DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform

Transcript

1 DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

2 Ορισµοί O διακριτός µετασχηµατισµός Fourier DFT, αναφέρεται σε µία πεπερασµένου µήκους ακολουθία σηµείων και ορίζεται ως εξής: X( k) DFT [ x( n)] n x( n) nk k Παράγει Ν φασµατικούς συντελεστές χρησιµοποιώντας τα Ν δείγµατα εισόδου και τον «παράγοντα στροβιλισµού- twiddle factor» e π Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

3 ο αντίστροφος µετασχηµατισµός (inverse DFT) : x( n) IDFT [ X ( k)] k X ( k) nk n ίνει µια φόρµουλα σύνθεση του αρχικού σήµατος µε τη χρήση των Ν φασµατικών συντελεστών Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

4 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ Ανάλυση σε συναρτήσεις βάσεως [ ] [ ] [ ] n πn πn3 πn3 πn πn πn πn πn πn5 πn3 πn6 πn πn7 πn πn7 πn6 πn5 πn πn3 πn πn πkn 7 k ) X()( ) πn3 [Im X(3)] sin( ) πn3 cos( Re X(3) ) πn [Im X()] sin( ) πn cos( Re X() ) πn [Im X()] sin( ) πn cos( Re X() X() X()e X * (3)e X(3)e X * ()e X()e X * ()e X()e X() X()e X(5)e X(3)e X(6)e X()e X(7)e X()e X() X(7)e X(6)e X(5)e X()e X(3)e X()e X()e X() X(k)e x(n)

5 Ανάλυση σε ηµίτονα και συνηµίτονα παράδειγµα Το ψηφιακό σήµα των 6 σηµείων αναλύεται σε άθροισµα 9 συνηµιτονικών και 9 (7) ηµιτονικών ψηφιακών σηµάτων Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 5

6 Ο DFT σε µορφή πίνακα X(k) n x(n) nk k X D x X() X()... ) X( ( ) x() x()... x( ) D Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 6

7 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 7 Ο ΙDFT σε µορφή πίνακα X D x Αντίστοιχα ο ορίζεται ως εξής: D ) ( ) ( ) ( D D D... I D D Αποδεικνύεται ότι X D X D x Αρα

8 Παράδειγµα : DFT δύο σηµείων x(n) {x o x }, i.e. Ν X ( k) n n. k x( n) k π e e π X () n x( n) n. x().. x(). x(). x(). X () n x( n) n x().. x(). x(). x() e π x() x().cos( π ) x() x() Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

9 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 9 - π π e e DFT δύο σηµείων σε µορφή πίνακα ) ( D π e D x x x x x x x x D X X Όπως φαίνεται ο DFT είναι το άθροισµα καιηδιαφορά των σηµείων x,και x.

10 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ Παράδειγµα : DFT Ν σηµείων x(n) {x o x x x } D Στην εύρεση των πινάκων αυτών εµφανίζονται οι διάφορες δυνάµεις του παράγοντα στροβιλισµού π e 3

11 Παράγοντας στροβιλισµού Twiddle Factor (TF) ισχύει πάντα: e π k e π k kn ( kn ) mod( ) 9 πχ. kn / kn πk k e π/ Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

12 Σχέση DFT - DTFT X(e iω ) DTFT[x(n)] n x(n)e ωn X(k) DFT[x(n)] n x(n) kn n x(n) e π kn ω X(k) X(e ) π ω Συµπέρασµα: Ο DFT προέρχεται από δειγµατοληψία του DTFT Νοέµβριος 5 ΨΕΣ k

13 DFT - DTFT - DFS x(n) X(ω) DTFT n x(n) ω X(k) DFS n DFT k Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

14 παραδείγµατα Για το σήµα x(n)[,,,] υπολογείστε: α)τον DTFT β) τον DFT α) Ο DTFT : X(e ω e e ω ω 3 ) x(n)e n ωn sin(ω) sin(ω / e e ) 3 ω ω e ω e 3ω β) Ο DFT : 3 X Αρα X X X (k) () () ( ) () 3 n X x(n) (3) ( ) nk, ( ),,,3; ( ) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ k 3 e π /

15 DTFT DFT Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 5

16 Αύξηση της πυκνότητος του φάσµατος µε DFT Αύξηση της πυκνότητας γίνεται µε ελάττωση του βήµατος ωπ/ν δηλ µε αύξηση του Ν. επιτυγχάνεται µε πρόσθεση στη ακολουθία µηδενικών (zero padding). Η "πράξη" αυτή δεν αλλάζει την απόκριση συχνότητας (DTFT) αλλά αυξάνει την συχνότητα δειγµατοληψίας του DTFT Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 6

17 Γιά το σήµα x(n){,,,,,,,} υπολογίζουµε τονdft ( σηµείων) Χ (k). DTFT X (k) Αρα x(n) X () X ()....6e X () X () X (3)....e 7 n nk k o o,,,3... 7; X (7) X (5) DFT DFT. 5.5 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 7

18 Φάσµατα µεγάλης ανάλυσης Η διαδικασία του zero-padding αυξάνει την πυκνότητα δειγµατοληψίας αλλά σε καµία περίπτωση δεν µεταβάλλει το φάσµα Η(e ω ). Το φάσµα αυτό καθορίζεται για κάθε ω την στιγµή που δίνονται τα Ν σηµεία x(n). O DFT βρίσκει τις τιµές Η(e ω ) για τιµές του ωπ/ν και αύξηση του Ν αλλάζει τα σηµεία δειγµατοληψίας. Βελτίωση της διακριτότητας ανάλυσης (resolution)του φάσµατος γίνεται.από τη σχέση αβεβαιότητος µεταξύ συχνότητας και χρόνου ω π/l ω είναι η διαφορά που πρέπει να έχουν δύο συχνότητες ω και ω για να γίνουν αντιληπτές από τον DFT και L είναι ο αριθµός των σηµείων x(n). Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

19 Το σήµα x(n) περιέχει 3 συχνότητες: f /f s /, f /f s.5/ και f 3 /f s 3/. x(n)cos(π/n)cos(π.5/ n)cos(π3/n). Tα αποτελέσµατα του DFT δεικνύονται στο σχήµα για διάφορα L και Ν. Στη δεύτερη γραµµή λόγω αύξησης της ανάλυσης εµφανίζεται και το τρίτο µέγιστο. L Ν3 L Ν6 L Ν3 L Ν6 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 9

20 Ιδιότητες του DFT X(k) DFT [x(n)] n x(n) nk k Γραµµικότητα: DFT[ax (n)bx (n)] adft[x (n)] bdft[x (n)] Περιοδικότητα: Χ(k)X(k) Kυκλική αντιστροφή : Eάν ορίσουµε την αντιστροφή στο χρόνο: Τότε ισχύει: x() εάν n x(( n)) x( n) εάν n - DFT[x(( n)) ] X(( k)) X() X( k) εάν εάν k k - Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

21 x(n) (α) x(-n) (β) n n α)η ακολουθία x(n) β)η ακολουθία x(-n) (γ) γ) η x(n) και η x(-n) παριστάνονται στην περιφέρεια σε αντίθετη φορά -n n δ) H x(-n) µε την κλασσική έννοια της αντιστροφής αλλά σε περιοδική επέκταση του σήµατος x(n) n (δ) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

22 Παράδειγµα: η ακολουθία x(n)(.) n, n, και οι ακολουθίες: x((-n)),fft{x(n)} και FFT{ x((-n)) } x(n)(.) n, n ReFFT{x(n)} ImFFT{x(n)} x((-n)) ReFFT{x(-n) } ImFFT{x(-n) } Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

23 Ιδιότητες του DFT (συνέχεια) Συµµετρίες (για πραγµατικές σειρές) X(k)X * ((- k)) X () εάν k X ( k) εάν k - Παρατηρήσεις: Λόγω της συµµετρίας ο X(k) πρέπει να υπολογισθεί για τιµές του k,, / (για άρτιο) ή (-)/ (για Ν περιττό). Αυτό είναι απόλυτα λογικό διότι ο DFT Ν είναι µιγαδικός αριθµός εποµένως έχει Ν τιµές. Επειδή όµως προέρχεται από Νσηµεία x(n) πρέπει να έχει Ν βαθµούς ελευθερίας. Επειδή Χ()Χ * ((-)) Ν Χ * () Χ() πραγµατικός Εάν Νάρτιος τότε και ο Ν/ όρος είναι πραγµατικός: Χ(Ν/) Χ * (-Ν/) X * (/) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

24 » Xfft(x) Χ() - Πραγµατικός x X().633 X() i X() i X(3) i X() i X(5).959 X(6) 5.7.3i X(7) i X() i X(9) 9.6.6i Χ(5)- Πραγµατικός Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

25 Ιδιότητες του DFT (συνέχεια) Κυκλική Μετατόπιση Οταν µια ακολουθία Ν σηµείων πρέπει να µετατοπισθεί ακολουθούµε ταεξήςβήµατα: µετατρέπουµε την ακολουθία x(n) σε περιοδική µετατοπίζουµε κατά m δείγµατα : κρατάµε µία περίοδο R είναι ένα ορθογώνιο παράθυρο που έχει Ν µόνο µη µηδενικές τιµές (και ). για τον DFT έχουµε: x~ (n m)r DFT[x((n-m)) R (n)] km X(k) x~ (n) x~ (n m) x((n m)) x((n)) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 5

26 α) η ακολουθία x(n) x. n για n ( σηµεία) β) περιοδική επέκταση γ) µετατόπιση αριστερά κατά τέσσερα σηµεία x((n)) R δ) µετατροπή σε µία ακολουθία πάλι σηµείων α γ x(n) β δ n Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 6

27 Κυκλική Συνέλιξη Ιδιότητες του DFT (συνέχεια) Βάσει της κυκλικής µετατόπισης, η κυκλική συνέλιξη ορίζεται ως εξής: x (n) x (n) x(m)x ((n m)) m Για τον DFT της κυκλικής συνέλιξης ισχύει η εξής βασική ιδιότητα: DFT[x (n) x (n)]x (k) X (k) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 7

28 κυκλική συνέλιξη - Παράδειγµα Για τις ακολουθίες x {,,} και x {,,3,} Να υπολογισθεί η κυκλική συνέλιξη σηµείων: x (n) x (n) Επειδή η x είναι ακολουθία σηµείων τροποποιούµε: x (n) {,,,}, x (n){,,3,} Στη συνέχεια στο πεδίο του χρόνου υπολογίζουµε: n 3 m 3 x (m)x (-m) {,,,} T {,,3,}5 n x (m)x ((-m)) {,,,} T {,,,3} m n 9 n3 Αρα x (n) x (n) {5,,9,} Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

29 κυκλική συνέλιξη - Παράδειγµα (συνέχεια) Αντίστοιχα στο πεδίο των συχνοτήτων (DFT) έχουµε: DFT{x (n)} { 5, --,, -} DFT{x (n)} {, -, -, --} X (k) X (k){5, 6, -, 6-} IDFT{X (k) X (k)} x (n) x (n) {5,, 9, } Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 9

30 κυκλική συνέλιξη - Παράδειγµα - (συνέχεια) Γραφική αναπαράσταση των ακολουθιών του παραδείγµατος x {,,,} και x {,,3,} x (-m) 3 3 x (m) x (-m) Οι δύο εσωτερικοί κύκλοι παριστάνουν τις κυκλικές ακολουθίες x (m) και x (-m). Στον εξωτερικό κύκλο δεικνύεται η x (-m) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

31 Γραµµική συνέλιξη Ιδιότητες του DFT (συνέχεια) Στηριζόµενοι στην κυκλική συνέλιξη, µπορούµε να υπολογίσουµε και τη γραµµική συνέλιξη Έστω x (n) µία ακολουθία σηµείων και x (n) µία ακολουθία σηµείων. H γραµµική συνέλιξη είναι x 3 (n) x (n) x (n) x(k)x Η ακολουθία x 3 (n) είναι µία ακολουθία σηµείων. Επιλέγοντας Ν Ν Ν - σηµεία υπολογίζεται η κυκλική συνέλιξη x (n) x (n) x (n) x (n) x 3 (n) για n - Που ισούται βέβαια µε την γραµµική συνέλιξη. (n k) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

32 Ιδιότητες του DFT (συνέχεια) Παράδειγµα Να υπολογισθεί η γραµµική και κυκλική συνέλιξη για τα σήµατα x (n){,,,} και x (n){,-,-,} Για την γραµµική συνέλιξη, από το Matlab λαµβάνουµε: x[ ]; x[ ]; x3conv(x,x) - Επιλέγοντας -7 και εκτελώντας κυκλική συνέλιξη προκύπτει το ίδιο αποτέλεσµα Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

33 Kυκλική και γραµµική συνέλιξη Γραφική αναπαράσταση περίοδος ( ) x[n] x[n] h[n] h[n] y[n] y[n] n Κυκλική (περιοδική) Συνέλιξη Γραµµική (µη περιοδική) Συνέλιξη n Για να έχουµε σωστό αποτέλεσµα συνέλιξης πρέπει κάθε ακολουθία να έχει 75- σηµεία Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 33

34 Ταχεία συνέλιξη (Fast Convolution) Η συνολική διαδικασία φιλτραρίσµατος µε FFT περιλαµβάνει την εύρεση των δύο FFTs δηλ. της κρουστικής απόκρισης h(n) και του σήµατος εισόδου x(n) την εύρεση του γινοµένου των δύο FFTs. την αντιστροφή (υπολογισµός του IFFT) Η συνολική αυτή διαδικασία έχει την ονοµασία ταχεία συνέλιξη (fast convolution) x(n) FFT h(n) FFT Πολλαπλα σιασµός ΙFFT y(n) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

35 Ταχεία συνέλιξη (γραφικά) h(n) x(n) y(n)x(n) h(n) 6 IFFT X(k) H(k) H(k) X(k) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 35

36 Συνέλιξη κατά τµήµατα (block convolutions) Μέθοδος επικάλυψης πρόσθεσης (overlap and add) Μέθοδος επικάλυψης αποθήκευσης (overlap and save - select and save) x(n) h(n) h(-n) y(n) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 36

37 x(n) h(n) Συνέλιξη µε την µέθοδο επικάλυψηςπρόσθεσης y y y y(n) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 37

38 x(n) Συνέλιξη µε την µέθοδο επικάλυψηςαποθήκευσης. Η επικάλυψη είναι 3 σηµεία. Τα 3 πρώτα δείγµατα σε κάθε επι µέρους συνέλιξη απορρίπτονται. h(n) y y y y(n) Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3