«ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Του σπουδαστή ΣΤΑΛΕΝΤΣΗ ΒΛΑΔΙΜΗΡΟΥ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2005

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ-ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 1.1 θεωρία αποφάσεων 3 1.2 διαδικασία λήψης αποφάσεων 5 1.3 κριτήρια αποφάσεων 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΔΕΝΔΡΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 2.1 Ορισμοί 14 2.2 Η διαδικασία διαμόρφωσης του δένδρου αποφάσεων 15 2.3 Ελεύθερα και ριζωμένα δένδρα 17 2.4 Δυαδικά δένδρα 19 2.5 Συνδεδεμένη παράσταση δυαδικών δένδρων 22 2.6 Ακολουθιακή ή σειριακή παράσταση δυαδικών δένδρων 23 2.7 Διαμόρφωση και Επίλυση δένδρου αποφάσεων 25 2.8 Παραδείγματα & Εφαρμογές 28 2.9 Η Ενημέρωση των Πιθανοτήτων με Ενσωμάτωση νέας Πληροφορίας στο Δένδρο Αποφάσεων 2.10 Ανάλυση Ευαισθησίας 32 43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ-ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ BAYES 3.1 Αντικειμενικές και Υποκειμενικές Πιθανότητες 49 3.2 Δοκιμή, δειγματικός χώρος, γεγονός 52 3.3 Νόμοι των ολικών πιθανοτήτων 54

3.4 Ανεξαρτησία, Δεσμευμένη πιθανότητα 55 3.5 Θεώρημα του Bayes 57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΔΕΝΔΡΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΞΟΡΥΞΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 4.1 Εξόρυξη Δεδομένων 60 4.2 Τεχνικές εξόρυξης Δεδομένων 61 4.3 Εξόρυξη δεδομένων και Δένδρα αποφάσεων 62 4.4 Αλγόριθμοι δένδρων αποφάσεων 68 4.5 Βασικές Απαιτήσεις Δένδρων αποφάσεων 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο PRECISION TREE 5.1 Εισαγωγή 71 5.2 Επίλυση Προβλημάτων Δένδρων Αποφάσεων με την χρήση του precision tree 72 5.3 Ενσωματώνοντας νέα πληροφόρηση 81 5.4 Ανάλυση Ευαισθησίας 88

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι τεχνολογικές εξελίξεις των τελευταίων δεκαετιών έχουν επηρεάσει σημαντικά το περιβάλλον των οικονομικών μονάδων και το έχουν καταστήσει περισσότερο ανταγωνιστικό. Η σημερινή παγκοσμιοποίηση των αγορών δημιουργεί ακόμα οξύτερο ανταγωνισμό στις επιχειρήσεις και τους οργανισμούς, είτε δραστηριοποιούνται διεθνώς είτε όχι. Η πρόκληση που αντιμετωπίζουν τα διοικητικά στελέχη σχετίζεται με την ικανότητά τους να αφομοιώνουν και να εφαρμόζουν όλες εκείνες τις τεχνικές, που μπορούν να υποστηρίζουν αποτελεσματικά τη διαδικασία λήψης των αποφάσεων. Σε μια εποχή αβεβαιότητας, όπου κάθε επιχείρηση επιθυμεί να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της ή να ελαχιστοποιήσει το λειτουργικό κόστος της, οι managers καλούνται να πάρουν αποφάσεις ώστε να πετύχουν το καλύτερο δυνατό. Η ανάπτυξη σεναρίων είναι καθημερινή λειτουργία μιας επιχείρησης, όμως τα πιθανά αποτελέσματά τους είναι καθημερινός προβληματισμός. Η θεωρία των αποφάσεων είναι ένα σύνολο τεχνικών που μας βοηθούν να κατανοήσουμε καλύτερα περίπλοκα προβλήματα, να αναλύσουμε διάφορες εναλλακτικές αποφάσεις και στρατηγικές και να καταλήξουμε σε αυτήν ή ακόμα σε και σε αυτές που είναι καλύτερες. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η θεωρία των αποφάσεων μας βοηθά να παίρνουμε καλές αποφάσεις, χωρίς όμως να προσφέρει και τις ανάλογες εγγυήσεις για καλά αποτελέσματα. Αυτό συμβαίνει διότι σε ένα πρόβλημα υπό καθεστώς αβεβαιότητας κάθε σενάριο εξέλιξης του εσωτερικού περιβάλλοντος το οποίο σενάριο τελικά θα υλοποιηθεί εξαρτάται σε κάποιο βαθμό και από τα λεγόμενα τυχαία (που δεν προβλέπονται) γεγονότα. Ακολουθώντας όμως μια δομημένη και αναλυτική διαδικασία, έχουμε τα πλεονεκτήματα να αποκτήσουμε μεγαλύτερη και καλύτερη αντίληψη για τα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε και άρα είναι λογικό να αναμένουμε καλύτερα αποτελέσματα ή τουλάχιστον να έχουμε περισσότερες πιθανότητες να συμβαίνουν συχνότερα. 1

Με γνώμονα την θεωρία αποφάσεων έγινε η συγγραφή αυτής της εργασίας που σκοπό έχει να βοηθήσει τους αναγνώστες, μέσω της λεπτομερούς ανάπτυξης της μεθοδολογίας των δένδρων αποφάσεων και ενός μεγάλου πλήθους παραδειγμάτων, στην κατανόηση της αναγκαιότητας και της χρησιμότητας των δένδρων αποφάσεων, ως βοήθημα στην αντιμετώπιση επιχειρησιακών προβλημάτων. Η εργασία αυτή αποτελείται από πέντε κεφάλαια: Στο πρώτο κεφάλαιο, θα δούμε την θεωρία αποφάσεων καθώς επίσης και την διαδικασία και τα κριτήρια λήψης αποφάσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με τα δένδρα αποφάσεων, την διαδικασία διαμόρφωσης και επίλυσης ενός δένδρου καθώς επίσης και με διάφορα παραδείγματα και εφαρμογές. Στο τρίτο κεφάλαιο, θα αναπτύξουμε βασικές έννοιες και νόμους της θεωρίας των πιθανοτήτων και θα δούμε παραδείγματα δένδρων αποφάσεων βασισμένα στην θεωρία αυτή. Στο τέταρτο κεφάλαιο, θα γνωρίσουμε πως αναλύονται και πως χρησιμοποιούνται τα δένδρα αποφάσεων στην εξόρυξη δεδομένων από μεγάλα σύνολα στοιχείων. Στο πέμπτο κεφάλαιο, θα λύσουμε προβλήματα δένδρων αποφάσεων χρησιμοποιώντας το precision tree, ένα πρόγραμμα που αναπτύσσει με ποιο εύκολο τρόπο τα δένδρα αποφάσεων και που εξάγει χρήσιμα συμπεράσματα που βοηθούν στις επιχειρησιακές αποφάσεις. 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 1.1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων είναι η επιλογή που πραγματοποιείται, σύμφωνα με ορισμένα κριτήρια, μεταξύ δύο ή περισσότερων εναλλακτικών λύσεων. Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι σήμερα, η συμπεριφορά του διοικητικού φορέα που παίρνει αποφάσεις έχει αλλάξει. Συγκεκριμένα, κερδίζει συνεχώς έδαφος η άποψη σύμφωνα με την οποία οι αποφάσεις που βασίζονται μόνο στη διαίσθηση και στην εμπειρία του παρελθόντος θεωρούνται όλο και λιγότερο αποτελεσματικές, γιατί οι συνθήκες αλλάζουν με πολύ γρήγορο ρυθμό και επιπλέον η χθεσινή πείρα δεν εγγυάται την επίλυση των αυριανών προβλημάτων. Αντίθετα, η λήψη αποφάσεων βασίζεται όλο και περισσότερο στη λογική, την ορθή κρίση και την επιστημονική μέθοδο. Επιπλέον, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός παραγόντων τους οποίους η διοίκηση που καλείται να πάρει την απόφαση, δεν μπορεί να ελέγξει. Αυτές είναι οι καταστάσεις της φύσης που επηρεάζουν το αποτέλεσμα της απόφασης, δηλαδή οι ενδεχόμενες καταστάσεις του εξωτερικού περιβάλλοντος (states of nature), για τις οποίες ο αποφασίζων μπορεί να καταλήξει σε μια εκτίμηση σχετικά με την πιθανότητα να συμβεί η κάθε μια από αυτές. Τα προβλήματα αυτά ονομάζονται «προβλήματα αποφάσεων με επιχειρηματικό κίνδυνο» (decision making under risk) (Καρασαββίδου, 1986). Ο σκοπός της θεωρίας των αποφάσεων είναι να βοηθήσει να παρθούν οι καλές αποφάσεις. Όμως αυτό δε σημαίνει ότι μπορεί να εγγυηθεί και τα «καλά αποτελέσματα». Σε ένα πρόβλημα υπό καθεστώς αβεβαιότητας, κάθε σενάριο εξέλιξης του εξωτερικού περιβάλλοντος είναι (λιγότερο ή περισσότερο) πιθανό να συμβεί και το ποιο σενάριο τελικά θα υλοποιηθεί εξαρτάται σε ένα βαθμό και από τυχαία (απρόβλεπτα) γεγονότα. Επομένως, ακόμα και όταν παίρνουμε την καλύτερη δυνατή απόφαση, τα αποτελέσματα που μπορεί να προκύψουν 3

ενδεχομένως να μην είναι τα καλύτερα δυνατά. Όμως, ακολουθώντας μια δομημένη και αναλυτική διαδικασία αποκτάται μεγαλύτερη αντίληψη και διαίσθηση των προβλημάτων που παρουσιάζονται. Κατά συνέπεια, είναι λογικό να αναμένεται τα καλά αποτελέσματα να συμβαίνουν συχνότερα όταν χρησιμοποιούμε μια τέτοια διαδικασία παρά διαφορετικά. Η μελέτη πολλών αποφάσεων που πάρθηκαν κάτω από διαφορετικές συνθήκες, καθώς και σε διάφορα επίπεδα, απέδειξε ότι κατά τη λήψη αποφάσεων ακολουθούνται μερικά βασικά βήματα λογικής, μια διαδικασία. Η διαδικασία αυτή αποτελεί ένα σύστημα εισροής, δημιουργίας, χρησιμοποίησης και εκροής πληροφοριών (σχήμα 1.1). Αρχική πληροφόρηση Επαναπληροφόρηση Εισροές πληροφοριών Καθορισμός Προβλήματος Εναλλακτικές Λύσεις Αξιολόγηση Λύσεων Επιλογή Λύσης Εφαρμογή Λύσης Εκροές πληροφοριών Σχήμα 1.1 4

Η διαδικασία λήψης αποφάσεων μπορεί να εφαρμοστεί σε όλα τα προβλήματα που δημιουργούνται σε μια επιχείρηση, δηλαδή στα τελείως απλά, συνηθισμένα και καθημερινά προβλήματα, μέχρι τα πιο περίπλοκα και σύνθετα. Η εφαρμογή όμως των τεσσάρων φάσεων της διαδικασίας λήψης αποφάσεων εξαρτάται από τη φύση του προβλήματος που αντιμετωπίζεται κάθε φορά. Τις αποφάσεις, καθώς και τα προβλήματα, μπορούμε να τις διακρίνουμε σε προγραμματισμένες και σε απρογραμμάτιστες. Προγραμματισμένες είναι οι αποφάσεις που αφορούν προβλήματα που επαναλαμβάνονται συχνά, είναι συνηθισμένα και έχουν μια συγκεκριμένη δομή, για την αντιμετώπισή τους αναπτύσσεται και ακολουθείται ένας ορισμένος και γνωστός τρόπος. Ενώ, απρογραμμάτιστες είναι οι αποφάσεις που αφορούν προβλήματα καινούργια, αδόμητα και ιδιαίτερα σημαντικά. Στην περίπτωση αυτή δεν έχει αναπτυχθεί ένας ορισμένος τρόπος ή πορεία για την αντιμετώπιση των σχετικών προβλημάτων, ή επειδή το πρόβλημα παρουσιάζεται για πρώτη φορά ή επειδή η φύση και η δομή του δεν είναι συγκεκριμένη ούτε απλή ή επειδή το πρόβλημα έχει μεν παρουσιαστεί στο παρελθόν, αλλά είναι πολύ σοβαρό και γι αυτό το λόγο χρειάζεται ιδιαίτερη μελέτη. 1.2 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (Α) Η διάγνωση, η αναγνώριση και ο καθορισμός του προβλήματος Πρόβλημα δημιουργείται μόνο στην περίπτωση που υπάρχει ένας αντικειμενικός στόχος και μια απόκλιση μεταξύ αυτού και της πραγματικής δράσης. Φυσικά, προβλήματα δημιουργούνται και όταν καθορίζονται οι αντικειμενικοί στόχοι της επιχείρησης, με την έννοια ότι και τότε διαπιστώνεται μια απόκλιση μεταξύ ενός επιθυμητού αποτελέσματος και μιας πραγματικής κατάστασης, οπότε ο καθορισμός ενός αντικειμενικού στόχου αποβλέπει στην άμβλυνση ή εξαφάνιση της απόκλισης (Σαπουντζής, 1992). Το πρώτο βήμα της φάσης αυτής αποτελεί η ανακάλυψη της απόκλισης και μάλιστα η έγκαιρη διαπίστωσή της, πριν δηλαδή γίνει το πρόβλημα κρίσιμο. Μια απόκλιση όμως είναι απαραίτητο να εντοπισθεί με λεπτομέρειες, έτσι ώστε να βοηθάει στον προσδιορισμό του πραγματικού προβλήματος. Γι αυτό το 5

δεύτερο βήμα είναι η έρευνα για την εξεύρεση των αιτιών που δημιούργησαν την απόκλιση. Επομένως, η διοίκηση που αποφασίζει πρέπει να συγκεντρώσει όλα τα γεγονότα, δεδομένα, πληροφορίες ή και ενδεχόμενα, που θα μπορούσαν να προκαλέσουν την εμφάνιση της συγκεκριμένης κατάστασης. Το τρίτο και τελευταίο στάδιο της φάσης αυτής είναι ο καθορισμός του προβλήματος, απαραίτητη προϋπόθεση για την πραγματοποίησή του είναι να διαπιστωθεί το τι ακριβώς επιδιώκεται. Επομένως, η διοίκηση, για να καθορίσει με σαφήνεια το πρόβλημα που αντιμετωπίζει, πρέπει να έχει ένα συγκεκριμένο στόχο, προς τον οποίο θα συγκρίνει την κατάσταση που έχει διαπιστώσει. (Β) Η αναζήτηση και εξεύρεση εναλλακτικών λύσεων του προβλήματος Κατά τη φάση αυτή αναζητούνται και αναπτύσσονται διάφορες δυνατές λύσεις για το πρόβλημα που αντιμετωπίζεται. Συγκεκριμένα, δίνεται η απάντηση στο ερώτημα: «ποιες στρατηγικές ή ποιες σειρές ενεργειών που οδηγούν στη λύση του προβλήματος, πρέπει να ληφθούν υπόψη». Ο δρόμος που ακολουθεί η διοίκηση για την εξεύρεση των εναλλακτικών λύσεων του προβλήματος είναι συνήθως ο εξής: Αρχικά προσπαθεί να προσδιορίσει λύσεις αμέσου εφαρμογής, γνωστές και τις οποίες είναι σε θέση να ελέγχει. Εάν όμως το πρόβλημα δεν μπορεί να επιλυθεί με λύσεις αυτής της κατηγορίας, τότε ερευνά για νέους τρόπους αντιμετώπισής του και προχωρεί με τη σκέψη του βαθύτερα προς το άγνωστο, την αβεβαιότητα. (Γ) Η αξιολόγηση των εναλλακτικών λύσεων Στη φάση αυτή οι φορείς της διοίκησης προβαίνουν στις ακόλουθες ενέργειες: Αναλύουν τις διάφορες λύσεις που αναπτύχθηκαν και διαπιστώνουν τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα κάθε λύσεις. Προβλέπουν και καθορίζουν τα αποτελέσματα που δίνει η κάθε λύση. Καθορίζουν τις μελλοντικές συνέπειες κάθε λύσης. 6

Εκτιμούν την αποτελεσματικότητα κάθε λύσης, δηλαδή κατά πόσο θα πραγματοποιηθούν οι επιδιωκόμενοι αντικειμενικοί στόχοι ή απαιτήσεις μιας ικανοποιητικής λύσης και περιορίζουν τον αριθμό των δυνατών λύσεων, είτε απορρίπτοντας τις λύσεις που διαπιστώνουν ότι είναι λιγότερο αποτελεσματικές (συγκριτικά με άλλες), είτε ομαδοποιώντας τις διάφορες λύσεις σε κατηγορίες. (Δ) Η επιλογή μιας από τις εναλλακτικές λύσεις (λήψη απόφασης) Στη φάση αυτή η διοίκηση που αποφασίζει επανεξετάζει, συγκρίνει και επιλέγει, σύμφωνα με ορισμένα κριτήρια, την καλύτερη κατά τη γνώμη του λύση. 1.3 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Οι οικονομικές συνέπειες (αποδόσεις ή ζημιές) κάθε απόφασης κάτω από κάθε ενδεχόμενη εξωτερική κατάσταση σε συνδυασμό με τις προτιμήσεις και δυνατότητες του καθενός μας (π.χ. όσον αφορά την έκθεσή μας στον επιχειρηματικό κίνδυνο, τη ρευστότητα, κ.λ.π.) δημιουργούν τις προϋποθέσεις για διαφορετική απόφαση του καθενός μας σε ένα πρόβλημα. Για το λόγο αυτό, στη θεωρία αποφάσεων έχει καθιερωθεί η χρήση μιας σειράς από κριτήρια, έτσι ώστε ο αποφασίζων να επιλέγει σε κάθε περίπτωση το κριτήριο που επιθυμεί να χρησιμοποιήσει σαν βάση για την επιλογή της απόφασης που θα υλοποιήσει.(hiller and Hillier, 1998) (Α) Αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας Όταν μια απόφαση λαμβάνεται κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, η διοίκηση γνωρίζει εκ των προτέρων ποια κατάσταση της φύσης θα εμφανιστεί, καθώς και τα αποτελέσματα κάθε εναλλακτικής λύσης. Έτσι θα επιλέξει τη λύση που του προσφέρει μεγιστοποίηση του κέρδους ή ελαχιστοποίηση του κόστους. (Β) Αποφάσεις κάτω από συνθήκες κινδύνου Με τον όρο «κίνδυνος» εννοείται ότι η διοίκηση που αποφασίζει, γνωρίζει εκ των προτέρων τις πιθανότητες εμφάνισης των διαφόρων καταστάσεων της φύσης και μπορεί να προσδιορίσει τα αποτελέσματα κάθε εναλλακτικής λύσης. 7

Οι πιθανότητες αυτές είναι συνήθως αντικειμενικές, όταν ο υπολογισμός τους βασίζεται σε αντικειμενικά κριτήρια, ή υποκειμενικές, οπότε ο υπολογισμός τους βασίζεται στην υποκειμενική κρίση, διαίσθηση και πείρα του διοικητικού φορέα που αποφασίζει. Τα κριτήρια που θα αναπτυχθούν παρακάτω είναι: Κριτήριο της αναμενόμενης αξίας Κριτήριο της αναμενόμενης απώλειας ευκαιρίας Κριτήριο της αναμενόμενης χρησιμότητας ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗΣ ΑΞΙΑΣ Όπως στις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, έτσι και στη λήψη αποφάσεων κάτω από συνθήκες κινδύνου συνήθως επιλέγεται η λύση που τα αποτελέσματά της έχουν τη μεγαλύτερη αξία (εάν πρόκειται για μέγεθος που είναι επιθυμητό, π.χ κέρδος) ή την πιο μικρή αξία (όταν το μέγεθος δεν είναι επιθυμητό π.χ. κόστος). Στις αποφάσεις όμως κάτω από συνθήκες κινδύνου, για τον καθορισμό αυτής της αξίας λαμβάνονται υπόψη και οι πιθανότητες εμφάνισης των διαφόρων καταστάσεων της φύσης. Ο συνδυασμός της αξίας των αποτελεσμάτων κάθε εναλλακτικής λύσης με τις πιθανότητες εμφάνισης των αντίστοιχων καταστάσεων της φύσης δίνει την αναμενόμενη αξία κάθε στρατηγικής. Ειδικότερα αν πολλαπλασιάσουμε την αξία κάθε αποτελέσματος επί την πιθανότητα εμφάνισης της αντίστοιχης κατάστασης της φύσης, θα έχουμε σταθμισμένα αποτελέσματα (υποκειμενικά ή αντικειμενικά). Το άθροισμα αυτών των αποτελεσμάτων κάθε στρατηγικής ονομάζεται αναμενόμενη ή προσδοκώμενη αξία (expected value) αυτής. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗΣ ΑΠΩΛΕΙΑΣ ΕΥΚΑΙΡΙΑΣ Ένα άλλο κριτήριο που εφαρμόζεται επίσης στη λήψη αποφάσεων κάτω από συνθήκες κινδύνου είναι της «αναμενόμενης απώλειας ευκαιρίας» (expected opportunity loss). Με την αναμενόμενη απώλεια ευκαιρίας μετριέται η απώλεια του διοικητικού φορέα που αποφασίζει, η οποία οφείλεται στη μη επιλογή της καλύτερης στρατηγικής για την κατάσταση της φύσης που εμφανίζεται στην πραγματικότητα. Η απώλεια αυτή ονομάζεται «ζημιά ευκαιρίας» ή «διαφυγόν 8

κέρδος». Γιατί η απώλεια ευκαιρίας είναι η διαφορά μεταξύ του τι «υπάρχει» και του τι «θα ήταν επιθυμητό να υπάρχει». ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗΣ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Κάτω από συνθήκες κινδύνου δεν είναι δυνατόν να εφαρμόζεται πάντα σαν κριτήριο επιλογής μιας στρατηγικής η μεγαλύτερη αναμενόμενη αξία. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι απορρίπτεται το κριτήριο αυτό της μεγιστοποίησης, αλλά ότι σε ορισμένες αποφάσεις θα είναι προτιμότερο να εφαρμόζεται με τέτοιο τρόπο, ώστε να λαμβάνεται υπόψη η χρησιμότητα κάθε στρατηγικής. Για να εφαρμοστεί όμως ως κριτήριο λήψης αποφάσεων η χρησιμότητα (καθώς και η αναμενόμενη χρησιμότητα - expected utility), θα πρέπει να υπάρχει ένα μέτρο χρησιμότητας. Μόνο τότε μπορούν να εκφραστούν τα αποτελέσματα σε χρησιμότητα και σύμφωνα με τον κανόνα του Bayes να επιλεγεί σαν καλύτερη στρατηγική αυτή που θα δώσει τη «μέγιστη» χρησιμότητα. Το θέμα της χρησιμότητας είναι πολύ περίπλοκο, απασχόλησε και απασχολεί σε σημαντικό βαθμό, πολλούς επιστήμονες. Αυτό, διότι, η χρησιμότητα με την έννοια της ικανοποίησης που νιώθει ένα άτομο από τη διάθεση περιορισμένων χρηματικών (ή άλλων) πόρων, όσο και των τεχνικών ικανοτήτων και της ενεργητικότητάς του με σκοπό να πάρει σαν αντάλλαγμα αγαθά ή αμοιβές, διαφέρει από άτομο σε άτομο και επηρεάζεται από διάφορες συνθήκες καθώς και το χρόνο. Επιπλέον, η χρησιμότητα μιας εναλλακτικής λύσης εξαρτάται από περισσότερες της μιας αξίες, από τις οποίες άλλες μεν είναι δυνατό να εκφραστούν αριθμητικά και άλλες όχι (π.χ. γόητρο). Επομένως η μέτρηση της χρησιμότητας συνδέεται άμεσα με το πρόβλημα της μέτρησης των αξιών. Στην περίπτωση όμως που χαραχτεί η ατομική καμπύλη χρησιμότητας του διοικητικού στελέχους που αποφασίζει, εφαρμόζοντας τον κανόνα απόφασης του Bayes, επιλέγεται η λύση που δίνει τη μεγαλύτερη αναμενόμενη χρησιμότητα. (Γ) Αποφάσεις κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας Έστω ότι υπάρχουν 1, 2,..., m εναλλακτικές αποφάσεις και 1, 2,..., n καταστάσεις της φύσης που εμφανίζονται με πιθανότητες 1, 2,..., n. Έστω 9

ότι ij είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει από τον συνδυασμό της απόφασης i και της κατάστασης και ότι ( ) είναι η αξία του αποτελέσματος j ij αυτού. Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα αποτελεσμάτων 1 2... j... n 1 2 j n 1 ( 11) ( 12) ( 1 j ) 1 n ( ) 2 ( 21) ( 22) ( 2 j ) 2n ( ) i ( i 1) i 2 ( ) ( ) ( ) ij in m ( m 1) m 2 ( ) ( ) ( ) mj mn Όταν σε ένα πρόβλημα είναι δυνατόν να εμφανιστούν διάφορες καταστάσεις φύσης, για την εξέλιξη των οποίων η διοίκηση που αποφασίζει δεν έχει καθόλου πληροφορίες ή έχει ασήμαντο αριθμό πληροφοριών, που δεν μπορούν να αποτελέσουν βάση για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων εμφάνισης των καταστάσεων αυτών της φύσης, τότε λέμε ότι η απόφαση γίνεται κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας. Οι αποφάσεις κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας μπορούν να θεωρηθούν, σύμφωνα με τη θεωρία των Παιγνίων, σαν «παίγνια» και να διακριθούν σε δύο κατηγορίες: «Παίγνια» του ανθρώπου εναντίον της φύσης «Παίγνια» μεταξύ προσώπων Επειδή η κατάσταση αβεβαιότητας είναι καθαρά υποκειμενική, τα κριτήρια που αναπτύχθηκαν για τη λήψη αποφάσεων κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας αντανακλούν την υποκειμενική αξιολόγηση του διοικητικού φορέα για το περιβάλλον στα πλαίσια του οποίου αποφασίζει. Επομένως, η επιλογή του ενός ή του άλλου κριτηρίου για τη λήψη αποφάσεων εξαρτάται από την ιδιοσυγκρασία και υποκειμενική κρίση του διοικητικού φορέα που παίρνει την 10

απόφαση. Συχνά, για να παρθεί μια απόφαση, εφαρμόζονται και τα τέσσερα κριτήρια και αφού μελετηθούν οι λύσεις στις οποίες οδηγούν σε συνέχεια επιλέγεται η καλύτερη στρατηγική. Τα κριτήρια που θα αναπτυχθούν παρακάτω είναι: o Το κριτήριο του Laplace o To κριτήριο minimax (ή maximin) του Wald o Το κριτήριο του Hurwicz και o Το κριτήριο του Savage ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΥ LAPLACE Το κριτήριο αυτό αποτελεί κριτήριο ορθολογισμού, δεν εξαρτάται από υποκειμενική κρίση του διοικητικού φορέα που αποφασίζει, βασίζεται στην αρχή της ανεπαρκούς αιτίας, καθώς και στη σημαντική άποψη του Bayes, σύμφωνα με τις οποίες, αφού οι πιθανότητες σχετικά με την εμφάνιση των καταστάσεων της φύσης 1, 2,..., n είναι άγνωστες, δεν υπάρχουν αρκετές πληροφορίες για να βγει το συμπέρασμα ότι οι πιθανότητες αυτές θα διαφέρουν, τότε θα πρέπει να θεωρηθούν σαν ίσες (ισοπίθανες). Επομένως: 1 P( 1) P( 2)... P( n). n Με την εφαρμογή του κριτηρίου Laplace, η απόφαση μετατρέπεται σε απόφαση κάτω από «συνθήκες κινδύνου», εάν δε εφαρμοστεί σε συνέχεια το κριτήριο της αναμενόμενης αξίας μπορεί να επιλεχθεί η καλύτερη στρατηγική i που θα είναι ίση: n n 1 1 max ( a ) η min ( a ), i 1,2,..., m i ij i ij n j 1 n j 1 όπου 1/n είναι η πιθανότητα να συμβεί η κατάσταση της φύσης i, i 1,2,..., n. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΜΙΝΙΜΑΧ (ΜΑΧΙΜΙΝ) ΤΟΥ WALD Το κριτήριο αυτό είναι το πιο συντηρητικό, διότι, σύμφωνα με αυτό η διοίκηση πρέπει να είναι πάντα απαισιόδοξη και να περιμένει τη χειρότερη εξέλιξη των καταστάσεων της φύσης. Επομένως, θα εξετάζει και θα 11

προσδιορίζει το πιο δυσμενές αποτέλεσμα που μπορεί να του δώσει κάθε στρατηγική και σε συνέχεια θα επιλέξει από αυτά τα αποτελέσματα τη στρατηγική που θα είναι η λιγότερο δυσμενής. Η γενική διατύπωση του κριτηρίου αυτού είναι: Επιλέγεται η στρατηγική i που αποτελεί το max min ( a ) εφ όσον αφορά κέρδος i j ij η min max ( a ) εφ όσον αφορά κόστος i j ij ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΥ HURWICZ Ο Hurwicz για να μετριάσει την πλήρη αισιοδοξία του ή απαισιοδοξία του διοικητικού φορέα που αποφασίζει, υποστήριξε ότι κατά τη λήψη μιας απόφασης πρέπει να λαμβάνεται υπόψη, τόσο το καλύτερο όσο και το χειρότερο αποτέλεσμα κάθε στρατηγικής. Ο Hurwicz γι αυτό το σκοπό εισήγαγε ένα «δείκτη αισιοδοξίας» που η τιμή του κυμαίνεται από το 0 έως το 1, ανάλογα με το βαθμό αισιοδοξίας του διοικητικού στελέχους που παίρνει την απόφαση. Έτσι, αν = 1, σημαίνει ότι είναι πολύ αισιόδοξος, ενώ αν = 0, τότε είναι πολύ απαισιόδοξος. Η γενική διατύπωση του κριτηρίου αυτού είναι: Επιλέγεται ένας δείκτης αισιοδοξίας, όπου 0 1. Για κάθε εναλλακτική λύση i υπολογίζεται: Σε περίπτωση κέρδους: Επιλέγονται οι καλύτερες περιπτώσεις κάθε στρατηγικής και πολλαπλασιάζονται επί. Επιλέγονται οι χειρότερες περιπτώσεις κάθε στρατηγικής και πολλαπλασιάζονται επί (1 - ). Επιλέγεται η στρατηγική η οποία παρουσιάζει το μεγαλύτερο άθροισμα των δύο γινομένων. Σε περίπτωση απωλειών: Επιλέγονται οι χειρότερες περιπτώσεις κάθε στρατηγικής και πολλαπλασιάζονται επί. 12

Επιλέγονται οι καλύτερες περιπτώσεις κάθε στρατηγικής και πολλαπλασιάζονται επί (1 - ). Επιλέγεται η στρατηγική η οποία παρουσιάζει το μικρότερο άθροισμα των δύο γινομένων. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΥ SAVAGE Σύμφωνα με το κριτήριο αυτό επιλέγεται η στρατηγική η οποία ελαχιστοποιεί τη «θλίψη» του διοικητικού φορέα που αποφασίζει. «θλίψη» είναι η διαφορά που προκύπτει μεταξύ της αξίας του αποτελέσματος που πραγματοποιείται και της αξίας αυτού που θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί, αν η διοίκηση γνώριζε εκ των προτέρων την κατάσταση της φύσης που θα εμφανιζόταν στο μέλλον. Όπως διαπιστώνουμε, «θλίψη» δεν είναι τίποτα άλλο από την «απώλεια ευκαιρίας». Σύμφωνα με το κριτήριο του Savage, διαμορφώνεται νέος πίνακας αποτελεσμάτων, που ονομάζεται «πίνακας θλίψης» και όπου ( ij ) αντικαθίσταται από τη «θλίψη» ( ij ) με τον εξής τρόπο: ( a ) ij max { ( )} ( ) αν Α είναι κέρδος Α( ) min { ( )} αν Α είναι ζημία η κόστος ij k kj ij k kj όπου ( ij ) είναι η διαφορά μεταξύ της καλύτερης επιλογής σε μια στήλη j και των ( ij ) της ίδιας στήλης. 13

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΔΕΝΔΡΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 2.1 ΟΡΙΣΜΟΙ Πολλά προβλήματα αποφάσεων περιλαμβάνουν ακολουθίες ενεργειών και γεγονότων. Τέτοια προβλήματα είναι πολλές φορές χρήσιμο να απεικονισθούν με διάγραμμα δένδρου ή δένδρο αποφάσεων. Το διάγραμμα δένδρου είναι μια χρονολογική απεικόνιση όλων των πιθανών ακολουθιών ενεργειών και γεγονότων που οδηγούν στο τελικό αποτέλεσμα. Στο διάγραμμα δένδρου, το σημείο απόφασης παρίσταται με ένα τετράγωνο, ενώ το τυχαίο γεγονός (μη ελεγχόμενο γεγονός όπου η φύση αποφασίζει τι θα συμβεί) παρίσταται με ένα κύκλο. Τα δένδρα αποφάσεων, όπως και τα άλλα μαθηματικά μοντέλα της επιχειρησιακής έρευνας, είναι μια απλοποιημένη μορφή ενός πραγματικού προβλήματος και περιλαμβάνουν τις κυριότερες ενέργειες και γεγονότα. Εάν κατά τη διάρκεια της ανάλυσης διαπιστωθεί ότι χρειάζεται πιο λεπτομερειακή ανάπτυξη ορισμένων κλάδων, είναι δυνατό να γίνει εκ των υστέρων. Εάν όλες οι πιθανές ενέργειες και τα πιθανά γεγονότα περιληφθούν στο δένδρο αποφάσεων, περιπλέκουν την ανάλυση του προβλήματος με λεπτομέρειες που δεν είναι άμεσα χρήσιμες. Συνίσταται λοιπόν αρχικά να περιλαμβάνονται όλες οι ενέργειες στο δένδρο αποφάσεων, εκτός εκείνων για τις οποίες είμαστε βέβαιοι ότι δεν πρέπει να γίνουν. Η διαγραφή μη συμφερουσών ενεργειών πρέπει να γίνεται στη συνέχεια κατά την ανάλυση του προβλήματος (Καρασαββίδου, 1986) Τα βασικά πλεονεκτήματα της ανάλυσης των δένδρων αποφάσεων είναι: (Α) Αποτελεί τον καλύτερο τρόπο περιγραφής του προβλήματος γιατί παρουσιάζει κάθε ενέργεια (απόφαση), καθώς και τις αντίστοιχες δεδομένες εκβάσεις με σαφήνεια και απλότητα. Έτσι, έχουμε μια βάση για συζήτηση με σκοπό τη λήψη απόφασης καλύτερης ποιότητας (Χατζόγλου, 1994). 14

(Β) Το μοντέλο του δένδρου αποφάσεων διακρίνεται για τη δυνατότητα προσαρμογής στις μεταβαλλόμενες συνθήκες του περιβάλλοντος. Ειδικότερα, διευκολύνει τη διενέργεια πειραματισμών ή την εκτέλεση τυχόν άλλων δραστηριοτήτων, καθώς και την προσθήκη άλλων πιθανών εκβάσεων (καταστάσεων της φύσης) κάτω από το φως νέων πληροφοριών. (Γ) Διευκολύνει τον εντοπισμό των ευαίσθητων σημείων των διαφόρων ενεργειών (στρατηγικών) που χρειάζονται ιδιαίτερη προσοχή και αντιμετώπιση. Μ αυτόν τον τρόπο συμβάλλει στην άσκηση «διοίκησης με βάση τις εξαιρέσεις». (Δ) Βελτιώνει σημαντικά τις αναλυτικές ικανότητες της διοίκησης που αποφασίζει, καθώς και τη δυνατότητα συστηματοποίησης της σκέψης της με αποτέλεσμα να οδηγείται στη λήψη ορθολογικών αποφάσεων. (Ε) Η τεχνική αυτή επιδέχεται επεξεργασία από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή. (ΣΤ) Πρόκειται για μία τεχνική που μπορεί εύκολα να κατανοηθεί και να εφαρμοστεί σε πολλά και ποικίλα προβλήματα από οποιοδήποτε διοικητικό φορέα. (Ζ) Τα δέντρα αποφάσεων αναγκάζουν τους αναλυτές να μελετήσουν τη σειρά των αποφάσεων. Πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να εξακριβώσει ότι μια συνθήκη δεν μπορεί να υπάρξει παρά μόνο εάν υπάρχει ήδη κάποια άλλη συνθήκη και έχει διευθετηθεί με μια απόφαση. Έτσι καθορίζουμε ακόμη και τον χρόνο και την σειρά που θα λάβει χώρα κάθε συνθήκη και θα ληφθεί κάθε απόφαση. 2.2 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΟΥ ΔΕΝΔΡΟΥ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Κάθε δένδρο αποφάσεων διαμορφώνεται σύμφωνα με το συγκεκριμένο πρόβλημα στο οποίο αναφέρεται και αποτελεί μια απεικόνισή του. Γι αυτό το λόγο δεν είναι δυνατόν να δώσουμε ένα γενικό παράδειγμα «δένδρου αποφάσεων». Μπορούμε όμως να έχουμε μερικές κατευθυντήριες γραμμές που βοηθούν σημαντικά στην κατασκευή δένδρου αποφάσεων. Τα βασικά στοιχεία του δένδρου αποφάσεων είναι: 15

1. = Σημείο λήψης αποφάσεων, συνήθως μετά από μια έκβαση ή από μια απόφαση. 2. = Κλώνος ο οποίος εμφανίζει την εναλλακτική στρατηγική που μπορεί να επιλεγεί στο συγκεκριμένο σημείο απόφασης. 3. О = Κόμβος δυνατών εκβάσεων (καταστάσεων της φύσης), συνήθως μετά από κάθε στρατηγική ή μετά από προηγούμενη έκβαση. 4. О = Κλώνος πιθανής έκβασης ο οποίος μπορεί και εμφανίζει μια κατάσταση της φύσης που μπορεί να εμφανισθεί στο συγκεκριμένο κόμβο δυνατών εκβάσεων. 5. = Σημείο πέρατος (τέλους). 6. Α = Αξία που αντιστοιχεί σε κάθε κλώνο απόφασης ή δυνατής έκβασης. 7. Ρ = Πιθανότητα εμφάνισης μιας κατάστασης της φύσης. Η διαμόρφωση κάθε δένδρου αποφάσεων αρχίζει από τα αριστερά προς τα δεξιά με ένα σημείο λήψης αποφάσεων. Αφού «λήψη αποφάσεων» σημαίνει η επιλογή που γίνεται μεταξύ δύο τουλάχιστον εναλλακτικών λύσεων, είναι ευνόητο ότι το δένδρο αρχίζει με δύο τουλάχιστον βασικούς «κλώνους» (δηλαδή μία διακλάδωση). Κάθετη ανάπτυξη δένδρου Α 1ο επίπεδο Β Γ 2ο επίπεδο Δ Ε Ζ Η 3ο επίπεδο Θ Ι Κ Λ Μ 4ο επίπεδο Ν 5ο επίπεδο 16

Οριζόντια ανάπτυξη δένδρου συνθήκη Ενέργεια ΡΙΖΑ ενέργεια συνθήκη ενέργεια ενέργεια Ύστερα ακολουθείται κάθε ένας από τους αρχικούς κλώνους και σημειώνονται με τη μορφή πάλι διακλαδώσεων οι δυνατές εκβάσεις, σε συνέχεια οι ενέργειες που μπορούν να γίνουν κ.ο.κ. Πάνω στον κλώνο κάθε ενέργειας ή κλώνο πιθανής έκβασης, σημειώνεται το αποτέλεσμά της. Επίσης, γράφονται οι πιθανότητες εμφάνισης των διαφόρων καταστάσεων τα φύσης (εκβάσεων). Όταν το δένδρο είναι έτοιμο γίνεται ο έλεγχος των εγγραφών και τέλος, μετά από προσεκτική μελέτη των δεδομένων, περιορίζονται, όσο είναι δυνατόν, οι διαστάσεις του δένδρου (δηλαδή οι διακλαδώσεις). 2.3 ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΚΑΙ ΡΙΖΩΜΕΝΑ ΔΕΝΔΡΑ Ελεύθερο δένδρο (Σχήμα 2.1) είναι ένα συνδεδεμένο και μη κυκλικό μη κατευθυνόμενο γράφημα. Συνδεδεμένο ονομάζεται ένα γράφημα στο οποίο κάθε κόμβος συνδέεται με κάποιον άλλο και στο οποίο μπορείς από κάθε κόμβο να μεταβείς σε οποιονδήποτε άλλο. Κυκλικό γράφημα είναι ένα γράφημα που έχει σχήμα κύκλου. Ένα γράφημα που είναι μη κυκλικό και μη συνδεδεμένο ονομάζεται δάσος (Σχήμα 2.2). 17

Σχήμα 2.1 Σχήμα 2.2 Ριζωμένο ή κατευθυνόμενο δένδρο είναι ένα ελεύθερο δένδρο Τ για το οποίο επιλέγεται μια κορυφή έστω r που ονομάζεται ρίζα (root) και που συμβολίζεται με root (T). Εισάγεται επίσης προσανατολισμός στις ακμές του έτσι ώστε για κάθε κορυφή με x root(τ) ακολουθείται η κατεύθυνση από την r στη x κατά μήκος του μοναδικού μονοπατιού που τις συνδέει. Σύμφωνα λοιπόν με τον ορισμό αυτό σε κάθε κορυφή ενός ελεύθερου δένδρου αντιστοιχεί και ένα ριζωμένο δένδρο. Η παράσταση των δένδρων γίνεται από πάνω προς τα κάτω με την τοποθέτηση της κορυφής ρίζας στο ψηλότερο σημείο και όπου κάθε άλλη κορυφή βρίσκεται κάτω απ αυτή, ταξινομημένη σε επίπεδα σύμφωνα με το μήκος του μοναδικού μονοπατιού από τη ρίζα στην κορυφή αυτή. Με τον τρόπο αυτό δίνεται η δυνατότητα παράλειψης των βελών από τα τόξα. Στο σχήμα που ακολουθεί (2.3) παρουσιάζεται ένα ελεύθερο δένδρο Τ από το οποίο προκύπτουν τα ριζωμένα δένδρα Τ 1 και Τ 2 επιλέγοντας ως ρίζες τις κορυφές V 3 και V 7 αντίστοιχα (Σχήμα 2.4). V 5 V 2 V 7 V 1 V 3 V 4 V 7 V 6 Σχήμα 2.3 18

ν7 ν3 ν2 ν1 ν8 ν7 ν6 ν4 ν5 ν3 ν5 ν6 ν4 ν8 Σχήμα 2.4 Για τα ριζωμένα δένδρα χρησιμοποιείται η εξής ορολογία: Αν x και y είναι κορυφές ενός δένδρου Τ, τέτοιες ώστε η x να βρίσκεται στο μοναδικό μονοπάτι μεταξύ της ρίζας r και της y, τότε η x ονομάζεται πρόγονος της y και y απόγονος της x. Αν επιπλέον ισχύει x y τότε η x ονομάζεται γνήσιος πρόγονος της y και η y γνήσιος απόγονος της x. Αν η y είναι γνήσιος απόγονος της x και (x,y) είναι ένα τόξο του Τ, τότε η x ονομάζεται γονιός ή πατέρας ή άμεσος πρόγονος της y και η y λέγεται ότι είναι ένα παιδί ή άμεσος απόγονος της x. Εκτός από τις σχέσεις προγόνου απογόνου και παιδιού γονιού χρησιμοποιείται συχνά και αυτή του προηγούμενου επόμενου. Οι κορυφές που έχουν τον ίδιο πατέρα ονομάζονται αδέρφια. Οι κόμβοι που δεν έχουν απογόνους ονομάζονται εξωτερικοί ή τερματικοί ή φύλλα. Οι κόμβοι που δεν είναι φύλλα ονομάζονται μη τερματικοί ή εσωτερικοί ή κόμβοι κλάδων. 2.4 ΔΥΑΔΙΚΑ ΔΕΝΔΡΑ Είναι γνωστό ότι κάθε κορυφή ενός ελεύθερου δένδρου μπορεί να επιλεγεί ως ρίζα. Η ευελιξία όμως αυτή δεν υπάρχει όταν το γράφημα είναι κατευθυνόμενο. Ένα κατευθυνόμενο δένδρο μπορεί παραπέρα να περιοριστεί, αν τεθεί ένα ανώτατο όριο στον αριθμό των παιδιών κάθε κόμβου του. Η πιο απλή τέτοια δομή είναι το δυαδικό δένδρο που ορίζεται ως εξής: 19

Δυαδικό δένδρο είναι ένα δένδρο κάθε κόμβος του οποίου έχει το πολύ δύο παιδιά, το αριστερό και το δεξιό, από τα οποία το ένα ή και τα δύο μπορεί να μην υπάρχουν. Ένας κόμβος του οποίου και τα δύο παιδιά δεν υπάρχουν ονομάζεται τερματικός ή φύλλο. Τα δυαδικά δένδρα είναι συχνά χρήσιμο να ορίζονται αναδρομικώς. Δηλαδή ένα δυαδικό δένδρο ορίζεται σε όρους δυαδικών δένδρων. Ειδικότερα: Ένα δυαδικό δένδρο είναι ένα πεπερασμένο σύνολο κόμβων που είναι, είτε κενό, είτε αποτελείται από έναν κόμβο που ονομάζεται ρίζα με δύο ξένα μεταξύ τους υπόδενδρα που ονομάζονται αριστερό υπόδενδρο και δεξιό υπόδενδρο και τα οποία είναι δυαδικά δένδρα. Για τη γεωμετρική παράσταση των δυαδικών δένδρων τα δύο υπόδενδρα κάθε κόμβου τοποθετούνται συμμετρικά κάτω από τον κόμβο αυτό. Τα γραφήματα των σχημάτων (2.5, 2.6, 2.7, 2.8) είναι δυαδικά δένδρα. Αντίθετα το γράφημα 2.9 δεν είναι δυαδικό δένδρο, αφού το υπόδενδρό του δεν είναι ούτε αριστερό ούτε δεξιό υπόδενδρο. Διάγραμμα 2.5 Διάγραμμα 2.6 Διάγραμμα 2.7 20

Διάγραμμα 2.8 Διάγραμμα 2.9 Είναι προφανές ότι ένα δυαδικό δένδρο είναι διαφορετικό από ένα ελεύθερο, κατευθυνόμενο ή και διατεταγμένο δένδρο. Στη συνέχεια παρουσιάζονται ορισμένες ενδιαφέρουσες κατηγορίες δυαδικών δένδρων: Ένα γεμάτο δυαδικό δένδρο είναι ένα δυαδικό δένδρο, κάθε κόμβος του οποίου είναι είτε τερματικός είτε έχει δύο παιδιά. (Διάγραμμα 2.10 ) Διάγραμμα 2.10 Ένα πλήρες δυαδικό δένδρο είναι ένα δυαδικό δένδρο, οι τερματικοί κόμβοι του οποίου βρίσκονται το πολύ σε δύο διπλανά επίπεδα, έστω i και ( i 1) και στο οποίο οι τερματικοί κόμβοι του επιπέδου i βρίσκονται στις ακροαριστερές θέσεις του. (Διάγραμμα 2.11) Σχήμα 2.11 21

2.5 ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΥΑΔΙΚΩΝ ΔΕΝΔΡΩΝ Η δομή των δυαδικών δένδρων εισηγείται έναν φυσικό τρόπο δυναμικής υλοποίησής τους στη μνήμη ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή. Ειδικότερα στα πλαίσια μιας συνδεδεμένης παράστασης κάθε κόμβος x μπορεί να αποτελείται: (α) Από ένα πεδίο στο οποίο αποθηκεύεται το πληροφοριακό περιεχόμενο info (x) του κόμβου x (β) Από τρία άλλα πεδία συνδέσμων (links), που στο ένα φυλάσσεται η διεύθυνση της ρίζας του αριστερού υπόδενδρου left(x) και στο άλλο η διεύθυνση της ρίζας του δεξιού υπόδενδρου right(x) και τέλος στο τρίτο ο πατέρας father (x) του κόμβου x. Κάθε κόμβος λοιπόν ενός δυαδικού δένδρου στα πλαίσια μιας συνδεδεμένης παράστασης, παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.12 Left (. ) Right (. ) Father (. ) Info (. ) Σχήμα 2.12 Στην περίπτωση που ένας κόμβος δεν έχει αριστερό ή δεξί παιδί, το αντίστοιχο πεδίο περιέχει τον κενό σύνδεσμο που συμβολίζεται συνήθως με ένα nil ή με μηδέν. Επιπλέον κάθε δυαδικό δένδρο Τ αναγνωρίζεται με ένα δείκτη root(τ) που δείχνει τη διεύθυνση μνήμης πού βρίσκεται η ρίζα του. Προφανώς αν root(τ) = nil, το δένδρο είναι κενό. Για τη συνδεδεμένη παράσταση των δυαδικών δένδρων n κόμβων χρησιμοποιούνται οι μονοδιάστατοι πίνακες Left (. ), Right (. ), Father (. ), Info (. ) μήκους n ο καθένας. Από το τμήμα των ποσοτικών στοιχείων των δένδρων γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των τερματικών κόμβων ενός δυαδικού δένδρου είναι ένας περισσότερος από τον αριθμό των εσωτερικών κόμβων του. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των θέσεων μνήμης με κενό σύνδεσμο είναι μεγαλύτερος κατά ένα του αριθμού των θέσεων μνήμης με μη κενό σύνδεσμο. 22

2.6 ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΗ Η ΣΕΙΡΙΑΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΥΑΔΙΚΩΝ ΔΕΝΔΡΩΝ Υπάρχουν περιπτώσεις όπου η μορφολογία, καθώς και η συγκεκριμένη εφαρμογή ενός δυαδικού δένδρου κάνουν πιο αποτελεσματική από άποψη χώρου μνήμης και υπολογιστικού χρόνου την αποθήκευση των κόμβων του σε ακολουθιακή μορφή. Δηλαδή οι κόμβοι αποθηκεύονται σε διαδοχικές θέσεις μνήμης ενός μονοδιάστατου πίνακα (Taylor, 1999). Τέτοιες περιπτώσεις είναι: (Α) Ακολουθιακή παράσταση πλήρους δεκαδικού δένδρου Ένας ακολουθιακός τρόπος παράστασης ενός πλήρους δυαδικού δένδρου προκύπτει αν αριθμηθούν οι κόμβοι του με τον εξής τρόπο: Αριθμούνται οι κόμβοι του από αριστερά προς τα δεξιά και ανά επίπεδο αρχίζοντας από το επίπεδο 1. Προκύπτει έτσι μια διάταξη των κόμβων όπως αυτή του σχήματος 2.13, όπου μέσα στα κυκλάκια είναι το πληροφοριακό περιεχόμενο κάθε κόμβου και ο αριθμός έξω από τα κυκλάκια παριστάνει τη διεύθυνση μνήμης. Σχήμα 2.13 Με βάση την αρίθμηση αυτή αν n είναι ο αριθμός των κόμβων του δένδρου και x ένας οποιοσδήποτε κόμβος του, τότε το αποτέλεσμα είναι οι πιο κάτω συναρτήσεις: Υποτίθεται ότι ο κόμβος x ταυτίζεται με τη διεύθυνση της μνήμης του. Πατέρας του x = Father (x) = [x/2] για x>1 23

Αριστερό παιδί του x = Left (x) = ή 2x, αν 2x n ή αλλιώς για 2x > n ο x δεν έχει αριστερό παιδί Δεξιό παιδί του x = Right (x) = ή 2x + 1, αν 2x+1 n ή αλλιώς για 2x + 1> n ο x δεν έχει δεξιό παιδί Αριστερός αδερφός του x = Lbrother (x) = ή x-1, αν x είναι περιττός και x 1 αλλιώς δεν υπάρχει Δεξιός αδερφός του x=rbrother(x) = ή x+1, αν x είναι άρτιος και x < n αλλιώς ο x δεν έχει δεξιό αδερφό (Β) Ακολουθιακή παράσταση μη πλήρων δυαδικών δένδρων Είναι προφανές ότι ο ίδιος τρόπος ακολουθιακής παράστασης μπορεί να εφαρμοστεί για την αποθήκευση και μη πλήρων δυαδικών δένδρων. Στις περιπτώσεις όμως αυτές, ανάλογα με τη μορφή του δυαδικού δένδρου, μπορεί να δημιουργηθεί τεράστια σπατάλη μνήμης. Μια τέτοια περίπτωση παρουσιάζεται στα δυαδικά δένδρα του σχήματος 2.14. D B G H Ε I A F C C A E B D Α Σχήμα 2.14 Β Η ακολουθιακή παράσταση των δένδρων του σχήματος 2.14 παρουσιάζεται στους πίνακες Α και Β αντίστοιχα. 24

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A: A B C D E F - - G H I 1 3 6 12 13 26 B: A - B - - C - - - - - - D... E Από τους πίνακες αυτούς φαίνεται ότι η ακολουθιακή παράσταση του δένδρου του σχήματος 2.14 Β χρησιμοποιεί 26 θέσεις μνήμης για τους 5 κόμβους. Αντίθετα απαιτούνται μόνο 11 θέσεις μνήμης για την ακολουθιακή παράσταση του δένδρου του σχήματος 2.14 Α που έχει 9 κόμβους. Το συμπέρασμα λοιπόν είναι ότι το μέγεθος της σπατάλης σε χώρο μνήμης, που συνεπάγεται η ακολουθιακή παράσταση μη πλήρων δυαδικών δένδρων, εξαρτάται από τη μορφή του δένδρου. Θα πρέπει τέλος να σημειωθεί ότι η παραπάνω ακολουθιακή παράσταση ως στατική υλοποίηση των δυαδικών δένδρων έχει τα ίδια μειονεκτήματα που παρουσιάζει η στατική υλοποίηση λιστών. Δηλαδή υψηλό κόστος αναθεώρησής τους και κίνδυνο υπερχείλισής τους. Έτσι η ακολουθιακή παράσταση των δένδρων ενδείκνυται μόνο σε περιπτώσεις που τα δένδρα είναι πλήρη ή σχεδόν πλήρη και δεν χρειάζεται να αναθεωρούνται συχνά από εξαγωγές ή εισαγωγές κόμβων. 2.7 ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΝΔΡΟΥ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Έστω ότι δίνεται ο παρακάτω πίνακας απόδοσης: Στρατηγικές Καταστάσεις της φύσης Φ 1 (Ρ 1 =0.70) Φ 2 (Ρ 2 =0.30) Σ 1 40.000 8.000 Σ 2 13.000 24.000 Σ 3 20.000 5.000 25

Ο πίνακας απόδοσης μπορεί να απεικονισθεί γραφικά με τη μορφή δένδρου αποφάσεων, όπως στο Σχήμα 2.15: 30.400 Α 40.000 0.70 30.400 Β 0,30 8.000 16.300 Γ 13.000 0.70 0.30 24.000 20.000 15.500 Δ 0,70 0.30 5.000 Σχήμα 2.15 Η διαμόρφωση κάθε δένδρου αποφάσεων αρχίζει από τα αριστερά προς τα δεξιά με ένα σημείο λήψης αποφάσεων. Αφού δε «λήψη αποφάσεων» σημαίνει την επιλογή που γίνεται μεταξύ δύο τουλάχιστον εναλλακτικών λύσεων, είναι ευνόητο ότι το δένδρο αρχίζει με δύο βασικούς «κλώνους» (μία διακλάδωση) π.χ. 1, να γίνει μία ενέργεια για να αλλάξει η κατάσταση. 2, να μη γίνει μία ενέργεια και να παραμείνει η τωρινή κατάσταση. Ύστερα παρακολουθείται κάθε ένας από τους αρχικούς κλώνους και σημειώνονται με τη μορφή διακλαδώσεων πάλι, οι δυνατές εκβάσεις, σε συνέχεια οι ενέργειες που μπορούν να γίνουν κ.ο.κ. Πάνω από τον κλώνο κάθε ενέργειας ή κλώνο πιθανής έκβασης σημειώνεται το αποτέλεσμά της (συνήθως εκφράζεται σε χρήμα). Επίσης, σημειώνονται οι πιθανότητες εμφάνισης των διαφόρων καταστάσεων της φύσης (εκβάσεων). Όταν το δένδρο είναι έτοιμο γίνεται έλεγχος των εγγραφών που έγιναν και ύστερα ακολουθεί προσπάθεια να περιοριστούν, όσο είναι δυνατόν, οι διαστάσεις του δένδρου (δηλαδή τις διακλαδώσεις). 26

Μετά τη διαμόρφωση του δένδρου αποφάσεων αρχίζει η επίλυση αυτού, η οποία αρχίζει από το τέλος του διαγράμματος (δεξιά) προς την αρχή αυτού (αριστερά). Ειδικότερα: 1. Σε κάθε κόμβο δυνατών εκβάσεων (О) σημειώνεται η αναμενόμενη αξία όπως στο σχήμα 2.16: Ρ( 1 )=0.70 40.000 Β Ρ( 2 )=0.30 8.000 Σχήμα 2.16 Αναμενόμενη αξία στο σημείο Β = [ 1 Ρ( 1 )] + [ 2 Ρ( 2 )] Β = (40.000 0.70) + (8.000 0.30) = 30.400 2. Εξάλλου, σε κάθε σημείο «λήψης αποφάσεων» τοποθετείται η μεγαλύτερη αναμενόμενη αξία, όταν εκφράζει κέρδη (ή την μικρότερη, όταν εκφράζει κόστος), που προκύπτει από τις συγκεκριμένες ενέργειες δηλαδή «κλώνους», που ξεκινούν από το σημείο αυτό. Άρα στο σημείο απόφασης Α τοποθετείται το ποσό των 30.400 γιατί 30.400 > 16.300 > 15.500. Αυτό σημαίνει ότι ακολουθείται ο κλώνος ΑΒ (δηλαδή να εκτελεστεί η ενέργεια που απεικονίζει). Έτσι προσδιορίζεται τελικά το «βέλτιστο δρομολόγιο», δηλαδή η σειρά ενεργειών που θα πρέπει να γίνουν ώστε να δοθεί η καλύτερη δυνατή λύση του προβλήματος. 3. Εάν υπάρχουν αμφιβολίες για ορισμένες πιθανότητες, γίνονται όλοι οι υπολογισμοί βάζοντας άλλες πιθανότητες, για να διαπιστωθεί η επίδραση της αλλαγής αυτής των πιθανοτήτων πάνω στο «βέλτιστο δρομολόγιο». Αν μία μικρή αλλαγή στην εκτίμηση των πιθανοτήτων μεταβάλλει τελείως το δρομολόγιο που δίνει τη «βέλτιστη λύση», τότε αφού επισημανθεί το κρίσιμο πεδίο, γίνεται προσπάθεια να συγκεντρωθούν περισσότερες σχετικές μ αυτό πληροφορίες και θα μελετηθεί από την αρχή το όλο πρόβλημα προσεκτικά. 27

2.8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα δένδρα αποφάσεων είναι μία τεχνική που μας βοηθά να παίρνουμε αποφάσεις σε καθεστώς επιχειρηματικού κινδύνου.(πραστάκος,2000) Είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν στο πρόβλημά μας πρέπει να πάρουμε μια σειρά αποφάσεων, κάθε μία από τις οποίες μας οδηγεί σε ένα η περισσότερα αβέβαια αποτελέσματα, τα οποία με τη σειρά τους πρέπει να τα λάβουμε υπόψη μας για τις επόμενες αποφάσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Μία επιχείρηση είναι έτοιμη να βγάλει στην αγορά μια νέα γραμμή προϊόντων και πρόκειται να επιλέξει τη στρατηγική μάρκετινγκ που θα ακολουθήσει. Υπάρχουν τρεις διαφορετικές στρατηγικές που έχουν τεθεί: Επιθετική Μέση Συντηρητική ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Επιθετική: Κύριο ενδιαφέρον στη νέα γραμμή προϊόντων. Σημαντική επένδυση σε πάγια. Υψηλά επίπεδα αποθεμάτων για άμεση ικανοποίηση ζήτησης. Εθνική καμπάνια προβολής και προώθησης. Μέση: Σταδιακή εισαγωγή της νέας γραμμής στην αγορά. Μικρότερη επένδυση σε πάγια. Αποθέματα μόνο για δημοφιλή προϊόντα. Προβολή & προώθηση σε ορισμένες περιοχές. Συντηρητική: Περιορισμένη παραγωγή. Προβολή & προώθηση από τοπικούς αντιπροσώπους. 28

ΖΗΤΗΣΗ Το τμήμα Μάρκετινγκ της επιχείρησης έχει ομαδοποιήσει τη ζήτηση που θα εμφανισθεί για τη νέα γραμμή προϊόντων σε δύο κατηγορίες και βασιζόμενο σε αντίστοιχες εισαγωγές προϊόντων έχει προσδιορίσει και συγκεκριμένες πιθανότητες εμφάνισης της κάθε μορφής ζήτησης: Υψηλή, με πιθανότητα εμφάνισης 40% Χαμηλή, με πιθανότητα εμφάνισης 60% ΈΣΟΔΑ: Τα ετήσια έσοδα με βάση το ύψος της ζήτησης και της στρατηγική που ακολουθεί η επιχείρηση και το κόστος κάθε στρατηγικής δίνονται στο παρακάτω πίνακα (σε χιλιάδες ευρώ): Στρατηγική Ζήτηση Υψηλή Ζήτηση Χαμηλή Κόστος Στρατηγικής Επιθετική 580 200 280 Μέση 330 200 130 Συντηρητική 100 200 50 ΣΤΟΧΟΣ: ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΙΣΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Κατασκευή Δένδρου Απόφασης Αυτό το πρόβλημα μπορούμε να το αναπαραστήσουμε και με ένα δένδρο αποφάσεων. Θα χρησιμοποιήσουμε τετράγωνους κόμβους για να αναπαραστήσουμε σημεία απόφασης, από τα οποία ξεκινάνε ένα κλαδί για κάθε εναλλακτική απόφαση που αντιμετωπίζουμε. 29

Θα χρησιμοποιήσουμε κυκλικούς κόμβους για να αναπαραστήσουμε σημεία τύχης, από τα οποία ξεκινάνε ένα κλαδί για κάθε ενδεχόμενη εξωτερική κατάσταση. Θα χρησιμοποιήσουμε τριγωνικούς κόμβους για να αναπαραστήσουμε τελικές καταστάσεις ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΝΔΡΟΥ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ στόχος Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ Κόμβος απόφασης -280-130 Κόμβος τύχης Επιθετική εναλλακτικές Μέση Υψηλή Χαμηλή Υψηλή Χαμηλή Εξωτερικές αποφάσεις κόστος -50 Συντηρητική Υψηλή Χαμηλή ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΔΕΝΔΡΟΥ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Επιθετική Υψηλή Χαμηλή 40% 60% 580 200 Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ -280-130 -50 Μέση Συντηρητική Υψηλή Χαμηλή Υψηλή Χαμηλή 40% 60% 40% 60% 330 200 100 200 30

ΕΠΙΛΥΣΗ ΒΗΜΑ 1 Ο : Σε κάθε κόμβο τύχης ξεκινώντας από το τέλος και πηγαίνοντας προς την αρχή, υπολογίζουμε την μέση αναμενόμενη απόδοση του κόμβου, πολλαπλασιάζοντας την απόδοση κάθε ενδεχόμενη κατάστασης που προκύπτει από τον κόμβο με την αντίστοιχη πιθανότητα, και αθροίζοντας τα επί μέρους γινόμενα. Υπολογισμός Μέσης Αναμενόμενης Απόδοσης: Μέση Αναμενόμενη Απόδοση Στρατηγικής = Κέρδη αν ζήτηση Υψηλή Πιθανότητα Ζήτηση Υψηλή + Κέρδη αν Ζήτηση Χαμηλή Πιθανότητα Ζήτηση Χαμηλή ΜΑΑ(Ε)=580 0.4+200 0.6 = 352 εκατ. ΜΑΑ(Μ)=330 0.4+200 0.6 = 252 εκατ. ΜΑΑ(Σ)=100 0.4+200 0.6 = 160 εκατ. ΔΕΝΔΡΟ ΑΠΟΦΑΣΗΣ Επιθετική 352 Υψηλή Χαμηλή 40% 60% 580 200 Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ -280 72 122-130 -50 Μέση 252 Υψηλή Χαμηλή 40% 60% 330 200 110 Συντηρητική 160 Υψηλή Χαμηλή 40% 60% 100 200 31

ΒΗΜΑ 2 Ο : Αφαιρούμε (ή προσθέτουμε) τα τυχόν κόστη (ή οφέλη) κατά μήκος ενός κλαδιού απόφασης και επιλέγουμε την άριστη απόφαση για τον συγκεκριμένο κόμβο απόφασης. Άριστος είναι ο κόμβος με την μέγιστη απόδοση (ή το ελάχιστο κόστος) Αναμενόμενη Καθαρή Απόδοση Στρατηγικής Αναμενόμενη Καθαρή Απόδοση Στρατηγικής = Μέση Αναμενόμενη Απόδοση Στρατηγικής Κόστος Στρατηγικής ΜΑΑ(Ε)-ΚΣ(Ε) = 352-280 = 72 εκατ. ΜΑΑ(Μ)-ΚΣ(Μ) = 252-130 = 122 εκατ. ΜΑΑ(Σ)-ΚΣ(Σ) = 160-50 = 110 εκατ. ΒΗΜΑ 3 Ο : Εάν υπάρχουν προηγούμενα κλαδιά, συνεχίζουμε επαναλαμβάνοντας τα προηγούμενα βήματα μέχρις ότου να φθάσουμε στον κόμβο αφετηρίας. ΛΥΣΗ Θα επιλέξουμε την Μέση Στρατηγική Ακολουθώντας την θα έχουμε την μεγαλύτερη Μέση Καθαρή Αναμενόμενη Απόδοση 2.9 Η ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ ΝΕΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΣΤΟ ΔΕΝΔΡΟ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Η Διοίκηση της επιχείρησης πριν προχωρήσει στην υλοποίηση της στρατηγικής ενδιαφέρεται να διεξάγει μία έρευνα αγοράς προκειμένου να προσδιορίσει με μεγαλύτερη ακρίβεια το μέγεθος της αγοράς (Hiller and Hillier, 1998). 32

Τα αποτελέσματα τα οποία θα αναφέρει η εταιρεία ερευνών μπορεί να είναι: Θετικά Αρνητικά Ισορροπημένα-Ασαφή Η εμπειρία έχει δείξει ότι στις περιπτώσεις που η ζήτηση αποδειχθεί: Υψηλή τα αποτελέσματα της έρευνας έχουν βγει 50% Θετικά 25% Αρνητικά 25% Ισορροπημένα Χαμηλή τα αποτελέσματα της έρευνας έχουν βγει 20% Θετικά 55% Αρνητικά 25% Ισορροπημένα ΔΕΝΔΡΟ ΑΠΟΦΑΣΗΣ - ΈΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ Έρευνα Αγοράς Θετικά Ισορροπημένα Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ Αρνητικά Όχι Έρευνα Αγοράς Επιθετική Μέση Συντηρητική Η επιχείρηση θα πρέπει να αποφασίσει αν αξίζει να γίνει η έρευνα αγοράς αν αυτή κοστίζει 2.5 εκατομμύρια. Ποιο θα είναι το όφελος το οποίο προκύπτει από την περαιτέρω πληροφόρηση; 33

Ποιο θα ήταν το όφελος αν είχαμε πλήρη πληροφόρηση; ΔΕΝΔΡΟ ΑΠΟΦΑΣΗΣ - ΘΕΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Επιθετική Υψηλή Χαμηλή -280 Θετικά αποτελέσματα -130 Μέση Υψηλή Χαμηλή -50 Συντηρητική Υψηλή Χαμηλή Υπολογισμός Πιθανοτήτων-θετικά αποτελέσματα Θα πρέπει να υπολογίσουμε τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε κάθε ενδεχόμενο στο οποίο εμπλέκεται ο παράγοντας τύχη (Α) Πιθανότητα η έρευνα να δώσει θετικά αποτελέσματα (Β) Πιθανότητα η ζήτηση να είναι υψηλή δεδομένου ότι η έρευνα έδωσε θετικά αποτελέσματα (Γ) Πιθανότητα η ζήτηση να είναι χαμηλή δεδομένου ότι η έρευνα έδωσε θετικά αποτελέσματα 1. Πιθανότητα θετικού αποτελέσματος = πιθανότητα αν ζήτηση υψηλή και θετικά αποτελέσματα πιθανότητα αν ζήτηση υψηλή + πιθανότητα αν ζήτηση χαμηλή και θετικά αποτελέσματα πιθανότητα αν ζήτηση χαμηλή Ρ(Θ)=Ρ(Θ Υ) Ρ(Υ) + Ρ(Θ Χ) Ρ(Χ) = 0.5 0.4 + 0.2 0.6 = 0.32 2. Ρ(Υ Θ)=Ρ(Θ Υ) Ρ(Υ) / Ρ(Θ) = 0.5 0.4 / 0,32 = 0.625 34

3. Ρ(Χ Θ)= Ρ(Θ Χ) Ρ(Χ) / Ρ(Θ) = 0.2 0.6 / 0.32 = 0.375 Υπολογισμός Καθαρής Αναμενόμενης Απόδοσης Για κάθε στρατηγική υπολογίζουμε την Καθαρή Αναμενόμενη Απόδοση για την περίπτωση που η έρευνα δώσει θετικά αποτελέσματα. ΚΑΑ=Κέρδος(Υ) Ρ(Υ Θ) + Κέρδος(Χ) Ρ(Χ Θ) Κόστος ΚΑΑ(Ε)=580 0.625+200 0.375-280 = 157.5 ΚΑΑ(Μ)=330 0.625+200 0.375-130 = 151.25 ΚΑΑ(Σ)=100 0.625+200 0.375-50 = 87.5 Επιλογή Στρατηγικής Επιλέγουμε την στρατηγική που μας δίνει την μεγαλύτερη Καθαρή Αναμενόμενη Απόδοση ΚΑΑ(Ε)=157.5 ΚΑΑ(Μ) = 151.25 ΚΑΑ(Σ) = 87.5 ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ - ΘΕΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ θετικά αποτελέσματα -280 32% -130-50 Επιθετική 157.5 Μέση 151.25 Συντηρητική 87.5 Υψηλή Χαμηλή Υψηλή Χαμηλή Υψηλή Χαμηλή 62.5% % 580 37.5% 200 62.5% 37.5% 62.5% 330 200 100 37.5% 200 35

ΔΕΝΔΡΟ ΑΠΟΦΑΣΗΣ - ΙΣΟΡΡΟΠΗΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Επιθετική Υψηλή Χαμηλή -280 Ισορροπημένα Αποτελέσματα -130 Μέση Υψηλή Χαμηλή -50 Συντηρητική Υψηλή Χαμηλή Υπολογισμός Πιθανοτήτων-Ισορροπημένα αποτελέσματα Θα πρέπει να υπολογίσουμε τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε κάθε ενδεχόμενο στο οποίο εμπλέκεται ο παράγοντας τύχη. Πιθανότητα η έρευνα να δώσει ισορροπημένα αποτελέσματα Πιθανότητα η ζήτηση να είναι υψηλή δεδομένου ότι η έρευνα έδωσε ισορροπημένα αποτελέσματα Πιθανότητα η ζήτηση να είναι χαμηλή δεδομένου ότι η έρευνα έδωσε ισορροπημένα αποτελέσματα Υπολογισμός Πιθανοτήτων: Ρ(Ι)=Ρ(Ι Υ) Ρ(Υ) + Ρ(Ι Χ) Ρ(Χ) = 0.25 0.4 + 0.25 0.6 = 0.25 Ρ(Υ Ι)=Ρ(Ι Υ) Ρ(Υ) / Ρ(Ι) = 0.25 0.4 / 0. 25 = 0.4 Ρ(Χ Ι)= Ρ(Ι Χ) Ρ(Χ) / Ρ(Ι) = 0.25 0.6 / 0.25 = 0.6 36

Υπολογισμός Καθαρής Αναμενόμενης Απόδοσης Για κάθε στρατηγική υπολογίζουμε την Καθαρή Αναμενόμενη Απόδοση για την περίπτωση που η έρευνα δώσει ισορροπημένα αποτελέσματα. ΚΑΑ = Κέρδος(Υ) Ρ(Υ Ι) + Κέρδος(Χ) Ρ(Χ Ι) Κόστος ΚΑΑ(Ε) = 580 0.4+200 0.6-280 = 72 ΚΑΑ(Μ) = 330 0.4+200 0.6-130 = 122 ΚΑΑ(Σ) = 100 0.4+200 0.6-50 = 110 Επιλογή Στρατηγικής Επιλέγουμε την στρατηγική που μας δίνει την μεγαλύτερη Καθαρή Αναμενόμενη Απόδοση ΚΑΑ(Ε) = 72 ΚΑΑ(Μ) = 122 ΚΑΑ(Σ) = 110 ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ- ΙΣΟΡΡΟΠΗΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Ισορροπημένα Αποτελέσματα -280 25% -130-50 Επιθετική 72 Μέση 122 Συντηρητική 110 Υψηλή Χαμηλή Υψηλή Χαμηλή Υψηλή Χαμηλή 40% 60% 40% 60% 40% 60% 580 200 330 200 100 200 37

ΔΕΝΔΡΟ ΑΠΟΦΑΣΗΣ-ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Επιθετική Υψηλή Χαμηλή -280 Αρνητικά Αποτελέσματα -130 Μέση Υψηλή Χαμηλή -50 Συντηρητική Υψηλή Χαμηλή Υπολογισμός Πιθανοτήτων-Αρνητικά αποτελέσματα Θα πρέπει να υπολογίσουμε τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε κάθε ενδεχόμενο στο οποίο εμπλέκεται ο παράγοντας τύχη Πιθανότητα η έρευνα να δώσει αρνητικά αποτελέσματα Πιθανότητα η ζήτηση να είναι υψηλή δεδομένου ότι η έρευνα έδωσε αρνητικά αποτελέσματα Πιθανότητα η ζήτηση να είναι χαμηλή δεδομένου ότι η έρευνα έδωσε αρνητικά αποτελέσματα Ρ(Α) = Ρ(Α Υ) Ρ(Υ) + Ρ(Α Χ) Ρ(Χ) = 1-Ρ(Θ)-Ρ(Ι) = 0.43 Ρ(Υ Α) = Ρ(Α Υ) Ρ(Υ) / Ρ(Α) = 0.25 0.4 / 0.43 = 0.232 Ρ(Χ Α) = Ρ(Α Χ) Ρ(Χ) / Ρ(Α) = 0.55 0.6 / 0.43 = 0.768 38

Υπολογισμός Καθαρής Αναμενόμενης Απόδοσης Για κάθε στρατηγική υπολογίζουμε την Καθαρή Αναμενόμενη Απόδοση (ΚΑΑ) για την περίπτωση που η έρευνα δώσει αρνητικά αποτελέσματα. ΚΑΑ = Κέρδος(Υ) Ρ(Υ Α) + Κέρδος(Χ) Ρ(Χ Α) Κόστος ΚΑΑ(Ε) = 580 0.232+200 0.768-280 = 8.16 ΚΑΑ(Μ) = 330 0.232+200 0.768-130 = 100.16 ΚΑΑ(Σ) = 100 0.232+200 0.768-50 = 126.8 Επιλογή Στρατηγικής Επιλέγουμε την στρατηγική που μας δίνει την μεγαλύτερη Καθαρή Αναμενόμενη Απόδοση ΚΑΑ(Ε) = 8.16 ΚΑΑ(Μ) = 100.16 ΚΑΑ(Σ) = 126.8 ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ - ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Αρνητικά Αποτελέσματα -280 43% -130-50 Επιθετική 8.16 Μέση 100.16 Συντηρητική 126.8 Υψηλή Χαμηλή Υψηλή Χαμηλή Υψηλή Χαμηλή 23,2% 580 76,8% 200 23,2% 330 76,8% 200 23,2% 100 76,8% 200 39

Αποτελέσματα Αν το αποτέλεσμα της έρευνας αγοράς είναι θετικό θα προχωρήσει η επιχείρηση με Επιθετική πολιτική Αν το αποτέλεσμα της έρευνας αγοράς είναι αρνητικό θα προχωρήσει η επιχείρηση με Συντηρητική πολιτική Αν το αποτέλεσμα της έρευνας αγοράς είναι ισορροπημένο θα προχωρήσει η επιχείρηση με Μέση πολιτική Κέρδη Θετικά Αποτελέσματα (Επιθετική Στρατηγική.) Υψηλή ζήτηση (πιθανότητα: 0.32 0.625 = 0.2) Κέρδος 580-280 = 300 Χαμηλή ζήτηση (πιθανότητα: 0.32 0.375 = 0.12) Κέρδος 200-280 = - 80 Ισορροπημένα Αποτελέσματα (Μέση Στρατηγική) Υψηλή ζήτηση (πιθανότητα: 0.25 0.4 = 0.1) Κέρδος 330-130 = 200 Χαμηλή ζήτηση (πιθανότητα: 0.25 0.6 = 0.15) Κέρδος 200-130 = 70 Αρνητικά Αποτελέσματα (Συντηρητική Στρατηγική) Υψηλή ζήτηση (πιθανότητα: 0.43 0.232 = 0.1) 40

Κέρδος 100-50 = 50 Χαμηλή ζήτηση (πιθανότητα: 0.43 0.768 = 0.33) Κέρδος 200-50 = 150 Αναμενόμενη Απόδοση Θετικά Αποτελέσματα (Επιθετική Σ.) Κέρδος(Υ) Ρ(Υ Θ)+Κέρδος(Χ) Ρ(Χ Θ)-Κόστος = 580 0.625+200 0.375-280 = 157.5 Ισορροπημένα Αποτελέσματα (Μέτρια Σ) Κέρδος(Υ) Ρ(Υ Ι)+Κέρδος(Χ) Ρ(Χ Ι)-Κόστος = 330 0.4+200 0.6-130 = 122 Αρνητικά Αποτελέσματα (Συντηρητική Σ) Κέρδος(Υ) Ρ(Υ Ι)+Κέρδος(Χ) Ρ(Χ Ι)-Κόστος = 100 0.232+200 0.768-50 = 126.8 ΔΕΝΔΡΟ ΑΠΟΦΑΣΗΣ-ΕΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ Έρευνα Αγοράς ΘΕΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΗΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 32% 157.5 25% 122 43% 126.8 Απόδοση Έρευνας Αναμενόμενη Απόδοση αν γίνει έρευνα: Κέρδος (θετικά αποτ.) Ρ(Θ) + Κέρδος (ισορροπημένα αποτ.) Ρ(Ι) + Κέρδος (αρνητικά αποτ.) Ρ(Α) = 157.5 0.32+122 0.25+126.8 0.43 = 135.4 εκατ. 41

Αναμενόμενη Απόδοση αν δεν γίνει έρευνα: 122 εκατ. Να γίνει Έρευνα; Η βελτίωση που προκύπτει από την έρευνα είναι: Αναμενόμενη Απόδοση αν γίνει η έρευνα Αναμενόμενη Απόδοση αν δεν γίνει η έρευνα = 135.4 122 = 13.4 εκατ. Αν η έρευνα αγοράς κοστίζει λιγότερο από 13.4 εκατ. τότε αξίζει να γίνει. ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΑΞΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ Οι καθαρές αποδόσεις και η άριστη στρατηγική σε κάθε περίπτωση είναι: Υψηλή Ζήτηση Άριστη Στρατηγική: Επιθετική Απόδοση: 580-280 = 300 εκατ. Πιθανότητα:0.4 Χαμηλή Ζήτηση Άριστη Στρατηγική: Συντηρητική Απόδοση: 200-50 = 150 εκατ. Πιθανότητα:0.6 Δένδρο Απόφασης-Έρευνα αγοράς 132.9 Έρευνα Αγοράς 135.4 Να διεξαχθεί Έρευνα Αγοράς; -2.5 όχι Έρευνα Αγοράς 122 42

Αναμενόμενη Αξία Πλήρους Πληροφόρησης = Απόδοση αν ζήτηση υψηλή & επιθετική στρατηγική Πιθανότητα ζήτηση υψηλή + Απόδοση αν ζήτηση χαμηλή & συντηρητική στρατηγική Πιθανότητα ζήτηση χαμηλή= 300 0.4+150 0.6 = 210 εκατ. Βελτίωση που προκύπτει από την Πλήρη Πληροφόρηση: 210-122 = 88 εκατ.. 2.10 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Μια από τις βασικές παραδοχές που διέπουν την ανάπτυξη ενός μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού είναι η προσδιοριστικότητα, δηλαδή ότι όλες οι παράμετροι του προβλήματος (αντικειμενικοί και τεχνολογικοί συντελεστές, σταθερές δεξιών μελών) είναι γνωστές σταθερές που διατηρούν τις τιμές τους στον ορίζοντα προγραμματισμού. Επίσης, πρέπει να σημειωθεί ότι στην πραγματικότητα πολλές από αυτές τις παραμέτρους είναι εκτιμήσεις ή προβλέψεις και γενικά επηρεάζονται από το περιβάλλον μέσα στο οποίο δραστηριοποιείται η επιχείρηση και το οποίο δεν μπορεί να θεωρηθεί στατικό. Σε ένα τέτοιο πραγματικό περιβάλλον, όπου κάθε σύστημα παρουσιάζει δυναμική συμπεριφορά, τα δεδομένα του προβλήματος είναι λογικό να μεταβάλλονται διαχρονικά επηρεαζόμενα από διάφορους παράγοντες. Για παράδειγμα, η ζήτηση ενός προϊόντος δεν είναι σταθερή, οι τιμές και οι διαθέσιμες ποσότητες των πρώτων υλών παρουσιάζουν διακυμάνσεις, το κόστος εργασίας δεν είναι σταθερό, ανταγωνιστικά ή συμπληρωματικά προϊόντα εισέρχονται στην αγορά, προσωπικό συνταξιοδοτείται ή προσλαμβάνεται, ο εξοπλισμός ανανεώνεται ή παρουσιάζει βλάβες, το διεθνές περιβάλλον στο οποίο δραστηριοποιούνται οι επιχειρήσεις είναι ευμετάβλητο και άλλα πολλά. Ο κατάλογος αυτός μπορεί να επεκτείνεται με αναφορές σε στοχαστικά γεγονότα, τα οποία μπορούν να επηρεάσουν τις τιμές των υποτίθεται προσδιορισμένων παραμέτρων ενός μοντέλου (Hiller and Hillier, 1998). 43

Έτσι, όταν βρίσκεται μια βέλτιστη λύση, είναι επιθυμητό να είναι γνωστό ποιες από τις παραμέτρους του μοντέλου επηρεάζουν σημαντικά τη λύση που βρέθηκε. Δεδομένης της αβεβαιότητας που υπάρχει και της πιθανής μεταβολής των παραμέτρων, είναι κρίσιμο να αναγνωριστούν ποιες από τις μεταβολές και σε ποια έκταση μπορούν να ανατρέψουν την άριστη απόφαση που εφαρμόζεται εκείνη τη στιγμή. Η ανατροπή μπορεί να προέλθει από εκείνες τις παραμέτρους, στις αλλαγές των οποίων η βέλτιστη λύση είναι περισσότερο ευαίσθητη. Η ανάλυση ευαισθησίας αφορά στην μελέτη των συνεπειών που προκύπτουν στη βέλτιστη λύση από αλλαγές των παραμέτρων ενός μοντέλου. Επομένως, είναι μία διαδικασία, η οποία προσδίδει σε ένα προσδιοριστικό πλαίσιο μοντελοποίησης, όπως είναι ο γραμμικός προγραμματισμός, τη δυνατότητα διερεύνησης σεναρίων και ερωτημάτων της μορφής: «τι θα συμβεί αν υπάρξει μία μεταβολή σε κάποιο στοιχείο του προβλήματος;» Η ανάλυση ευαισθησίας μπορεί να βοηθήσει ώστε να δοθεί απάντηση σε ερωτήματα όπως τα ακόλουθα: 1. Πώς θα επηρεαστεί το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής και το συνολικό κέρδος, αν μειωθεί η τιμή πώλησης ενός προϊόντος κατά ένα ποσοστό; Μήπως πρέπει να αλλαχθεί ο συνδυασμός προϊόντων που παράγονται λόγω της μεταβολής στην τιμή αυτή; Μέσα σε ποια όρια μπορεί να μεταβάλλεται η τιμή πώλησης του προϊόντος χωρίς να είναι απαραίτητο να αλλαχθεί το βέλτιστο σχέδιο της παραγωγής; Για παράδειγμα, πρέπει μια ανώνυμη εταιρία να επανεξετάσει το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής, αν αναγκαστεί να μειώσει το περιθώριο κέρδους της στο προϊόν Α λόγω ανταγωνισμού; Το ερώτημα αυτό σε επίπεδο μοντέλου επαναδιατυπώνεται ως εξής: Σε ποιο βαθμό επηρεάζει μία μεταβολή ενός αντικειμενικού συντελεστή τη βέλτιστη λύση; 2. Πώς θα επηρεαστεί το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής της ανώνυμης εταιρίας, αν αυξηθεί η διαθέσιμη ποσότητα γάλακτος κατά 100 λίτρα την εβδομάδα; Τι θα συμβεί αν μειωθεί η ζήτηση ενός προϊόντος; Υπάρχουν όρια μέσα στα οποία μπορεί να μεταβάλλεται η διαθέσιμη ποσότητα ενός πόρου χωρίς να επηρεάζονται κάποια από τα στοιχεία της βέλτιστης 44

λύσης που βρέθηκε και ποια είναι αυτά; Ποια είναι η οριακή αξία ενός πόρου; Τα ερωτήματα επαναδιατυπώνονται ως εξής: Σε ποιο βαθμό επηρεάζει τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης πιθανή μεταβολή σε κάποια από τις σταθερές δεξιού μέλους ενός περιορισμού; 3. Άλλα ερωτήματα που μπορούν να διερευνηθούν με την ανάλυση ευαισθησίας αφορούν σε ταυτόχρονες μεταβολές περισσότερων από μίας παραμέτρων, αλλαγές στους τεχνολογικούς συντελεστές, προσθήκη ή αφαίρεση μεταβλητών, κ.α. Είναι φανερό από τα παραπάνω χαρακτηριστικά ερωτήματα που παρατέθηκαν και τα οποία διερευνούν την ανάλυση ευαισθησίας, ότι οι πληροφορίες που μπορούν να αποκτηθούν για το μοντέλο είναι μεγάλης σημασίας, διότι δίνουν τη δυνατότητα στη διοίκηση της επιχείρησης να αναπροσαρμόζει την πολιτική της. Ακόμα, επιτρέπει την απόδοση της δέουσας προσοχής σε εκείνα τα στοιχεία/παραμέτρους του προβλήματος, που φαίνεται ότι επηρεάζουν σημαντικά τις αποφάσεις. Ο πλέον προφανής τρόπος για να προσεγγίσει κανείς αρχικά ένα ερώτημα όπως αυτά, είναι να ενσωματώσει τις πιθανές αλλαγές των παραμέτρων στο μοντέλο και να το επιλύσει ξανά για να πάρει τη νέα λύση. Η τακτική όμως αυτή, χωρίς να είναι λανθασμένη, δεν διερευνά το μηχανισμό που επηρεάζει τη βέλτιστη λύση μέσω των μεταβολών των παραμέτρων, αλλά δίνει μόνο το νέο τελικό αποτέλεσμα. Επίσης, σε ένα πραγματικό πρόβλημα η συνεχής αλλαγή παραμέτρων και η επανεπίλυση του προβλήματος ενδέχεται να είναι αρκετά χρονοβόρα λόγω του μεγάλου πλήθους μεταβλητών και περιορισμών. Ανάλυση Ευαισθησίας των Πιθανοτήτων στα Δέντρα Αποφάσεων Στο παράδειγμά μας (σελ. 23) θεωρήσαμε ότι οι πιθανότητες η ζήτηση να είναι Υψηλή ή Χαμηλή είναι γνωστές με βεβαιότητα Ρ(Υ) = 0.4 Ρ(Χ) = 0.6 45

Τι επίπτωση θα είχε στην στρατηγική της επιχείρησης και στην αναμενόμενη απόδοση μία αλλαγή των πιθανοτήτων για το μέγεθος της αγοράς; Πόσο ευαίσθητη είναι η ακολουθητέα στρατηγική σε διαφορετικές εκτιμήσεις των πιθανοτήτων; ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 0.40 0.60 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΥΨΗΛΗ ΖΗΤΗΣΗ ΧΑΜΗΛΗ ΖΗΤΗΣΗ ΚΟΣΤΟΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΕΠΙΘΕΤΙΚΗ(Ε) ΜΕΣΗ (Μ) ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗ(Σ) 580 330 100 200 200 200 280 130 50 Ανάλυση Ευαισθησίας Πιθανοτήτων Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος η Αναμενόμενη Καθαρή Απόδοση της Επιθετικής Στρατηγικής είναι: ΚΑΑ(Ε) = 300 Ρ(Υ)-80 Ρ(Χ) Εφόσον Ρ(Υ)+ Ρ(Χ) = 1 δηλ. Ρ(Χ) = 1-Ρ(Υ) ΚΑΑ(Ε) = 300 Ρ(Υ)-80 [1-Ρ(Υ)] = -80+380 Ρ(Υ) Παρόμοια υπολογίζουμε τις αναμενόμενες αποδόσεις των άλλων δύο στρατηγικών ΚΑΑ(Μ) & ΚΑΑ(Σ). ΚΑΑ(Μ) = 70+130 Ρ(Υ) ΚΑΑ(Σ) = 150-100 Ρ(Υ) Εάν απεικονιστούν αυτές οι συναρτήσεις δίνεται μία γραμμική αναπαράσταση της αναμενόμενης απόδοσης σε σχέση με την πιθανότητα, έτσι για την επιθετική στρατηγική: 46

ΚΑΑ(Ε) 300 ΚΑΑ(Ε) = -80+380Ρ(Υ) 0 1 P(Y) Πιθανότητα Υψηλής Ζήτησης -80 2.10.1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ-Ανάλυση Ευαισθησίας της αναμενόμενης απόδοσης από την επιθετική στρατηγική σε σχέση με την πιθανότητα υψηλής ζήτησης Ομοίως απεικονίζονται και οι άλλες δύο συναρτήσεις, έτσι προκύπτει η παρακάτω γραμμική αναπαράσταση που δείχνει την Ανάλυση Ευαισθησίας κάθε στρατηγικής σε σχέση με την πιθανότητα υψηλής ζήτησης: KAA KAA(Σ) ΚΑΑ(Μ) ΚΑΑ(Ε) 350 350 300 300 250 250 200 200 150 150 100 100 50 50 0 0-50 -50 0.348 0.6 Ρ(Υ) 47

Εφόσον το κριτήριο είναι η υψηλότερη αναμενόμενη καθαρή απόδοση συμπεραίνεται ότι : Εάν Ρ(Υ) 0.348 Άριστη στρατηγική = Σ Εάν 0.348 < Ρ(Υ) 0.60 Άριστη στρατηγική = Μ Εάν Ρ(Υ) 0.60 Άριστη στρατηγική = Ε Επομένως: η άριστη στρατηγική δεν επηρεάζεται από τις μικρές αλλαγές των πιθανοτήτων η ανάλυση ευαισθησίας μας παρέχει ένα χρήσιμο οδηγό σε περίπτωση αμφιβολιών για τις εκτιμήσεις πιθανοτήτων. 48

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ BAYES 3.1 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ένας μεγάλος αριθμός επιχειρηματικών αποφάσεων λαμβάνεται κάτω από συνθήκες κινδύνου. Εξάλλου, ένας επίσης μεγάλος αριθμός αποφάσεων πραγματοποιείται κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας. Για την αντιμετώπιση αυτής της δεύτερης κατηγορίας αποφάσεων γίνεται προσπάθεια μετατροπής τους σε αποφάσεις κάτω από συνθήκες κινδύνου. Η μετατροπή αυτή γίνεται με την εκτίμηση της πιθανότητας να συμβεί το ένα ή το άλλο γεγονός (καταστάσεις φύσεις). Η πιθανότητα λοιπόν αποτελεί το μέτρο με το οποίο «μετρούμε» την αβεβαιότητα (Καρασαββίδου, 1986). Την ώθηση για τη μελέτη της έννοιας της πιθανότητας έδωσε το ενδιαφέρον για τα παιχνίδια της τύχης, χωρίς όμως αυτό να σημαίνει ότι κύριο πεδίο της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι τα τυχερά παιχνίδια. Οι πιο ευφυείς προσπάθησαν, κατά τη διάρκεια των παιχνιδιών να αναλύσουν τις καταστάσεις των πιθανοτήτων σε σύνολα δυνατών ενδεχομένων τα οποία θεωρούσαν ισοπίθανα. Τα επιτυχή αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης, που αποσκοπούσε στην «εκ των προτέρων» εύρεση του πιθανού, οδήγησαν σταδιακά στη διατύπωση του αρχικού ορισμού της πιθανότητας που παρέμεινε σαν κλασικός ορισμός, μέχρι της αρχές του αιώνα μας. Ορισμός της κλασσικής πιθανότητας ή εκ των προτέρων πιθανότητας Εάν εκτελεστεί ένα πείραμα (π.χ. ρίψη ενός ζαριού), το αποτέλεσμα θα είναι ένα από τα N εξίσου πιθανά ενδεχόμενα (δηλ. το 1,2,3,4,5,6) και εάν μεταξύ αυτών των ενδεχομένων υπάρχουν n περιπτώσεις που συνεπάγονται την πραγματοποίηση ενός γεγονότος έστω Ε (να εμφανισθεί αριθμός μέχρι και το 4), τότε η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός ορίζεται από το λόγο: 49

n 4 2 ( ). N 6 3 Ο ορισμός αυτός καθορίζει την εκ των προτέρων πιθανότητα, βασίζεται όμως στην προϋπόθεση των ισοπίθανων ενδεχομένων και στη στατιστική ομαλότητα των σχετικών συχνοτήτων. Ορισμός σχετικής συχνότητας των γεγονότων Σε περίπτωση που το παραπάνω πείραμα εκτελεστεί N φορές (π.χ. 1000) και σημειωθεί με n ο αριθμός που συνέβηκε ένα γεγονός (έστω 600 φορές παρουσιάστηκε ο αριθμός μικρότερος ή ίσος του 5), τότε πάλι πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Ε (δηλαδή αριθμός μικρότερος ή ίσος του 5) θα είναι ο λόγος: n 600 3 ( ) N 1000 5 που ονομάζεται σχετική συχνότητα του Ε. Κι εδώ το πηλίκο n/ N παρουσιάζει μια ομαλότητα, όταν το N γίνεται μεγάλο (θεωρητικά η πιθανότητα του γεγονότος Ε μπορεί να ορισθεί μόνο όταν το N τείνει στο άπειρο), αυτή η στατιστική ομαλότητα αποτελεί την εμπειρική βάση της στατιστικής θεωρίας. Για τον υπολογισμό λοιπόν της σχετικής συχνότητας ενός γεγονότος απαραίτητες προϋποθέσεις είναι η ύπαρξη ενός σημαντικού αριθμού ιστορικών δεδομένων (επαναλήψεις του πειράματος), που η συγκέντρωσή τους έγινε κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Ορισμός αντικειμενικής και υποκειμενικής πιθανότητας Ο υπολογισμός της πιθανότητας εμφάνισης ενός γεγονότος βασίζεται στην αντικειμενική εκτίμησή της, γι αυτό οι πιθανότητες αυτές (που υπολογίζονται σύμφωνα τόσο με τον κλασικό ορισμό, όσο και με τον ορισμό της σχετικής συχνότητας των γεγονότων), ονομάζονται αντικειμενικές πιθανότητες. 50

Όμως ο υπολογισμός των πιθανοτήτων εμφάνισης διάφορων γεγονότων, είναι δυνατόν να γίνεται με βάση την υποκειμενική εκτίμηση. Η υποκειμενική προσέγγιση στον υπολογισμό της πιθανότητας βασίζεται στην κρίση, διαίσθηση, διορατικότητα, πείρα, αλλά και τη νοοτροπία της διοίκησης που αποφασίζει (π.χ. βαθμός αισιοδοξίας του για την εξέλιξη των πραγμάτων στο μέλλον, βαθμός ανάληψης κινδύνων κ.λ.π.). Οι πιθανότητες αυτές ονομάζονται υποκειμενικές πιθανότητες, ο δε υπολογισμός τους είναι απαραίτητος όταν δεν υπάρχουν στοιχεία (αντικειμενικά) που θα βοηθήσουν στον υπολογισμό των αντικειμενικών πιθανοτήτων. Αυτό βέβαια δε σημαίνει ότι στις αποφάσεις που μπορεί να γίνει αντικειμενική εκτίμηση των πιθανοτήτων εμφάνισης των καταστάσεων της φύσης, δεν χρειάζεται η υποκειμενική εκτίμηση. Είναι μάλλον καλύτερα να δεχτούμε την άποψη, σύμφωνα με την οποία η μέτρηση των πιθανοτήτων πρέπει να βασίζεται (εφόσον είναι δυνατό) σε αντικειμενικά κριτήρια. Επειδή όμως οι περισσότερες αποφάσεις χαρακτηρίζονται από ένα βαθμό αβεβαιότητας, είναι σκόπιμο, πριν από την τελική διατύπωση των πιθανοτήτων, να ληφθεί υπόψη και υποκειμενική εκτίμηση της διοίκησης που θα πάρει την απόφαση (Καρασαββίδου, 1986). Η διαδικασία αυτή φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα (3.1) 51

Σχετική συχνότητα γεγονότων Κλασική ή εκ των προτέρων εκτίμηση πιθανοτήτων Επαναλήψεις της δοκιμής Ισοπίθανα αποτελέσματα Υποκειμενική εκτίμηση πιθανοτήτων Πείρα, διαίσθηση, Κρίση διοικητικού φορέα Πιθανότητα Ρ(Ε)=; Διάγραμμα 3.1 3.2 ΠΕΙΡΑΜΑ, ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ, ΓΕΓΟΝΟΣ Στη θεωρία των πιθανοτήτων, πείραμα (δοκιμή) σημαίνει κάθε πράξη ή ενέργεια που επαναλαμβάνεται κάτω από τις ίδιες κατά το δυνατό συνθήκες. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων μιας δοκιμής λέγεται «δειγματικός χώρος» ή «χώρος δειγμάτων» ή «δειγματοχώρος», συχνά σημειώνεται με Δ ή Ω. Είναι πολύ σημαντικό να ορίζεται σε κάθε δοκιμή ο αντίστοιχος δειγματικός χώρος, γιατί πολλά σφάλματα και παράδοξα στις πιθανότητες οφείλονται στο 52

μη σωστό ορισμό του. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα μιας δοκιμής λέγεται απλό γεγονός ή απλό ενδεχόμενο ή σημείο του δειγματικού χώρου. Η συλλογή απλών γεγονότων (ή απλών ενδεχομένων ή σημείων του δειγματικού χώρου) που χαρακτηρίζονται από μια κοινή ιδιότητα λέγεται γεγονός ή ενδεχόμενο. Επομένως, το σύνολο όλων των «απλών γεγονότων» αποτελούν το δειγματικό χώρο, τα «γεγονότα» είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις διαδοχικές φορές. ποιος είναι ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος; Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από διατεταγμένες τριάδες με στοιχεία το Κ (όπου Κ= Κορώνα και Γ= Γράμματα) και το Γ και είναι: Ω= {ΚΚΚ,ΚΚΓ,ΚΓΚ,ΚΓΓ,ΓΚΚ,ΓΚΓ,ΓΓΚ,ΓΓΓ} Για να αναπαραστήσουμε τον δειγματικό χώρο,θα χρησιμοποιήσουμε ένα δένδρο πιθανοτήτων (Σχήμα 3.2): 1 η ρίψη 2 η ρίψη 3 η ρίψη Αποτέλεσμα Κ ΚΚΚ Γ Κ Κ Γ Κ Γ Σχήμα 3.2 Γ Κ Γ Κ Γ Κ Γ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ Παρατηρούμε ότι έχουμε 8 διαφορετικά αποτελέσματα-ενδεχόμενα. Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγεται ενδεχόμενο ή γεγονός. Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο και αν 53

είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο Ω. Γι αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο. Το ενδεχόμενο Α, που διαβάζεται όχι Α ή συμπληρωματικό του Α πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α. Το Α λέγεται και αντίθετο του Α (Σχήμα 3.3). Α Α Ω Σχήμα 3.3 3.3 ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Εάν δύο γεγονότα δεν είναι δυνατόν να συμβούν ταυτόχρονα (στην ίδια δοκιμή, πχ σε ένα δειγματικό χώρο Ω), που σημαίνει ότι τα υποσύνολά τους δεν έχουν κοινά σημεία στο δειγματικό χώρο, ονομάζονται αμοιβαίως αποκλειόμενα ή ασυμβίβαστα γεγονότα (Σχήμα 3.4). Ε1 Ε2 Ω Σχήμα 3.4 Εάν 1 και 2 είναι δύο ασυμβίβαστα γεγονότα, τότε ( ) 0 Ε1 2 και 1 2 οπότε ( 1 2) ( 1) ( 2) Το αξίωμα αυτό λέγεται «νόμος της πρόθεσης πιθανοτήτων για ασυμβίβαστα γεγονότα». Εάν τα γεγονότα 1 και 2 δεν είναι ασυμβίβαστα (οπότε έχουμε επικάλυψη των υποσυνόλων των γεγονότων 1 και 2, διότι είναι δυνατόν να πραγματοποιηθούν τα γεγονότα αυτά ταυτόχρονα), ισχύει η σχέση: ( 1 2) ( 1) ( 2) ( 1 2) όπου ( 1 2) 0. Το αξίωμα αυτό λέγεται «αθροιστικός νόμος των πιθανοτήτων». 54

3.4 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ - ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Δύο ενδεχόμενα 1 και 2 με ( 1) 0 και ( 2) 0 λέγονται ανεξάρτητα αν και μόνο αν ( 1 2) ( 1) και ( 2 1) ( 2). Η πιθανότητα ταυτόχρονης πραγματοποίησης δύο ανεξάρτητων γεγονότων, ισούται με το γινόμενο των επί μέρους πιθανοτήτων πραγματοποίησης κάθε ενός από τα γεγονότα αυτά. Δηλαδή, όταν ζητούμε να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα ανεξάρτητα γεγονότα 1 και 2, ισχύει η σχέση: (Kαρασαββίδου, (1986), Hiller and Hillier, 1998) ( 1 2) ( 1) ( 2). Ενδέχεται όμως ένα γεγονός να έχει πιθανότητα να συμβεί σε ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου διαφορετική από εκείνη που έχει στο σύνολο του χώρου (δηλαδή τα γεγονότα δεν είναι ανεξάρτητα). Τότε λέμε ότι η πιθανότητα αυτή είναι υπό συνθήκη ή δεσμευμένη. Aν 1 και 2 είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος και ( 2) 0, τότε ο λόγος ( 1 2) / ( 2) λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του 1 με δεδομένο το 2 και συμβολίζεται με ( 1 2). Δηλαδή: (Σχήμα 3.5) Ομοίως αν ( 1) 0 τότε ( 1 2) ( 1 2) ( ) ( 1 2) ( 2 1) ( ) 2 1 Ε1 Ε2 Ω Σχήμα 3.5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Από τρεις όμοιες μηχανές ενός εργοστασίου η πρώτη (Ι) παράγει το 20%, η δεύτερη (ΙΙ) το 30% και η τρίτη (ΙΙΙ) το 50% της συνολικής παραγωγής ενός εξαρτήματος. Επιπλέον, το 5% της παραγωγής της μηχανής Ι, το 4% της ΙΙ 55

και το 2% της ΙΙΙ είναι ελαττωματικά εξαρτήματα. Αν ένα εξάρτημα που επιλέχθηκε τυχαία είναι ελαττωματικό, ποια είναι η πιθανότητα να προέρχεται από τη μηχανή (Ι), P(Α1 Α) =; (Σχήμα 3.6) Αν Α1, Α2, Α3 είναι τα ενδεχόμενα το επιλεγμένο εξάρτημα να προέρχεται από τις μηχανές Ι, ΙΙ, ΙΙΙ αντιστοίχως, τότε Ρ(Α1) = 0.2 Ρ(Α2) = 0.3 και Ρ(Α3) = 0.5 και επιπλέον Α1UA2UA3 = Ω. Αν Α είναι το ενδεχόμενο το επιλεγμένο εξάρτημα να είναι το ελαττωματικό, τότε Α = (Α Α1)U(A A2)U(A A3) και Ρ(Α)= Ρ(Α Α1) + Ρ(A A2) + Ρ(A A3) Ω Α3 Α Σχήμα 3.6 Α2 Α1 Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε: Ρ(Α Α1)=0.05, Ρ(Α Α2) = 0.04 και Ρ(Α Α3) = 0.02. Η λύση προβλημάτων όπως το προηγούμενο, διευκολύνεται με τη βοήθεια ενός δένδρου πιθανοτήτων: Αρχή Προέλευση εξαρτήματος Ποιότητα αποτέλεσμα εξαρτήματος Πιθανότητα Αποτελέσματος 0.2 Α1 0.05 0.95 Α Α Α1 A Α1 A 0.2 0.05 0.2 0.95 Ο 0.5 0.3 Α2 Α3 0.04 0.96 0.02 0.98 Α Α Α Α Σχήμα 3.7 Α2 A Α2 A Α3 A Α3 A 0.3 0.04 0.3 0.96 0.5 0.02 0.5 0.98 56

Οι κλάδοι ΟΑ1, ΟΑ2, ΟΑ3 αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα προέλευσης του εξαρτήματος από τις μηχανές Ι, ΙΙ, ΙΙΙ αντιστοίχως, και οι αντίστοιχες πιθανότητες των ενδεχομένων αυτών είναι γραμμένες πάνω στους κλάδους. Από το τέλος κάθε τέτοιου κλάδου ξεκινούν δύο άλλοι κλάδοι, που αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα το εξάρτημα να είναι ελαττωματικό ή μη ελαττωματικό με γραμμένες πάλι επάνω τους τις αντίστοιχες πιθανότητες, π.χ. οι διαδρομές που οδηγούν σε ελαττωματικό εξάρτημα είναι οι ΟΑ1Α, ΟΑ2Α, ΟΑ3Α και αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα Α1 A, Α2 A, Α3 A Ρ(Α) = Ρ(Α1 Α) + Ρ(A2 A) + Ρ(A3 A) Ρ(Α) = 0.2 0.05+ 0.3 0.04 +0.5 0.02 = 0.032 Ρ(Α) = 0.032 Άρα Ρ(Α1 Α) = Ρ(Α1 Α) / Ρ(Α) = (0.2 0.05) / 0.032 Ρ(Α1 Α) = 0.3125 3.5 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ BAYES Σε πολλές αποφάσεις είναι απαραίτητο να γίνει σύγκριση μεταξύ του «κόστους» που θα προκύψει, εάν ληφθεί μια εσφαλμένη απόφαση, με τη δαπάνη συγκέντρωσης νέων πληροφοριών. Μια πολλή σημαντική προσέγγιση στο θέμα αυτό είναι αυτή της «θεωρίας αποφάσεων του Bayes» ή «ανάλυση του Bayes», που εισάγει μια διαδικασία, σύμφωνα με την οποία η διοίκηση μπορεί σταδιακά να βελτιώσει τις πληροφορίες που χρειάζεται, επομένως και τις πιθανότητες για τη λήψη αποφάσεων κάτω από τις συνθήκες κινδύνου αλλά και της αβεβαιότητας (Καρασαββίδου, 1986). Βασικό θεώρημα αυτής της ανάλυσης είναι το θεώρημα του Bayes, που αποσκοπεί στην αναπροσαρμογή των a priori (εκ των προτέρων) πιθανοτήτων, κάτω από το φως νέων πληροφοριών (π.χ. προβλέψεις βασιζόμενες σε υποκειμενική κρίση, η διενέργεια ενός πειράματος, έρευνας κ.λ.π.), σε a posteriori (εκ των υστέρων) πιθανότητες. Στο θεώρημα αυτό καταλήγουμε ως εξής: Έστω ότι τα γεγονότα Η 1, Η 2, Η 3 είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα (ασυμβίβαστα) και η ένωσή τους μας δίνει το δειγματικό χώρο Δ μιας δοκιμής. Οι πιθανότητες 57

να συμβούν τα γεγονότα αυτά είναι Ρ(Ηi), όπου i = 1,2,3. Έστω επίσης ότι Ε είναι ένα γεγονός που μπορεί να πραγματοποιηθεί, μόνο όταν συμβεί ένα από τα γεγονότα Η 1, Η 2, Η 3. Είναι επίσης γνωστό ότι η υπό συνθήκη (ή δεσμευμένη) πιθανότητα του Ε είναι Ρ(Ε Η 1 ), όπου πάλι i = 1,2,3. Tα γεγονότα αυτά και οι αλληλοσυσχετίσεις τους φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα (3.2). Η 1 Η 2 Η 3 Ε Διάγραμμα 3.2: Σχέσεις γεγονότων Η 1, Η 2, Η 3 και Ε Αφού το γεγονός Ε μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο αν συμβεί ένα από τα γεγονότα Η i, θα πρέπει να έχει κοινά σημεία με κάθε γεγονός Η i. Έτσι το τμήμα του Ε που ανήκει στο Η 1 είναι το H 1 Ε, στο Η 2 είναι το Η 2 Ε και ολόκληρο το γεγονός Ε είναι η ένωση των ασυμβίβαστων αυτών γεγονότων, δηλαδή: Ε = (H 1 Ε)U(Η 2 Ε)U(Η 3 Ε) H πιθανότητα να συμβεί ολόκληρο το γεγονός Ε είναι: Ρ(Ε) = Ρ(H 1 Ε) + Ρ(Η 2 Ε) + Ρ(Η 3 Ε) Επομένως, η υπό συνθήκη πιθανότητα του γεγονότος Ε, εάν συμβεί το Η i, Ρ(Ε Η i ), είναι: Ρ(H 1 Ε) = Ρ(H 1 ) Ρ(Ε H 1 ) οπότε Ρ(Ε H 1 ) = Ρ(H 1 Ε) / Ρ(H 1 ) Ρ(Η 2 Ε) = Ρ(Η 2 ) Ρ(Ε H 2 ) οπότε Ρ(Ε H 2 )= Ρ(H 2 Ε) / Ρ(H 2 ) Ρ(Η 3 Ε) = Ρ(Η 3 ) Ρ(Ε H 3 ) οπότε Ρ(Ε H 3 )= Ρ(H 3 Ε) / Ρ(H 3 ) Επομένως, Ρ(Ε Η i ) = P(Η i Ε) / Ρ(Η i ) 58

Σύμφωνα με τα παραπάνω, η Ρ(Ε) είναι: Ρ(Ε) = [Ρ(Η 1 ) Ρ(Ε Η 1 )] + [Ρ(Η 2 ) Ρ(Ε Η 2 )] + [Ρ(Η 3 ) Ρ(Ε Η 3 )] Γενικεύοντας έχουμε: n i i (παρονομαστής τύπου Bayes) i 1 P(E)= Ρ(Η ) P(E H ) Εάν ζητηθεί να βρεθεί η δεσμευμένη πιθανότητα προς άλλη κατεύθυνση, δηλαδή η Ρ(H i Ε), θα ακολουθηθεί η εξής διαδικασία: Ρ(Ε H 1 ) = Ρ(Ε) Ρ(Η 1 Ε), επομένως Ρ(Η 1 Ε) = Ρ(Ε Η 1 ) / Ρ(Ε) Ρ(Ε H 2 ) = Ρ(Ε) Ρ(Η 2 Ε), επομένως Ρ(Η 2 Ε) = Ρ(Ε Η 2 ) / Ρ(Ε) Ρ(Ε H 3 ) = Ρ(Ε) Ρ(Η 3 Ε), επομένως Ρ(Η 3 Ε) = Ρ(Ε Η 3 ) / Ρ(Ε) Οπότε, Ρ(Ε Η i ) = Ρ(Ε) Ρ(Η i Ε), επομένως Ρ(Η i Ε) = Ρ(Ε Η i ) /Ρ(Ε), είναι η δεσμευμένη πιθανότητα (γενική μορφή) Ρ(Ε Η i ) = Ρ(Η i Ε) / Ρ(Η i ), που γίνεται Ρ(Η i Ε) = Ρ(Η i ) Ρ(Ε Η i ), δεδομένου όμως ότι Η i Ε = Ε Η i και Ρ(Η i Ε) = Ρ(Ε Η i ), έχουμε Ρ(Ε) Ρ(Η i Ε) = Ρ(Η i ) (Ε Η i ) (αριθμητής του Bayes), Οπότε: Ρ(Η i Ε) = Ρ(Η i ) Ρ(Ε Η i ) / Ρ(Ε) Και αφού Ρ(Ε) = n Ρ(Η i ) Ρ(Ε Η i ) i=1 προκύπτει η παρακάτω σχέση, που λέγεται «τύπος (ή θεώρημα) του Bayes» Ρ(Η i Ε) = Ρ(Η i ) Ρ(Ε Η i ) / Ρ(Η i ) Ρ(Ε Η i ). n i=1 59

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΔΕΝΔΡΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΞΟΡΥΞΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Οι περισσότερες προσπάθειες εξόρυξης δεδομένων στρέφονται στην ανάπτυξη ενός ιδιαίτερα λεπτομερούς προτύπου κάποιου μεγάλου συνόλου στοιχείων δημιουργώντας μια εναλλασσόμενη τεχνική που περιλαμβάνει την εύρεση των ελάχιστων διαφορών μεταξύ των στοιχείων σε ένα σύνολο στοιχείων, με στόχο την απλούστευση των προτύπων που αντιπροσωπεύουν τα σχετικά στοιχεία. Μία τέτοια τεχνική που εξετάζει τις ανώτερες πτυχές της εξόρυξης δεδομένων είναι τα δένδρα αποφάσεων και θα τα γνωρίσουμε καλύτερα σ αυτό το κεφάλαιο (Berry and Linoff (1999), Berger (2003)). 4.1 ΕΞΟΡΥΞΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δραστηριότητα εξαγωγής πληροφοριών της οποίας στόχος είναι να ανακαλυφθούν τα κρυμμένα γεγονότα που περιλαμβάνονται στις βάσεις δεδομένων. Χρησιμοποιώντας έναν συνδυασμό εκμάθησης μηχανών, στατιστικής ανάλυσης, τεχνικών διαμόρφωσης και τεχνολογίας βάσεων δεδομένων, η εξόρυξη δεδομένων βρίσκει τα σχέδια και τις λεπτές σχέσεις στα στοιχεία και συμπεραίνει τους κανόνες που επιτρέπουν την πρόβλεψη των μελλοντικών αποτελεσμάτων. Οι χαρακτηριστικές εφαρμογές περιλαμβάνουν την κατάτμηση αγοράς, τη σκιαγράφηση πελατών, την ανίχνευση απάτης, την αξιολόγηση των λιανικών προωθήσεων, και την ανάλυση πιστωτικού κινδύνου. Η εξόρυξη δεδομένων επιτρέπει στους χρήστες να αναλύσουν τα στοιχεία από πολλές διαφορετικές διαστάσεις ή γωνίες, να τα ταξινομήσουν, και να συνοψίσουν τις σχέσεις που τα προσδιορίζουν. Ένα απλό παράδειγμα της εξόρυξης δεδομένων είναι η χρήση του σε ένα τμήμα λιανικών πωλήσεων. Εάν ένα κατάστημα ακολουθεί τις αγορές ενός πελάτη και παρατηρήσει ότι ένας πελάτης αγοράζει πολλά πουκάμισα από μετάξι, το σύστημα εξόρυξης δεδομένων θα κάνει έναν συσχετισμό μεταξύ των πουκάμισων των πελατών. Το τμήμα πωλήσεων θα εξετάσει εκείνες τις πληροφορίες και θα αρχίσει το μάρκετινγκ των πουκάμισων μεταξιού σε εκείνο τον πελάτη. Σε αυτήν την περίπτωση, το σύστημα εξόρυξης δεδομένων που 60

χρησιμοποιήθηκε από το λιανικό κατάστημα ανακάλυψε τις νέες πληροφορίες για τον πελάτη που ήταν προηγουμένως άγνωστος στην επιχείρηση. Οι περισσότερες προσπάθειες εξόρυξης δεδομένων στρέφονται στην ανάπτυξη ενός ιδιαίτερα λεπτομερούς προτύπου κάποιου μεγάλου συνόλου στοιχείων δημιουργώντας μια εναλλασσόμενη μέθοδο που περιλαμβάνει την εύρεση των ελάχιστων διαφορών μεταξύ των στοιχείων σε ένα σύνολο στοιχείων, με στόχο την απλούστευση των προτύπων που αντιπροσωπεύουν τα σχετικά στοιχεία. Η εξόρυξη δεδομένων έχει οριστεί ως η επιστήμη εξαγωγής χρήσιμων πληροφοριών από τα μεγάλα σύνολα στοιχείων ή τις βάσεις δεδομένων. Αν και χρησιμοποιείται συνήθως σε σχέση με την ανάλυση των στοιχείων των δεδομένων όπως η τεχνητή νοημοσύνη, είναι ένας όρος που χρησιμοποιείται με την ποικίλη έννοια σε ένα ευρύ φάσμα πλαισίων. 4.2 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΞΟΡΥΞΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Οι συνηθέστερα χρησιμοποιημένες τεχνικές-μέθοδοι στην εξόρυξη δεδομένων είναι: Τεχνητά νευρωνικά δίκτυα (Artificial neural network): Μη γραμμικά προβλεπτικά μοντέλα που μαθαίνουν μέσω της κατάρτισης. Δένδρα απόφασης (Decision trees): Δένδρο-διαμορφωμένες δομές που αντιπροσωπεύουν τα σύνολα αποφάσεων. Αυτές οι αποφάσεις παράγουν τους κανόνες για την ταξινόμηση ενός συνόλου δεδομένων. Γενετικοί αλγόριθμοι (Genetic algorithms): Οι τεχνικές βελτιστοποίησης που η χρήση επεξεργάζεται όπως ο γενετικός συνδυασμός, η μεταλλαγή, και η φυσική επιλογή σε ένα σχέδιο βασισμένο στις έννοιες της εξέλιξης. Μέθοδος της κοντινότερης γειτνύασης (Nearest neighbor method): Μια τεχνική που ταξινομεί κάθε αρχείο σε ένα σύνολο δεδομένων βασισμένο σε έναν συνδυασμό των κατηγοριών ενός αρχείου. Επαγωγικός κανόνας (Rule induction): Η εξαγωγή των χρήσιμων κανόνων από τα στοιχεία βασισμένα στη στατιστική σημασία. 61

Πολλές από αυτές τις τεχνολογίες ήταν σε χρήση για περισσότερο από μια δεκαετία στα εξειδικευμένα εργαστήρια ανάλυσης που λειτουργούν με τους σχετικά μικρούς όγκους των στοιχείων. Αυτές οι ικανότητες εξελίσσονται τώρα για να ενσωματώσουν άμεσα στην βιομηχανία χρήσιμα σχέδια για την υποστήριξη αποφάσεων. 4.3 ΕΞΟΡΥΞΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΔΕΝΔΡΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Όταν ένα επιχειρησιακό πρόσωπο πρέπει να πάρει μια απόφαση βασισμένη σε διάφορους παράγοντες, ένα δένδρο απόφασης μπορεί να βοηθήσει να προσδιοριστεί ποιοι παράγοντες θα εξεταστούν και πώς κάθε παράγοντας θα συνδεθεί ιστορικά με τις διαφορετικές εκβάσεις της απόφασης. Ένα δένδρο απόφασης είναι ένα πρότυπο που είναι και προφητικό και περιγραφικό. Καλείται δένδρο απόφασης επειδή το προκύπτον πρότυπο παρουσιάζεται υπό μορφή δομής δένδρων. Η οπτική παρουσίαση καθιστά το πρότυπο δένδρων απόφασης πολύ εύκολο να κατανοηθεί και να αφομοιωθεί. Κατά συνέπεια, έχει γίνει μια πολύ δημοφιλής τεχνική εξόρυξης δεδομένων. Ένα δένδρο απόφασης είναι μια δομή που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να κατανείμει μια μεγάλη συλλογή των αρχείων σε διαδοχικά μικρότερα σύνολα αρχείων με την εφαρμογή μιας ακολουθίας απλών κανόνων απόφασης. Τα δένδρα αποφάσεων είναι ισχυρά και δημοφιλή και για την ταξινόμηση και για την πρόβλεψη που προσφέρουν. Η ελκυστικότητα της μεθόδου των δένδρων οφείλεται κατά ένα μεγάλο μέρος στο γεγονός ότι τα δένδρα απόφασης αντιπροσωπεύουν κανόνες. Οι κανόνες μπορούν εύκολα να εκφραστούν στα αγγλικά έτσι ώστε ναι μπορούμε να τους καταλάβουμε. Mπορούν επίσης να εκφραστούν σε μια γλώσσα πρόσβασης βάσεων δεδομένων όπως το SQL για να κατανέμουν τα αρχεία σε μια ιδιαίτερη κατηγορία. ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΝΔΡΩΝ ΑΠΟΦΑΣΗΣ Κάθε κιβώτιο στο δένδρο μέσα αντιπροσωπεύει έναν κόμβο (σχήμα 4.1). Ο κορυφαίος κόμβος καλείται κόμβος ρίζας. Ένα δένδρο απόφασης αυξάνεται από τον κόμβο ρίζας. Το προκύπτον δέντρο περιλαμβάνει πολλούς κόμβους που συνδέονται με τους κλάδους. Οι κόμβοι που είναι στο τέλος των κλάδων 62

καλούνται κόμβοι φύλλων και διαδραματίζουν έναν ειδικό ρόλο όταν χρησιμοποιείται το δένδρο για πρόβλεψη. Το δένδρο καλείται δυαδικό δένδρο του ανομοιόμορφου βάθους επειδή κάθε διάσπαση έχει δύο κλάδους. ΣΧΗΜΑ 4.1 Κάθε κόμβος περιέχει τις πληροφορίες για τον αριθμό περιπτώσεων σε εκείνο τον κόμβο, και για τη διανομή των εξαρτώμενων μεταβλητών τιμών (πιστωτικός κίνδυνος). Οι περιπτώσεις στον κόμβο ρίζας είναι όλες οι περιπτώσεις στο σύνολο κατάρτισης. Αυτός ο κόμβος περιέχει 5 περιπτώσεις, των οποίων 60 τοις εκατό είναι καλοί (good) κίνδυνοι και 40 τοις εκατό είναι φτωχοί (poor) κίνδυνοι. Κάτω από τη ρίζα ο κόμβος είναι η πρώτη διάσπαση που, σε αυτήν την περίπτωση, χωρίζει τα στοιχεία σε δύο νέους κόμβους (παιδιά) βασισμένους εάν το εισόδημα είναι υψηλό ή χαμηλό (high-low). Ο δεξιός κόμβος (χαμηλό εισόδημα) ως αποτέλεσμα αυτής της διάσπασης περιέχει δύο περιπτώσεις, και οι δύο από τις οποίες συνδέονται με το φτωχό (poor) πιστωτικό κίνδυνο. Επειδή όλες οι περιπτώσεις έχουν την ίδια αξία της εξαρτώμενης μεταβλητής (πιστωτικός κίνδυνος), αυτός ο κόμβος καλείται καθαρός και δεν θα χωριστεί περαιτέρω. ο αριστερός κόμβος(υψηλό εισόδημα) στην πρώτη διάσπαση περιέχει τρεις περιπτώσεις, 66,7 τοις εκατό των οποίων συνδέονται με τον καλό (good) πιστωτικό κίνδυνο. ο αριστερός 63

κόμβος έπειτα χώρισε περαιτέρω βασισμένος στην αξία παντρεμένος (ναι ή όχι.), με συνέπεια δύο περισσότερους κόμβους που είναι κάθε ένας επίσης καθαρός. Ένα δένδρο που είναι καθαρό θα είναι πάντα 100 τοις εκατό ακριβές στο σύνολο δεδομένων κατάρτισης, αλλά που δεν σημαίνει ότι θα είναι 100% ακριβές ή ακόμα και κοντά στο 100% σε μια ανεξάρτητη δοκιμή μη καθορισμένη. Υπάρχουν συχνά πρόσθετες, ενδιαφέρουσες και ενδεχομένως χρήσιμες παρατηρήσεις για τα στοιχεία που μπορούν να γίνουν αφότου έχει προκληθεί ένα δένδρο. ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ (Classification) Ένα δένδρο απόφασης αντιπροσωπεύει μια σειρά ερωτήσεων. η απάντηση στην πρώτη ερώτηση καθορίζει την επόμενη ερώτηση. Oι αρχικές ερωτήσεις δημιουργούν τις ευρείες κατηγορίες. Αν διαιρέσουμε τις ευρείες κατηγορίες σε μικρότερα και μικρότερα σύνολα και οι ερωτήσεις επιλεχθούν καλά μια εκπληκτικά σύντομη σειρά είναι αρκετή να ταξινομήσει ακριβώς ένα εισερχόμενο αρχείο. Κάτω από 3 είδη πάνω από 3 είδη Προκαταβολή 20% Προκαταβολή 20% 50% μετρητοίς 50% μετρητοίς 10% 15% 20% Ποσοστό 15% 25% 30% έκπτωσης Σχήμα 4.2 Ποσοστό έκπτωσης κατά την αγορά ενός προϊόντος 64

Ένα αρχείο εισάγει το δένδρο στον κόμβο ρίζας(σχήμα 4.2). Ο κόμβος ρίζας εφαρμόζει μια δοκιμή ώστε να καθοριστεί ποιον κόμβο-παιδί το αρχείο θα αντιμετωπίσει έπειτα, αλλά ο στόχος είναι πάντα ο ίδιος: να επιλεχθεί η δοκιμή που κάνει διακρίσεις καλύτερα μεταξύ των κατηγοριών στόχων. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου φθάνει το αρχείο σε έναν κόμβο φύλλων. Όλα τα αρχεία που καταλήγουν σε ένα δεδομένο φύλλο του δένδρου είναι ταξινομημένα με τον ίδιο τρόπο. Υπάρχει μια μοναδική πορεία από τη ρίζα σε κάθε φύλλο. Εκείνη η πορεία είναι μια έκφραση του κανόνα που χρησιμοποιείται για να ταξινομήσει τα αρχεία. ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΣΠΑΣΕΩΝ Στην έναρξη της διαδικασίας δημιουργίας ενός δένδρου ο στόχος είναι να χτιστεί ένα δένδρο που ορίζει μια κατηγορία στον τομέα στόχων ενός νέου αρχείου βασισμένου στις τιμές των μεταβλητών εισαγωγής. Το δένδρο χτίζεται με το διαχωρισμό των αρχείων (διάσπαση) σε κάθε κόμβο σύμφωνα με μια λειτουργία ενός ενιαίου τομέα εισαγωγής. Ο πρώτος στόχος, είναι να αποφασιστεί ποια διάσπαση είναι η καλύτερη. Αυτή ορίζεται ως μία που κάνει την καλύτερη εργασία του χωρισμού των αρχείων. Το μέτρο που χρησιμοποιείται για να αξιολογήσει μια πιθανή διάσπαση είναι η αγνότητα (purity). Η χαμηλή αγνότητα σημαίνει ότι το σύνολο περιέχει μια αντιπροσωπευτική διανομή των κατηγοριών, ενώ η υψηλή αγνότητα σημαίνει ότι τα μέλη μιας ενιαίας κατηγορίας υπερισχύουν. Η καλύτερη διάσπαση είναι αυτή που αυξάνει την αγνότητα των συνόλων αρχείων κατά το μέγιστο ποσό (σχήμα 4.3). 65

Αρχικά στοιχεία Φτωχή διάσπαση Φτωχή διάσπαση καλή διάσπαση Σχήμα 4.3 Μόλις χωριστεί ένας κόμβος, η ίδια διαδικασία εκτελείται στους νέους κόμβους, κάθε ένας από τους οποίους περιέχει ένα υποσύνολο των στοιχείων του κόμβου-γονέα (σχήμα 4.1). Οι μεταβλητές αναλύονται και το σημείο που χωρίζεται καλύτερα επιλέγεται. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να μείνουν οι κόμβοι όπου δεν υπάρχει καμιά διάσπαση (σχήμα 4.3). Στο σχήμα 4.3 η πρώτη διάσπαση είναι φτωχή επειδή δεν υπάρχει καμία αύξηση στην αγνότητα. Ο αρχικός πληθυσμός περιέχει ίσους αριθμούς των δύο ειδών μετά από τη διάσπαση. Η δεύτερη διάσπαση είναι επίσης φτωχή. Αν και η αγνότητα αυξάνεται ελαφρώς, ο καθαρός κόμβος έχει λίγα μέλη και η αγνότητα του μεγαλύτερου παιδιού είναι μόνο περιθωριακά καλύτερη από αυτή του γονέα. Η τελική διάσπαση είναι καλή επειδή οδηγεί σε πολύ υψηλότερη αγνότητα από το γονέα. 66

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΠΛΗΡΟΥΣ ΔΕΝΔΡΟΥ Η αρχική διάσπαση παράγει δύο ή περισσότερους κόμβους-παιδιά, κάθε ένας από τους οποίους είναι χωρισμένος με τον ίδιο τρόπο με τον κόμβο ρίζας. Στην συνέχεια ακολουθούν οι υπόλοιπες διασπάσεις. Όταν καμία διάσπαση δεν μπορεί να βρεθεί που αυξάνει σημαντικά την αγνότητα ενός δεδομένου κόμβου, η διασπασμένη αναζήτηση εκείνου του κλάδου εγκαταλείπεται και ο κόμβος χαρακτηρίζεται ως κόμβος φύλλων. Τελικά, δεν είναι δυνατό να βρεθούν άλλες διασπάσεις οπουδήποτε στο δέντρο και το πλήρες δένδρο απόφασης έχει δημιουργηθεί. Αν και υπάρχουν πολλές παραλλαγές στους αλγόριθμους δένδρων απόφασης όλοι τους μοιράζονται την ίδια βασική διαδικασία: επανειλημμένα χωρίζουν τα στοιχεία σε μικρότερες και μικρότερες ομάδες κατά τέτοιο τρόπο ώστε κάθε νέα γενεά των κόμβων να έχει τη μεγαλύτερη αγνότητα από τους προγόνους της όσον αφορά τη μεταβλητή στόχων. Σε κάθε πετυχημένο επίπεδο του δένδρου, τα υποσύνολα που δημιουργούνται από κάθε διάσπαση είναι τα χωρίσματα που συμφωνούν με τους κανόνες που ισχύουν στο δένδρο. ΕΠΑΓΩΓΗ ΔΕΝΔΡΩΝ Οι περισσότεροι αλγόριθμοι δένδρων απόφασης περνούν από δύο φάσεις: μια δένδρο-χωρισμού φάση που ακολουθείται αυξανόμενη από μια φάση περικοπής. Η αυξανόμενη φάση δένδρων είναι μια επαναληπτική διαδικασία που περιλαμβάνει το διαχωρισμό των στοιχείων στα σταδιακά μικρότερα υποσύνολα. Κάθε επανάληψη εξετάζει τα στοιχεία μόνο σε έναν κόμβο. Η πρώτη επανάληψη εξετάζει τον κόμβο ρίζας που περιέχει όλα τα στοιχεία. Οι επόμενες επαναλήψεις λειτουργούν στους παράγωγους κόμβους που περιέχουν τα υποσύνολα των στοιχείων. Μόλις αναπτυχθεί ένα δένδρο, ένας επιχειρησιακός αναλυτής πρέπει να ερευνήσει το πρότυπο. Ερευνώντας το πρότυπο δένδρων, μπορούμε να ανακαλύψουμε τους κόμβους-φύλλα που είναι ανεπιθύμητα λόγω υπέρεφαρμογής. Η περικοπή είναι μια κοινή τεχνική που χρησιμοποιείται για να καταστήσει ένα δένδρο γενικότερο. 67

ΔΟΚΙΜΗ ΕΝΟΣ ΔΕΝΔΡΟΥ Πριν από την χρησιμοποίηση οποιουδήποτε δένδρου απόφασης, πρέπει να εξετάσετε και να επικυρώσετε το πρότυπο χρησιμοποιώντας ένα ανεξάρτητο σύνολο δεδομένων. Μόλις μετρηθεί η ακρίβεια το δένδρο είναι έτοιμο να χρησιμοποιηθεί. Πρέπει όμως να γίνεται επανέλεγχος του δένδρου για να ασφαλιστεί περιοδικά ότι διατηρεί την επιθυμητή ακρίβεια του. ΜΕΤΡΑ ΑΓΝΟΤΗΤΑΣ Τα μέτρα αγνότητας για τις διασπάσεις είναι: Gini (επίσης αποκαλούμενο ποικιλομορφία πληθυσμών) Εντροπία (entropy) (επίσης αποκαλούμενη κέρδος πληροφοριών) Αναλογία κέρδους πληροφοριών (information gain ratio) Δοκιμασία χι-τετράγωνο (Chi square test) Ελαχιστοποίηση της διακύμανσης (reduction in variance) Δοκιμασία F (F test) 4.4 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΔΕΝΔΡΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Τα δένδρα απόφασης περιλαμβάνουν τους δημοφιλέστερους αλγορίθμους στην εξόρυξη δεδομένων. Οι αλγόριθμοι αυτοί που διαμορφώνουν την ταξινόμηση και την περικοπή είναι: ID3 αλγόριθμος Ο ID3 αλγόριθμος (Quinlan 1986) είναι ένας αλγόριθμος οικοδόμησης δένδρων απόφασης που καθορίζει την ταξινόμηση των αντικειμένων με τη δοκιμή των τιμών των ιδιοτήτων τους. Σε κάθε κόμβο του δένδρου, μια ιδιοκτησία εξετάζεται που επιλέγεται βασισμένη στις πληροφορίες των θεωρητικών κριτηρίων που επιδιώκουν να μεγιστοποιήσουν το κέρδος πληροφοριών και να ελαχιστοποιήσουν την εντροπία. 68

C5 αλγόριθμος Αυτός ο αλγόριθμος προτάθηκε από τον Quinlan (1993). Ο C5 αλγόριθμος παράγει ένα δένδρο ταξινόμησης-απόφασης για το δεδομένο σύνολο δεδομένων με τον επαναλαμβανόμενο χωρισμό των στοιχείων. Ο C5 υλοποιεί την ώθηση της τεχνικής που συνδυάζει τα πολλαπλάσια δέντρα απόφασης σε έναν ενιαίο ταξινομητή. Ο αλγόριθμος εξετάζει όλες τις πιθανές δοκιμές που μπορούν να χωρίσουν το σύνολο στοιχείων και επιλέγει μια δοκιμή που δίνει το καλύτερο κέρδος πληροφοριών. O C5 αλγόριθμος αυξάνει αρχικά ένα δένδρο και το κλαδεύει έπειτα δημιουργώντας ένα σταθερότερο πρότυπο. Ο αλγόριθμος περικοπής CART Δένδρα ταξινόμησης και οπισθοδρόμησης. Το CART (Classification and Regression Trees) είναι ένας δημοφιλής αλγόριθμος δένδρων απόφασης που δημοσιεύτηκε από μια ομάδα ερευνητών το 1984. O αλγόριθμος CART αυξάνει τα δυαδικά δέντρα και συνεχίζει εφ' όσον μπορούν να βρεθούν οι νέες διασπάσεις που αυξάνουν την αγνότητα. CHAID Χι-τετράγωνο αυτόματη ανίχνευση αλληλεπίδρασης (Chi-Square Automatic Interaction Detection). Ένας ευρέως γνωστός αλγόριθμος δέντρων απόφασης που δημοσιεύτηκε πρώτα από τον John A. Hartigan το 1975. Το αρχικό κίνητρο για την δημιουργία του CHAID ήταν η ανίχνευση των στατιστικών σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών. Στηρίζεται στη chi-squared στατιστική για να χωρίσει τα στοιχεία στα μικρά συνδεδεμένα σύνολα στοιχείων. Chi-squared test Μια στατιστική που αξιολογεί πόσο καλά ένα πρότυπο εγκαθιστά τα στοιχεία. Στην εξόρυξη δεδομένων, συνηθέστερα χρησιμοποιείται για να βρει τα ομοιογενή υποσύνολα για την εγκατάσταση των δένδρων. 69

4.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΔΕΝΔΡΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Τα δένδρα απόφασης έχουν γίνει πολύ δημοφιλή εργαλεία ταξινόμησης. Πολλοί χρήστες βρίσκουν τα δένδρα απόφασης εύκολα να τα χρησιμοποιήσουν και να τα καταλάβουν. Κατά συνέπεια, χρήστες ευκολότερα εμπιστεύονται πρότυπα δένδρων απόφασης. Οι βασικές απαιτήσεις για να γίνει η εξόρυξη δεδομένων με τα δένδρα απόφασης είναι: Περιγραφή ιδιότητα-αξίας: το αντικείμενο πρέπει να είναι εκφρασμένα από την άποψη μιας σταθερής συλλογής των ιδιοτήτων. Προκαθορισμένες κατηγορίες: Οι κατηγορίες στις οποίες οι περιπτώσεις πρόκειται να οριστούν πρέπει να έχουν καθιερωθεί εκ των προτέρων. Ιδιαίτερες κατηγορίες: Μια περίπτωση που ανήκει σε μια ιδιαίτερη κατηγορία πρέπει να υπάρξει για περισσότερες περιπτώσεις απ ότι κατηγορίες. "Λογικό" πρότυπο ταξινόμησης: Ταξινομητής που μπορεί να εκφραστεί μόνο ως δένδρα απόφασης ή σύνολο κανόνων παραγωγής. 70

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο PRECISION TREE 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο σχεδιασμός της στρατηγικής μιας επιχειρησιακής μονάδας ή ενός τμήματος είναι μια περίπλοκη διαδικασία, ιδιαίτερα λόγω της αβεβαιότητας του περιβάλλοντος, του πλήθους και της πολυπλοκότητας των εναλλακτικών αποφάσεων που καλείται να λάβει ο μάνατζερ στο χρονικό ορίζοντα που έχει τεθεί, των κινήσεων του ανταγωνισμού, της αντίδρασης της αγοράς κ.λ.π. Στο σημερινό επιχειρηματικό περιβάλλον, ακριβώς λόγω των συνθηκών έντονων αλλαγών που επικρατούν και της σχετικής αβεβαιότητας, η διαμόρφωση στρατηγικές υπό συνθήκες αβεβαιότητας είναι μια πολλή σημαντική και συνεχής διαδικασία. Θα πρέπει λοιπόν τα σημερινά στελέχη να είναι κατάλληλα «εξοπλισμένα» με μοντέλα, συστήματα και διαδικασίες, ώστε να αντιμετωπίζουν με επιτυχία αυτήν την πρόκληση.(πραστάκος, 2000, 2002) Τα δένδρα αποφάσεων είναι μια τεχνική που βοηθά να παίρνουμε αποφάσεις σε καθεστώς επιχειρηματικού κινδύνου. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμη, όταν στο πρόβλημα πρέπει να πάρουμε μια σειρά αποφάσεων, καθεμιά από τις οποίες οδηγεί σε ένα ή περισσότερα αβέβαια αποτελέσματα, τα οποία με τη σειρά τους πρέπει να ληφθούν υπόψη για τις επόμενες αποφάσεις. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη λήψη αποφάσεων σε προβλήματα που μπορούν να σχεδιαστούν, λόγω των πολλών εναλλακτικών αποφάσεων αλλά και σεναρίων του περιβάλλοντος, ως δένδρα αποφάσεων. Η τεχνική των δένδρων αποφάσεων είναι λοιπόν μια τεχνική που μπορεί να βοηθήσει καταρχάς στην απεικόνιση της πολυπλοκότητας του προβλήματος (κάτι που πολλές φορές είναι ιδιαίτερα σημαντικό από μόνο του), στη συνέχεια στην κατάστρωση της στρατηγικής που αποφέρει το καλύτερο αναμενόμενο αποτέλεσμα και τέλος στην ανάλυση αυτής της στρατηγικής και της «ευαισθησίας» που εμφανίζει σε παραδοχές ή υποθέσεις που έχουν γίνει. Το Precision Tree της εταιρίας Palisade Corporation είναι ένα λογισμικό πακέτο που βοηθά στη διατύπωση και επίλυση δένδρων αποφάσεων. Αποτελεί 71

προσθήκη του Excel και γι αυτό το λόγο είναι ιδιαίτερα διαδεδομένο. Το Precision Tree είναι ιδιαίτερα φιλικό προς το χρήστη και παρέχει τη δυνατότητα για πληθώρα αναλύσεων ευαισθησίας, προκειμένου να προσδιοριστεί ο βαθμός στον οποίο το προτεινόμενο αποτέλεσμα εξαρτάται από τις παραδοχές ή τις εκτιμήσεις που έχουν γίνει στα διάφορα στάδια ή από τους διάφορους εμπλεκόμενους του προβλήματος. Αυτό το χαρακτηριστικό, σε συνδυασμό με εύκολες στη χρήση οθόνες διεπαφής, καθιστά το Precision Tree ένα πολύ αποτελεσματικό εργαλείο λήψης αποφάσεων που χρησιμοποιείται σε πολλές επιχειρήσεις ανά τον κόσμο. 5.2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΔΕΝΔΡΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ PRECISION TREE Εισαγωγή στο Precision Tree Επιλέγω έναρξη και προγράμματα Palisade Decision Tools Precision Tree 1.0 for Excel (Ανοίγει Excel) Ενεργοποίηση μακροεντολών (Εμφάνιση Γραμμής Εργαλείων Precision Tree) Από το εικονίδιο του προγράμματος φαίνεται ότι το precision tree αποτελεί προσθήκη στο Excel (Σχήμα 5.7-5.8-5.9) 72

Σχήμα 5.7 Σχήμα 5.8 73

Η βασική γραμμή εργαλείων όπως εμφανίζεται στην οθόνη του Precision Tree, είναι αυτή που παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.9-5.10. Σχήμα 5.9 Από αριστερά προς τα δεξιά, με το πρώτο κουμπί δημιουργείται ένα νέο δένδρο, ενώ με το δεύτερο ένα διάγραμμα επιρροής. Το τρίτο δίνει την πορεία (κατεύθυνση) της επιρροής. Η ανάλυση της απόφασης γίνεται με το τέταρτο κουμπί και η ανάλυση της ευαισθησίας με το αμέσως επόμενο. Το έκτο κουμπί κάνει αλλαγή των όποιων ρυθμίσεων και με το διπλανό ενημέρωση των Links. Το τελευταίο κουμπί στη γραμμή εργαλείων κάνει ζουμ (μεγέθυνση, σμίκρυνση). Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω εργαλεία κατασκευάζεται και αναλύεται το δένδρο (Σχήμα 5.10). Σχήμα 5.10 74

Για να γίνει η περιγραφή της διαδικασίας επίλυσης στο Precision Tree, θα χρησιμοποιηθεί το παράδειγμα της παραγράφου 2.8 Δέντρα αποφάσεων- Παραδείγματα και εφαρμογές (σελ. 29): Δημιουργία δένδρου Το Precision Tree βοηθά σε όλα τα στάδια της αντιμετώπισης του προβλήματος της λήψης αποφάσεων. Καταρχάς, βοηθά να διαπιστωθεί το πρόβλημα σαν ένα δένδρο που παρουσιάζονται όλες οι εναλλακτικές αποφάσεις και τα ενδεχόμενα κι έτσι να «ξεκαθαρίσει το τοπίο». Στη συνέχεια, βοηθά στην τεχνική της «αναδίπλωσης», ώστε να αποφασιστεί ποια στρατηγική θα επιλεχθεί ώστε να μεγιστοποιηθούν τα αναμενόμενα κέρδη. Τέλος, δίνει τη δυνατότητα για μια σειρά αναλύσεων, όπου διακρίνεται το «προφίλ ρίσκου» της προτεινόμενης στρατηγικής, ποιες είναι οι εκτιμήσεις / υποθέσεις που έχουν γίνει είναι κρίσιμες και επηρεάζουν την επιλογή της στρατηγικής, πώς επηρεάζεται η προτεινόμενη στρατηγική από αλλαγές σε σενάρια του περιβάλλοντος κ.λ.π. Επιλέγουμε ένα κελί το οποίο θα είναι ο αρχικός μας κόμβος. Για να κατασκευαστεί το δένδρο απόφασης, επιλέγουμε από την γραμμή εργαλείων Precision Tree, Create New Tree (Σχήμα 5.11). Το πακέτο εμφανίζει αρχικά τον τερματικό κόμβο. Επιλέγοντας τον κόμβο αυτό, δίνεται η δυνατότητα να αναπτυχθεί περισσότερο το δένδρο (Σχήμα 5.12) Σχήμα 5.11 75

Σχήμα 5.12 Ονομασία Κόμβων Πατάμε πάνω στο κόμβο και εμφανίζεται το παράθυρο διαλόγου Στο Tree Name γράφουμε το όνομα του κόμβου «Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ» και πατάμε ΟΚ Το όνομα εμφανίζεται στον κόμβο (Σχήμα 5.13) Σχήμα 5.13 Δημιουργία Κόμβων Επιλογής Πατάμε πάνω στον τριγωνικό κόμβο (εμφανίζεται το παράθυρο διαλόγου) 76

Επιλέγουμε τον κόμβο με τον οποίο θέλουμε να συνεχίσουμε, εδώ τετράγωνο κόμβο, κόμβο απόφασης. Στο # of Branches γράφω τον αριθμό των κλαδιών, 3 εδώ. Πατάω ΟΚ και εμφανίζονται τα κλαδιά (Σχήμα 5.14-5.15) Σχήμα 5.14 Σχήμα 5.15 Πατάμε πάνω σε ένα κλαδί. Εμφανίζεται το παράθυρο διαλόγου και στο Branch Name γράφουμε το όνομα του κλαδιού π.χ. «Επιθετική». Επαναλαμβάνουμε για κάθε κλαδί γράφοντας «Μέση» & «Συντηρητική» (Σχήμα 5.16) Σχήμα 5.16 77

Εισαγωγή Κόστους Στρατηγικής Εισάγουμε στο αντίστοιχο κελί το κόστος κάθε στρατηγικής (Σχήμα 5.17). Επιθετική: -280 Μέση: -130 Συντηρητική: -50 Σχήμα 5.17 Εισαγωγή-Ονομασία Κόμβων Τύχης Πατάμε στον τελικό κόμβο της «Επιθετικής» Στρατηγικής. Στο παράθυρο διαλόγου επιλέγουμε τον κυκλικό κόμβο, κόμβο τύχης. Στο # of Branches γράφουμε τον αριθμό των κλαδιών που επιθυμούμε, εδώ 2. Επαναλαμβάνουμε και για τις δύο επόμενες Στρατηγικές. Πατάμε σε κάθε κλαδί που δημιουργήσαμε για κάθε στρατηγική και ονομάζουμε «Υψηλή» το πρώτο και «Χαμηλή» το δεύτερο (Σχήμα 5.18). Σχήμα 5.18 78

Εισαγωγή Πιθανοτήτων & Κερδών Πατάμε στο αντίστοιχο κελί για κάθε κλαδί και γράφουμε την πιθανότητα που αντιστοιχεί π.χ. 40% για κάθε κλαδί που αντιστοιχεί σε Υψηλή ζήτηση και 60% για κάθε κλαδί που αντιστοιχεί σε Χαμηλή ζήτηση Στο κελί κάτω από κάθε πιθανότητα που αντιστοιχεί σε μία στρατηγική και σε ένα μέγεθος αγοράς γράφουμε το κέρδος που θα μας αποφέρει π.χ. Για Επιθετική Στρατηγική και Υψηλή ζήτηση γράφουμε 580 (Σχήμα 5.19). Κόστος Πιθανότητα Κέρδος Σχήμα 5.19 Ερμηνεία δένδρου Το ποσό που εμφανίζεται ανάμεσα στα κλαδιά (Σχήμα 5.20) της υψηλής και χαμηλής ζήτησης κάθε στρατηγικής είναι η καθαρή αναμενόμενη απόδοση (chance) και υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο πχ. για την επιθετική στρατηγική: P(Y/E)*(ΚΕΡΔΟΣ(Υ/Ε)-ΚΟΣΤΟΣ(Ε))+P(X/E)*(ΚΕΡΔΟΣ(Χ/Ε)-ΚΟΣΤΟΣ(Ε)) =0,4*300+0,6*(-80)=120-48=72 79

Κέρδος Στρατηγικής- Κόστος =580-280 =200-280 Καθαρή Αναμενόμενη Απόδοση =330-130 =200-130 =100-50 =200-50 Σχήμα 5.20 Σύμφωνα με το σχήμα θα ακολουθήσουμε την στρατηγική που χαρακτηρίζεται με TRUE. Η τιμή της καθαρής αναμενόμενης απόδοσης της μέσης στρατηγικής επιλέγεται από τον κόμβο απόφασης (Σχήμα 5.21). Σχήμα 5.21 80

5.3 ΕΝΣΩΜΑΤΩΝΟΝΤΑΣ ΝΕΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗ Τι συμβαίνει άραγε στην περίπτωση όπου μια επιχείρηση επιθυμεί ή θεωρεί αναγκαία την περισσότερη πληροφόρηση αυτό που ονομάζεται πλήρη πληροφόρηση; Η διοίκηση μιας επιχείρησης πριν προχωρήσει στην υλοποίηση μιας στρατηγικής συνήθως επιθυμεί και την διεξαγωγή μιας έρευνας αγοράς προκειμένου να προσδιοριστεί με ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια το μέγεθος της αγοράς δηλαδή οι πιθανότητες υψηλής και χαμηλής ζήτησης. Συνήθως αναθέτει σε κάποια εταιρεία να προχωρήσει σε μία έρευνα αγοράς και να της αναφέρει τα αποτελέσματα. Αυτά τα αποτελέσματα μπορούν να ταξινομηθούν σε τρεις κατηγορίες θετικά, ισορροπημένα και αρνητικά. Ας υποτεθεί ότι τα στοιχεία που έχουμε για την επιλογή της στρατηγικής μας είναι τα παρακάτω (παράγραφος 2.9 σελ 27): Κόστος έρευνας αγοράς = 2.5 χιλιάδες ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ Σε χιλιάδες ΕΠΙΘΕΤΙΚΗ(Ε) ΜΕΣΗ (Μ) ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗ(Σ) ΥΨΗΛΗ ΖΗΤΗΣΗ ΧΑΜΗΛΗ ΖΗΤΗΣΗ ΚΟΣΤΟΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ 580 200 280 330 200 130 100 200 50 Δημιουργία Δέντρου (Σχήμα 5.22) Επιλέγουμε από το μενού Precision Tree Create New και Tree Ονομάζουμε τον πρώτο κόμβο «Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ» Πατάμε στον τριγωνικό κόμβο και δημιουργούμε έναν τετράγωνο κόμβο με δύο κλαδιά. Ονομάζουμε τα κλαδιά «Έρευνα Αγοράς» και «Όχι Έρευνα Αγοράς» 81

Εισαγωγή κόστους- Στο αντίστοιχο κελί γράφουμε το κόστος της Έρευνας Αγοράς, 2.5 Σχήμα 5.22 Σχήμα 5.23 Για την περίπτωση που δεν κάνουμε Έρευνα Αγοράς το δέντρο συνεχίζεται όπως στο προηγούμενο παράδειγμα (Σχήμα 5.23) Έρευνα Αγοράς-Εισαγωγή Αποτελεσμάτων Στο κλαδί «Έρευνα Αγοράς» προσθέτουμε έναν κόμβο τύχης (κυκλικό) και τρία κλαδιά (για τα τρία αποτελέσματα) Ονομάζουμε τα κλαδιά «Θετικά», «Ισορροπημένα» και «Αρνητικά» Εισάγουμε τις πιθανότητες για κάθε Αποτέλεσμα (Σχήμα 5.24) Θετικά: 32% 82

Ισορροπημένα: 25% Αρνητικά: 43% Σχήμα 5.24 Εισαγωγή Στρατηγικών (Σχήμα 5.25) Σε κάθε κλαδί αποτελεσμάτων εισάγουμε έναν κόμβο απόφασης (τετράγωνο) και 3 κλαδιά (για τις τρεις εναλλακτικές στρατηγικές) Ονομάζουμε το πρώτο κλαδί «Επιθετική», το δεύτερο «Μέση» και το τρίτο «Συντηρητική» για κάθε αποτέλεσμα Εισάγουμε στα αντίστοιχα κελιά το κόστος κάθε στρατηγικής o Επιθετική: -280 o Μέση: -130 o Συντηρητική: -50 ΚΟΣΤΟΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΚΟΣΤΟΣ ΚΟΣΤΟΣ Σχήμα 5.25 83

Εισαγωγή Μεγέθους Ζήτησης (Σχήμα 5.26) Σε κάθε κόμβο εναλλακτικής στρατηγικής εισάγουμε έναν κόμβο τύχης (κυκλικό κόμβο) και 2 κλαδιά (για κάθε ενδεχόμενο μέγεθος ζήτησης) Ονομάζουμε το πρώτο κλαδί που δημιουργήσαμε «Υψηλή» και το δεύτερο «Χαμηλή» Επαναλαμβάνουμε για όλες τις Στρατηγικές για όλα τα Αποτελέσματα Σχήμα 5.26 Εισαγωγή Κερδών-πιθανοτήτων Στο αντίστοιχο κελί εισάγουμε το κέρδος που θα έχουμε για θετικά, ισορροπημένα, αρνητικά αποτελέσματα της έρευνας Επιθετική Στρατηγική Υψηλή Ζήτηση: 580 Χαμηλή Ζήτηση: 200 Μέση Στρατηγική Υψηλή Ζήτηση: 330 Χαμηλή Ζήτηση: 200 Συντηρητική Στρατηγική Υψηλή Ζήτηση: 100 Χαμηλή Ζήτηση: 200 84

Εισάγουμε τις πιθανότητες να εμφανιστεί: Δεδομένου ότι τα αποτελέσματα ήταν Θετικά (Σχήμα 5.27) Υψηλή ζήτηση:62,5% Χαμηλή ζήτηση:37,5% Μελετώντας το δένδρο, συμπεραίνεται ότι η Επιθετική Στρατηγική θα πρέπει να ακολουθηθεί και να απορριφθεί τόσο η Μέση όσο και η Συντηρητική Στρατηγική. καθαρή αναμενόμενη απόδοση Σχήμα 5.27 Εισάγουμε τις πιθανότητες να εμφανιστεί: Δεδομένου ότι τα αποτελέσματα ήταν Ισορροπημένα (Σχήμα 5.28) Υψηλή ζήτηση:40% Χαμηλή ζήτηση:60% Το νέο δένδρο δίνει ως ορθή λύση να ακολουθηθεί η Μέση Στρατηγική κι να απορριφθούν οι άλλες δύο ( η Υψηλή και η Συντηρητική). 85

καθαρή αναμενόμενη απόδοση Σχήμα 5.28 Εισάγουμε τις πιθανότητες να εμφανιστεί: Δεδομένου ότι τα αποτελέσματα ήταν Αρνητικά (Σχήμα 5.29) Υψηλή ζήτηση:23,2% Χαμηλή ζήτηση:76,8% Μελετώντας το δένδρο, συμπεραίνεται ότι η Συντηρητική Στρατηγική θα πρέπει να ακολουθηθεί: καθαρή αναμενόμενη απόδοση Σχήμα 5.29 86

Λύση Επιλέγεται το κλαδί στο οποίο εμφανίζεται TRUE, εδώ επιλέγεται να γίνει Έρευνα αγοράς (Σχήμα 5.30). Στο κάτω μέρος του κόμβου εμφανίζεται το κέρδος Στους τελικούς κόμβους εμφανίζονται στο πάνω μέρος οι πιθανότητες (1 για την εναλλακτική που επιλέχθηκε και 0 για την εναλλακτική που απορρίφθηκε) (Σχήμα 5.31). Σχήμα 5.30 Σχήμα 5.31 Επιλογή Στρατηγικής Αν τα αποτελέσματα είναι Θετικά θα επιλέξουμε Επιθετική Στρατηγική Αν τα αποτελέσματα είναι Ισορροπημένα θα επιλέξουμε Μέση Στρατηγική Αν τα αποτελέσματα είναι Αρνητικά θα επιλέξουμε Συντηρητική Στρατηγική Άρα συμπερασματικά η άριστη στρατηγική είναι να γίνει η έρευνα και η συνολική αναμενόμενη απόδοση είναι 132,9 χιλιάδες ευρώ Δηλαδή ότι η πλήρη πληροφόρηση έχει κάποιο κόστος για την επιχείρηση είναι σίγουρο 87

όμως αν με τις περισσότερες πληροφορίες η επιχείρηση αυξάνει την αναμενόμενη αξία τουλάχιστον κατά το κόστος της πλήρους πληροφόρησης τότε η επιχείρηση προχωρεί σε εκείνες τις διαδικασίες που θα της δώσουν τις επιπλέον πληροφορίες. 5.4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Ένα από τα ερωτήματα που βασανίζει τους managers μιας επιχείρησης που προσπαθούν να επιλέξουν μια στρατηγική για να εφαρμόσουν είναι το τι επίπτωση θα είχε στην επιλεγόμενη στρατηγική της επιχείρησης (και στην αναμενόμενη απόδοση) μια αλλαγή των πιθανοτήτων(των εκτιμήσεων) για το μέγεθος της αγοράς. Πόσο ευαίσθητη είναι η ακολουθητέα στρατηγική σε διαφορετικές εκτιμήσεις των πιθανοτήτων. Τέτοιου είδους ερωτήματα είναι αρκετά συνηθισμένα αλλά και ιδιαίτερα κρίσιμα. Αντιμετωπίζονται με την ανάλυση ευαισθησίας στα δένδρα αποφάσεων. Επιλέγω Precision Tree, Analysis και Sensitivity Εναλλακτικά επιλέγω το κουμπί από η γραμμή εργαλείων επιλέγεται το κελί για ανάλυση (cell to analyze) (Σχήμα 5.32) Σχήμα 5.32 88

Εισάγω το κελί στο οποίο βρίσκεται η παράμετρος η οποία θέλω να δω πως μεταβάλλεται,συνήθως Αναμενόμενη Απόδοση (Σχήμα 5.33) Σχήμα 5.33 Εισάγω το κελί στο οποίο βρίσκεται η παράμετρος η οποία θέλω να δω αν επηρεάζει την Αναμενόμενη Απόδοση ή την τελική μου απόφαση (συνήθως κέρδος, κόστος ή πιθανότητα) Επιλέγω add Επιλέγω RUN ANALYSIS Για το προηγούμενο παράδειγμα επιλέγω στο Cell to analyze το κελί όπου εμφανίζεται η απόδοση της Επιθετικής Στρατηγικής (72) Στο Input Editor Cell επιλέγω το κελί στο οποίο βρίσκεται το κέρδος αν η ζήτηση είναι υψηλή (580) Πατάω Add, το κελί που επέλεξα εμφανίζεται στο πλαίσιο Cells to Vary Πατώντας πάνω στην επιλογή μου μπορώ να αλλάξω τα ποσοστά μεταβολής της παραμέτρου και τα βήματα που θα εμφανίζονται στο σχεδιάγραμμα (Σχήμα 5.34). 89

εμφανίζεται το γράφημα της Ανάλυσης ευαισθησίας της απόδοσης της Επιθετικής στρατηγικής σε σύγκριση με το κέρδος σε περίπτωση υψηλής ζήτησης (σχήμα 5.35) εμφάνιση επιλεγμένων κελιών Αλλαγή ποσοστιαίων μεταβολών παραμέτρου Σχήμα 5.34 Σχήμα 5.35 90