Μαρία Πριοβόλου ΔΙΑΓΩΝΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής αδείας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Εκπαίδευση Μαρία Πριοβόλου, Διαγωνιστικά Μαθηματικά (για μαθητές γυμνασίου) Διορθώσεις: Μάγδα Τικοπούλου Υπεύθυνος έκδοσης: Βαγγέλης Μπακλαβάς DTP: Γιώργος Χατζησπύρος Φιλμ μοντάζ: Κέντρο Γρήγορης Εκτύπωσης Copyright Σ. Πατάκης ΑΕΕΔΕ (Εκδόσεις Πατάκη), Μαρία Πριοβόλου, Αθήνα, 2015 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Νοέμβριος 2015 ΚΕΤ 8943 ΚΕΠ 856/15 ISBN 978-960-16-5386-0 Πρώτη ψηφιακή έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Δεκέμβριος 2015 ΚΕΤ Α320 ISBN 978-960-16-6672-3 ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 38, 104 37 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 210.36.50.000, 210.52.05.600, 801.100.2665, ΦΑΞ: 210.36.50.069 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, 106 78 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 210.38.31.078 YΠOKΑΤΑΣΤΗMA BOPEIAΣ EΛΛAΔAΣ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH B KTEO), 570 09 KAΛOXΩPI ΘEΣΣAΛONIKHΣ, Τ.Θ. 1213, ΤΗΛ.: 2310.70.63.54, 2310.70.67.15, ΦΑΞ: 2310.70.63.55 Web site: http://www.patakis.gr e-mail: info@patakis.gr, sales@patakis.gr
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή................................................................... 7 Ενότητα 1: Οι πραγματικοί αριθμοί............................................. 9 Ερωτήσεις κλειστού τύπου..................................................... 21 1ο κριτήριο αξιολόγησης...................................................... 23 2ο κριτήριο αξιολόγησης...................................................... 24 Ενότητα 2: Αλγεβρικές παραστάσεις........................................... 25 Ερωτήσεις κλειστού τύπου..................................................... 40 3ο κριτήριο αξιολόγησης...................................................... 42 4ο κριτήριο αξιολόγησης...................................................... 43 5ο κριτήριο αξιολόγησης...................................................... 44 Ενότητα 3: Εξισώσεις Ανισώσεις Προβλήματα................................ 45 Ερωτήσεις κλειστού τύπου..................................................... 67 6ο κριτήριο αξιολόγησης...................................................... 70 7ο κριτήριο αξιολόγησης...................................................... 71 8ο κριτήριο αξιολόγησης...................................................... 72 Ενότητα 4: Ποσοστά Περιγραφική στατιστική Πιθανότητες.................... 73 Ερωτήσεις κλειστού τύπου..................................................... 98 9ο κριτήριο αξιολόγησης..................................................... 100 10ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 102 Ενότητα 5: Ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά Συναρτήσεις................ 104 Ερωτήσεις κλειστού τύπου.................................................... 130 11ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 134 12ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 135 13ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 136 Ενότητα 6: Συστήματα γραμμικών εξισώσεων.................................. 137 Ερωτήσεις κλειστού τύπου.................................................... 148 14ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 149 15ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 150
Ενότητα 7: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Συμμετρία Τρίγωνα Παραλληλόγραμμα Τραπέζια............................................... 151 Ερωτήσεις κλειστού τύπου.................................................... 178 16ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 181 17ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 182 Ενότητα 8: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα................... 184 Ερωτήσεις κλειστού τύπου.................................................... 193 18ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 195 19ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 196 Ενότητα 9: Iσότητα και ομοιότητα τριγώνων Θεώρημα Θαλή.................... 198 Ερωτήσεις κλειστού τύπου.................................................... 216 20ό κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 218 21ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 219 Ενότητα 10: Τριγωνομετρία.................................................. 221 Ερωτήσεις κλειστού τύπου.................................................... 234 22ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 236 23ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 237 24ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 238 Ενότητα 11: Μέτρηση κύκλου................................................ 239 Ερωτήσεις κλειστού τύπου.................................................... 249 25ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 251 26ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 252 Ενότητα 12: Γεωμετρικά στερεά Μέτρηση στερεών............................ 253 Ερωτήσεις κλειστού τύπου.................................................... 279 27ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 282 28ο κριτήριο αξιολόγησης.................................................... 283 Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης.......................................... 285 Απαντήσεις Λύσεις κριτηρίων αξιολόγησης................................... 303 Παράρτημα............................................................... 339 Απαντήσεις Λύσεις παραρτήματος........................................... 371
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αγαπητή μαθήτρια, αγαπητέ μαθητή Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε εσένα που φέτος ξεκινάς τη φοίτησή σου στη Β γυμνασίου και επιθυμείς να μελετήσεις σε βάθος τα Μαθηματικά. Θα σε συντροφεύει σε όλη σου την υπόλοιπη πορεία στο γυμνάσιο μέχρι και τους πρώτους μήνες της φοίτησής σου στην Α λυκείου. Ο κύριος στόχος του βιβλίου που κρατάς στα χέρια σου είναι να σου δώσει τη δυνατότητα να μελετήσεις σωστά όλη τη θεωρία των Μαθηματικών που διδάσκονται στο γυμνάσιο και να εξασκηθείς κατάλληλα σε αυτά για να αριστεύσεις στις τελικές απολυτήριες εξετάσεις. Πέρα από αυτό περιέχει κατάλληλα επιλεγμένες ασκήσεις Διαγωνιστικών Μαθηματικών για την επιτυχία σου στον Διαγωνισμό «Θαλής» της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (E.M.E.), καθώς και στον Μαθηματικό Διαγωνισμό Καγκουρό. Το βιβλίο είναι χωρισμένο σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος αποτελείται από 12 κεφάλαια. Κάθε κεφάλαιο περιέχει το θεωρητικό κομμάτι των Μαθηματικών που διδάσκονται και στις τρεις τάξεις του γυμνασίου, αναλυτικά λυμένα παραδείγματα, ερωτήσεις κλειστού τύπου και κριτήρια αξιολόγησης, για να αξιολογήσεις τις γνώσεις που αποκόμισες. Στο τέλος του πρώτου μέρους υπάρχουν 10 επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης για τους μαθητές που ολοκληρώνουν τη Γ γυμνασίου και επιθυμούν να αξιολογήσουν τις συνολικές τους μαθηματικές γνώσεις λίγο πριν ξεκινήσουν το λύκειο. Το δεύτερο μέρος του βιβλίου το παράρτημα αποτελείται από ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας για όλους εσάς που θέλετε να επιτύχετε στην α φάση των μαθηματικών διαγωνισμών. Δίνονται προς επίλυση αρκετές ασκήσεις από ελληνικούς, κυπριακούς και παγκόσμιους διαγωνισμούς. Εύχομαι σε όλους σας καλό ταξίδι στον μαγικό κόσμο των Διαγωνιστικών Μαθηματικών και πολλές επιτυχίες, που θα σας δώσουν φτερά για να συνεχίσετε τη σοβαρή ενασχόλησή σας με τα Μαθηματικά και θα κάνουν εμάς τους δασκάλους σας περήφανους. Μαρία Πριοβόλου
Ε ΝΟΤΗΤΑ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: www.history.mcs.st-and.ac.uk/histtopics/ Real_numbers_1.html Διαβάστε: Γ. Μαρτίνες, Η ακολουθία της Οξφόρδης, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Oxford s Murders (2005), Alex de la Inglesia Φυσικοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,., 98, 99, 100,, 1999, 2000, 2001 κ.λπ. Φυσικοί Αριθμοί Άρτιοι ή Ζυγοί: Λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2. Γενική μορφή: 2κ. Περιττοί ή μονοί: Λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που δε διαιρούνται με το 2. Γενική μορφή: 2κ + 1. Ακέραιοι αριθμοί ονομάζονται οι ολόκληροι αριθμοί. Ο ακέραιος είναι ο αριθμός που δηλώνει πλήρες αντικείμενο. Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που γράφονται ως κλάσματα ακεραίων. Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή δεκαδικού ή περιοδικού δεκαδικού αριθμού. Ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος όταν έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1. Ένας φυσικός αριθμός που δεν είναι πρώτος είναι σύνθετος. 9
1 Οι πραγματικοί αριθμοί Κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθμός αποτελείται από ένα τμήμα επαναλαμβανόμενων δεκαδικών ψηφίων. Κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή κλασματικού ρητού. Ρητοί Αριθμοί Ομόσημοι ρητοί αριθμοί: Λέγονται οι ρητοί αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. Ετερόσημοι ρητοί αριθμοί: Λέγονται οι ρητοί αριθμοί που έχουν αντίθετο πρόσημο. Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν φυσικό ή δεκαδικό αριθμό: α. Επιλέγουμε την τάξη του ψηφίου στο οποίο θα γίνει η στρογγυλοποίηση. Τα ψηφία των μικρότερων τάξεων μηδενίζονται. β. Εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης. Αν αυτό είναι: i. μικρότερο του 5, τότε το ψηφίο στρογγυλοποίησης παραμένει. Στρογγυλοποίηση λέγεται μια διαδικασία που πραγματοποιούμε στην καθημερινότητά μας όταν στη θέση ενός φυσικού ή δεκαδικού αριθμού χρησιμοποιούμε κάποιον άλλο, μικρότερο ή μεγαλύτερό του, για πρακτικούς λόγους. ii. μεγαλύτερο ή ίσο του 5, τότε το ψηφίο στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1. Άρρητοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που δε γράφονται ως κλάσματα ακεραίων, οπότε είναι μη περιοδικοί δεκαδικοί. Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί μάς δίνουν τους πραγματικούς αριθμούς. Μια ευθεία επί της οποίας παριστάνονται όλοι οι αριθμοί που γνωρίζουμε καλείται άξονας των πραγματικών αριθμών. 10
Διαγωνιστικά Mαθηματικά Η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού α είναι ίση με την απόσταση του σημείου με τετμημένη α από την αρχή Ο του άξονα των πραγματικών αριθμών. α α, α 0 α, α 0 Αντίθετοι αριθμοί λέγονται οι ετερόσημοι πραγματικοί αριθμοί με την ίδια απόλυτη τιμή. Δύο αντίθετοι αριθμοί έχουν άθροισμα 0. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους και το μηδέν αποτελούν τους ακέραιους αριθμούς. Αντίστροφοι αριθμοί λέγονται δύο αριθμοί α, β που έχουν γινόμενο τη μονάδα, δηλαδή αβ 1. Συνεπώς β, α 0. 1 α 0 α α ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Η πρόσθεση είναι μια πράξη που συνδέει δύο πραγματικούς αριθμούς α και β (προσθετέοι), δίνοντας ως αποτέλεσμα έναν πραγματικό αριθμό που συμβολίζεται με α β, τον οποίο ονομάζουμε άθροισμα των α και β. Ιδιότητες της Πρόσθεσης Τύπος Αντιμεταθετική Ιδιότητα α β β α Προσεταιριστική Ιδιότητα α β γ α β γ Ουδέτερο Στοιχείο α 0 0 α α Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά τους βάζουμε πρόσημο το κοινό τους πρόσημο. Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά βάζουμε πρόσημο το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. 11
1 Οι πραγματικοί αριθμοί Η αφαίρεση είναι πράξη αντίθετη της πρόσθεσης. Για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του β: α β α β. Πολλαπλασιασμός Στον πολλαπλασιασμό δύο ομόσημων αριθμών πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε το πρόσημο. Στον πολλαπλασιασμό δύο ετερόσημων αριθμών πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε το πρόσημο. Σε κάθε πολλαπλασιασμό, οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται ονομάζονται παράγοντες και το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού λέγεται γινόμενο. Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού Τύπος Αντιμεταθετική Ιδιότητα α β β α Προσεταιριστική Ιδιότητα α β γ α β γ Ουδέτερο Στοιχείο α 1 1 α α Απορροφητικό Στοιχείο α 0 0 α 0 Επιμεριστική Ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση α β γ α β α γ του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση α β γ α β α γ 12
Διαγωνιστικά Mαθηματικά Η διαίρεση είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού: 1 α : β α, β 0 β α α 1, β 0 β β Στη διαίρεση δύο ομόσημων αριθμών διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε το πρόσημο. Στη διαίρεση δύο ετερόσημων αριθμών διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε το πρόσημο. Για να βρούμε το πηλίκο δύο αριθμών α και β, πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Διαίρεση με διαιρέτη το μηδέν δεν ορίζεται. Κάθε αριθμός που διαιρείται με τη μονάδα δίνει πηλίκο τον εαυτό του. Κάθε αριθμός που διαιρείται με τον εαυτό του δίνει πηλίκο τη μονάδα. Με όποιον αριθμό διαιρέσουμε το μηδέν το πηλίκο είναι μηδέν. Ευκλείδεια Διαίρεση Γενικότερα, αν δοθούν δύο αριθμοί Δ και δ (αρκεί να είναι δ 0), μπορούμε να βρούμε δύο άλλους αριθμούς π και υ ώστε να ισχύει: Δ δ π υ, υ δ. Ο αριθμός Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ λέγεται διαιρέτης, ο αριθμός π ονομάζεται πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης. Η παραπάνω σχέση λέγεται τότε ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης του Δ με τον δ. Όταν το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι μηδέν, η διαίρεση λέγεται τέλεια. Ισχύει: Δ = δ π. Όταν το υπόλοιπο της διαίρεσης δεν είναι μηδέν, η διαίρεση λέγεται ατελής. 13
1 Οι πραγματικοί αριθμοί Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) Ο μεγαλύτερος από τους θετικούς κοινούς διαιρέτες δύο ή περισσότερων ακεραίων. Το μικρότερο από τα θετικά κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων ακεραίων. Δύο φυσικοί αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν ΜΚΔ αβ, 1. Προσδιορισμός ΜΚΔ και ΕΚΠ ΜΚΔ ΕΚΠ Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Παίρνουμε το γινόμενο μόνο των κοινών παραγόντων με τον μικρότερο εκθέτη που συναντάμε τον καθένα. Παίρνουμε το γινόμενο όλων των παραγόντων με τον μεγαλύτερο εκθέτη που συναντάμε τον καθένα. Κριτήρια διαιρετότητας Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το: 10 όταν το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι 0. 2 όταν το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι 0, 2, 4, 6 ή 8. 5 όταν το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι 0 ή 5. 3 9 όταν το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού διαιρείται με το 3. όταν το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού διαιρείται με το 9. 14
Διαγωνιστικά Mαθηματικά 4 ή 25 8 7 όταν τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 ή το 25 αντίστοιχα. όταν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8. όταν διαγράφοντας το τελευταίο ψηφίο του και αφαιρώντας από τον αριθμό που έμεινε το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε προκύπτει αριθμός πολλαπλάσιος του 7. Προτεραιότητα των πράξεων Σε μια παράσταση με δυνάμεις, πολλαπλασιασμούς, διαιρέσεις, προσθέσεις και αφαιρέσεις, η προτεραιότητα των πράξεων μας οδηγεί στο να εκτελέσουμε τις πράξεις με την εξής σειρά: 1. Άγκιστρα, αγκύλες και παρενθέσεις, όπου δουλεύουμε «από μέσα προς τα έξω». 2. Δυνάμεις. 3. Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά. 4. Προσθέσεις και αφαιρέσεις. Δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και έναν εκθέτη φυσικό αριθμό ν 2 είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α ν και συμβολίζεται με α. Ορισμοί 0 α 1, α 0 ν α α α α... α ν παράγοντες Το α λέγεται βάση και το ν εκθέτης. Ιδιότητες α α α μ ν μ ν 1 μ ν μ ν α α α : α α ν 1 α, α ν 0 α ν ν ν α β α β 15
1 Οι πραγματικοί αριθμοί ν α β β α ν ν α α, α, β 0, α, β 0 ν β β ν μ ν α α μ ν Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α λέγεται ένας θετικός αριθμός ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Συμβολίζεται ως α. Ορισμοί Ιδιότητες 2 α 2 α α β α β, α, β 0 α α α α, α 0, α 0 και β 0 β β α β α β, α, β 0 Λυμένα Παραδείγματα Παράδειγμα 1.1 Να γραφούν με κλασματική μορφή οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί: α. 0, 7, β. 1,35 Λύση α. Θέτουμε x 0, 7 και έχουμε διαδοχικά: x 0,777... 10x 7,777... 10x 7 0,777... 10x 7 x 10x x 7 9x 7 7 x 9 β. Θέτουμε y 1,35 και έχουμε διαδοχικά: y 1,35 y 1,353535... 100y 135,3535... 100y 135 0,3535... 100y 135 y 1 100y y 135 1 99y 134 134 y 99 16
4 Ποσοστά Περιγραφική στατιστική Πιθανότητες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ Α. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις επόμενες προτάσεις: 1. Ο αριθμός 38 είναι ποσοστό 38%. 2. Το κλάσμα 7 είναι το ποσοστό 140%. 5 3. Μια τράπεζα δίνει επιτόκιο 3%, ο τόκος ενός έτους για κεφάλαιο 2000 είναι 60. 4. Ένα βιβλίο κοστίζει 16 και έγινε έκπτωση 4, που αντιστοιχεί σε ποσοστό έκπτωσης 30%. 5. Σε μια στατιστική έρευνα το δείγμα πρέπει να είναι επιλεγμένο κατά τέτοιον τρόπο ώστε τα συμπεράσματα που προκύπτουν να ισχύουν για όλο τον πληθυσμό. 6. Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 9, τότε η διάμεσος είναι η πέμπτη παρατήρηση. 7. Η μέση τιμή είναι αριθμός πάντα μεγαλύτερος από τη διάμεσο. 8. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για να παραστήσουμε τη χρονική εξέλιξη ενός φαινομένου. 9. Η διάμεσος των παρατηρήσεων 0,1,2,2,3,3,5,6,6,6,7 είναι ο αριθμός 3 και η μέση τιμή είναι ίση με 4. 10. Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή, αν η πρώτη κλάση είναι 0 4, τότε το πλάτος της είναι ίσο με 5. 11. Η ισότητα Α Α' είναι αληθής. 12. Η σχετική συχνότητα, όπως και η πιθανότητα, είναι θετικοί αριθμοί μικρότεροι από τη μονάδα. 13. Ισχύουν ότι Α Β ' Α' Β' και Α Β ' Α' Β'. 2 14. Τα σύνολα Α = {x, όπου x 16} και Β { 4,4} είναι ίσα. 2 15. Το σύνολο Κ = {x, x x 1 0} είναι το κενό σύνολο. 16. Η καταγραφή της κίνησης μιας μπάλας κατά την πτώση της από τον έβδομο όροφο μιας πολυκατοικίας είναι ένα πείραμα τύχης. 17. Το ενδεχόμενο Α = {x, x 2 1 0} είναι ένα βέβαιο ενδεχόμενο. 98
Διαγωνιστικά Mαθηματικά 18. Κατά τη ρίψη δύο ζαριών η πιθανότητα να φέρουμε δύο διαδοχικούς αριθμούς είναι ίση με 5 18. 19. Έπειτα από τη ρίψη ενός νομίσματος τρεις φορές, η πιθανότητα να έλθει τουλάχιστον μία κεφαλή είναι 3 8. 20. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ισχύει η σχέση P( A B) P( A B) P( A) P( B). Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. Ένας ηλεκτρολόγος είχε έσοδα σε ένα εξάμηνο 4000. Θα αποδώσει στην εφορία ΦΠΑ 23% περίπου ίσο με: α. 740 β. 748 γ. 840 δ. 920 2. Η αξία ενός ακινήτου αυξήθηκε από 80000 σε 160000. Πρόκειται για μια αύξηση: α. 40% β. 50% γ. 70% δ. 100% 3. Σε μια εταιρεία έγινε μια στατιστική έρευνα για τον συνολικό χρόνο (σε έτη) υπηρεσίας των εργαζομένων. Τα αποτελέσματα δίνονται από τον παρακάτω πίνακα. Ο άγνωστος αριθμός Κ είναι ίσος με: Κλάσεις Σχετική Συχνότητα 0 10 48% 10 20 34% 20 30 14% 30 40 Κ α. 40% β. 25% γ. 12% δ. 4% 4. Έχουμε τα σύνολα Α {1,2,3,4}, Β {2,4,6,8} και Γ {3,5,7,9}. Τότε το σύνολο Α Β Γ είναι το: α. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} β. {2,3,4,5,7} γ. {3} δ. ΡΑ ( ) 3 5. Αν, τότε η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι: ΡΑ ( ') 4 α. 0,3 β. 4 3 γ. 3 7 δ. 4 7 99
Διαγωνιστικά Mαθηματικά 18ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Θέμα 1ο Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ρόμβου ΑΒΓΔ. Θέμα 2ο Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Θέμα 3ο Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του σχήματος το σημείο Ζ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ και το σημείο Ε είναι τέτοιο ώστε ΑΕ 2ΕΒ. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΕΒΖ είναι ίσο με 1 cm 2, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΖ. (Hong Kong Diploma of Secondary Education Examination, 2012) Θέμα 4ο Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκεπής του σπιτιού. 195
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
Διαγωνιστικά Mαθηματικά Κ4. Ο Ευκλείδης κρατά μερικά κανονικά πεντάγωνα, τα οποία είναι όλα ίδια μεταξύ τους. Τα τοποθετεί το ένα δίπλα στο άλλο για να φτιάξει ένα κυκλικό σχήμα. Η παρακάτω εικόνα δείχνει μέρος της κατασκευής του. Πόσα πεντάγωνα θα χρειαστεί για την κατασκευή; Κ7. Έχουμε ένα κανονικό οκτάγωνο πλευράς 12 cm, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται μεταξύ του κύκλου ο οποίος είναι εγγεγραμμένος στο μικρό εσωτερικό οκτάγωνο, και του τετραγώνου που είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο. (Διαγωνισμός Καγκουρό, 2013) Κ5. Έχουμε δύο ίσα ισόπλευρα τρίγωνα με το ίδιο κέντρο, που σχηματίζουν ένα αστέρι, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν η τομή τους είναι ένα κανονικό εξάγωνο με εμβαδόν 60 cm 2, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ενός από τα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα. K8. Δίνεται ένα κανονικό εξάγωνο με πλευρά 6 cm. Με κέντρο τις κορυφές του εξαγώνου σχεδιάζουμε τόξα με ακτίνα 3, δημιουργώντας κυκλικούς τομείς, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου. (American Mathematics Contest, 2014) (Υπόδειξη: Κέντρο τριγώνου θεωρείται το κέντρο συμμετρίας του.) Κ6. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα κανονικό εξάγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 5, να υπολογίσετε το εμβαδόν του κανονικού εξαγώνου. εγγράφουμε έξι ίσους μικρότερους κύκλους έτσι ώστε να εφάπτονται στην περιφέρεια του αρχικού κύκλου. Κάθε μικρός κύκλος εφάπτεται εξωτερικά με δύο άλλους. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφάνειας των έξι μικρών κύκλων. Κ9. Σε έναν κύκλο Ο,12 365
Παράρτημα Κ10. Ένας κύκλος με ακτίνα 4 cm είναι εγγεγραμμένος στο εσωτερικό ενός ισόπλευρου τριγώνου. Το εμβαδόν της επιφάνειας μεταξύ του κύκλου και του τριγώνου είναι 3 α πβ cm 2. Να υπολογίσετε την τιμή του αθροίσματος α β. Κ11. Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και διάμετρο 10 cm και ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. κύκλια στο εσωτερικό του με κέντρα τις κορυφές του και ίσες ακτίνες ρ 1. Θεωρούμε τον κύκλο Οα,, όπου Ο είναι το κέντρο του τετραγώνου, ο οποίος εφάπτεται στα τεταρτοκύκλια. Να συγκρίνετε τα μήκη του μεικτόγραμμου σχήματος και του κύκλου. Κ12. Δύο κύκλοι (Ο, R) και (Κ, r) εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο Η, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, με ΑΒ 6, ΕΖ 8 και ΓΔ 6. Αν ΒΔ είναι η διάμετρος του μεγάλου κύκλου, να υπολογίσετε το μήκος του καμπυλόγραμμου σχήματος ΗΒΕΔΗΓΖΑΗ. Κ14. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 2 cm. Τα τεταρτοκύκλια ΑΓ και ΒΔ έχουν κέντρα τις κορυφές Δ και Γ αντίστοιχα και ακτίνα το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ, το οποίο είναι επίσης διάμετρος του ημικυκλίου ΓΔ. Να βρείτε ποια από τις επιφάνειες Ε και Ζ έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν. Κ13. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 4 και τα τεταρτο- Κ15. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και μέσα σε αυτό εγγεγραμμένο άλλο τετράγωνο ΕΖΗΘ πλευράς 5 cm. Αν γνωρίζετε ότι ΑΕ ΒΖ ΓΗ ΔΘ ΘΕ 2, να υπολογίσετε τον λόγο του εμβαδού του τριγώνου 366
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ