.. Απόσταση σημείου από ευθεία Αν έχουμε την ευθεία (ε) με εξίσωση: Ax+Βψ+Γ=0 με A 0 ή Β 0 και το σημείο Μ (xo, ψο), τότε η απόσταση d του Μ από την ευθεία (ε) δίνεται από τον τύπο: d = d(m,ε) = Αx o + Bψ Α ο + Β + Γ (ε) ψ Μ(x o, ψ o ) x 0 ψ x.. Υπολογισμός εμβαδού τριγώνου Αν έχουμε το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(x, ψ), Β(x, ψ) και Γ(x, ψ), τότε το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο: E E (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) = (ΑΒΓ) = = (ΑΒΓ) = det(ab, AΓ) det(βα,βγ) ή ή A(x, ψ ) ψ Γ(x, ψ ) Ε (ΑΒΓ) = (ΑΒΓ) = det(γα, ΓΒ) x 0 Β(x, ψ ) x ψ 80
. Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: x+ψ-6=0. Να βρεθούν οι αποστάσεις των σημείων Ο(0, 0), Μ (, ) και Μ (-,-) από την ευθεία (ε). Για την απόσταση σημείου από ευθεία έχουμε τον τύπο: Axo + Bxo +Γ d = Α +Β Είναι: A=, B= και Γ=-6 Οπότε: O(0, 0) 0 + 0 6 6 6 d = d(o,ε) = = = + Μ(, ) d + 6 4+ 9 6 7 7 = d(m,ε) = = = = Μ(-, -) ( ) + ( ) 6 6 6 4 d = d(m,ε) = = = = 4. Δίνονται οι ευθείες: (ε ): x-ψ+5=0 (ε ): x-ψ-6=0 Να βρεθεί η απόσταση των ευθειών (ε ) και (ε ) Εδώ έχουμε να βρούμε την απόσταση παράλληλων ευθειών. Δουλεύουμε λοιπόν ως εξής: Βρίσκουμε ένα τυχαίο σημείο Α στην μία ευθεία και παίρνουμε την απόστασή του από την άλλη ευθεία. Έτσι έχουμε: Για x=0 από την (ε) είναι ψ + 5 = 0 ψ = 5 Οπότε έχουμε το σημείο Α(0, 5) της (ε) και : 0 + ( )5 6 D(A,ε ) = d(ε,ε) = = = + 5 5 5 8
. Δίνονται οι ευθείες: (ε ): x+ψ =0 (ε ): 4x+ψ =0 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι μεσοπαράλληλη των (ε ) και (ε ). Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Α στην (ε) και τυχαίο σημείο Β στην (ε). Οπότε η ζητούμενη ευθεία (ε) θα διέρχεται από το μέσο Μ του ΑΒ και είναι παράλληλη προς τις ευθείες (ε) και (ε). Οι ευθείες (ε) και (ε) είναι παράλληλες γιατί: λε = = λε = λε = 4 λε = = 6 ψ Α Μ Β ( ε ) =!"Για x = + ψ = 0 ψ. Οπότε έχουμε το σημείο Α(, ) της (ε). ( ε ) =!"Για x = 8 + ψ = 0 ψ 4 = 0 ψ x ψ / (ε ) (ε) (ε ) x Οπότε έχουμε το σημείο Β(, ) της (ε). Το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες: x ψ Μ Μ + = = Μ (, ) + = = H ζητούμενη ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς τις ευθείες (ε) και (ε), οπότε θα έχει συντελεστή διεύθυνσης: λ = λ = λ = Διέρχεται από το σημείο Μ(, ). Οπότε η εξίσωσή της είναι: ψ = (x ) ψ = x + 9 ψ = x + + ψ = x + 4x + ψ 9 = 0 ε ε 8
4. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ με Α(, ), Β(-, ), Γ(, 4), Δ(, ). Φέρνουμε την διαγώνιο ΑΓ που χωρίζει το τετράπλευρο ΑΒΓΔ στα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ. Οπότε: EΑΒΓΔ=ΕΑΒΓ+ΕΑΓΔ () Β 4 Α Γ Δ -!"Για το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ χρειαζόμαστε τις συντεταγμένες των ABκαι ΑΓ. Έτσι έχουμε: ΑΒ = (, ) = (,) ΑΓ = (,4 ) = (, ) Oπότε: Ε ΑΒΓ = det( ΑΒ, ΑΓ ) = 5 EΑΒΓ = 4 Ε ΑΒΓ = ()!"Είναι ΑΓ = (, ) και : ΑΔ = (, ) = (, 0) Oπότε: Ε ΑΓ = det( ΑΓ, Α ) = 0 Ε ΑΓ = 0 4 Ε ΑΓ = () 5 9!"Aπό (), () και () έχουμε: E ΑΒΓΔ = + = τετραγωνικές μονάδες. 8
5. Δίνονται οι ευθείες (ε ): 4x+ψ-=0 και (ε ) : x-5ψ+=0. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες (ε ) και (ε ). Γνωρίζουμε από την ευκλείδεια γεωμετρία ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις δύο πλευρές της. Έτσι υποθέτουμε ότι το σημείο Μ(x, ψ) είναι τυχαίο σημείο των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι (ε) και (ε). Οπότε : d(m, ε ) = d(m, ε ) 4x + ψ x 5ψ+ = 6+ 9 44 + 5 4x + ψ x 5ψ+ = 5 4x+ ψ = 5x 5ψ+ (4x + ψ ) = 5(x 5ψ+ ) () ή (4x + ψ ) = 5(x 5ψ+ ) () Από () έχουμε: 5x+9ψ-9=60x-5ψ+5 5x-60x+9ψ+5ψ-9-5=0-8x+64ψ-44=0 x-6ψ+=0 : (δ) Από () έχουμε: 5x+9ψ-9=-60x+5ψ-5 5x+60x+9ψ-5ψ-9+5=0 x+4ψ-4=0 56x+7ψ-7=0 : (δ) Επομένως οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι (ε) και (ε) είναι οι ευθείες: (δ): x-6ψ+=0 (δ): 56x+7ψ-7=0 Οι ευθείες (δ) και (δ) είναι κάθετες, γιατί είναι διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών. 56 Πράγματι είναι: λδ λδ = ( ) = 6 7 84
6. Δίνεται η ευθεία (ε ): χ ψ+5=0 και το σημείο Α(, ). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι παράλληλη προς την (ε ) και το σημείο Α απέχει από αυτήν απόσταση d = 5. Είναι : λ ε Α = = = Β Η ζητούμενη ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς την (ε), οπότε ο συντελεστής διεύθυνσής της είναι λ=λε= Οπότε η εξίσωση της (ε) είναι της μορφής : ψ = x + κ x ψ + κ = 0 Είναι : d(a,ε) = 5 + ( ) + κ = 5 4 + κ = + κ 5 ( 5) κ = 5 κ = ± 5 = 5 Eπομένως οι ζητούμενες ευθείες είναι δύο: Για κ=5 έχουμε την ευθεία: (ε): ψ=x+5 Για κ=-5 έχουμε την ευθεία: (ε): ψ=x-5 85
7. Δίνονται τα σημεία : A(-4, ) και Β(4, -). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που σχηματίζουν με τα σημεία Α και Β τρίγωνο με εμβαδόν 0 τετραγωνικών μονάδων. Έστω ότι το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (x, ψ). Αρκεί να βρούμε την εξίσωση μιας γνωστής μας γραμμής ως προς x και ψ. Είναι : AB = (4 ( 4), ) = (8, 4) AM = (x + 4,ψ ) 8 4 Ε ΑΒΜ = 0 det(ab,am) = 0 = 0 x + 4 ψ 8(ψ ) + 4(x + 4) = 0 8ψ 6+ 4x + 6 = 0 4x + 8ψ = 0 4x + 8ψ = ± 0 4x + 8ψ = 0 x + ψ 5 = 0(ε ) 4x + 8ψ = 0 x + ψ + 5 = 0(ε ) Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι ευθείες (ε) και (ε). 8. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία (δ) : x+ψ+=0 και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό τετραγωνικές μονάδες. ψ Έστω η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς την ευθεία δ! και σχηματίζει με τους άξονες το τρίγωνο ΑΟΒ με ΕΑΟΒ= τετρ.μονάδες. Αφού η (ε)//(δ) λε = λδ =. Οπότε η εξίσωση της (ε) είναι : ψ = x + κ,κ R () x A 0 ψ κ -/ -/ /κ δ! Β x (ε) 86
Για τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β έχουμε: ()!" Για x = 0 ψ = κ Α(0,κ) ()!" Για ψ = 0 x = κ Β( κ,0) Έτσι για τα διανύσματα ΟΑ και ΟΒ έχουμε : Οπότε : κ 6 κ 4 κ OA = (0,κ) και ΟΒ= κ,0 0 κ Ε ΑΟΒ = det(oa,ob) = = κ = 6 κ 0 = = = ±!"Για κ= έχουμε την ευθεία (ε) : ψ = x +!"Για κ=- έχουμε την ευθεία (ε): ψ = x ψ A(0, ) x Β (-, 0) 0 Α (0,-) (,0) Β (ε ) ψ (ε ) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Για το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της ευκλείδειας γεωμετρίας : E = (OA )( OB ) (OA) = ψα = κ Πρέπει να προσέξουμε όμως ότι: (ΟΒ) = xb = κ 87
. Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία (ε) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Α(, ) και (ε): 4x ψ =0 6 β) Α(, -) και (ε): ψ = x 5 γ) Α(7, -6) και (ε): x=-. Να βρεθεί η τιμή του μ R αν η ευθεία (ε): 4x+ψ=-μ και το σημείο Α(,-) απέχουν μ. 88
. Δίνονται οι ευθείες (ε ): x+ψ-=0, (ε ): x-ψ+=0, (ε ): x-ψ-=0. α) Να βρείτε τις κορυφές του τριγώνου που σχηματίζουν οι ε, ε, ε. β) Να βρείτε το εμβαδόν του παραπάνω τριγώνου. _ 4. Έστω τα σημεία Α(, ), Β(, 4), Γ(7, ) και Δ(5, 8). α) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του ΑΒΓΔ. 89
5. Αν (ε): 5x-ψ+=0, να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες στην (ε) και απέχουν από αυτή μ. 6. Δίνονται τα σημεία Α(-, ), Β(-5, ) και Γ(, 4). Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που ισαπέχουν από τα σημεία Β, Γ και διέρχονται από το Α. 90
7. Δίνονται οι ευθείες (ε ): αx+(α-)ψ-=0 (ε ): (α-4)x+(α-)ψ+(α-)=0 α) Για ποια τιμή του α R οι ε, ε είναι παράλληλες; β) Να βρείτε την απόσταση των ευθειών του ερωτήματος (α). 8. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες: α) (ε ): x-ψ=0 (ε ): x+ψ=0 β) (ε ): ψ = x (ε ): ψ = x + 4 4 5 9
9. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και απέχουν από το σημείο 8 Α(, 0) απόσταση. 5 0. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(, 7), (ΒΓ): 4x-ψ-=0 και Μ(5, ) το μέσο της ΒΓ. Το ΑΒΓ έχει εμβαδό 40 τ.μ. Να βρείτε : α) την απόσταση της Α από τη ΒΓ β) το μήκος της ΒΓ γ) τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ 9