Η ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΗΜΙΤΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ. xt A t A t A t t

Transcript

1 Η ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΗΜΙΤΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Θεωρήστε ένα σήµα συνεχούς χρόνου το οποίο είναι άθροισµα συνηµιτονικών όρων της µορφής () = cos( ω + ϕ ) + cos ( ω + ϕ ) cos( ω + ϕ ) xt A t A t A t t όπου A 0, ω >0, ϕ 0, = 1,2,..., A «πλάτος» του συνηµιτονικού όρου A cos( ωt+ ϕ ) ω «κυκλική συχνότητα» του συνηµιτονικού όρου A cos( ωt+ ϕ ) ϕ «φάση» του συνηµιτονικού όρου A cos( ωt+ ϕ ) Οι πραγµατικοί αριθµοί A, A,..., A ω, ω,..., ω ϕ, ϕ,..., ϕ προσδιορίζουν πλήρως το σήµα xt () Παράδειγµα Έστω Ν = 3 και xt () A1cos t A2cos 4t π π = A3cos 8 t+ t 3 2 ω = 1, ϕ = 0 ω ω 1 1 = 4, ϕ π = 3 = 8, ϕ π =

2 Με το MATLAB.m fle: % Example 4.1 % gves example of the frequency representaton of % a system t = 0:20/400:20; w1 = 1; w2 = 4; w3 = 8; A1 = nput('input the ampltude A1 for w1 = 1: '); A2 = nput('input the ampltude A2 for w2 = 4: '); A3 = nput('input the ampltude A3 for w3 = 8: '); x = A1*cos(w1*t)+A2*cos(w2*t+p/3)+A3*cos(w3*t+p/2); clf subplot(211),plot(t,x) ttle('example 4.1') ylabel('x(t)') xlabel('tme (sec)') subplot(212),stem([w1 w2 w3],[a1 A2 A3]) v = [ *max([A1,A2,A3])]; axs(v); ylabel('an') xlabel('frequency (rad/sec)') axs; subplot(111) % see the m-fle fg4_4.m to get the phase plot παίρνουµε: A =.5 A = 1 A = 0 Για π xt () = 0.5cost+ cos 4 t+ t 3

3 A = 1 A =.5 A = 0 Για π xt () = cos t+.5cos 4 t+ t 3

4 Για = = = A 1 A 1 A

5 π xt () = cost+ cos 4 t+ t 3

6 Για = = = A.5 A 1 A π π xt () =.5cost+ cos 4 t+ +.5cos 8 t+ t 3 2

7 A = 1 A =.5 A =.5 Για π π xt () = cos t+.5cos 4 t+ +.5cos 8 t+ t 3 2 Για = = = A 1 A 1 A π π xt () = cost+ cos 4t+ + cos 8 t+ t 3 2

8 Το φάσµα των φάσεων της xt () A1cos t A2cos 4t π π = A3cos 8 t+ t 3 2 Είναι

9 Κάθε σήµα ηµιτονικής ή συνηµιτονικής µορφής : () = cos( ω + ϕ ) + cos ( ω + ϕ ) cos( ω + ϕ ) xt A t A t A t t χαρακτηρίζεται από τα φάσµατα των πλατών και των φάσεων φάσµα των πλατών είναι η γραφική παράσταση των πλατών ηµιτονικών/συνηµιτονικών όρων του σήµατος κυκλικών συχνοτήτων ω xt () =1,2,..., A των σαν συνάρτηση των φάσµα των φάσεων είναι η γραφική παράσταση των φάσεων ϕ των ηµιτονικών/συνηµιτονικών όρων του σήµατος κυκλικών συχνοτήτων ω xt () =1,2,..., σαν συνάρτηση των

10 ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΗΜΙΤΟΝΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Το σήµα () = cos( ω + ϕ ) + cos ( ω + ϕ ) cos( ω + ϕ ) xt A t A t A t t µπορεί να εκφραστεί σε µιγαδική εκθετική µορφή Θεωρείστε το σήµα το οποίο γράφεται Ae ω j( t + ϕ ) j( ωt+ ϕ) Ae = A cos( ω t+ ϕ ) + ja sn( ω t+ ϕ ) Άρα το Acos( ωt+ ϕ) γράφεται ως j( t ) Acos( t ) Re Ae ω + ω + ϕ = ϕ και το σήµα () = cos( ω + ϕ ) + cos ( ω + ϕ ) cos( ω + ϕ ) xt A t A t A t t γράφεται σαν άθροισµα πραγµατικών µερών µιγαδικών εκθετικών σηµάτων xt () Ae ω ϕ = 1 j( t + ) = Re j( ω t+ ϕ ) j( t ) Ae ω + ϕ Θεωρώντας το συζυγές Ae του το παραπάνω σήµα γράφεται ώς 1 Αν, τοτε s+ s s = a + bj s = a bj a = 2

11 j( ωt+ ϕ ) A j( ωt+ ϕ) A j( ωt+ ϕ) xt () = Re Ae = e + e = 1 = A jϕ c = e, 2 = 1,2,..., (A) A jϕ c = e, 2 = 1,2,..., (B) () = + ω xt ce c e = 1 j t jωt () = + jωt xt ce c e = 1 j( ω ) t () jωt = 1 = 1 xt = ce + c e j( ω ) t () xt = 1 jωt jωt ce + ce = 1 = () xt j t ce ω = = 0 Η (1) είναι η µιγαδική εκθετική µορφή της () = cos( ω + ϕ ) + cos ( ω + ϕ ) cos( ω + ϕ ) xt A t A t A t t

12 όπου οι συντελεστές A jϕ A c = e = [ cosϕ + jsn ϕ], 2 2 = 1,2,..., A jϕ A c = e = [ cosϕ jsn ϕ], 2 2 = 1,2,..., γενικώς µιγαδικοί αριθµοί. Οι συντελεστές c snϕ = 0 ϕ = n π ΛΟΓΩ ΤΗΣ µιγαδικής εκθετικής µορφής γεγονότος ότι () xt j t ce ω = = 0 και του c = c = A = 1,2,... το φάσµα των πλατών είναι συµµετρική ως προς ω συνάρτηση της ω κυκλικής συχνότητας. Επίσης λόγω της ϕ = ϕ = 0 το φάσµα των φάσεων είναι περιττή προς ω συνάρτηση της ω κυκλικής συχνότητας. Παράδειγµα Έστω το σήµα = 0 π π xt () = cost+ 0.5cos 4t+ + cos 8 t+ t 3 2 Μέσω των (Α) και (Β)

13 π π j 1 j 3 2 c1= = 0.5, c2 = e = , c3 = e = π π j 1 j 3 2 c 1= = 0.5, c 2 = e = , c3 = e = c.5.25 ω ϕ 90 ο ω ο