Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο 7 Θεωρήματα Thevenin, Norton, Υπέρθεσης Φ. Πλέσσας Βόλος 2015
Στόχοι Στόχοι του εργαστηρίου αυτού είναι να εφαρμοστεί πρακτικά το: Θεώρημα Thevenin. Θεώρημα Norton. Θεώρημα της Επαλληλίας ή Υπέρθεσης. Εξοπλισμός Παλμογράφος (Oscilloscope) Ψηφιακό Πολύμετρο (Multimeter) DC γεννήτρια Πλακέτα Κατασκευής Κυκλωμάτων (Breadboard) Σετ καλωδίων Αντιστάσεις Πυκνωτές Συνοπτική θεωρία Θεώρημα Thevenin. Σε οποιοδήποτε γραμμικό κύκλωμα (Σχήμα 1(α)), που μπορεί να περιέχει ανεξάρτητες πηγές (τάσης, ρεύματος) και εξαρτημένες πηγές, ο υπολογισμός της τάσης στα άκρα κάποιου στοιχείου ή ο υπολογισμός του ρεύματος που το διαρρέει, μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του Θεωρήματος Thevenin. Το πολύπλοκο γραμμικό κύκλωμα, μπορεί να αντικατασταθεί από ένα απλό κύκλωμα που θα περιέχει μία πηγή τάσης, που ονομάζεται τάση Thevenin (Vth) ή τάση ανοικτοκύκλωσης (Voc), σε σειρά με μια αντίσταση που ονομάζεται αντίσταση Thevenin (Rth) όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 1(β). Το απλό αυτό κύκλωμα ονομάζεται ισοδύναμο Thevenin. Σχήμα 1 Όταν μας ζητούν σε ένα πολύπλοκο γραμμικό κύκλωμα, να υπολογίσουμε την τάση σε κάποιο στοιχείο του κυκλώματος ή το ρεύμα που διαρέει αυτό το στοιχείο μπορούμε να βρούμε πρώτα το ισοδύναμο Thevenin που αντιστοιχεί στο υπόλοιπο κύκλωμα υπολογίζοντας την τάση (Vth) και την αντίσταση (Rth). 1. Εύρεση της (Vth): α) Αφαιρούμε το στοιχείο, που ονομάζεται και φορτίο, από το κύκλωμα. Η αφαίρεση του φορτίου γίνεται, όταν μας ζητούν τον υπολογισμό της τάσης ή του ρεύματος στο φορτίο αφού βρεθεί πρώτα το ισοδύναμο Thevenin. β) Υπολογίζουμε την τάση που εμφανίζεται στα άκρα, όπου ήταν συνδεδεμένο το στοιχείο-φορτίο. Η τάση αυτή είναι η τάση (Vth) ή τάση ανοικτοκύκλωσης (Voc). Ο υπολογισμός της τάσης (Vth) ή (Voc), μπορεί να γίνει με τη μέθοδο των βρόχων ή τη μέθοδο των κόμβων. γ) Όταν μας ζητούν μόνο το ισοδύναμο Thevenin από τα άκρα του φορτίου, τότε δεν αφαιρούμε το φορτίο από το κύκλωμα. Στην περίπτωση αυτή, η τάση (Vth) είναι η τάση που υπάρχει στα άκρα του φορτίου και βρίσκεται με τη μέθοδο των βρόχων ή τη μέθοδο των κόμβων.
2. Εύρεση της (Rth): α) Στο κύκλωμα υπάρχουν μόνο ανεξάρτητες πηγές (τάσης, ρεύματος). Στην περίπτωση αυτή βραχυκυκλώνουμε τις πηγές τάσης (εργαστηριακά αφαιρούμε τις πηγές και βραχυκυκλώνουμε τα άκρα όπου ήταν αυτές συνδεδεμένες) και ανοικτοκυκλώνουμε τις πηγές ρεύματος. Υπολογίζουμε την αντίσταση που βλέπουμε από τα άκρα που μας ζητούν το ισοδύναμο Thevenin. Η αντίσταση αυτή είναι η (Rth). β) Στο κύκλωμα υπάρχουν ανεξάρτητες και εξαρτημένες (ή όχι) πηγές. Στην περίπτωση αυτή βραχυκυκλώνουμε τα άκρα από τα οποία μας ζητούν το ισοδύναμο Thevenin και υπολογίζουμε το ρεύμα που έχουμε μέσα από το βραχυκύκλωμα Σχ.2. Το ρεύμα αυτό αναφέρεται σαν ρεύμα βραχυκύκλωσης (ISC) ή ρεύμα Norton (IN). Ο υπολογισμός της (Rth) γίνεται τώρα με βάση τη σχέση: V th Vth. Φυσικά, με αυτόν τον τρόπο εύρεσης της R (Rth), θα πρέπει πρώτα να έχουμε υπολογίσει την (Vth), για να γνωρίζουμε την πολικότητά και την τιμή της εκ των προτέρων, η οποία πολικότητα θα μας υποδείξει και τη σωστή φορά του ρεύματος (ISC) ή (IN). th I SC I N Σχήμα 2 γ) Στο κύκλωμα υπάρχουν ανεξάρτητες και εξαρτημένες (ή όχι) πηγές. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να γνωρίζουμε την πολικότητά της (Vth), άρα θα πρέπει να την έχουμε υπολογίσει. Στο αρχικό κύκλωμα βραχυκυκλώνουμε τις ανεξάρτητες πηγές τάσης και ανοικτοκυκλώνουμε τις ανεξάρτητες πηγές ρεύματος. Αν υπάρχουν εξαρτημένες πηγές στο κύκλωμα τις αφήνουμε όπως έχουν. Συνδέουμε στα άκρα, από τα οποία μας ζητούν το ισοδύναμο Thevenin, πηγή τάσης γνωστής τιμής συνήθως για απλοποίηση των πράξεων (V=1 Volt) και με πολικότητα ίδια με εκείνη της (Vth), Σχήμα 3. Υπολογίζουμε το ρεύμα (Ι) που δημιουργεί η πηγή γνωστής τιμής V 1 (V=1 Volt) στο κύκλωμα και με βάση τη σχέση R th, υπολογίζουμε την (Rth). I I Σχήμα 3 δ) Στο κύκλωμα υπάρχουν ανεξάρτητες και εξαρτημένες (ή όχι) πηγές. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να γνωρίζουμε την πολικότητά της (Vth), άρα θα πρέπει να την έχουμε υπολογίσει. Στο αρχικό κύκλωμα βραχυκυκλώνουμε τις ανεξάρτητες πηγές τάσης και ανοικτοκυκλώνουμε τις ανεξάρτητες πηγές ρεύματος. Αν υπάρχουν εξαρτημένες πηγές στο κύκλωμα τις αφήνουμε όπως έχουν. Συνδέουμε στα άκρα, από τα οποία μας ζητούν το ισοδύναμο Thevenin, πηγή ρεύματος γνωστής τιμής συνήθως για απλοποίηση των πράξεων (Ι=1 Α) και με φορά τέτοια που το βελάκι της πηγής να συναντά το (+) της (Vth), Σχήμα 4. Υπολογίζουμε τη διαφορά δυναμικού (V) που V V εμφανίζεται στα άκρα της πηγής ρεύματος (Ι=1 Α) και με βάση τη σχέση R th, υπολογίζουμε την I 1 (Rth). Σχήμα 4
3. Τέλος, αν στο αρχικό μας κύκλωμα ζητούσαν μόνο το ισοδύναμο Thevenin από τα άκρα του φορτίου, αυτό θα είναι το κύκλωμα του Σχήματος 5(α). Αν μας ζητούσαν την τάση ή το ρεύμα που διαρρέει το φορτίο αφού βρεθεί πρώτα το ισοδύναμο Thevenin, τότε στα άκρα του ισοδυνάμου Thevenin του Σχήματος 5(α) θα πρέπει να συνδεθεί το φορτίο όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 5(β). Οι σχέσεις που μας δίνουν το ρεύμα (Ι) μέσα από το φορτίο καθώς και η τάση (VRL) στα άκρα του είναι: Vth R L I και Rth R V RL I. RL Vth. L RL Rth Σχήμα 5 Θεώρημα Norton. Σε πολύπλοκο γραμμικό κύκλωμα όπως στο Σχήμα 6(α), αν αντί για την (Vth) υπολογίσουμε το ρεύμα βραχυκύκλωσης (ISC) και την (Rth), τότε το αρχικό μας κύκλωμα μπορεί να αντικατασταθεί από ένα απλούστερο κύκλωμα που θα περιέχει μία πηγή ρεύματος με τιμή όση και το ρεύμα βραχυκύκλωσης και παράλληλα την (Rth), Σχήμα 6(β). Το απλό αυτό κύκλωμα ονομάζεται ισοδύναμο Norton. Σχήμα 6 Αν στο αρχικό μας κύκλωμα ζητούσαν μόνο το ισοδύναμο Norton από τα άκρα του φορτίου, αυτό θα είναι το κύκλωμα που παρουσιάζεται στο Σχήμα 7(α). Αν μας ζητούσαν την τάση ή το ρεύμα που διαρέει το φορτίο (RL) αφού βρεθεί πρώτα το ισοδύναμο Norton, τότε στα άκρα του ισοδυνάμου Norton, Σχήμα 7(α) θα πρέπει να συνδεθεί το φορτίο (RL), Σχήμα 7(β). Οι σχέσεις που μας δίνουν το ρεύμα (Ι) μέσα από το φορτίο καθώς και η τάση (VRL) στα άκρα του είναι: Rth I I SC και V RL I. R L. Rth RL Σχήμα 7 Τέλος, η σχέση που συνδέει το ισοδύναμο Thevenin με το ισοδύναμο Norton είναι: (Vth=ISCRth=INRth). Θεώρημα της Επαλληλίας ή Υπέρθεσης. Το θεώρημα αυτό εφαρμόζεται σε γραμμικά κυκλώματα, που περιέχουν διάφορα είδη πηγών (DC) και (AC). Οι πηγές (AC) μπορούν να έχουν και διαφορετική συχνότητα. Με το θεώρημα αυτό, ζητούμε την τάση ή το ρεύμα σε κάποιο φορτίο του κυκλώματος. Κατά την εφαρμογή του θεωρήματος,
αφήνουμε στο κύκλωμα κάθε φορά μία από τις πηγές, ενώ τις υπόλοιπες αν είναι πηγές τάσης τις βραχυκυκλώνουμε και αν είναι πηγές ρεύματος τις ανοικτοκυκλώνουμε. Στο τέλος προσθέτουμε αλγεβρικά τα αποτελέσματα των επι μέρους αποκρίσεων. Πειραματική Εργασία 1. Να συναρμολογηθεί το κύκλωμα του Σχήματος 8. α) Αφαιρέστε το φορτίο (RL=1ΚΩ) και μετρείστε την τάση (Va-b=Vth). β) Αφαιρέστε τις ανεξάρτητες πηγές τάσης από το κύκλωμα και στη θέση τους τοποθετήστε βραχυκυκλώματα. Μετρείστε με το ωμόμετρο την ολική αντίσταση (Rολ.= Rth), που βλέπετε από τα άκρα (a-b). γ) Βραχυκυκλώστε τα άκρα (a-b) και μετρείστε το ρεύμα βραχυκύκλωσης (ISC = IN). Η φορά του ρεύματος βραχυκύκλωσης (ISC = IN) είναι από το (+) της (Vth) στο (-). Vth Η (Rth) δίνεται από τη σχέση: R th. I SC δ) Αφαιρέστε τις ανεξάρτητες πηγές τάσης από το κύκλωμα και στη θέση τους τοποθετήστε βραχυκυκλώματα. Συνδέστε στα άκρα (a-b) πηγή τάσης γνωστής τιμής π.χ (E=10 Volt). Η πολικότητα της (E=5 Volt) να συμπίπτει με την πολικότητα της (Vth). Μετρείστε το ρεύμα (Ι), που δημιουργεί η πηγή (E=10 Volt) στο E 10 κύκλωμα. Η (Rth) δίνεται από τη σχέση: R th. I I ε) Αφαιρέστε τις ανεξάρτητες πηγές τάσης από το κύκλωμα και στη θέση τους τοποθετήστε βραχυκυκλώματα. Συνδέστε στα άκρα (a-b) πηγή τάσης (E=10 Volt) σε σειρά και μία αντίσταση (1 ΜΩ). Ο συνδιασμός της πηγής τάσης (E=10 Volt) σε σειρά με μεγάλης τιμής αντίσταση (1 ΜΩ), ισοδυναμεί με πηγή ρεύματος (Ι=10 μα). Μετρείστε τη διαφορά δυναμικού (V), που εμφανίζεται στα άκρα (a-b). Η (Rth) δίνεται από τη σχέση: V V R th 6. I 10.10 στ) Να σχεδιασθεί και συναρμολογηθεί το ισοδύναμο Thevenin. Συνδέστε στα άκρα του ισοδυνάμου Thevenin το φορτίο (RL=1ΚΩ). Μετρείστε το ρεύμα (IL), που διαρρέει το φορτίο και την τάση (VRL) στο φορτίο. Κάντε σύγκριση των εργαστηριακών αποτελεσμάτων με εκείνα της θεωρίας. Σχήμα 8 2. α) Να συναρμολογηθεί το κύκλωμα του Σχήματος 9(α) και να μετρηθεί το ρεύμα (Ι1). β) Να συναρμολογηθεί το κύκλωμα του Σχήματος 9(β) και να μετρηθεί το ρεύμα (Ι2). γ) Ποια σχέση συνδέει τα ρεύματα (Ι1) και (Ι2);
Σχήμα 9 3. Στο κύκλωμα του Σχήματος 10, θέλουμε να υπολογίσουμε την τάση (VRL) και το ρεύμα (IL) στο φορτίο (RL=330Ω), με τη βοήθεια του θεωρήματος της Επαλληλίας ή Υπέρθεσης. α) Αφαιρέστε την πηγή (Ε2) από το κύκλωμα και βραχυκυκλώστε τα άκρα όπου ήταν συνδεδεμένη. Υπολογίστε το ρεύμα (Ι1) και την τάση (V1) στο φορτίο (RL=330Ω), λόγω της πηγής (Ε1) που βρίσκεται στο κύκλωμα. β) Επαναφέρατε την πηγή (Ε2) στο κύκλωμα. Αφαιρέστε τώρα την πηγή (Ε1) από το κύκλωμα και βραχυκυκλώστε τα άκρα όπου ήταν συνδεδεμένη. Υπολογίστε το ρεύμα (Ι2) και την τάση (V2) στο φορτίο (RL=330Ω), λόγω της πηγής (Ε2) που βρίσκεται στο κύκλωμα. γ) Το τελικό αποτέλεσμα για το ρεύμα (IL) θα είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων (Ι1) και (Ι2) δηλ (IL=Ι1+Ι2), ενώ η τάση (VRL) θα ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των τάσεων (V1) και (V2) δηλ. (VRL=V1+V2). Σχήμα 10