. ΚΙΝΗΣΗ ΡΕΥΣΤΟΥ-ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOLLI Κίνηση σωµατιδίων ρευστού ύναµη, επιτάχυνση F mα εφαρµογή στην κίνηση σωµατιδίου εύτερος νόµος του NEWTON Επιτάχυνση F mα ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑ ΟΧΕΣ Ρευστά χωρίς ιξώδες Πίεση-Βαρύτητα Συστήµατα συντεταγµένων x,y,z r,θ,z Μόνιµη ροή 0 t
Προσδιορισµός της επιτάχυνσης ds dt d α αn, αs dt d ds α s dt s dt s αn R Rακτίνα καµπυλότητας της ροϊκής γραµµής sαπόσταση από κάποιο αρχικό αυθαίρετο σηµείο κατά µήκος µιάς ροϊκής γραµµής
Προσδιορισµός των δυνάµεων ιάγραµµα «Ελευθέρου Σώµατος» για ένα ροϊκό σωµατίδιο
Fmα κατά µήκος µίας Ροϊκής Γραµµής Για µόνιµη ροή η εφαρµογή του ου νόµου του Newton στη διεύθυνση s δίνει: δ F s δm s ρδv s () Η συνιστώσα του βάρους στην διεύθυνση µίας ροϊκής γραµµής εξαρτάται από τη γωνία της ροϊκής γραµµής δ W s δw sin γδv sin Η τελική δύναµη λόγω πίεσης προσδιορίζεται από την κλίση (βαθµίδα) πίεσης p δf ps δv s
(συνέχεια) Fmα κατά µήκος µίας Ροϊκής Γραµµής Η εξίσωση () γίνεται: γ sin p s ρ s ρα s που από φυσική άποψη,σηµαίνει ότι η µεταβολή της ταχύτητας του ροϊκού σωµατιδίου εξαρτάται απο την κλίση πίεσης και από το βάρος του σωµατιδίου κατά µήκος της ροϊκής γραµµής
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εξετάζουµε την µη συνεκτική, ασυµπίεστη, µόνιµη ροήκατά µήκος της ροϊκής γραµµής Α-Β µπροστά από µία σφαίρα ακτίνας α. Η ταχύτητα ροής κατά µήκος της ροϊκής αυτής γραµµής δίνεται από τη σχέση α 0 + x Να προσδιορισθεί η µεταβολή της πίεσης από το σηµείο Α µακριά από τη σφαίρα (x A - και A 0 ) στο σηµείο Β επάνω στη σφαίρα (x B -α και B 0)
ΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ. Λύση Ισχύει η εξίσωση (Ροή µη συνεκτική, µόνιµη και sin0) Με τη δεδοµένη σχέση για την ταχύτητα, ο όρος της επιτάχυνσης γράφεται s s p ρ 4 0 4 0 0 x x x x x s α α + α α + Προκύπτει ότι,δηλαδή το ρευστό επιβραδύνεται 0 x < Εποµένως 4 0 x x x p α + ρα Το σχήµα (b) δείχνει τη µεταβολή του p/ x κατά µήκος της γραµµής και το (c) τη µεταβολή της πίεσης (συνέχεια)
Ηεξίσωση () γράφεται όπως: dz γ ds dp ds απλοποιείται σε ( ) d ρ ds dp + ρ d( ) +γ dz 0 και µε ολοκλήρωση γίνεται dp + ρ + gz c ρ (cσταθερά ολοκλήρωσης) Για ρσταθερό (ασυµπίεστη ροή) έχουµε την εξίσωση Bernoulli p + ρ + γz σταθερό (κατά µήκος µίας ροϊκής γραµµής)
Ηεξίσωση Bernoulli µπορεί να γραφεί και µε µορφή «φορτίων» p γ + g + z σταθερό (κατά µήκος µίας ροϊκής γραµµής) p γ πιεζοµετρικό «φορτίο» g «φορτίο» ταχύτητας z δυναµικό «φορτίο»
Fmα κάθετα σε µία Ροϊκή Γραµµή Εφαρµογή του ου νόµου του Newton στη διεύθυνση n για µόνιµη ροή: δf s δm R ρδv R Η συνιστώσα του βάρους στη διεύθυνση n είναι δ W n δw cos γδv cos Η συνιστώσα της δύναµης λόγω πίεσης στη διεύθυνση n είναι p δf pn δv n
(συνέχεια) Fmα κάθετα σε µία Ροϊκή Γραµµή Η εξίσωση () γίνεται: γδv cos p n δv ρδv R ή γ dz dn p n ρ R που από φυσική άποψη,σηµαίνει ότι η µεταβολή της διεύθυνσης της ροής ενός σωµατιδίου οφείλεται στη βαθµίδα πίεσης και το βάρος του σωµατιδίου στη διεύθυνση n
Για αµελητέα βαρύτητα ή οριζόντια ροή έχουµε: p ρ n R * αύξηση της πίεσης µε την απόσταση από το κέντρο καµπυλότητας Ολοκλήρωση στη διεύθυνση n δίνει dp ρ R + dn + gz σταθερό κάθετα σε µία ροϊκή γραµµή Για µόνιµη, ασυµπίεστη, µη συνεκτική ροή έχουµε p + ρ dn + gz R σταθερό (κάθετα σε µία ροϊκή γραµµή)
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στο σχήµα φαίνονται δύο ροϊκά πεδία µε κυκλικέςροϊκέςγραµµές. Οι κατανοµές της ταχύτητας δίνονται από τις σχέσεις () r C r για την (α) και () r C r για την (β) C,C σταθερές Να προσδιορισθεί η κατανοµή της πίεσης pp(r) για κάθε περίπτωση µε δεδοµένο ότι pp 0 στη θέση rr 0.
(συνέχεια) Λύση H εξίσωση που ισχύει είναι p r ρ r Για την (α) η εξίσωση δίνει και για την (β) p r ρc r r p ρc r Και στις δύο περιπτώσεις η p αυξάνει µε αύξηση του r p r > 0 Με ολοκλήρωση έχουµε p ρc Η (α) αντιστοιχεί σε κίνηση στερεού σώµατος p ρc ( r r ) + p ( α) r0 0 r 0 + p 0 ( β) Η (β) αντιστοιχεί σε ελεύθερη «δίνη» (λαίλαπα-tornado)
Στατική- υναµική Πίεση-Ολική (Πίεση Ανακοπής) Πίεση Μετατροπή της κινητικής ενέργειας της ροής σε «ανύψωση πίεσης» (α) pθερµοδυναµική πίεση (Στατική) p γh + p γh (β) γzυδροστατική πίεση (λόγω µεταβολήs υψοµέτρου) (γ) ρ δυναµική πίεση () Σηµείο ανακοπής 0 (ρευστό στο σωλήνα ακίνητο)
(συνέχεια) Στατική- υναµική Πίεση-Ολική (Πίεση Ανακοπής) Πίεση p + p ρ Σηµείο ανακοπής σε κάθε σώµα που βρίσκεται µέσα στη ροή p ολ p + ρ + γz κατά µήκος ροϊκής γραµµής σταθερή
(συνέχεια) Στατική- υναµική Πίεση-Ολική (Πίεση Ανακοπής) Πίεση Στατική Πίεση Ολική Πίεση p p p 4 p + ρ p p p 4 ( p p ) ρ ρ 4 Ταχύτητα
(συνέχεια) Στατική- υναµική Πίεση-Ολική (Πίεση Ανακοπής) Πίεση Σωστός σχεδιασµός για την ακριβή µέτρηση της στατικής πίεσης Κατανοµή πίεσης κατά µήκος ενός σώµατος βυθισµένου στη ροή Περιοχή µε p<p στατικής
Εφαρµογές της εξίσωσης Bernoulli (α) Ροή από Στόµιο Ελεύθερες φλέβες (jets) z γh h, z 0, V 0, p 0 (Σχετική πίεση), p 0 (Ελεύθερη πίεση) ρv V gh Στο σηµείο 5 V g( h + H)
(β) Οριζόντια ροή Μεταβολή της ταχύτητας της εκροής V <V <V V µέσο Εφαρµογές της εξίσωσης Bernoulli Επίδραση vena contracta d j <d h vena contracta Στην έξοδο της φλέβας R< p > p p 0 Οµοιόµορφη Ταχύτητα στη διατοµή α-α C c συντελεστής συστολής C c A j /A h
Χρήση Εξίσωσης Bernoulli και Εξίσωσης Συνεχείας Παροχή µάζας m ρ Q,Qπαροχή όγκου Q Vol VAδt δt δt VA Vταχύτητα m ρ VA m m ρ VA ρ VA VA VA A για A V V
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Νερό εκρέει από δεξαµενή διαµέτρου D.0m µέσω µιαςοπήςδιαµέτρου 0.m. Να προσδιορισθεί η παροχή Q αντοβάθοςροήςστηδεξαµενή παρα- µένει σταθερό h.0m. ΛΥΣΗ Για µόνιµη, µη συνεκτική και ασυµπίεστη ροή η εξίσωση Bernoulli εφαρ- µόζεται µεταξύ των () και () και δίνει p + ρ +γ z p + ρ +γz ()
(συνέχεια) Με τις παραδοχές p p 0 και z h, z 0 η εξίσωση () γίνεται + gh () Η αρχή της διατήρησης της µάζας δίνει Q Q όπου QA Εποµένως D d d π π ή () 4 4 D
(συνέχεια) Από () και () Q gh d D A A 6.6 m / s 0.049 m ' Αν υποθέσουµε 0 και και Q ο A / s Το σφάλµα από την υπόθεση αυτή µπορεί να υπολογισθεί από το λόγο των παροχών Q/Q ο gh
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Αέρας από µία κλειστή δεξαµενή εκρέει στην ατµόσφαιρα µέσω ενός σωλήνα (D0.0m) που στην άκρη έχει ακροφύσιο (d0.0m).η πίεση στη δεξαµενή παραµένει σταθερή και ίση.0kpa. Να υπολογισθεί η παροχή του αέρα και η πίεση στο σωλήνα. ΛΥΣΗ Εφαρµογή της εξίσωσης Bernoulli δίνει p + ρ +γ z p + ρ +γ z p + ρ +γz Με τις παραδοχές z z z, 0 (µεγάλη δεξαµενή) και p 0 (ατµοσφαιρική πίεση) η εξίσωση γίνεται p και p p ρ ρ
(συνέχεια) Για ρ αέρα.6kg/m έχουµε 69 m/s και QΑ 5.4*0 - m /s Η ταχύτητα είναι A / (d/d) 7.67 m/s και η πίεση p 96N/m (Pa)
Το Φαινόµενο της Σπηλαίωσης Αύξηση της ταχύτητας Μείωση της πίεσης Σπηλαίωση pp ατµών Βρασµός Σωλήνας σπηλαίωσης
Γραµµή ενέργειας και πιεζοµετρική γραµµή Γραφική απεικόνιση της εξίσωσης Bernoulli Γραµµή ενέργειας: η γραµµή που δείχνει τη συνολική ενέργεια του ρευστού Πιεζοµετρική γραµµή: η γραµµή που δείχνει το πιεζοµετρικό φορτίο p/γ κατά µήκος της ροϊκής γραµµής(σωλήνα) Για ροή κάτω από την πιεζοµετρική γραµµή, η πίεση p είναι αρνητική
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Νερό ρέει στο σωλήνα του σχήµατος. Η µέτρησητηςστατικήςπίεσηςστιςδιατο- µές () και () γίνεται µεέναµανόµετρο τύπου που περιέχει λάδι πυκνότητας µικρότερης από αυτή του νερού. Να προσδιορισθεί η ένδειξη του µανόµετρου. ΛΥΣΗ Θεωρώντας ροή µόνιµη, ασυµπίεστη και µη συνεκτική η εξίσωση Bernoulli γράφεται + ρ + γz p + ρ + γz p () Η εξίσωση συνεχείας γράφεται Q A A () Η διαφορά πίεσης (p -p ) από το µανόµετρο είναι ( ) p γ z z γl γ h+ρ gh+γ l p µαν ( ) ( νερ µαν ) p p γ z z + ρ ρ gh()
(συνέχεια) Από (),() και () έχουµε: A ρ ρ gh ρ ή A ( νερ µαν ) A Q A h A ρ g ρ µαν νερ Το h ανεξάρτητο της γωνίας θ
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 Να προσδιορισθεί το µέγιστο ύψος Η του σωλήνα έτσι ώστε να µην εµφανισθεί σπηλαίωση στο σωλήνα. ΛΥΣΗ ΗεξίσωσηBernoulli γιατασηµεία (), () και () γράφεται: p + ρ + γz p + p + ρ + γz () ρ + γz Με επίπεδο αναφοράς τον πυθµένα της δεξαµενής έχουµε: z 5m,z H,z.5m, 0 ( µεγάλη δεξαµενή) p 0 ( ατµοσφαιρικήπί εση) p 0 ( ελεύθερηφλέ βα) ( ), p.8*0 0.*0 99.0kPa
(συνέχεια) Από () έχουµε: ( ) g z z 0.77m/s Από () έχουµε: γ z p + ρ +γz 980*4.5 99*0 + 000*0.77 + 980H H 8.46m