Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

2 Περιεχόμενα Ομιλίας Φασματική Αάλ Ανάλυση Περιοδικών Σημάτων (Μιγαδικέςδ έ Σειρές Fourir Οι Μιγαδικοί Συντελεστές Fourir Φασματικοί Ανάλυση (Περιοδικών Και Μη Περιοδικών Σημάτων - Το ολοκλήρωμα (Μετασχηματισμός Fourir Σελίδα-

3 Φασματική Ανάλυση Σημάτων Ένα σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν από τους παρακάτω ισοδύναμους τρόπους: Στο πεδίο του χρόνου : Ως κυματομορφή (χρονικά μεταβαλλόμενη τάση m( Στο πεδίο της συχνότητας f: Ως φασματική συνάρτηση M(f. Σελίδα-3

4 Φασματική Ανάλυση Σημάτων Δύο εργαλεία: Η σειρά Fourir και Ο μετασχηματισμός Fourir Σπουδαιότητα φασματικής αναπαράστασης. η Μ(f παρέχει πληροφορίες για το συχνοτικό περιεχόμενο του σήματος και συνεπώς, διευκολύνει τη μελέτη της διέλευσης και επεξεργασίας του από τηλεπικοινωνιακές διατάξεις και συστήματα η μελέτη των σημάτων στο πεδίο της συχνότητας είναι μαθηματικά απλούστερη από ότι στο πεδίο του χρόνου. Σελίδα-4

5 Φασματική Ανάλυση Σημάτων Σελίδα-5

6 Θεώρημα Fourir Μια περιοδική κυματομορφή m( (με περίοδο Τ μπορεί να παρασταθεί ως: άθροισμα άπειρων ημιτονικών και συνημιτονικών όρων (ή στην πράξη μιγαδικών όρων, οι συχνότητες των οποίων είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας f1= 1/Τ. Σελίδα-6

7 Βασικές δυνατότητες της φασματικής ανάλυσης Ένα περιοδικό σήμα m(, περιόδου Τ μπορεί να παρασταθεί ως άθροισμα άπειρων μιγαδικών εκθετικών όρων (μιγαδική σειρά Fourir καθένας από τους όρους αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη συχνότητα (αρμονική που είναι πολλαπλάσιο της θεμελιώδους συχνότητας f1= 1/Τ. Οποιοδήποτε οτε σήμα (περιοδικό ή μη περιοδικό μπορεί να παρασταθεί ως ολοκλήρωμα (μετασχηματισμός Fourir. Σελίδα-7

8 Πώς μεταπίπτω από την. αναπαράσταση του σήματος στο πεδίο του χρόνου, στην αναπαράσταση του σήματος στο πεδίο της συχνότητας. Σελίδα-8

9 Φασματική ανάλυση περιοδικών σημάτων (σειρές ρς Fourir Κάθε περιοδικό σήμα x(, με περίοδο Τ, μπορείνααναπτυχθείσε τριγωνομετρική σειρά άπειρων ημιτονικών σημάτων με μη μηδενικές γωνίες φάσης: m( a cos(f1 b si(f1 [, με α, για =,1,,, -π<θ π, για =1,,3, και θ = ή π. όπου α =c cosθ και b =-c siθ Συχνότητα f =1/T : θεμελιώδης συχνότητα Συχνότητα f : -στή αρμονική Σελίδα-9

10 Τύποι υπολογισμού των συντελεστών α και β 1 xd ( x ( fd x( fd Σελίδα-1

11 Τύποι υπολογισμού των συντελεστών α και β 1 a m( d T b T a m( cos(f1 d T T b m( si(f1 d T T Σελίδα-11

12 Ταυτότητες Eulr jx cos( x j si( x si( x jx jx j cos( x jx jx jx j 1 1 Σελίδα-1

13 Εκθετική μορφή Αντικαθιστώντας τους παραπάνω τύπους στο σήμα m(, έχω: m( a cos(f1 b si(f1 [, a b j j f jf jf1 j f1 1 [, a jb j f j f j f1 j f1 1 [, ( a jb jf ( a jb 1 jf1 [, [, c c j f ' j f 1 1 c c c j f [ 1, [1, j f 1 1 c Σελίδα-13

14 Εκθετική μορφή ( Όπου ( a jb a c c ( a jb a c c Ηνέα(εκθετική σειρά μπορεί να γραφεί σε μια πιο συνεκτική μορφή, θεωρώντας ότι ο δείκτης μεταβάλλεται στο διάστημα (-, -1] (αντί για γα το [1,, οπότε απαλείφεται το "-" στον εκθέτη (οι δείκτες είναι, πλέον, εξ ορισμού, αρνητικοί και η δεύτερη σειρά γίνεται "κατοπτρική" της πρώτης. Παρατηρώντας, επιπλέον, ότι c- + c+ = ao, προκύπτει ότι: m( a c c j f1 ' [1, (, 1 ] j f 1 Σελίδα-14

15 Σειρά μιγαδικών-εκθετικών όρων / Μιγαδικοί συντελεστές Σε συνέχεια των παραπάνω η (περιοδική κυματομορφή m( μπορεί να γραφεί, συνοπτικά, ως σειρά μιγαδικών εκθετικών όρων Όπου m ( (, c j f1 c ( a jb c a c ( a jb οι μιγαδικοί συντελεστές Σελίδα-15

16 Οι μιγαδικοί συντελεστές σε συνάρτηση με το m( c ( a jb m( cos(f1 d j T T T T m( si(f 1 d 1 T T m( cos( f j si( i(f ( 1 1 d j f c 1 1 m( T T d Σελίδα-16

17 Οι μιγαδικοί συντελεστές σε συνάρτηση με το m( ( Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο έχω: ( a jb 1 jf1 c m( d T και αντικαθιστώντας σε όποιον από τους δύο τύπους για = έχω 1 c a m(d T Οι παραπάνω τύποι μπορούν να συμπτυχθούν στον παρακάτω ενιαίο τύπο για (-<< j f c 1 1 m( T T T T d Σελίδα-17

18 Παραδείγματα: Συνάρτηση δειγματοληψίας Αναπτύξτε σε σειρά Fourir το παρακάτω σήμα (Περιοδική παλμοσειρά: x (......ύ Υπολογίζουμε τους μιγαδικούς συντελεστές Fourir x ακολουθώντας τον ορισμό. x 1 To j A To To x ( d To o To To T j To d... A si... To, 1,,... Σελίδα-18

19 Συνάρτηση δειγματοληψίας (συνέχεια.. Ορίζουμε τη συνάρτηση δειγματοληψίας (samplig fucio ως εξής: z z Sa si( ( Επομένως: z μ ς Sa c A x si si Σελίδα-19

20 Συνάρτηση δειγματοληψίας ( Στη γενική περίπτωση θα θυμάμαι: X A sii x si( i( z Sa( z T x z x Σελίδα-

21 Συνάρτηση δειγματοληψίας (3 Όπου υπενθυμίζουμε ότι η συνάρτηση sic(z παίρνει μηδενικές τιμές για ακέραιες τιμές του ορίσματος z. Άρα οι μηδενισμοί των είναι για x 1,,... T T o Ο λόγος του θετικού μετώπου του παλμού προς την περίοδο του σήματος, καλείται κύκλος λειτουργίας (duy cycl. Άρα οι μηδενισμοί των μιγαδικών συντελεστών Fourir προκύπτουν για To To To,, 3,.. ή αν απεικονίσουμε σε οριζόντιο άξονα T o 1,,.. Σελίδα-1

22 Συνάρτηση δειγματοληψίας (4 Σελίδα-

23 Μετασχηματισμός Fourir Μέσω του ολοκληρώματος (μετασχηματισμού Fourir, είναι δυνατή η φασματική αναπαράσταση οποιουδήποτε σήματος, περιοδικού ή μη. Ο υπολογισμός του εν λόγω ολοκληρώματος, για ένα σήμα m( οδηγεί σε μια συνάρτηση M(f, η οποία καταδεικνύει το "συχνοτικό περιεχόμενο" " του συγκεκριμένου σήματος. Ο μετασχηματισμός Fourir M(f, είναι (γενικά μιγαδική συνάρτηση της συχνότητας f Σελίδα-3

24 Μετασχηματισμός Fourir (1 ΟμετασχηματισμόςFourir μπορεί να προκύψει από τη μιγαδική σειρά Fourir, θεωρώντας ότι ένα μη περιοδικό σήμα m( μπορεί να εκληφθεί ως περιοδικό με περίοδο Τ=>. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τα εξής: Η απόσταση f 1 1/Τ μεταξύ των αρμονικών τείνει στο (f 1 1/T=>. Ως άμεση συνέπεια του παραπάνω, οι (διακριτοί μιγαδικοί συντελεστές Fourir C "πυκνώνουν" και ουσιαστικά μετεξελίσσονται, σε μια συνεχή μιγαδική συνάρτηση M(f. Η μιγαδική σειρά Fourir μετεξελίσσεται σε ολοκλήρωμα. Ουσιαστικά, οι συντελεστές C της σειράς Fourir υποκαθίστανται από τον όρο M(f*df. Σελίδα-4

25 Μετασχηματισμός Fourir ( Με βάση τους παραπάνω συλλογισμούς, ένα μη περιοδικό σήμα m( εκφράζεται ως m ( M ( f j f df Ή αλλιώς και αντίστροφος μετασχηματισμός Fourir Η μιγαδική συνάρτηση Μ(f αποτελεί το ολοκλήρωμα (ή μετασχηματισμό Fourirτου σήματος m(, αποδεικνύεται δε ότι μπορεί να γραφεί ως M ( f m ( j f d Σελίδα-5

26 Θεώρημα Parsval Η "σύνδεση" μεταξύ των πεδίων χρόνου και συχνότητας γίνεται μέσω του θεωρήματος Parsval που γενικά (για περιοδικά και μη σήματα, εκφράζεται ως: m ( d M ( f df Σελίδα-6

27 Παραδείγματα Υπολογίστε το μετασχηματισμό Fourir του φθίνοντος εκθετικού παλμού x(= - u( όπου u( η μοναδιαία βηματική συνάρτηση. X jf jf (1 jf ( f u( d d d 1 (1 jf 1 1 j f 1 j f Σελίδα-7

28 Παραδείγματα Υπολογίστε το μετασχηματισμό Fourir του x(=cos(πf x(=cos(πf ο Αναπτύσσοντας το συνημίτονο σε άθροισμα μιγαδικών εκθετικών και σύμφωνα με την ιδιότητα της ολίσθησης στη συχνότητα έχουμε: 1 1 cos( f f j f j f j f j o o o o 1 cos( f o o o ( ( 1 f f f f Σελίδα-8