρα το βαθμωτό γινόμενο είναι: PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Παράδειγμα εσωτερικού γινομένου: Για μετατόπιση s σε ευθεία γραμμή με επίδραση σταθερής δυνάμεως F με κατεύθυνση την ίδια γραμμή το έργο που παράγεται επί σώματος είναι: W Fs Όταν δύναμη και μετατόπιση έχουν διαφορετικές κατευθύνσεις, παίρνουμε την συνιστώσα της F στην s: W ( F cos ) s F s φ Διανύσματα 9 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
5. Διανυσματικόγινόμενο διανυσμάτων. Είναι ένα διάνυσμα με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των Α, Β με μέτρο: C snφ Η φορά του είναι αυτή του δεξιόστροφου κοχλία (0 0 φ 180 0 ). Το διανυσματικό γινόμενο δεν είναι μεταθετικό (b): Διανύσματα 10 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Διανύσματα 11 0 Από τον ορισμό του διανυσματικού γινομένου ισχύει: Άρα το διανυσματικό γινόμενο είναι: ) ( ) ( PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Διανύσματα 1 C C C C PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Διανύσματα 13 C C C PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Παράδειγμα εξωτερικού γινομένου: Το μαγνητικό πεδίο Β ασκεί δύναμη πάνω σε κάθε κινούμενο φορτίο που βρίσκεται μέσα στο πεδίο. Η δύναμη που ασκείται σε κινούμενο φορτίο είναι: F qv F q v F q v Διανύσματα 14 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
6. Παράγωγος Διανυσματικής Συνάρτησης Έστω διανυσματική συνάρτηση βαθμωτής μεταβλητής και συγκεκριμένα το διάνυσμα θέσης. ( t) ( t) ( t) ( t) Διανύσματα 15 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Η μέση ταχύτητα ορίζεται σαν: v v t t 1 1 t Διανύσματα 16 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Ηπαράγωγος της συναρτήσεως (t) ως προς τη μεταβλητή t (στιγμιαία ταχύτητα) είναι πάλι μία διανυσματική συνάρτηση του t. v lm t 0 d dt ( t) d dt d dt Ηγεωμετρική παράσταση της παραγώγου είναι ένα διάνυσμα που ορίζεται από την εφαπτομένη στην τροχιά της (t) και περιγράφει τηνταχύτητατηςκινήσεωςκατά μέτρο και φορά. t d dt d dt Διανύσματα 17 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
, Για τηνπαράγωγο ισχύουνοι εξήςκανόνες: d d ( λ ) λ, λ R dt dt d d d ( ) 1 1 dt dt dt d dφ d ( φ ) φ dt dt dt d d dφ [ φ() t ] dt dφ dt d d d 1 1 dt dt dt 1 ( ) (φ: βαθμωτήσυνάρτηση του t) dt d dt d d ( ) 1 1 1 dt Διανύσματα 18 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
7. Ολοκληρώματα Όταν φορτίο κινείται σε ομοιόμορφο ηλεκτροστατικό πεδίο το παραγόμενο έργο είναι: W Fl η W F l Στην περίπτωση που το ηλεκτροστατικό πεδίο δεν είναι ομοιόμορφο το παραγόμενο έργο είναι: Διανύσματα 19 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
dw F dl W ( ) F ( ) dl Η πρόσθεση άπειρων μικρών υποδιαιρέσεων ονομάζεται ολοκλήρωμα και, στη συγκεκριμένη περίπτωση, επειδή πρόκειται για ολοκλήρωση πάνω σε μία καμπύλη, επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Διανύσματα 0 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
Η μαγνητική ροή ορίζεται σαν: u Φ η Φ Στην περίπτωση που το μαγνητικό πεδίο δεν είναι ομοιόμορφο η μαγνητική ροή είναι: Διανύσματα 1 PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com
u u u u d d d Φ Φ ( ) Η πρόσθεση άπειρων μικρών υποδιαιρέσεων ονομάζεται ολοκλήρωμα και, στη συγκεκριμένη περίπτωση, επειδή πρόκειται για ολοκλήρωση πάνω σε μία επιφάνεια, επιφανειακό ολοκλήρωμα. Διανύσματα PDF ceted wth FnePnt pdffcto Po tl veson http://www.pdffcto.com