Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών Τύπων. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος στο LabVIEW. Εμπρόσθιο Πλαίσιο (front panel). Σχεδίαση του front panel για ένα πρόγραμμα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων. Δομικό Διάγραμμα (block diagram). Δομές προγραμματισμού. Η δομή Επανάληψης. Συνάρτηση δημιουργίας τυχαίων αριθμών.
Μέρος Α : Σκοπός και Περιγραφή της Άσκησης 9.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Βασικός σκοπός αυτής της άσκησης είναι να δούμε πιο αναλυτικά το πρόγραμμα της ανάλυσης Fourier, εξετάζοντας βήμα βήμα πως μπορούμε να μετασχηματίσουμε τους μαθηματικούς τύπους της ανάλυσης Fourier, σ ένα πρόγραμμα που εφαρμόζει αυτούς τους τύπους, για να αναλύει ηχητικά σήματα. Η επιδίωξη είναι πως μέσα από την υλοποίηση των μαθηματικών τύπων της ανάλυσης Fourier, σ ένα πρόγραμμα, την ανάπτυξη δηλαδή ενός προγράμματος που θα εφαρμόζει τους μαθηματικούς τύπους, για να αναλύει και να επεξεργάζεται ηχητικά σήματα, θα μπορέσουμε: Να καταλάβουμε καλύτερα αυτούς τους τύπους, τη μαθηματική μορφή, αλλά και τη λειτουργία αυτών των τύπων και ακόμα, Να καταλάβουμε βασικές δομές της γλώσσας προγραμματισμού του LabVIEW και τη διαδικασία ανάπτυξης ενός προγράμματος, μέσα από την ανάπτύξη του προγράμματος, για μία πρακτική και σύνθετη εφαρμογή. Αφού καταλάβουμε καλύτερα το πρόγραμμα της ανάλυσης Fourier, τότε εύκολα, θα μπορέσουμε να επεκτείνουμε αυτό το πρόγραμμα, ώστε να μπορεί να εκτελεί και την αντίστροφη λειτουργία. Από τη ανάλυση Fourier και τη παράσταση ενός σήματος ηχητικού ή εικόνας στο πεδίο της συχνότητας, να μπορεί να αναπαράγει αυτό το σήμα, εκτελώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier. 9.2 Συνοπτική Ανάπτυξη της Θεωρίας (Ανάλυσης Fourier) Η βασική ιδέα της ανάλυσης Fourier είναι πως κάθε ηχητικό σήμα μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων x(t) = A 0 + A 1 cos (2π f 0 t) + A 2 cos (2π 2 f 0 t) + A 3 cos(2π 3 f 0 t) + + B 1 sin (2π f 0 t) + B 2 sin (2π 2 f 0 t) + B 3 sin (2π 3 f 0 t) + Σκοπός της ανάλυσης Fourier είναι να υπολογίσουμε τη συχνότητα f k = k f 0 κάθε ημιτόνου ή συνημιτόνου στη παραπάνω εξίσωση και τον αντίστοιχο συντελεστή. Αυτή είναι η λειτουργία του προγράμματος που κάνει την ανάλυση Fourier και που εξετάζουμε παρακάτω.
9.3 Σχεδιάζοντας το Front Panel του Προγράμματος για την Ανάλυση Fourier Όπως με κάθε πρόγραμμα, ξεκινάμε την ανάπτυξη του προγράμματος αυτής της ε- φαρμογής, από το front panel. Γενικά, πριν ακόμα δούμε αναλυτικά κάθε ένα αντικείμενο στο front panel του προγράμματος, ένα πρόγραμμα που κάνει την ανάλυση Fourier ηχητικών σημάτων, θα πρέπει απαραίτητα να περιέχει αντικείμενα εισόδου και αντικείμενα εξόδου, δηλαδή αντικείμενα που αντίστοιχα, θα επιτρέπουν στο πρόγραμμα να διαβάζει τα δεδομένα που χρειάζεται για τη λειτουργία του και αντικείμενα μέσα από τα οποία θα εμφανίζει τα αποτελέσματα της επεξεργασίας του. Ένα πρόγραμμα που επεξεργάζεται ηχητικά σήματα, θα μπορούσε να διαβάζει τις τιμές αυτών των σημάτων, απευθείας από το μικρόφωνο, όπου ηχογραφούνται. Ε- ναλλακτικά, ένα ηχητικό σήμα, θα μπορούσε πρώτα, να αποθηκεύεται σ ένα αρχείο ήχου και μετά, το πρόγραμμα να διαβάζει το σήμα, από το αρχείο ήχου. Αυτή είναι η διαδικασία που ακολουθούμε στο πρόγραμμα αυτής της άσκησης. Επειδή αποθηκεύουμε κάθε ηχητικό σήμα που ηχογραφούμε, σ ένα αρχείο ήχου, το πρόγραμμα που επεξεργάζεται αυτά τα σήματα, θα πρέπει να μπορεί να διαβάζει τις τιμές τους, από τα αντίστοιχα αρχεία ήχου. Έτσι, το front panel ενός προγράμματος που κάνει την ανάλυση Fourier ηχητικών σημάτων, θα πρέπει να περιέχει: Ένα αντικείμενο ένα εικονικό όργανο μέσα από το οποίο θα μπορούμε να προσδιορίζουμε το όνομα και τη διεύθυνση στο σύστημα αρχείων του υπολογιστή, του αρχείου ήχου, όπου έχουμε αποθηκεύσει το ηχητικό σήμα που το πρόγραμμα θα πρέπει να αναλύσει. Το front panel του προγράμματος θα πρέπει ακόμα να περιέχει: Δύο οθόνες γραφικών, για να παριστάνει το ηχητικό σήμα στο πεδίο του χρόνου, δηλαδή τη τάση που παράγεται στην έξοδο του μικροφώνου, από την ηχογράφηση του σήματος και ακόμα μία οθόνη, για να παριστάνει το αποτέλεσμα από την ανάλυση Fourier του σήματος που θα είναι η παράσταση του σήματος, στο πεδίο της συχνότητας. Παρακάτω, περιγράφονται αναλυτικά τα βήματα, για να δημιουργήσουμε αυτά τα εικονικά όργανα, στο front panel του προγράμματος: 9.3.1 Στo front panel, από τη κατηγορία Text Controls, επιλέγουμε το File Path Ctrl : Text Controls File Path Ctrl
Εικόνα 1: Το front panel του προγράμματος της ανάλυσης Fourier.
Θα χρησιμοποιήσουμε το File Path Ctrl, για να προσδιορίσουμε το όνομα και τη θέση του αρχείου που περιέχει το ηχητικό σήμα που θα αναλύσουμε. Πατώντας στο εικονίδιο του File Path, ανοίγει ο οδηγός εξερεύνησης των Windows, για να προσδιορίσουμε το όνομα και τη θέση του αρχείου που περιέχει το σήμα x(t) που θα αναλύσουμε, μέσα από τον οδηγό εξερεύνησης. 9.3.2 Στo front panel, από τη κατηγορία Graph Indicators, επιλέγουμε το Waveform Graph: Graph Indicators Waveform Graph Στο Waveform Graph θα παριστάνουμε το σήμα x(t), στο πεδίο του χρόνου. 9.3.3 Πάλι στo front panel, από τη κατηγορία Graph Indicators, επιλέγουμε το ΧΥ Graph: Graph Indicators XY Graph Θα χρησιμοποιήσουμε το XY Graph, για τη φασματική παράσταση του σήματος x(t). Στο XY Graph δηλαδή, θα παριστάνουμε το αποτέλεσμα της α- νάλυσης Fourier, δηλαδή το σήμα x(t) στο πεδίο της συχνότητας. 9.3.4 Δημιουργούμε μία ένδειξη, για να παριστάνουμε το διάστημα Δτ της δειγματοληψίας, δηλαδή το διάστημα Δt, ανάμεσα σε διαδοχικά δείγματα του σήματος x(t). Έτσι, από τη κατηγορία Numeric Indicators, επιλέγουμε την ένδειξη Num Ind (Numeric Indicator): Numeric Indicators Num Ind 9.3.5 Κάνουμε διπλό κλικ στο όνομα της ένδειξης που εξορισμού, είναι Numeric και αλλάζουμε την ονομασία του, σε Δt (Εικόνα 1). 9.3.6 Δημιουργούμε μία ακόμα ένδειξη, για να παριστάνουμε το πλήθος Ν των δειγμάτων του σήματος x(t). Πάλι, από τη κατηγορία Numeric Indicators, επιλέγουμε την ένδειξη Num Ind (Numeric Indicator): Numeric Indicators Num Ind
Κάνουμε διπλό κλικ στο όνομα της ένδειξης που εξορισμού, είναι Numeric και αλλάζουμε την ονομασία του, σε Ν (Εικόνα 1). 9.4 Δημιουργία του Δομικού Διαγράμματος Ολόκληρο το πρόγραμμα της ανάλυσης Fourier παριστάνεται στην Εικόνα 2. Το πρόγραμμα αναλύεται σε επιμέρους τμήματα επιμέρους λειτουργίες, όπως η α- νάγνωση των τιμών του ηχητικού σήματος, από το αρχείο ήχου, ο υπολογισμό; των συντελεστών Α k και B k των συνημιτόνων και ημιτόνων, αντίστοιχα, ο υπολογισμός της συχνότητας δειγματοληψίας, της θεμελιώδους συχνότητας f 0 και των άλλων αρμονικών. Παρακάτω, περιγράφεται η ανάπτυξη του προγράμματος,, βήμα βήμα, μέσα τις εντολές, για κάθε επιμέρους ενότητα λειτουργία του προγράμματος. 9.4.1 Από τη κατηγορία Programming Graphics & Sound Sound Files, επιλέγουμε τη συνάρτηση Simple Read: Programming Graphics & Sound Sound Files Simple Read 9.4.2 Συνδέουμε την έξοδο του εικονιδίου του File Path, στην είσοδο Path του μπλοκ Simple Read. Έτσι, η εντολή Simple Read θα διαβάσει τις τιμές του σήματος x(t), από το αρχείο όπου έχουμε αποθηκεύσει αυτές τις τιμές και που τη θέση αυτού του αρχείου στον υπολογιστή, προσδιορίζουμε μέσα από το File Path. 9.4.3 Από τη κατηγορία Programming Array, επιλέγουμε το μπλοκ Programming Array Index Array Συνδέουμε την έξοδο data της Simple Read, στην είσοδο array της Index Array. Στην είσοδο index του μπλοκ Index Array, συνδέουμε τη σταθερά 0 (Εικόνα 3). Η εντολή Index Array θα αποσπάσει και θα δώσει στην έξοδό της το ένα το αριστερό από τα δύο κανάλια τιμών, δηλαδή τη πρώτη στήλη τιμών (στήλη 0), στη παράσταση του ηχητικού σήματος, στο αρχείο ήχου. Δύο Κανάλια Τιμών Ακούμε / αντιλαμβανόμαστε κάθε ήχο, μέσα από τα ηχητικά κύματα σε κάθε ένα από τα δύο αυτιά μας. Όπως με οπτικά σήματα / τις εικόνες που γίνονται αντιληπτές ξεχωριστά, από κάθε ένα από τα δύο μάτια μας, έτσι και κάθε
Εικόνα 2: Ολόκληρο το πρόγραμμα της ανάλυσης Fourier και του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier.
ήχος γίνεται αντιληπτός ξεχωριστά από κάθε μας αυτί και το ακουστικό σύστημα αναλύει και επεξεργάζεται παράλληλα και ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, τα ακουστικά σήματα που φτάνουν ταυτόχρονα στα δύο αυτιά μας. Μετά, τα δύο ακουστικά σήματα, από το αριστερό και το δεξιό αυτί συνδυάζονται ώστε το ακουστικό σύστημα να εντοπίσει τη πηγή του ήχου. Σε αναλογία με το ακουστικό μας σύστημα που αντιλαμβάνεται και αναγνωρίζει κάθε ήχο, αναλύοντας παράλληλα τη παράσταση αυτού του ήχου στο αριστερό και στο δεξιό μας αυτί, έτσι και κάθε ηχητικό σήμα στον υπολογιστή, παριστάνεται από δύο κανάλια τιμών. Ακόμα και αν ένα ηχητικό σήμα ηχογραφείται από ένα μικρόφωνο, στον υπολογιστή θα αποθηκεύεται σαν δύο κανάλια τιμών, δηλαδή σαν δύο στήλες τιμών. Κάθε κανάλι, κάθε στήλη τιμών δηλαδή στην αποθήκευση ενός ηχητικού σήματος σ ένα αρχείο ήχου θα περιέχει τις ίδιες ακριβώς τιμές: τiς τιμές τάσης του ηχητικού σήματος σε διακριτές χρονικές στιγμές t 0, t 0 + Δt, t 0 + 2Δt, t 0 + 3Δt, t 0 + 4Δt, κοκ (Εικόνα 4). Αφού κάθε κανάλι, κάθε μία από τις δύο στήλες τιμών στη παράσταση ενός ηχητικού σήματος, σ ένα αρχείο ήχου περιέχει τις ίδιες ακριβώς τιμές τάσης, για την ανάλυση του σήματος, χρειαζόμαστε τη μία μόνον από τις δύο στήλες, έστω την αριστερή (Εικόνα 4). Αυτή ακριβώς είναι η λειτουργία της εντολής Index Array που αποσπά το ένα από τα δύο κανάλια τιμών, στη παράσταση του ηχητικού σήματος, σ ένα αρχείο ήχου. 9.4.4 Από τη κατηγορία Programming Waveform, επιλέγουμε τη συνάρτηση Get Waveform Components: Programming Waveform Get Waveform Components Η συνάρτηση Get Waveform Components αναλύει μία κυματομορφή στις X και Υ τιμές αυτής της κυματομορφής. Αυτή η συνάρτηση δηλαδή, δίνει: Τις Y τιμές της κυματομορφής, δηλαδή τις τιμές x(t 0 ), x(t 0 + Δt), x(t 0 + 2Δt), x(t 0 + 3Δt), x(t 0 + 4Δt), του ηχητικού σήματος και Το σταθερό διάστημα Δt, ανάμεσα σε δύο διαδοχικές τιμές x(t 0 + nδt) και x(t 0 + (n+1)δt), της κυματομορφής.
Εικόνα 3: Τα πρώτα βήματα, στο δομικό διάγραμμα του προγράμματος, όπου διαβάζουμε το ηχητικό σήμα από ένα αρχείο ήχου και παίρνουμε το ένα από τα δύο κανάλια τιμών του σήματος.
Εικόνα 4: Κάθε ηχητικό σήμα παριστάνεται σ ένα αρχείο ήχου, από δύο κανάλια δύο στήλες τιμών. Η εντολή Index Array, στο πρόγραμμα λειτουργεί ώστε να αποσπάσει το ένα από τα δύο κανάλια τιμών, στη παράσταση του σήματος. Σ αυτό το στάδιο, έχουμε πάρει τις τιμές x(t 0 ), x(t 0 + Δt), x(t 0 + 2Δt), x(t 0 + 3Δt), x(t 0 + 4Δt), του ηχητικού σήματος από την έξοδο Υ του μπλοκ Get Waveform Components, καθώς το διάστημα Δt α- νάμεσα σε διαδοχικά δείγματα τιμών του σήματος. Απομένει να κάνουμε την ανάλυση Fourier στις τιμές του σήματος, παρακάτω. 9.4.5 Από τη κατηγορία Signal processing Transforms, επιλέγουμε το μετασχηματισμό Fourier FFT (Fast Fourier Transform): Signal Processing Transforms FFT
Εικόνα 5: Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση FFT, για να υπολογίσουμε τους συντελεστές Ακ και Βκ των συνημιτόνων και ημιτόνων, στην ανάλυση Fourier. 9.4.6 υνδέουμε την έξοδο Υ του μπλοκ Get Waveform, στην είσοδο του FFT. H συνάρτηση FFT υπολογίζει τα πλάτη, δηλαδή τους συντελεστές A k των συνημιτόνων και B k των ημιτόνων, στη παράσταση του σήματος x(t), σαν άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων. 11
9.4.7 Η συνάρτηση FFT υπολογίζει τους συντελεστές A k και B k, σαν τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη, αντίστοιχα μιγαδικών αριθμών: C k = A k + i B k Γι αυτό, χρειάζεται να χωρίσουμε το πραγματικό από το φανταστικό μέρος κάθε μιγαδικού συντελεστή C k Από τη κατηγορία Programming Numeric Complex, επιλέγουμε τη συνάρτηση Complex to Real / Im: Programming Numeric Complex Complex to Real / Im 9.4.8 Πριν ακόμα συνδέσουμε την έξοδο του μπλοκ FFT στην είσοδο της Complex to Real / Im, διαιρούμε την έξοδο της FFT, δηλαδή κάθε μιγαδικό συντελεστή C k, όπου C k = A k + i B k δια του πλήθους Ν των δειγμάτων του σήματος x(t). 9.4.9 Αφού διαιρέσουμε κάθε μιγαδικό συντελεστή C k που υπολογίζει η FFT δια Ν, συνδέουμε την έξοδο της διαίρεσης στην είσοδο του μπλοκ Complex to Real / Im. Η συνάρτηση Complex to Real / Im θα αποσπάσει το πραγματικό μέρος Α k από το φανταστικό B k, κάθε μιγαδικού συντελεστή C k = A k + i B k, δίνοντας τους συνετλεστές A k των συνημιτόνων και τους συντελεστές B k των ημιτόνων, στη παράσταση του σήματος x(t), σαν άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων. Απομένει να υπολογίσουμε τις συχνότητες f k των συνημιτόνων και ημιτόνων που αντιστοιχούν στους συντελεστές A k και B k, για ολοκληρώσουμε την ανάλυση Fourier και να παραστήσουμε το σήμα x(t) στο πεδίο της συχνότητας, δηλαδή σαν συνάρτηση των συχνοτήτων f k από τις οποίες αποτελείται. Υπολογισμός των Συχνοτήτων Αφού υπολογίσουμε τους συντελεστές A k των συνημιτόνων και B k των ημιτόνων, υπολογίζουμε τις αντίστοιχες συχνότητες f k = k f 0 των ημιτόνων και συνημιτόνων στην ανάλυση Fourier του σήματος x(t), σαν άθροισμα συνημιτόνων και ημιτόνων,. 12
Η βασική ιδέα είναι πως η θεμελιώδης συχνότητα f 0 είναι το αντίστροφο της χρονικής διάρκειας του σήματος. Αν δηλαδή, το σήμα αποτελείται από Ν δείγματα που παίρνονται κάθε Δt, τότε η συνολική διάρκεια του σήματος είναι: Χρονική Διάρκεια του Σήματος = Ν Δt Άρα, η θεμελιώδης συχνότητα f 0 είναι: f 0 = 1 / N Δt Επομένως οι συχνότητες f k των συμημιτόνων και ημιτόνων, στην ανάλυση Fourier του σήματος x(t) είναι: fk = k f0 = k ( 1 / N Δt ) = k (fsampling / N) = k Δf για k = - Ν/2 + 1, -Ν/2 + 2,, -1, 0, 1, 2,, Ν/2. Γιατί αυτό? Γιατί ενώ η θεμελιώδης συχνότητα η μικρότερη δηλαδή συχνότητα στην ανάλυση Fourier του σήματος x(t) είναι 1 / N Δt, η μεγαλύτερη συχνότητα που μπορούμε νε εντοπίσουμε με περίοδο δειγματοληψίας t είναι 1 / 2 Δt Άρα, οι συχνότητες των συνημιτόνων και ημιτόνων, στην ανάλυση Fourier είναι: 1/ N Δt, 2 / N Δt, 3 / N Δt, N/2 / N Δt = 1 / 2 Δt Επειδή όμως, sinx = (e ix e -ix ) / 2i cosx = (e ix + e -ix ) / 2 επειδή δηλαδή κάθε ημίτονο (και συνημίτονο) στη μιγαδική μορφή, γράφεται σαν άθροισμα δύο όρων. Έναν όρο με πλάτος Α k / 2 και συχνότητα f k και έναν όρο με πλάτος Α k / 2 και συχνότητα f k. Οι συχνότητες 0, f 0, 2 f 0, αποθηκεύονται στους πρώτους Ν/2 όρους ενός πίνακα. Οι συχνότητες f N/2 + 1, -f N/2 + 2,, -f 1 αποθηκεύονται στα στοιχεία Ν/2 +1,, Ν-1 του πίνακα. Αυτή είναι η λειτουργία της εντολής case. 13
Πριν όμως υπολογίσουμε τις αρμονικές f k = k f 0, της θεμελιώδους συχνότητας f 0, για κ = 0, 1, 2,, Ν, χρειάζεται να υπολογίσουμε τη συχνότητα δειγματοληψίας f sampling, αλλά και τη θεμελιώδη συχνότητα f 0. 9.4.10 Από τη περίοδο Δt της δειγματοληψίας, υπολογίζουμε τη συχνότητα της δειγματοληψίας f sampling (Εικόνα 5). 9.4.11 Από τη κατηγορία Programming Array, επιλέγουμε την εντολή Array Size, Programming Array Array Size για να υπολογίσουμε το πλήθος Ν των δειγμάτων του ηχητικού σήματος (Εικόνα 5). 9.4.12 Διαιρούμε τη συχνότητα της δειγματοληψίας f sampling δια του πλήθους N των δειγμάτων, για να υπολογίσουμε τη θεμελιώδη συχνότητα f 0 : 9.4.13 Τώρα που έχουμε υπολογίσει τη θεμελιώδη συχνότητα f 0, μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις αρμονικές f k = k f 0, της θεμελιώδους συχνότητας f 0, για κ = 0, 1, 2,, Ν. Γι αυτό, χρησιμοποιούμε την εντολή επανάληψης For, για να δημιουργήσουμε τις συχνότητες f k = k f 0, της θεμελιώδους συχνότητας f 0, για κ = 0, 1, 2,, Ν (Εικόνα 6). 9.4.14 Από τη κατηγορία Programming Structures, επιλέγουμε την εντολή Case: Programming Structures Case H εντολή Case αποθηκεύει τις αρμονικές f k = k f 0, της θεμελιώδους συχνότητας f 0, για κ = 0, 1, 2,, Ν/2, στα πρώτα Ν/2 στοιχεία ενός πίνακα (περίπτωση true) (Εικόνα 6). 14
Εικόνα 6: O υπολογισμός των αρμονικών f 0, 2 f 0, 3 f 0, 4 f 0,, f 0 (N/2) - Περίπτωση True.. 15
Εικόνα 7: O υπολογισμός των αρνητικών αρμονικών f N/2 + 1, -f N/2 + 2,, -f 1 - Περίπτωση False.. 16
Η μεγαλύτερη συχνότητα που μπορούμε να εντοπίσουμε με περίοδο δειγματοληψίας Δt είναι: Γι αυτό, η εντολή Case αποθηκεύει τις αρμονικές f 0, 2 f 0, 3 f 0, 4 f 0, μέχρι τη μέγιστη αρμονική fmax = f 0 (N/2), στα πρώτα Ν/2 στοιχεία ενός πίνακα. 9.4.15 Αφού υπολογίσει τις αρμονικές f 0, 2 f 0, 3 f 0, 4 f 0,, f 0 (N/2), η εντολή Case αποθηκεύει τις αρνητικές αυτών των συχνοτήτων f N/2 + 1, -f N/2 + 2,, -f 1, στα στοιχεία Ν/2 +1,, Ν-1 του πίνακα (περίπτωση false) (Εικόνα 7). 9.4.16 Συνδυάζουμε τιμές συχνότητας και πλάτους, χρησιμοποιώντας την εντολή Bundle (Εικόνα 8): Programming Cluster Bundle 9.4.17 Παριστάνουμε το πλάτος σα συνάρτηση της συχνότητας, στην οθόνη XY Graph (Εικόνα 8). 9.4.18 Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier και να δημιουργήσουμε το ηχητικό σήμα, δηλαδή τα δείγματα x(t) του σήματος, από τις συχνότητες f k = k f 0 και τους συντελεστές A k των συνημιτόνων και B k των ημιτόνων, στην ανάλυση Fourier του σήματος, χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier. Από τη κατηγορία Signal Processing Transforms, επιλέγουμε τη συνάρτηση Inverse FFT (Εικόνα 9): Signal Processing Transforms Inverse FFT 9.4.19 Από τη κατηγορία Programming Waveform, επιλέγουμε τη συνάρτηση Build Waveform: Programming Waveform Build Waveform Συνδέουμε την έξοδο του Inverse FFT στην είσοδο του Build Waveform. 17
Εικόνα 8: Oι εντολές για τη παράσταση του σήματος, στο πεδίο της συχνότητας.. Εικόνα 9: Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier.. 18
9.4.20 Από τη κατηγορία Programming Graphics & Sound Sound Output, επιλέγουμε τη συνάρτηση Play Waveform: Programming Graphics & Sound Sound Output Play Waveform Συνδέουμε την έξοδο του Build Waveform στην είσοδο του Play Waveform.. 19