ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : Εξομοίωση Ψηφιακή Υλοποίηση Αναλογικών Διαμορφώσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : Εξομοίωση Ψηφιακή Υλοποίηση Αναλογικών Διαμορφώσεων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται παραδείγματα και ασκήσεις ψηφιακής υλοποίησης βασικών σχημάτων αναλογικής διαμόρφωσης, όπως ΑΜ, SSB, VSB και FM, με στόχο τόσο την εμπέδωση της σχετικής θεωρίας όσο και την εξοικείωση με τις τεχνικές ψηφιακής επεξεργασίας τηλεπικοινωνιακών σημάτων (φιλτράρισμα, μορφοποίηση φάσματος), γνώσεις δηλαδή και δεξιότητες απαραίτητες για την υλοποίηση συστημάτων ψηφιακής επικοινωνίας. Σε παραρτήματα, παρουσιάζονται σχήματα διαμόρφωσης-αποδιαμόρφωσης με τη χρήση του μετασχηματισμού Hilbert και συνοψίζονται οι βασικές πράξεις επεξεργασίας και οπτικοποίησης τηλεπικοινωνιακών σημάτων.

2-2 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου 2 2.1 Εισαγωγή... 3 2.2 Απλή διαμόρφωση ΑΜ (DSB) Πλέγμα δειγματοληψίας... 3 2.2.1 Σύντομη θεωρία [PROA215, 3.2.1, 3.2.2], [CARL29, 4.2]... 3 2.2.2 Παράδειγμα 2.1: Διαμόρφωση ΑΜ (DSB) σήματος... 4 2.3 Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης (SSB)... 7 2.3.1 Σύντομη θεωρία [PROA215, 3.2.3], [CARL29, 4.4]... 7 2.3.2 Παράδειγμα 2.2: Διαμόρφωση SSB σήματος διακριτών τόνων... 7 2.4 Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης (VSB)... 12 2.4.1 Παράδειγμα 2.3: Φίλτρο VSB Διαμόρφωση VSB... 12 2.4.2 Παράδειγμα 2.4: Σύγκριση SSB-VSB σε διαμόρφωση με σήμα συνεχούς φάσματος... 16 2.5 Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης FM... 18 2.5.1 Σύντομη θεωρία των εκθετικών διαμορφώσεων (PM, FM) [PROA215, 4], [CARL29, 5.1]... 18 2.5.2 Διαμόρφωση PM και FM με σήμα διακριτών τόνων... 19 2.5.3 Παράδειγμα 2.5: Διαμόρφωση FM με σήμα διακριτών τόνων... 21 2.5.4 Παράδειγμα 2.6: Διαμόρφωση FM με σήμα συνεχούς φάσματος... 25 2.6 Παραρτήματα... 29 2.6.1 Παράρτημα Π2.1: Ο Μετασχηματισμός HILBERT στις τηλεπικοινωνίες... 29 2.6.2 Παράρτημα Π2.2: Σταχυολόγηση κώδικα MATLAB επεξεργασίας/οπτικοποίησης τηλεπικοινωνιακών σημάτων... 3 Βιβλιογραφία - Αναφορές... 33 Πλαίσια Κεφαλαίου 2 Πλαίσιο 2.1: Διαμόρφωση DSB... 3 Πλαίσιο 2.2: Γραφήματα του παραδείγματος 2.1 (DSB)... 6 Πλαίσιο 2.3: Εναλλακτικές υλοποιήσεις SSB: (α) DSBLP (ή ΗP), (β) Τύπου Hartley, (γ) Ισοδύναμο του (β) (για SSB άνω πλευρικής)... 8 Πλαίσιο 2.4: SSB σήματος τριών τόνων... 11 Πλαίσιο 2.5: Υλοποίηση VSB-LSB... 12 Πλαίσιο 2.6: VSB σήματος διακριτών τόνων... 15 Πλαίσιο 2.7: Σύγκριση SSB-VSB σε σήμα συνεχούς φάσματος... 17 Πλαίσιο 2.8: Συναρτήσεις Bessel 1 ου είδους... 2 Πλαίσιο 2.9: FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος δύο τόνων... 23 Πλαίσιο 2.1: FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος συνεχούς φάσματος... 27 Πλαίσιο 2.11: Ο Μετασχηματισμός Hilbert στις τηλεπικοινωνίες: (α) Κρουστική απόκριση φίλτρου Hilbert (β) Απόκριση συχνότητας (γ) Απόκριση σε τετραγωνικό παλμό (δ) Διαμορφωτής SSB-USB (ε) Αποδιαμορφωτής περιβάλλουσας DSB, (στ) Αποδιαμορφωτής FM... 29 Πλαίσιο 2.12: Σταχυολόγηση κώδικα MATLAB επεξεργασίας/οπτικοποίησης τηλεπικοινωνιακών σημάτων... 32 Κώδικες Κεφαλαίου 2 Κώδικας 2.1: Παράδειγμα διαμόρφωσης DSB... 5 Κώδικας 2.2: Διαμόρφωση SSB με σήμα διακριτών τόνων... 9 Κώδικας 2.3: Φίλτρο VSB-LSB... 13 Κώδικας 2.4: Υλοποίηση VSB Σήμα τριών τόνων... 14 Κώδικας 2.5: Διαμόρφωση FM με σήμα δύο τόνων... 22 Κώδικας 2.6: Διαμόρφωση FM με σήμα συνεχούς φάσματος... 26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-3 2.1 Εισαγωγή Όπως τονίστηκε και στο εισαγωγικό κεφάλαιο, η ψηφιακή τεχνολογία τείνει να εξοβελίσει τις αναλογικές τεχνικές από τα συστήματα των σύγχρονων τηλεπικοινωνιών. Ήδη και τα τελευταία «φρούρια» της αναλογικής τεχνολογίας, η τηλεόραση και το ραδιόφωνο, μεταβαίνουν στην εποχή της ψηφιακής εκπομπής. Ωστόσο, το τελευταίο μέρος ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος (RF up-onverter και ενισχυτής εξόδου) είναι κατ ανάγκη αναλογικό, αφού τελικά ένα αναλογικό σήμα θα δημιουργηθεί προς εκπομπή στον διαθέσιμο τηλεπικοινωνιακό δίαυλο. Πέραν αυτού, τόσο το θεωρητικό υπόβαθρο όσο και επιμέρους διαδικασίες της ψηφιακής διαμόρφωσης δανείζονται από τα κλασικά σχήματα της αναλογικής διαμόρφωσης (QAM, VSB, FM), ενώ και η ανάλυση θορύβου βασίζεται θεωρητικά στις στοχαστικές ανελίξεις συνεχούς χρόνου. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστούν ασκήσεις ψηφιακής υλοποίησης βασικών σχημάτων αναλογικής διαμόρφωσης, όπως SSB, VSB και FM, με στόχο τόσο την εμπέδωση της σχετικής θεωρίας όσο και την εξοικείωση με τις τεχνικές ψηφιακής επεξεργασίας τηλεπικοινωνιακών σημάτων (φιλτράρισμα, μορφοποίηση φάσματος), δεξιότητες απαραίτητες για την υλοποίηση συστημάτων ψηφιακής επικοινωνίας. 2.2 Απλή διαμόρφωση ΑΜ (DSB) Πλέγμα δειγματοληψίας 2.2.1 Σύντομη θεωρία [PROA215, 3.2.1, 3.2.2], [CARL29, 4.2] Η απλούστερη διαμόρφωση είναι η Διαμόρφωση Πλάτους Διπλής Πλευρικής Ζώνης (ΑΜ Double Side Band DSB) 1. Συνίσταται στον πολλαπλασιασμό ενός ημιτονικού σήματος (φέροντος) με το προς μετάδοση σήμα, υπό τη συνθήκη ότι η συχνότητα φέροντος f είναι τουλάχιστον διπλάσια του εύρους ζώνης W του σήματος. Το αποτέλεσμα της διαμόρφωσης αυτής είναι η ολίσθηση του φάσματος του σήματος στην περιοχή της συχνότητας του φέροντος (Πλαίσιο 2.1). W f os2πf t -f f -W f f+w Πλαίσιο 2.1: Διαμόρφωση DSB Είναι φανερό από το σχήμα 2.1 ότι, για να έχουμε σωστή ψηφιακή αναπαράσταση του διαμορφωμένου σήματος (χωρίς σφάλματα επικάλυψης), θα πρέπει το πλέγμα δειγματοληψίας να είναι τόσο πυκνό όσο το διπλάσιο τουλάχιστον της υψηλότερης 1 Στη συμβατική ΑΜ το σήμα ανυψώνεται (με την προσθήκη μιας σταθεράς), ώστε να έχει μόνο θετικές τιμές. Αυτό, στο φάσμα, συνεπάγεται την εμφάνιση μιας κρουστικής στη φέρουσα συχνότητα

2-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο συχνότητας f+w. Εάν λοιπόν το αρχικό πλέγμα δειγματοληψίας δεν είναι επαρκώς πυκνό (π.χ. είναι κοντά στη συχνότητα Nyquist του αρχικού σήματος βασικής ζώνης), θα πρέπει να γίνει κατάλληλη πύκνωσή του, σύμφωνα με τη μέθοδο που περιγράφηκε στο Κεφ. 1. Στο παράδειγμα που ακολουθεί, σήμα βασικής ζώνης, εύρους περίπου 1 KHz (για την ακρίβεια, το σήμα έχει φιλτραριστεί με συχνότητα αποκοπής f2=1.23 KHz, βλ. σχετικό Παράδειγμα 1.2), διαμορφώνει κατά πλάτος φέρον συχνότητας f=4f2. Η αρχική συχνότητα δειγματοληψίας του σήματος είναι Fs=8192 Hz. Επειδή 2(f+f2)=12288 > Fs, η συχνότητα δειγματοληψίας δεν επαρκεί για να παρασταθεί σωστά το διαμορφωμένο σήμα και, για τον λόγο αυτόν, γίνεται κατάλληλη πύκνωση πλέγματος. 2.2.2 Παράδειγμα 2.1: Διαμόρφωση ΑΜ (DSB) σήματος Σε περιβάλλον MATLAB, να διαβαστεί διάνυσμα σήματος από το σχετικό αρχείο (μαζί διαβάζονται η συχνότητα δειγματοληψίας Fs, καθώς και οι οριακές συχνότητες ζώνης μετάβασης και ζώνης αποκοπής f(1:2) του σήματος), και να γίνουν επ αυτού τα ακόλουθα: α) πύκνωση πλέγματος κατά τον παράγοντα 4, β) διαμόρφωση ΑΜ-DSB με συχνότητα φέροντος F=4f(2), γ) αποδιαμόρφωση και σύγκριση (τμήματος) του τελικού σήματος με το αρχικό. Σε κάθε στάδιο (α, β, γ) να σχεδιαστεί το φάσμα του αντίστοιχου σήματος. Υλοποίηση Σχολιασμός κώδικα Ο Κώδικας 2.1 υλοποιεί τα ζητούμενα του παραδείγματος. Αφού φορτωθεί το σήμα και οι παράμετροι συχνότητας από το αρχείο sima_lp (γραμμή 6), σχεδιάζεται η φασματική πυκνότητα του σήματος (γραμμή 9). Στη συνέχεια γίνεται πύκνωση του πλέγματος δειγματοληψίας και υπολογίζονται οι ανηγμένες τιμές των συχνοτήτων στο νέο πλέγμα (γραμμές 1, 11). Η συνάρτηση upsample απλώς παρεμβάλλει μηδενικά δείγματα (εδώ, τρία ανά ένα δείγμα σήματος), ο δε συντελεστής <4> χρησιμοποιείται για να διατηρήσει τη φασματική πυκνότητα του σήματος στα αρχικά επίπεδα (όχι την ισχύ του, η οποία τετραπλασιάζεται). Έτσι, μετά και το βαθυπερατό φιλτράρισμα που γίνεται στη συνέχεια (υπολογισμός φίλτρου: γραμμή 14, φιλτράρισμα: γραμμή 2), η κλίμακα του σήματος παραμένει η ίδια (ας σχεδιαστούν και συγκριθούν για επιβεβαίωση αντίστοιχα τμήματα σήματος, πριν και μετά την πύκνωση του πλέγματος). Στα επόμενα τμήματα κώδικα ακολουθούν: η διαμόρφωση (γραμμή 27), η αποδιαμόρφωση (γραμμές 3-34) και η επαναφορά στο αρχικό πλέγμα (αραίωση κατά 4, γραμμή 37). Τέλος συγκρίνονται αντίστοιχα τμήματα του αρχικού και του τελικού σήματος. Σε καθένα από τα παραπάνω στάδια επεξεργασίας σχεδιάζεται το φάσμα του αντίστοιχου σήματος. Στο Πλαίσιο 2.2 συμπεριλαμβάνονται τα αντίστοιχα γραφήματα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-5 1. lear all; lose all; 2. %%%% Φόρτωση σήματος και πύκνωση του πλέγματος δειγματολήψίας 3. % Φορτώνεται το σήμα βασικής ζώνης, sima_lp, η συχνότητα 4. % δειγματοληψίας Fs και το διάνυσμα των συχνοτήτων της 5. % ζώνης μετάβασης f=[f1 f2], ανηγμένων ως προς Fs 6. load sima_lp; 7. F1 = f(1); % οριακή συχνότητα ζώνης διέλευσης 8. F2 = f(2); % οριακή συχνότητα ζώνης αποκοπής 9. figure; pwelh(sima_lp, [], [], [], Fs); 1. s_dense=4*upsample(sima_lp,4); Fs=Fs*4; % πύκνωση πλέγματος 11. F1=F1/4; F2=F2/4; % οι συχνότητες αποκοπής στο νέο πλέγμα 12. figure; pwelh(s_dense, [], [], [], Fs); 13. % Βαθυπερατό φίλτρο PM 14. order=256; hpm=firpm(order, [ F1 F2.5]*2, [1 1 ]); 15. [H,F] = FREQZ(hpm,1,512,Fs); % απόκριση συχνότητας του φίλτρου 16. figure; subplot(2,1,1); plot(f,2*log(abs(h))); grid; 17. title('απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου'); 18. subplot(2,1,2); plot(f,phase(h)); grid; 19. % 2. s=onv(s_dense,hpm); s=s(order/2+(1:length(s_dense))); 21. lear s_dense; 22. figure; pwelh(s, [], [], [], Fs); 23. % add a d omponent for onventional AM 24. % s=s+2*max(abs(s)); 25. %%%% Διαμόρφωση DSB 26. F=4*F2; % συχνότητα φέροντος 27. s_dsb=sqrt(2)*s.*os(2*pi*f*[1:length(s)]'); 28. figure; pwelh(s_dsb, [], [], [], Fs); 29. %%%% Αποδιαμόρφωση DSB 3. s_dsb_dm=sqrt(2)*s_dsb.*os(2*pi*f*[1:length(s_dsb)]'); 31. figure; pwelh(s_dsb_dm, [], [], [], Fs); 32. % 33. s_dsb_lp=onv(s_dsb_dm,hpm); 34. s_dsb_lp=s_dsb_lp(order/2+(1:length(s))); 35. figure; pwelh(s_dsb_lp, [], [], [], Fs); 36. %%%% Επαναφορά στο αρχικό πλέγμα 37. s_dsb_lp=downsample(s_dsb_lp,4); Fs=Fs/4; 38. figure; pwelh(s_dsb_lp, [], [], [], Fs); 39. %%%% Σύγκριση με το αρχικό σήμα 4. n=[2:4]; 41. t=[1:length(sima_lp)]'/fs; 42. figure; plot(t(n),sima_lp(n),t(n),s_dsb_lp(n),':'); grid; 43. axis([min(t(n)) max(t(n)) 1.2*min(sima_lp(n))... 44. 1.2*max(sima_lp(n))]); 45. legend('αρχικό σήμα',' τελικό σήμα'); Κώδικας 2.1: Παράδειγμα διαμόρφωσης DSB

2-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο -6 Φάσμα αρχικού σήματος -6 Σήμα, μετά την παρεμβολή μηδενικών δειγμάτων στο πυκνό πλέγμα (x4) -7-8 -9-1 -11-12 -13 upsampling -7-8 -9-1 -11-12 -14.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-13 2 4 6 8 1 12 14 16-6 Φάσμα σήματος, μετά την πύκνωση του πλέγματος δειγματοληψίας LP 1 Απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου, order=256, F s =32768 Hz Φασματική πυκνότητα ισςχύος (db/hz) -7-8 -9-1 -11-12 -13-14 Ενίσχυση (db) Φάση -1-2 -3 2 4 6 8 1 12 14 16 18-1 -2-15 2 4 6 8 1 12 14 16-3 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Συχνότητα (Hz) modulation - DSB -7 Σήμα DSB, F =4925 Hz, F s =32768 Hz -6 Σήμα κατά την αποδιαμόρφωση, πριν το φίλτρο LP -8-7 -9-1 -11-12 demodulation -8-9 -1-11 -12-13 -13-14 2 4 6 8 1 12 14 16-14 2 4 6 8 1 12 14 16-6 Φάσμα τελικού σήματος (μετά mod-dem DSB) LP & downsampling -7-8 -9-1 -11-12 -13-14.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 1-3 8 Αρχικό σήμα τελικό σήμα 6 4 2 Πλάτος -2-4 -6-8.25.3.35.4.45 Χρόνος (se) Πλαίσιο 2.2: Γραφήματα του παραδείγματος 2.1 (DSB)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-7 2.3 Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης (SSB) 2.3.1 Σύντομη θεωρία [PROA215, 3.2.3], [CARL29, 4.4] Όπως διαπιστώθηκε και πειραματικά στην προηγούμενη παράγραφο, η διαμόρφωση ΑΜ στην απλή μορφή της Διπλής Πλευρικής Ζώνης (Double Side-Band DSB με ή χωρίς τη φέρουσα) παράγει φάσμα εύρους διπλάσιου αυτού του αρχικού (πραγματικού) σήματος, με δύο συμμετρικές συνιστώσες, πάνω και κάτω από τη συχνότητα φέροντος f. Είναι φανερό ότι γίνεται σπατάλη φάσματος, η οποία αίρεται με δύο εναλλακτικές διαμορφώσεις: (i) διαμόρφωση QAM, κατά την οποία εκπέμπονται στην ίδια ζώνη συχνοτήτων δύο ανεξάρτητα σήματα, ως το πραγματικό και φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού σήματος (για το οποίο δεν υφίσταται πλέον συμμετρία φάσματος ως προς f), (ii) διαμόρφωση Μονής Πλευρικής Ζώνης (Single Side-Band SSB). H SSB διατηρεί και μεταδίδει τη μία μόνο πλευρική ζώνη φάσματος (πάνω ή κάτω από τη συχνότητα φέροντος). Δύο εναλλακτικές υλοποιήσεις SSB σε ψηφιακή μορφή δείχνονται στο Πλαίσιο 2.3: (α) με παραγωγή σήματος DSB σε πρώτο στάδιο και φιλτράρισμα αυτού, στη συνέχεια, με βαθυπερατό ή υψιπερατό φίλτρο, συχνότητας αποκοπής f, (β) ως QAM του σήματος και του Hilbert μετασχηματισμού αυτού (δομή διαμορφωτή Hartley). Στο κάτω μέρος του Πλαισίου 2.3 δείχνεται μια δομή ισοδύναμη με αυτήν του (β). 2.3.2 Παράδειγμα 2.2: Διαμόρφωση SSB σήματος διακριτών τόνων Α. Να σχηματιστεί σήμα τριών τόνων, s( t) a1 os(2f 1t) a2 os(2f 2t) a3 os(2f 3t), και στη συνέχεια εκείνο της διαμόρφωσης SSB-LSB (Single Side-Band Lower Side Band) για δοσμένη συχνότητα φέροντος f, με τις εξής τεχνικές: α) QAM του σήματος s(t) και του μετασχηματισμού Hilbert,, αυτού: ssb _ lsb s( t)os(2f t) sˆ( t)sin(2f t) (διαμορφωτής SSB τύπου Hartley), sˆ ( t) β) με βαθυπερατό φιλτράρισμα του σήματος DSB-SC με συχνότητα αποκοπής την f. Β. Να γίνει η αποδιαμόρφωση και να συγκριθεί το λαμβανόμενο σήμα με το αρχικό (τμήμα αυτών). Γ. Σε κάθε στάδιο των Α και Β παραπάνω να σχεδιαστεί το αντίστοιχο φάσμα. Υλοποίηση Κώδικας 2.2, με αποτελέσματα στο Πλαίσιο 2.4.

2-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Διαμόρφωση απλής πλευρικής ζώνης (SSB) W f -f f -f f os2πft f ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ -f (α) s(t) Μετ/σμός Hilbert os2πft sˆ ( t) (β) sin2πft με αφαίρεση παίρνουμε την άνω πλευρική W f W f -f f f +W f σήμα s(t) MATLAB: hilbert(s) st () s( t) jsˆ ( t) σήμα SSB-USB + e x j(2 ft) Re(.) Μετα/σμός HILBERT x j st ˆ( ) (γ) Η συνάρτηση hilbert() του MATLAB, επιστρέφει απευθείας το μιγαδικό σήμα. Πλαίσιο 2.3: Εναλλακτικές υλοποιήσεις SSB: (α) DSBLP (ή ΗP), (β) Τύπου Hartley, (γ) Ισοδύναμο του (β) (για SSB άνω πλευρικής)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-9 1. %% Παραγωγή σήματος τριών τόνων και διαμόρφωση SSB 2. % 3. lear all; lose all; 4. %% σήμα βασικής ζώνης - τριών τόνων 5. f1=1; f2=3; f3=12; 6. Fs=18; % συχνότητα δειγματοληψίας 7. order=256; % τάξη FIR φίλτρων 8. F=3; % συχνότητα φέροντος 9. t=[:1/fs:2]'; % πλέγμα δειγματοληψίας 1. s=4*os(2*pi*f1*t)+8*os(2*pi*f2*t)+1*os(2*pi*f3*t); 11. % φάσμα σήματος βασικής ζώνης 12. figure; pwelh(s,[],[],[],fs); 13. %% Φίλτρο μετασχηματισμού Hilbert και αναλυτικό σήμα 14. % κρουστική απόκριση φίλτρου (FIR) 15. b=firpm(order,[.1.99], [1 1], 'Hilbert'); 16. a=1; 17. figure; stem(b(order/2-28:order/2+29)); grid; 18. % απόκριση συχνότητας φίλτρου 19. [H,F] = freqz(b,a,512,fs); 2. figure; 21. subplot(2,1,1); plot(f,2*log(abs(h))); grid; 22. title('απόκριση συχνότητας φίλτρου μετασχ. Hilbert'); 23. subplot(2,1,2); plot(f,phase(h)); grid; 24. % 25. u=[zeros(1,order/2) 1 zeros(1,order/2)]; % φίλτρο καθυστέρησης 26. s1=onv(s,u); % αρχικό σήμα, καθυστερημένο κατά order/2 27. s2=onv(s,b); % ο μετασχηματισμός Hilbert του σήματος 28. s1 = s1(order/2+(1:length(s))); % περικοπή ουρών 29. s2 = s2(order/2+(1:length(s))); % " 3. % 31. %% Εναλλακτική υλοποίηση φίλτρου Hilbert με τη μέθοδο παραθύρων 32. % 33. % order=4*64; % πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4 34. % h(order/2+1)=; 35. % for i=1:order/4 36. % h(order/2+1+2*i)=; h(order/2+1-2*i)=; 37. % h(order/2+2*i)=2/pi/(2*i-1); 38. % h(order/2-2*i)=2/pi/(2*i-1); 39. % end 4. % freqz(h); % παρατηρήστε τις κυματώσεις κοντά στις οριακές συχν 41. % wk=kaiser(length(h),5); hw=h.*wk ; 42. % freqz(hw); % τώρα είναι καλύτερα! 43. % Κώδικας 2.2: Διαμόρφωση SSB με σήμα διακριτών τόνων (συνεχίζεται)

2-1 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (συνέχεια) 44. %% Διαμόρφωση SSB κάτω πλευρικής ζώνης (τύπου Hartley) 45. ssb=sqrt(2)*(s1.*os(2*pi*f*t)+s2.*sin(2*pi*f*t)); 46. % άνω πλευρική SSB 47. % ssb1=sqrt(2)*s1.*os(2*pi*f*t)-s2.*sin(2*pi*f*t); 48. figure; pwelh(ssb,[],[],[],fs); % φάσμα σήματος SSB 49. %% Εναλλακτική παραγωγή σήματος ssb: dsb -->lp--> ssb 5. dsb=sqrt(2)*s.*os(2*pi*f*t); % σήμα ΑΜ (DSB-SC) 51. figure; pwelh(dsb,[],[],[],fs); % φάσμα σήματος DSB-SC 52. fpts=[ F-.98*f1 F+.98*f1 Fs/2]*2/Fs; 53. b = firpm(order,fpts,[1 1 ], [1 1]); 54. ssb1=onv(dsb,b); ssb1=ssb1(order/2+(1:length(s))); 55. ssb1=2*ssb1; % διόρθωση κλίμακας για το ssb 56. figure; pwelh(ssb1,[],[],[],fs); % φάσμα σήματος ssb1 57. % 58. lear z z1 z2; 59. %% αποδιαμόρφωση -- 6. z=sqrt(2)*ssb.*os(2*pi*f*t); 61. figure; pwelh(z,[],[],[],fs); 62. % Βαθυπερατό φίλτρο Parks-MClellan 63. F1=1.1*f3/Fs; F2=1.5*F1; 64. fpts=[ F1 F2.5]*2; 65. mag=[1 1 ]; 66. wt=[1 1]; 67. b = firpm(order,fpts,mag,wt); 68. a=1; 69. % απόκριση βαθυπερατού φίλτρου 7. % [H,F] = freqz(b,a,512,'whole',fs); 71. figure; freqz(b,a,512,fs); 72. % Βαθυπερατό φιλτράρισμα 73. z_lp=onv(z,b); z_lp=z_lp(order/2+(1:length(s))); 74. figure; pwelh(z_lp,[],[],[],fs); 75. figure; 76. n=[1:3]; t1=t(n)*1; 77. subplot(2,1,1); plot(t1,s(n)); 78. maxs=max(s); mins=min(s); 79. axis([min(t1) max(t1) mins*1.1 maxs*1.1]); 8. title('αρχικό σήμα '); 81. grid; 82. subplot(2,1,2); plot(t1, z_lp(n)); 83. axis([min(t1) max(t1) mins*1.1 maxs*1.1]); 84. xlabel('χρόνος (mse)'); 85. title('σήμα μετά την αποδιαμόρφωση'); 86. grid; Κώδικας 2.2: (συνέχεια) Διαμόρφωση SSB Σήμα διακριτών τόνων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-11 Φάσμα σήματος βασικής ζώνης, τριών τόνων -- f 1 =1, f 2 =3, f 3 =12 Φάσμα DSB σήματος τριών τόνων, f 1 =1, f 2 =3, f 3 =12, F =3, F s =18 3 2 2 1 1-1 -2-3 -4-5 DSB-SC -1-2 -3-4 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Συχνότητα (Hz) -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Συχνότητα (Hz).8.6 Κρουστική απόκριση φίλτρου μετασχηματισμού Hilbert LP.4.2 3 Φάσμα SSB-LSB σήματος τριών τόνων, f 1 =1, f 2 =3, f 3 =12, F =3, F s =18 Πλάτος Φάση -.2 -.4 -.6 -.8 1 2 3 4 5 6 1-1 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2 -4 Απόκριση συχνότητας φίλτρου μετασχ. Hilbert, order=256, F s =18 SSB με διαμορφωτή τύπου Hartley 2 1-1 -2-3 -4-5 -6-7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Συχνότητα (Hz) demodulation -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Συχνότητα (Hz) 3 Φάσμα, αποδιαμορφωμένου SSB, πριν το βαθυπερατό φιλτράρισμα 2 Πλάτος (db) 5-5 -1-15 Απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1-1 -2-3 -4 Φάση (μοίρες) -2-4 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Συχνότητα (Hz) LP -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 Συχνότητα (Hz) Φάσμα, αποδιαμορφωμένου SSB, μετά το βαθυπερατό φιλτράρισμα 2 1-1 αρχικό σήμα 1-1 -2-3 -4-5 -2 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 σήμα μετά την αποδιαμόρφωση -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Συχνότητα (Hz) 2 1-1 -2 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 χρόνος (mse) Πλαίσιο 2.4: SSB σήματος τριών τόνων

2-12 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 2.4 Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης (VSB) Το πλεονέκτημα της SSB είναι η εξοικονόμηση εύρους ζώνης, αφού χρησιμοποιεί το ελάχιστο δυνατό (ίσο με αυτό του σήματος βασικής ζώνης). Ωστόσο, το φίλτρο που χρησιμοποιεί, είτε το βαθυπερατό του σχήματος 2.3(α) (μετά την DSB) είτε του μετασχηματισμού Hilbert [Πλαίσιο 2.3(γ)], θα είναι πάντα μια προσέγγιση του ιδανικού και, σε κάθε περίπτωση, θα παραποιεί (σε μικρότερο ή μεγαλύτερο βαθμό) το φάσμα του αρχικού σήματος κοντά στη μηδενική συχνότητα. Όσο αυστηρότερες είναι οι προδιαγραφές του φίλτρου αυτού, τόσο «ακριβότερη» γίνεται και η υλοποίηση του διαμορφωτή. Δεν είναι, λοιπόν, η SSB η πλέον κατάλληλη διαμόρφωση για σήματα που έχουν σημαντικό ενεργειακό περιεχόμενο στις χαμηλές συχνότητες, όπως συμβαίνει π.χ. με το σήμα τηλεόρασης. Η διαμόρφωση υπολειπόμενης πλευρικής ζώνης (Vestigial Side-Band VSB) είναι ένας συμβιβασμός μεταξύ DSB και SSB. Στέλνει τη μια πλευρική ζώνη (άνω ή κάτω) με κατάλοιπο της άλλης. Το φίλτρο που χρησιμοποιεί παρουσιάζει μια αντισυμμετρία πλάτους ακριβώς στη συχνότητα φέροντος, με αποτέλεσμα μετά την αποδιαμόρφωση το φάσμα σήματος βασικής ζώνης να αποκαθίσταται χωρίς παραμορφώσεις (Πλαίσιο 2.5). DSB W f -f f LP (VSB) -f f os2πf t -f f ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ VSB ΦΙΛΤΡΟ Πλαίσιο 2.5: Υλοποίηση VSB-LSB 2.4.1 Παράδειγμα 2.3: Φίλτρο VSB Διαμόρφωση VSB A. Να γραφεί συνάρτηση MATLAB για τον υπολογισμό FIR φίλτρου VSB γραμμικής πτώσης, με τις εξής παραμέτρους εισόδου: συχνότητα φέροντος, συχνότητα δειγματοληψίας, συντελεστή εξάπλωσης (roll-off), καθυστέρηση ομάδας (εναλλακτικά, τάξη) του φίλτρου. Να επιστρέφει τη χρονική απόκριση (συντελεστές FIR) του φίλτρου. Να σχεδιαστεί η απόκριση χρόνου και συχνότητας του εν λόγω φίλτρου για τιμές παραμέτρων της επιλογής σας. B. Με χρήση του φίλτρου του ερωτήματος Α, να επαναληφθούν τα ερωτήματα του παραδείγματος 2.2, τώρα για διαμόρφωση VSB-LSB.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-13 Υλοποίηση Σχολιασμός κώδικα Α. Ο υπολογισμός των συντελεστών του ζητούμενου FIR φίλτρου γίνεται από τη συνάρτηση vsb_lb_fltr() του Κώδικα 2.3. Ξεκινάει με τη λήψη δειγμάτων της επιθυμητής απόκρισης πλάτους, μιας συνάρτησης σε μορφή ισοσκελούς τραπεζίου, με τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών στις θέσεις -f, f (όπως δείχνει και το σχήμα στο Πλαίσιο 2.5) και κλίση πτώσης από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής προσδιοριζόμενη από τον συντελεστή εξάπλωσης (roll-off). Στη συνέχεια, υπολογίζεται η κρουστική απόκριση του φίλτρου ως ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier αυτών των δειγμάτων (με τη βοήθεια της σχετικής συνάρτησης ifft() του MATLAB, και επιβολή συμμετρίας κατά την αντιστροφή). Η δειγματοληψία της απόκρισης συχνότητας γίνεται σε ένα πυκνό πλέγμα σημείων (2*delay*dense), για λόγους ακρίβειας. Η λαμβανόμενη κρουστική απόκριση περικόπτεται τελικά στο επιθυμητό μήκος (2*delay), πολλαπλασιάζεται με παράθυρο kaiser και κανονικοποιείται σε μοναδιαία ισχύ. 1. % funtion vsb_lb_filter VSB-LSB filter 2. % 3. funtion vsb_lb_fltr=vsb_lb_filter(f,fs,rolloff,delay) 4. F = F/Fs; 5. % υπερδειγμάτιση της απόκρισης συχνότητας, για ακρίβεια 6. dense=32; 7. a = rolloff; F1=F*(1-a); F2=F*(1+a); % ακραίες συχνότητες 8. M = 2*delay*dense; % αριθμός δειγμάτων συχνότητας 9. for k=1:m/2 1. f=(k-1)/m; 11. if (f<f1) Ho(k)=1; 12. elseif (f>f2) Ho(k)=; 13. else Ho(k)=max(,1-(f-F1)/(F2-F1)); 14. end 15. Ho(M/2+1)=; Ho(M+2-k)=Ho(k); 16. end 17. H=Ho.*exp(j*pi*(M+2)/(M+1)*[:M]); 18. % stem([:m], abs(ho)); 19. h=ifft(h,'symmetri'); 2. % περικοπή ουρών 21. N=M/dense; 22. for k=-n/2:n/2 23. vsb_lb(k+n/2+1)=h(m/2+1+k); 24. end 25. % παράθυρο Kaiser και κανονικοποίηση 26. wk=kaiser(length(vsb_lb)); 27. vsb_lb =vsb_lb.*wk'; 28. vsb_lb_fltr=vsb_lb/sqrt(sum(vsb_lb.^2)); 29. end Κώδικας 2.3: Φίλτρο VSB-LSB Β. Η υλοποίηση του διαμορφωτή VSB (Κώδικας 2.4) δεν παρουσιάζει κάποια ιδιαιτερότητα. Σχηματίζεται, καταρχήν, το σήμα βασικής ζώνης τριών τόνων (όπως και στο παράδειγμα 2.2, Κώδικας 2.2), το οποίο διαμορφώνει κατά DSB φέρον

2-14 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο συχνότητας f και, στη συνέχεια, φιλτράρεται με φίλτρο VSB, όπως αυτό υπολογίζεται με κλήση της συνάρτησης του Κώδικα 2.3. Η αποδιαμόρφωση είναι όμοια με αυτήν των DSB και SSB. 1. lear all; lose all; 2. f1=1; f2=3; f3=12; 3. F=3; Fs=18; order=256; 4. t=[:1/fs:2]; 5. s=4*os(2*pi*f1*t)+8*os(2*pi*f2*t)+1*os(2*pi*f3*t); 6. figure; pwelh(s, [], [], [], Fs); 7. dsb=sqrt(2)*s.*os(2*pi*f*t); 8. figure; pwelh(dsb, [], [], [], Fs); 9. delay=order/8; rolloff=.2; 1. vsb_lb_fltr=vsb_lb_filter(f, Fs, rolloff, delay); 11. % 12. % απόκριση συχνότητας & χρόνου του φίλτρου vsb 13. [H,f]=freqz(vsb_lb_fltr,1,41); 14. H=H/max(abs(H)); f=f*fs/2/pi; 15. figure; 16. subplot(2,1,1); 17. stem(vsb_lb_fltr(delay-31:delay+32)); 18. title('κρουστική απόκριση φίλτρου vsb '); 19. subplot(2,1,2); 2. plot(f, abs(h)); 21. axis([ Fs/2 1.1]); grid; 22. xlabel('συχνότητα (Hz)'); 23. title('απόκριση συχνότητας (πλάτος) φίλτρου vsb '); 24. hold off; 25. %% Φιλτράρισμα με το φίλτρο VSB 26. vsb_lb=onv(dsb,vsb_lb_fltr); 27. % vsb_lb = awgn(vsb_lb,15,'measured'); % πρόσθεση θορύβου 28. vsb_lb=vsb_lb(delay+(1:length(s))); 29. figure; pwelh(vsb_lb, [], [], [], Fs); 3. % 31. %% demodulation 32. s_dm=sqrt(2)*vsb_lb.*os(2*pi*f*t); 33. figure; pwelh(s_dm, [], [], [], Fs); 34. %% Βαθυπερατό φιλτράρισμα και γραφήματα τελικού σήματος 35. hpm=firpm(order, [ f3*1.5/fs f3*2/fs.5]*2, [1 1 ]); 36. s_pm=onv(s_dm,hpm); s_pm=s_pm(order/2+(1:length(s))); 37. figure; pwelh(s_pm, [], [], [], Fs); 38. figure; 39. n=[1:3]; t1=t(n)*1; 4. subplot(2,1,1); plot(t1,s(n)); 41. maxs=max(s); mins=min(s); 42. axis([min(t1) max(t1) mins*1.1 maxs*1.1]); 43. title('αρχικό σήμα'); grid; 44. subplot(2,1,2); plot(t1, s_pm(n)); 45. axis([min(t1) max(t1) mins*1.1 maxs*1.1]); 46. xlabel('χρόνος (mse)'); 47. title(τελικό σήμα'); grid; Κώδικας 2.4: Υλοποίηση VSB σήμα τριών τόνων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-15.6.4.2 -.2 1 2 3 4 5 6 7 1.8.6.4.2 DSB-SC κρουστική απόκριση φίλτρου vsb VSB filtering απόκριση συχνότητας (πλάτος) φίλτρου vsb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 συχνότητα (Hz) 3 2 1-1 -2-3 -4-5 -6-7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Συχνότητα (Hz) 3 2 Φάσμα, VSB σήματος 3 τόνων, f 1 =1, f 2 =3, f 3 =12, F =3, F s =18 demodulation Φάσμα, μετά την αποδιαμόρφωση (VSB-LSB), πριν το LP φίλτρο 1-1 -2-3 -4 2 1 αρχικό σήμα τριών τόνων -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Συχνότητα (Hz) LP -1-2 2 1-1 -2 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 σήμα μετά την αποδιαμόρφωση (VSB) 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 Χρόνος (mse) 3 2 1-1 -2-3 -4-5 Φάσμα τελικού σήματος 3 τόνων (μετά την διαμ.-αποδιαμ. VSB) -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Συχνότητα (Hz) Πλαίσιο 2.6: VSB σήματος διακριτών τόνων

2-16 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 2.4.2 Παράδειγμα 2.4: Σύγκριση SSB-VSB σε διαμόρφωση με σήμα συνεχούς φάσματος Να επαναληφθούν τα του παραδείγματος 2.1, για διαμόρφωση SSB και VSB με το σήμα συνεχούς φάσματος. Να συγκριθούν οι δύο διαμορφώσεις, όσον αφορά την αναπαραγωγή του φάσματος στην περιοχή χαμηλών συχνοτήτων. Υλοποίηση Σχολιασμός γραφημάτων Ο κώδικας υλοποίησης βασίζεται στα αντίστοιχα τμήματα των Κωδίκων 2.1, 2.2 και 2.4: Διαβάζει καταρχήν το αρχείο σήματος και πυκνώνει το πλέγμα δειγματοληψίας (γραμμές 6-26 Κώδικα 2.1). Στη συνέχεια κάνει τις διαμορφώσεις, αφενός κατά SSB- LSB, αφετέρου κατά VSB-LSB και σχεδιάζει τα αντίστοιχα γραφήματα φάσματος (Πλαίσιο 2.7, 1β-2β). Συνεχίζει με τις αντίστοιχες αποδιαμορφώσεις και βαθυπερατό φιλτράρισμα, και παράγει τα αντίστοιχα γραφήματα φάσματος (Πλαίσιο. 2.7, 1δ-2δ) και χρόνου (Πλαίσιο 2.7, 1ε-2ε) του τελικού σήματος. Η σύγκριση των γραφημάτων 1α & 1δ δείχνει την παραμόρφωση φάσματος στην περιοχή χαμηλών συχνοτήτων που προκαλεί η SSB (βλ. ένθετη μεγέθυνση), ενώ αντίστοιχη παραμόρφωση δεν παρατηρείται με τη VSB (γραφήματα 1α & 2δ). Τα παραπάνω φαίνονται και στο πεδίο του χρόνου: το τελικό σήμα αποκλίνει του αρχικού στην περίπτωση της SSB (γράφημα 1ε), ενώ τα δύο σήματα σχεδόν ταυτίζονται, στην περίπτωση της VSB (γράφημα 2ε).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-17 SSB VSB -6 Φάσμα αρχικού σήματος -6 Φάσμα αρχικού σήματος, πυκνότερο πλέγμα δειγματοληψίας -7-8 -9-1 -11-12 -13-14.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1α -7-8 -9-1 -11-12 -13-14 -15 2 4 6 8 1 12 14 16 2α Φάσμα σήματος SSB-LSB, F =4.92 KHz, F s =32.77 KHz Φάσμα σήματος VSB-LSB, F =4.92 KHz, F s =32.77 KHz -6-6 -7-7 -8-9 -1-11 -12-13 -8-9 -1-11 -12-13 -14-14 -15 2 4 6 8 1 12 14 16 1β -15 2 4 6 8 1 12 14 16 2β -6 Φάσμα, μετά την αποδιαμόρφωση (SSB-LSB), πριν το LP φίλτρο -6 Φάσμα, μετά την αποδιαμόρφωση (VSB-LSB), πριν το LP φίλτρο -7-7 -8-9 -1-11 -12-13 -8-9 -1-11 -12-14 -15 2 4 6 8 1 12 14 16 1γ -13-14 2 4 6 8 1 12 14 16 2γ -6 Φάσμα, μετά την αποδιαμόρφωση (SSB-LSB), αρχικό πλέγμα δειγματοληψίας -6 Φάσμα, μετα την αποδιαμόρφωση (VSB-LSB), αρχικό πλέγμα δειγματοληψίας -7-7 -8-9 -1-11 -12-8 -9-1 -11-12 -13-13 -14.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1δ -14.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 2δ x 1-3 Σύγκριση αρχικού και τελικου (διαμόρφωση-αποδιαμόρφωση SSB) σήματος x 1-3 Σύγκριση αρχικού και τελικού (διαμόρφωση-αποδιαμόρφωση VSB) σήματος 8 Αρχικό σήμα σήμα μετά την αποδιαμόρφωση 8 Original signal Reovered signal 6 6 4 4 2 2 Πλάτος Πλάτος -2-2 -4-4 -6-6 -8.2.3.4.5.6.7.8 Χρόνος (se) 1ε 1ε -8.2.3.4.5.6.7.8 Χρόνος (se) 2ε 2ε Πλαίσιο 2.7: Σύγκριση SSB-VSB σε σήμα συνεχούς φάσματος

2-18 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 2.5 Ψηφιακή υλοποίηση διαμόρφωσης FM 2.5.1 Σύντομη θεωρία των εκθετικών διαμορφώσεων (PM, FM) [PROA215, 4], [CARL29, 5.1] Σε αντίθεση με τις διαμορφώσεις πλάτους όλων των εκδοχών, τις ονομαζόμενες και γραμμικές διαμορφώσεις (αν και η διαμόρφωση, αυστηρά θεωρούμενη, δεν είναι γραμμική πράξη), στις εκθετικές διαμορφώσεις ή διαμορφώσεις γωνίας το προς μετάδοση σήμα διαμορφώνει τη φάση ή τη συχνότητα του φέροντος: Οι σταθερές x(t) x( t), ( PM) s( t) A os[2 f t ( t)], ( t) t (2.1) 2f x( ) d, ( FM) και f f ονομάζονται απόκλιση φάσης (phase deviation) και απόκλιση συχνότητας (frequeny deviation) αντίστοιχα. Το πλάτος του εκ διαμορφώσεως ζωνοπερατού σήματος είναι σταθερό, όπως και η μέση ισχύς του, ίση με P s A 2 2 s(t), ανεξάρτητα από την ισχύ του σήματος βασικής ζώνης. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να αυξηθεί η ισχύς του σήματος (με αντίστοιχη βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης, αλλά και αύξηση του απαιτούμενου εύρους ζώνης, όπως θα φανεί παρακάτω), χωρίς να αυξηθεί και η ισχύς του εκπεμπόμενου σήματος (SNR-to-bandwidth trade-off). s(t) Η ακριβής φασματική ανάλυση του διαμορφωμένου σήματος δεν μπορεί να διεξαχθεί αναλυτικά στη γενική μορφή της (2.1). Είναι δυνατή στην περίπτωση σήματος διακριτών τόνων, ή προσεγγιστικά υπό συνθήκες μικρών γωνιακών αποκλίσεων (διαμόρφωση γωνίας στενής ζώνης). x(t) x(t) PM και FM στενής ζώνης Η σχέση (2.1) μπορεί να γραφεί στη μορφή: s( t) A os[ ( t)] os(2f t) A sin[ ( t)]sin(2 f t) (2.2) Αναπτύσσονται τα os[ ( t)] και sin[ ( t)] σε σειρά Taylor και υπό τη συνθήκη μικρών αποκλίσεων φάσης, δηλαδή: ( t) 1 rad (2.3α) κρατείται ο πρώτος όρος της κάθε σειράς (1 και (t), αντίστοιχα), οπότε η (2.2) γράφεται: s( t) A os(2 f t) A ( t)sin(2 f t). (2.3β) Στην περίπτωση αυτή, το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος s(t) δίνεται ως:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-19 S 1 f ) A [ ( f f) ( f f) ( f f) j( f f )], (2.4α) 2 ( όπου X ( f ), PM ( f ) { ( t)} (2.4β) jf X ( f ) / f, FM Παρατηρούμε ότι υπό τη συνθήκη (2.3α), η διαμόρφωση φάσης στενής ζώνης (Narrow Band Phase Modulation NBPM) προσεγγίζει τη διαμόρφωση πλάτους, πέραν μιας ολίσθησης 9 ο και στις δύο πλευρικές, όπως δηλώνει ο συντελεστής j. Στη διαμόρφωση συχνότητας στενής ζώνης (Narrow Band Frequeny Modulation NBFM) παρατηρείται ολίσθηση 18 ο στην κάτω πλευρική ζώνη (λόγω του αρνητικού προσήμου), ενώ συμβαίνει και μια ενίσχυση (έμφαση) των χαμηλών συχνοτήτων, λόγω του παράγοντα 1/f. 2.5.2 Διαμόρφωση PM και FM με σήμα διακριτών τόνων Έστω ότι το σήμα βασικής ζώνης είναι ένας απλό τόνος, συχνότητας fm και, για κοινή τυποποίηση των PM και FM, υποθέτουμε συγκεκριμένα ότι: am sin 2f mt PM x1 ( t), οπότε η (2.1) δίνει: am os2f mt FM ( t) sin 2f t, με m am PM f (2.5) am FM f m Η παράμετρος ονομάζεται δείκτης διαμόρφωσης (modulation index) σε PM ή FM απλού τόνου, το δε διαμορφωμένο σήμα της (2.2) γράφεται τώρα ως εξής: s ( t) A [os( sin 2f t)os2f t sin( sin 2f t)sin 2f ]. (2.6) 1 m m t Χρησιμοποιούμε τις μαθηματικές ταυτότητες των συναρτήσεων Bessel πρώτου είδους για να αναπτύξουμε τη (2.6) σε άθροισμα απλών τριγωνομετρικών όρων: os( sin 2f mt) J ( ) sin( sin 2f t) m n 2J n n ά 2J n ( )sin 2nf ( )os2nf m t m t (2.7) με n θετικό και J 1 j( sin n ) n( ) e d, (2.8) 2 1 n m n οπότε: s ( t) A J ( )os2 ( f nf ) (2.9)

2-2 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Η (2.9) είναι στην επιθυμητή μορφή, αφού εύκολα δίνει το φάσμα του σήματος ως ένα σύνολο φασματικών γραμμών. Αυτές βρίσκονται δεξιά και αριστερά της f σε αποστάσεις-ακέραια πολλαπλάσια της fm και βάρη τις τιμές των αντίστοιχων συναρτήσεων Bessel με όρισμα το δοσμένο. Στο Πλαίσιο 2.8 έχουν σχεδιαστεί οι συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους, τάξης έως 8 και για τιμές του από έως 1 (σε λογαριθμική κλίμακα, για να παρατηρηθεί η περιοχή μικρών τιμών έως 1). Στο ίδιο σχήμα έχει σκιαγραφηθεί η περιοχή τιμών (-.5,.5). Παρατηρούμε ότι για τιμές του μέχρι και.5, όλοι οι συντελεστές ( ) J n της (2.9) παραμένουν κατ απόλυτη τιμή κάτω του.5, πλην των δύο πρώτων (για n= και 1), κάτι που εξηγεί την προσέγγιση στενής ζώνης. Για μεγάλες τιμές του πολλοί όροι του αθροίσματος 2.9 είναι σημαντικοί, π.χ. για, οκτώ όροι του αθροίσματος (έως και ο ) έχουν τιμή μεγαλύτερη του.5. J 7 ( ) 5 1 Jn(β).5 n= n=1 n=2 n=3.5 -.5 1-2 1-1 1 1 1 Δείκτης διαμόρφωσης, β Πλαίσιο 2.8: Συναρτήσεις Bessel 1 ου είδους Η σχέση (2.9) γενικεύεται για σήματα πολλών διακριτών τόνων. Παραδείγματος χάριν, για σήμα δύο τόνων στις συχνότητες f1 και f2 και αντίστοιχους δείκτες διαμόρφωσης 1 a1 f / f1, 2 a2 f / f 2, το διαμορφωμένο σήμα δίνεται από τη σχέση: 2( t) A J n ( 1) J m( 2)os2 ( f nf1 mf2 n m s ) t (2.1)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-21 2.5.3 Παράδειγμα 2.5: Διαμόρφωση FM με σήμα διακριτών τόνων Α. Να παραχθεί σήμα δύο τόνων, των οποίων οι συχνότητες διαφέρουν σημαντικά (π.χ. ) και είναι πρώτες μεταξύ τους. Να παραχθεί στη συνέχεια σήμα διαμόρφωσης FM συγκεκριμένης συχνότητας φέροντος (π.χ. f 1 f2 ) (α) στενής ζώνης (π.χ. απόκλισης συχνότητας f f 2 / 5 ), (β) ευρείας ζώνης (π.χ. απόκλιση συχνότητας ). Και για τις δύο περιπτώσεις διαμόρφωσης, (α) και (β), να προστεθεί στο διαμορφωμένο σήμα FM λευκός γκαουσιανός θόρυβος για συγκεκριμένη τιμή σηματοθορυβικής σχέσης (π.χ. SNR=15). Σε κάθε στάδιο να σχεδιαστεί το φάσμα του αντίστοιχου σήματος. Να υπολογιστεί και σχεδιαστεί επίσης το θεωρητικώς αναμενόμενο φάσμα του σήματος FM. f 2 2 f 1 f 2 f 2 Β. Για τις δύο περιπτώσεις διαμόρφωσης του προηγούμενου θέματος, να γίνει η αποδιαμόρφωση και να συγκριθούν αντίστοιχα τμήματα, του αρχικού και του τελικού σήματος. Σε κάθε στάδιο να σχεδιαστεί και πάλι το φάσμα του αντίστοιχου σήματος. Να παρατηρηθεί το trade-off μεταξύ εύρους ζώνης και επίδρασης θορύβου. Υλοποίηση Κώδικας 2.5, με αποτελέσματα στο Πλαίσιο 2.9.

2-22 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 1. %% Διαμόρφωση FM με σήμα δύο τόνων 2. lear all; lose all; 3. Fs = 1; % Συχνότητα δειγματοληψίας 4. t = [:2*Fs+1]'/Fs; % πλέγμα δειγματοληψίας 5. F1=19; F2=4; A1=.2; A2=1; 6. %% μικροί σχετικά δείκτες διαμόρφωσης 7. freqdev=f2/5; 8. b1=a1*freqdev/f1; b2=a2*freqdev/f2; 9. x = A1*os(2*pi*F1*t) + A2*os(2*pi*F2*t); 1. figure; pwelh(x,[],[],[],fs); 11. F = 1*F2; % συχνότητα φέροντος 12. % διαμόρφωση FM 13. y=os(2*pi*f*t+b1*sin(2*pi*f1*t)+b2*sin(2*pi*f2*t)); 14. % εναλλακτικά, με χρήση της fmmod 15. % y = fmmod(x,f,fs,freqdev); % Modulate. 16. figure; pwelh(y,[],[],[],fs); 17. y = awgn(y,15,'measured'); % πρόσθεση θορύβου 18. figure; pwelh(y,[],[],[],fs); 19. z = fmdemod(y,f,fs,freqdev); % Demodulate. 2. figure; pwelh(z,[],[],[],fs); 21. % Βαθυπερατό φίλτρο Parks-MClellan 22. f1=f2/fs; f2=1.5*f1; 23. order=24; 24. fpts=[ f1 f2.5]*2; 25. mag=[1 1 ]; 26. wt=[1 1]; 27. b = firpm(order,fpts,mag,wt); 28. a=1; 29. % σχεδιασμός απόκρισης φίλτρου 3. [H,F] = FREQZ(b,a,512,Fs); 31. figure; plot(f,2*log(abs(h))); 32. % LP filtering 33. z_lp=onv(z,b); z_lp=z_lp(order/2+(1:length(x))); 34. figure; pwelh(z_lp,[],[],[],fs); 35. % Γράφημα αρχικού και τελικού σήματος 36. n=[4:6]; 37. figure; plot(t(n),x(n),'k-',t(n),z_lp(n),'r'); grid; 38. axis([min(t(n)) max(t(n)) 1.2*min(x(n)) 1.2*max(x(n))]); 39. legend('αρχικό σήμα','τελικό σήμα'); 4. % Θεωρητικός υπολογισμός φασματικών γραμμών 41. z=[]; f=[]; 42. for j=-4:4 43. for i=-5:5 44. f=[f F+j*F2+i*F1]; 45. z=[z besselj(j,b2)*besselj(i,b1)]; 46. end 47. end 48. logz=1+1*log1((z.^2)/2); 49. figure; stem(f,logz); 5. axis([ Fs/2 max(logz)-8 max(logz)+1]); grid %% ΑΣΚΗΣΗ: Για F1=19, F2=4, Α1=.2, Α2=1, Fs=2, % freqdev=f2/5 (στενής ζώνης) ή freqdev=f2*5 (ευρείας ζώνης), % (α) Να προσαρμοστούν κατάλληλα τα όρια του βρόχου 42-47 % (β) Να βρεθεί το εύρος ζώνης (-25db)πειραματικά και % θεωρητικά και να συγκριθεί με αυτό του κανόνα Carson Κώδικας 2.5: Διαμόρφωση FM με σήμα δύο τόνων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-23 Σήμα 2 τόνων -2-4 -6-8 -1-12.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Σήμα 2 τόνων, FM-narrow, f 1 =19, f 2 =4, f Δ =8, F =4 K, F s =1 K -2 Σήμα 2 τόνων, FM-wide, f 1 =19, f 2 =4, f Δ =8, F =4 K, F s =2 K -3-2 -4-6 -8-4 -5-6 -7-8 -9-1 -1-12.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Φασματικές γραμμές, σήμα FM-narrow δύο τόνων - θεωρητικός υπολογισμός Σήμα 2 τόνων, FM-wide, φασματικές γραμμές, θεωρητικός υπολογισμός 1 9 9 8 Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) 8 7 6 5 4 3 Φασματική πυκνότητα ισχύος (db/hz) 7 6 5 4 3 2 1 2 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Συχνότητα (Hz) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Συχνότητα (Hz) Σήμα τόνων FM-narrow+noise(SNR=15 db), f 1 =19, f 2 =4, f Δ =8, F =4 K -2 Σήμα 2 τόνων, FM-wide-plus-noise(SNR=15 db) -25-1 -2-3 -4-5 -6-3 -35-4 -45-5 -55-6 -65-7.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Πλαίσιο 2.9: FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος δύο τόνων (συνεχίζεται)

2-24 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (συνέχεια) Σήμα 2 τόνων, FM-narrow-plus-noise (SNR=15 db)-demodulated (πριν LP) Σήμα 2 τόνων, FM-wide-plus-noise (SNR=15 db), demodulated (πριν LP) -1-1 -2-3 -4-5 -6-2 -3-4 -5-6 -7-7 -8.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 Απόκριση συχνότητας βαθυπερατού φίλτρου -5-1 Πλάτος (db) -15-2 -25-3 -35 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Συχνότητα (Hz) Σήμα 2 τόνων, FM-narrow-plus-noise (SNR=15)-demodulated (μετά LP) Σήμα 2 τόνων, FM-wide-plus-noise(SNR=15 db), demodulated (μετά LP) -1-2 -2-3 -4-5 -6-7 -4-6 -8-8 -1-9 -1.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 4 αρχικό σήμα μετά την αποδιαμόρφωση 4 3 αρχικό σήμα μετά την αποδιαμ. 3 2 2 1 1-1 -1-2 -2-3 -4-3 -5-4.5.1.15.2.25.3.35.4.45.5.55 χρόνος.5.1.15.2.25.3.35.4.45.5.55 χρόνος Πλαίσιο 2.9: (συνέχεια) FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος δύο τόνων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-25 2.5.4 Παράδειγμα 2.6: Διαμόρφωση FM με σήμα συνεχούς φάσματος Να επαναληφθούν τα (Α) και (Β) του παραδείγματος 2.5 για δοσμένο σήμα βασικής ζώνης, συνεχούς φάσματος (π.χ. το sima_lp των παραδειγμάτων 2.1 και 2.4). Να δοκιμαστούν, ειδικότερα, δύο διαφορετικές τιμές σηματοθορυβικής σχέσης (SNR=25, SNR=4), και να διερευνηθεί η χρησιμότητα ζωνοπερατού φιλτραρίσματος πριν την αποδιαμόρφωση. Να επαληθευτούν οι προσεγγιστικές σχέσεις υπολογισμού του εύρους ζώνης FM: DR 1 B FM 2( DR 1) W, (κανόνας του Carson) DR 1 ή B FM 2( DR 2) W, DR 2, όπου DR=fΔ /W, ο λόγος απόκλισης και W το εύρος ζώνης του αρχικού σήματος. Υλοποίηση Κώδικας 2.6, με αποτελέσματα στο Πλαίσιο 2.1.

2-26 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 1. %% Διαμόρφωση FM σήματος συνεχούς φάσματος 2. lear all; lose all; 3. %% Φορτώνεται το αρχείο με το σήμα βασικής ζώνης, τη συχνότητα 4. % δειγματοληψίας Fs και το διάνυσμα των συχνοτήτων 5. % της ζώνης μετάβασης f=[f1 f2], ανηγμένων ως προς Fs 6. load sima_lp; 7. F1 = f(1); % οριακή συχνότητα ζώνης διέλευσης 8. F2 = f(2); % οριακή συχνότητα ζώνης αποκοπής 9. figure; pwelh(sima_lp,[],[],[],fs); 1. % Γίνεται πύκνωση του πλέγματος δειγματοληψίας (xd) 11. D=8; 12. sima_lp=upsample(sima_lp,d); Fs=Fs*D; 13. sima_lp=sima_lp/max(sima_lp); 14. F1=F1/D; F2=F2/D; % οι συχνότητες αποκοπής στο νέο πλέγμα 15. t=[1:length(sima_lp)]'/fs; 16. % Βαθυπερατό φιλτράρισμα 17. order=d*64; % πρέπει να αυξάνει ανάλογα του D 18. hpm=firpm(order, [ F1 F2.5]*2, [1 1 ]); 19. s=onv(sima_lp,hpm); s=s(order/2+(1:length(sima_lp)))/max(s); 2. figure; pwelh(s, [], [], [], Fs); 21. F = 1*F2*Fs; % arrier frequeny for SSB modulation 22. %% Διαμόρφωση FM 23. % (α) Μικρής απόκλισης συχνότητας: freqdev=fs*f2/5 24. freqdev=f2*fs/5; 25. y = fmmod(s,f,fs,freqdev); % Modulate. 26. figure; pwelh(y,[],[],[],fs); 27. y = awgn(y,25,'measured'); % προσθήκη θορύβου 28. figure; pwelh(y,[],[],[],fs); 29. %% Ζωνοπερατό φιλτράρισμα πριν την αποδιαμόρφωση 3. DR=freqdev/(F2*Fs); 31. fl=f/fs-(dr+2)*f2; fh=f/fs+(dr+2)*f2; % Carson's rule 32. M=128; 33. hpm=firpm(m, [ fl*.95 fl*1.2 fh*.98 fh*1.5.5]*2,... 34. [ 1 1 ]); 35. figure; freqz(hpm,1,512,fs); 36. y=onv(y,hpm); y=y(m/2+(1:length(sima_lp))); 37. figure; pwelh(y, [], [], [], Fs); 38. %% 39. z = fmdemod(y,f,fs,freqdev); % Demodulate. 4. figure; pwelh(z,[],[],[],fs); 41. % Βαθυθπερατό φίλτράρισμα Parks-MClellan 42. f1=f2; f2=1.1*f1; order=64*d; 43. fpts=[ f1 f2.5]*2; 44. mag=[1 1 ]; wt=[1 1]; 45. b = firpm(order,fpts,mag,wt); 46. z_lp=onv(z,b); z_lp=z_lp(order/2+(1:length(s))); 47. figure; pwelh(z_lp,[],[],[],fs); 48. % Plot the original and reovered signals. 49. n=[4*d:4*d+6]; 5. figure; plot(t(n),s(n),'k-',t(n),z_lp(n),'r'); 51. grid; axis([min(t(n)) max(t(n)) 1.2*min(s(n)) 1.2*max(s(n))]); 52. legend('αρχικό σήμα','τελικό σήμα'); 53. figure; pwelh(downsample(z_lp,d),[],[],[],fs/d); 54. %% Επαναλαμβάνονται τα παραπάνω με μεγαλύτερη απόκλιση 55. % συχνότητας (β) freqdev=f2*fs*2 56. % Να παρατηρηθεί το trade-off μεταξύ εύρους ζώνης και 57. % συμπεριφοράς στον θόρυβο (μικρό SNR=25, μεγάλο SNR=4) 58. % Να γίνουν τα παραπάνω με και χωρίς το ζωνοπερατό φιλτράρισμα 59. % και να παρατηρηθεί η επίδραση του εύρους ζώνης του διαύλου: 6. % 2*(DR+2)*F2, για μεγάλο DR, 2*DR*F2, για μικρό DR Κώδικας 2.6: Διαμόρφωση FM με σήμα συνεχούς φάσματος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-27 -6 Φάσμα αρχικού σήματος -4 Φάσμα αρχικού σήματος, 8-πλάσια πυκνότητα πλέγματος δειγματοληψίας -7-8 -9-1 -11-12 -13-5 -6-7 -8-9 -1-11 -14.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-12 5 1 15 2 25 3 FM-narrow FM-wide FM-narrow σήματος εύρους ζώνης W=1.23 KHz, F =1W, f Δ =W/5, F s =65.536 Hz FM-wide σήματος εύρους ζώνης W=1.23 KHz, F =1W, f Δ =2W, F s =65.536 Hz -2-2 -4-6 -8-4 -6-8 -1-1 -12 5 1 15 2 25 3-12 5 1 15 2 25 3-1 FM-narrow-plus-noise (SNR=25 db) -1 FM-wide-plus-noise (SNR=25 db) -2-2 -3-4 -5-6 -7-3 -4-5 -6-7 -8-8 -9 5 1 15 2 25 3-9 5 1 15 2 25 3 5 Απόκριση συχνότητας ζωνοπερατού φίλτρου 5 Απόκριση συχνότητας ζωνοπερατού φίλτρου Πλάτος (db) -5 Πλάτος (db) -5-1.5 1 1.5 2 2.5 3 x 1 4-1.5 1 1.5 2 2.5 3 x 1 4 1 1 Φάση (degrees) -1-2 -3.5 1 1.5 2 2.5 3 Συχνότητα (Hz) x 1 4 Φάση (degrees) -1-2 -3-4.5 1 1.5 2 2.5 3 Συχνότητα (Hz) x 1 4 Πλαίσιο 2.1: FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος συνεχούς φάσματος (συνεχίζεται)

2-28 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (συνέχεια) FM-narrow FM-wide Φάσμα σήματος (FM-narrow-plus-noise SNR=25db), μετά το ζωνοπερατό φίλτρο Φάσμα σήματος FM-wide μετά το ζωνοπερατό φίλτρο -2-2 -4-6 -8-4 -6-8 -1-1 -12 5 1 15 2 25 3-12 5 1 15 2 25 3-4 Σήμα μετά την αποδιαμόρφωση (FM-narrow-plus-noise SNR=25db), πυκνό πλέγμα -4 Σήμα μετά την αποδιαμόρφωση (FM-wide-plus-noise), πυκνό πλέγμα -5-5 -6-7 -8-9 -1-6 -7-8 -9-1 -11-11 -12-12 5 1 15 2 25 3-13 5 1 15 2 25 3 Αχικό και τελικό σήμα (τμήμα) FM-narrow-plus-noise (SNR=25 db), f Δ =W/5 Αρχικό και τελικό σήμα (τμήμα), FM-wided-plus-noise (SNR=25db), f Δ =2W.2 αρχικό σήμα τελικό σήμα.2 αρχικό σήμα τελικό σήμα.15.15.1.1 Πλάτος Πλάτος.5.5 -.5 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 Χρόνος (se) x 1-3 -.5 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 Χρόνος (se) x 1-3 Αρχικό και τελικό σήμα (τμήμα), FM-narrow-plus-noise (SNR=4db), f Δ =W/5 Αρχικό και τελικό σήμα (τμήμα), FM-wide-plus-noise (SNR=4 db), f Δ =2W.2 αρχικό σήμα τελικό σήμα.2 αρχικό σήμα τελικό σήμα.15.15.1.1 Πλάτος Πλάτος.5.5 -.5 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 Χρόνος (se) x 1-3 -.5 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 Χρόνος (se) x 1-3 Πλαίσιο 2.1: (συνέχεια) FM στενής και ευρείας ζώνης σήματος συνεχούς φάσματος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-29 2.6 Παραρτήματα 2.6.1 Παράρτημα Π2.1: Ο Μετασχηματισμός HILBERT στις τηλεπικοινωνίες Φίλτρο μετασχηματισμού Hilbert (ή εγκάρσιο φίλτρο quadrature filter), [CARL29, 3.5] Αναλογικό: Ψηφιακό: Magnitude (db) Phase (degrees) 5-5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 x 1 4-2 -4 Normalized Frequeny rad/sample) ( -6.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Normalized Frequeny rad/sample) ( (α).8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 5 1 15 2 25 (β) 3 2 1-1 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (γ) σήμα s(t) MATLAB: hilbert(g) Μετα/σμός HILBERT st ˆ( ) x j + st () s( t) jsˆ ( t) e x j(2 ft) Re(.) σήμα SSB-USB σήμα AM g( t) ( m( t) A ). os(2 f t) MATLAB: hilbert(g) Μετα/σμός HILBERT gˆ ( t) x j + abs αποδιαμ/νο σήμα g h ( t) m( t) A g( t) jgˆ( t) (δ) gˆ( t) ( m( t) A )sin(2 f t) abs g t g t gˆ t m t A ( ( )) ( ) ( ) ( ) 2 2 h (ε) σήμα FM MATLAB: hilbert(g) g( t) os(2 f t ( t)) + e x j( 2f t) angle (.) 1 2π Μετα/σμός HILBERT gˆ ( t) x j g ( t) h g( t) jgˆ( t) e j(2ft ( t)) ' ( t) αποδιαμ/νο σήμα (στ) (Δείτε π.χ.: [CΗΕΝ212]) Πλαίσιο 2.11: Ο Μετασχηματισμός Hilbert στις τηλεπικοινωνίες: (α) Κρουστική απόκριση φίλτρου Hilbert (β) Απόκριση συχνότητας (γ) Απόκριση σε τετραγωνικό παλμό (δ) Διαμορφωτής SSB-USB (ε) Αποδιαμορφωτής περιβάλλουσας AM, (στ) Αποδιαμορφωτής FM

Amplitude Amplitude Magnitude (db) Magnitude (db) 3 2 1-1 -2-3 -4-5 -6 5 1 15 2 25 3 35 4 Frequeny (Hz) 2 1-1 -2-3 -4-5 Welh Power Spetral Density Estimate Welh Power Spetral Density Estimate Frequeny (Hz) 2-3 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 2.6.2 Παράρτημα Π2.2: Σταχυολόγηση κώδικα MATLAB επεξεργασίας/οπτικοποίησης τηλεπικοινωνιακών σημάτων Σήματα-επεξεργασία 1. Σήμα πληροφορίας, x (1xN) Υπολογισμός ισχύος σήματος, Px Υπολογισμός πυκνότητας φάσματος ισχύος σήματος (psd) Παράδειγμα Κώδικα υλοποίησης/οπτικοποίησης %% Σήμα βασικής ζώνης - δύο τόνων lear all; lose all; f1=1; f2=12; Fs=8; % συχνότητα δειγματοληψίας t=[:1/fs:4]; % πλέγμα δειγματοληψίας x=1*os(2*pi*f1*t)+5*os(2*pi*f2*t); % Οπτικοποίηση σήματος & 6 πρώτων δειγμάτων figure; plot(t(1:6),x(1:6),'r'); hold on; stem(t(1:6),x(1:6)); hold off; %% Υπολογισμός ισχύος & πυκν. φασμ. ισχύος (psd) Px=x*x'/length(x) % Px~62.55 [θεωρ.=(1^2+5^2)/2] Px=sum(x.^2)/length(x) % εναλλακτικός υπολογισμός Pxdb=1*log1(Px); % η ισχύς σε dbw % Υπολογισμός & οπτικοποίηση psd figure; pwelh(x,[],[],[],fs); Power/frequeny (db/hz) Οπτικοποιημένο αποτέλεσμα 15 1 5-5 -1-15.1.2.3.4.5.6.7.8 3 2 1-1 -2-3 -4-5 -6 5 1 15 2 25 3 35 4 Frequeny (Hz) 2. Σήμα λευκού, γκαουσιανού θορύβου, n, ισχύος Pn (dbw): Pxdb- Pndb=SNR(db) Ενθόρυβο σήμα, xn, SNR (db) %% Σήμα λευκού, γκαουσιανού θορύβου, ισχύος Pn, % έτσι ώστε Px/Pn->SNR db SNR=15; Pndb=Pxdb-SNR; Pn=1^(Pndb/1); n=wgn(1,length(x),pndb); % Μέση πυκνότητα φάσματος ισχύος θορύβου n_psd=pndb-1*log1(fs/2); % =-13.58 dbw % Ενθόρυβο σήμα και οπτικοποίηση psd xn=x+n; figure; pwelh(xn,[],[],[],fs);hold on; % xn=awgn(x,snr,'measured'); % εναλλακτικά f=(1:fs/2:fs/2); p=n_psd*ones(1,length(f)); plot(f,p,'r');axis([ Fs/2-5 3]); hold off; Power/frequeny (db/hz) 3 2 1-1 -2-3 -4 Welh Power Spetral Density Estimate -5 5 1 15 2 25 3 35 4 Frequeny (Hz) n _ psd 1log 1 Pn F /2 s 3. Συνέλιξη - φιλτράρισμα Βαθυπερατό φίλτρο %% Συνέλιξη φιλτράρισμα σημάτων % Υπολογισμός κρουστικής απόκρ. βαθυπ. φίλτρου f=[ 2 3 Fs/2]/(Fs/2); mag=[1 1 ]; h_lp=firpm(128,f,mag); %FIR Parks-MaClellan wvtool(h_lp) % απόκριση χρόνου & συχνότητας % freqz(h_lp);% απόκριση συχνότητας φίλτρου xn_lp=onv(xn,h_lp,'same');%εφαρμογή φίλτρου figure; pwelh(xn_lp,[],[],[],fs);.8.6.4.2 -.2 Time domain 2 4 6 8 1 12 Samples 2-2 -4-6 -8 Frequeny domain Power/frequeny (db/hz) -1.2.4.6.8 Normalized Frequeny ( rad/sample) 4. Συνέλιξη - φιλτράρισμα Ζωνοπερατό φίλτρο %% Συνέλιξη - φιλτράρισμα σημάτων (συνέχεια) % Υπολογισμός κρουστικής απόκρ. ζωνοπ. φίλτρου f=[ 1 11 14 Fs/2]/(Fs/2); mag=[ 1 1 ]; h_bp=firpm(128,f,mag); % FIR Parks-MaClellan wvtool(h_bp) % απόκριση χρόνου & συχνότητας xn_bp=onv(xn,h_bp, 'same'); % Εφαρμογή φίλτρου figure; pwelh(xn_bp,[],[],[],fs);.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 Time domain 2 4 6 8 1 12 Samples 2-2 -4-6 Frequeny domain -8.2.4.6.8 Normalized Frequeny ( rad/sample) Power/frequeny (db/hz) Welh Power Spetral Density Estimate -6 5 1 15 2 25 3 35 4

Power/frequeny (db/hz) Power/frequeny (db/hz) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Εξομοίωση Ψηφιακή υλοποίηση αναλογικών διαμορφώσεων 2-31 5. Πύκνωση-αραίωση πλέγματος δειγματοληψίας %% Πύκνωση-αραίωση πλέγματος δειγματοληψίας x_4=interp(x,4); % πύκνωση κατά 4 figure; pwelh(x_4,[],[],[],4*fs); x_bak=deimate(x_4,4);%αραίωση κατά 4 (επαναφορά) figure; pwelh(x_bak,[],[],[],fs); Power/frequeny (db/hz) 3 2 1-1 -2-3 -4 Welh Power Spetral Density Estimate -5-6 -7 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequeny (Hz) 6. Διαμόρφωση DSB %% Διαμόρφωση DSB F=4*f2; % συχνότητα φέροντος % Γίνεται χρήση του πυκνού πλέγματος Fs_4=4*Fs; t_4=[1:length(x_4)]/fs_4; x_plus=x_4+2*max(abs(x_4)); %σήμα θετικών τιμών s_dsb=sqrt(2)*x_plus.*os(2*pi*f*t_4); % DSB s_dsb_n=awgn(s_dsb,snr, 'measured'); figure; pwelh(s_dsb_n, [], [], [], Fs_4); 4 3 2 1-1 Welh Power Spetral Density Estimate -2 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequeny (Hz) 7. Αποδιαμόρφωση DSB Φωρατής περιβάλλουσας %% Φωρατής περιβάλλουσας % Το αναλυτικό ζωνοπερατό σήμα s_dsb_n_h=hilbert(s_dsb_n)/sqrt(2); % Η περιβάλλουσα dsb_n_dm=abs(s_dsb_n_h); dsb_n_dm=(dsb_n_dm-mean(dsb_n_dm)); % Βαθυπερατό φιλτράρισμα και αραίωση dsb_n_lp=deimate(dsb_n_dm,4); figure; pwelh(dsb_n_lp, [], [], [], Fs); Power/frequeny (db/hz) 3 2 1-1 -2-3 Welh Power Spetral Density Estimate -4 5 1 15 2 25 3 35 4 Frequeny (Hz) 8. Διαμόρφωση SSB 1 ος τροπος: x DSB-SC (bp) SSB 2 ος τρόπος: μέσω του αναλυτικού σήματος %% Διαμόρφωση SSB % 1ος τροπος: x --> DSB-SC -->(bp) SSB F=4*f2; % συχνότητα φέροντος dsb_s=sqrt(2)*x_4.*os(2*pi*f*t_4); % DSB-SC figure; pwelh(dsb_s,[],[],[],fs_4); fpts=[ F-.98*f1 F+.98*f1 Fs_4/2]*2/Fs_4; b = firpm(512,fpts,[1 1 ], [1 1]); ssb1=2*onv(dsb_s,b,'same'); ssb1_n=awgn(ssb1,snr,'measured'); figure; pwelh(ssb1_n,[],[],[],fs_4); % ssb psd % 2ος τρόπος: μέσω του αναλυτικού σήματος % (η άνω πλευρική λαμβάνεται με θετικό εκθέτη) ssb2=sqrt(2)*real(hilbert(x_4).*exp(- 1i*2*pi*F*t_4)); ssb2_n=awgn(ssb2,snr,'measured'); % θορυβώδες figure; pwelh(ssb2_n,[],[],[],fs_4); % ssb2 psd Power/frequeny (db/hz) 3 2 1-1 -2-3 -4 Welh Power Spetral Density Estimate -5 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequeny (Hz) 3 2 1-1 -2-3 LPF Welh Power Spetral Density Estimate + noise -4-5 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequeny (Hz) 9. Αποδιαμόρφωση SSB %% Αποδιαμόρφωση SSB % ssb1_n: θορυβώδες σήμα SSB κάτω πλευρικής ζώνης ssb_n_dm=sqrt(2)*ssb1_n.*exp(-1i*2*pi*f*t_4); ssb_n_lp=deimate(ssb_n_dm,4); % LPF & αραίωση ssb_n_lp=real(ssb_n_lp); figure; pwelh(ssb_n_lp, [], [], [], Fs); Power/frequeny (db/hz) 3 2 1-1 -2 Welh Power Spetral Density Estimate -3-4 -5 5 1 15 2 25 3 35 4 Frequeny (Hz)

2-32 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 1. Διαμόρφωση FM Power/frequeny (db/hz) %% Διαμόρφωση FM freqdev=15; % απόκλιση συχνότητας xmax=max(abs(x_4)); kf=freqdev/xmax; D=freqdev/f2; % λόγος διαμόρφωσης % BT: Εύρος ζώνης κατά Carson if and(d>2,d<1) BT=2*(D+2)*f2; else BT=2*(D+1)*f2; end fm = fmmod(x_4,f,fs_4,kf); % modulate. fm_n=awgn(fm,snr,'measured'); % πρόσθεση θορύβου figure; pwelh(fm_n,[],[],[],fs_4); Power/frequeny (db/hz) -5-1 -15-2 -25-3 -35-4 -45 Welh Power Spetral Density Estimate -5 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequeny (Hz) 11. Αποδιαμόρφωση FM 1 ος τρόπος: με χρήση της συνάρτησης fmdemod() 2 ος τρόπος: μέσω της μιγαδικής περιβάλλουσας %% Αποδιαμόρφωση FM % 1ος τρόπος: με χρήση της συνάρτησης fmdemod() fm_n_dm = fmdemod(fm_n,f,fs_4,kf); % demodulate fm_n_dm=deimate(fm_n_dm,4); % φιλτράρισμα&αραίωση % figure; pwelh(fm_n_dm,[],[],[],fs); % 2ος τρόπος: μέσω της μιγαδικής περιβάλλουσας phi= angle(hilbert(fm_n).*exp(-1j*2*pi*f*t_4)); phi=unwrap(phi); %για συνεχή συνάρτηση γωνίας fm_n_dm=1/(2*pi*kf)*diff(phi)*fs_4; % παράγωγος fm_n_dm=deimate(fm_n_dm,4); % φιλτράρισμα & αραίωση figure; pwelh(fm_n_dm,[],[],[],fs); Power/frequeny (db/hz) 3 2 1-1 -2-3 -4 Welh Power Spetral Density Estimate -5 5 1 15 2 25 3 35 4 Frequeny (Hz) 12 Αποδιαμόρφωση FM 3 ος τρόπος: με κύκλωμα κλίσης & φωρατή περιβάλλουσας %% Αποδιαμόρφωση FM % 3ος τρόπος: με κύκλωμα κλίσης & φωρατή περιβάλ. % Κύκλωμα κλίσης Parks-MClellan f_sl1=(f-bt/2)/fs_4; f_sl2=(f+bt/2)/fs_4; fpts=[.98*f_sl1 f_sl1 f_sl2 1.2*f_sl2.5]*2; mag=[ 1 ]; wt=[1 1 1]; order=512; b = firpm(order,fpts,mag,wt); a=1; % οπτικοποίηση απόκρισης φίλτρου [H,F] = freqz(b,a,order,fs_4); figure; subplot(2,1,1); plot(f,abs(h)); subplot(2,1,2); plot(f,phase(h)); fm_n=min(1, fm_n); fm_n=max(-1, fm_n); fm_n_am=onv(fm_n,b,'same'); % φωρατής περιβάλλουσας fm_n_h=hilbert(fm_n_am)/sqrt(2); fm_n_dm=abs(fm_n_h); fm_n_dm=(fm_n_dm-mean(fm_n_dm)); fm_n_lp=deimate(fm_n_dm,4); figure; pwelh(fm_n_lp, [], [], [], Fs); 1.8.6.4.2 1 2 4 6 8 1 12 14 16-1 -2-3 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequeny (Hz) -1-2 -3-4 -5-6 -7 Welh Power Spetral Density Estimate -8-9 5 1 15 2 25 3 35 4 Frequeny (Hz) Πλαίσιο 2.12: Σταχυολόγηση κώδικα MATLAB επεξεργασίας/οπτικοποίησης τηλεπικοινωνιακών σημάτων