HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

Transcript

1 HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 19: Φίλτρα (IV)

2 Σχεδιασμός φίλτρων FIR Είδαμε ότι για φίλτρα IIR συνήθως σχεδιάζουμε ένα φίλτρο ΣΧ και μετασχηματίζουμε Για φίλτρα FIR θα δούμε μεθόδους σχεδιασμού απευθείας σε διακριτό χρόνο Μέθοδος παραθύρωσης ρ (window method/ windowing): ηαπλούστερη μέθοδος Έστω ότι η επιθυμητή απόκριση συχνοτήτων είναι H d (e jω ) Η αντίστοιχη κρουστική απόκριση είναι: η οποία είναι άπειρης διάρκειας. Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε με ένα παράθυρο πεπερασμένης διάρκειας w[n] για να πάρουμε φίλτρο FIR (windowing) : Στο πεδίο της συχνότητας, καθώς: ισοδύναμα παίρνουμε μια αποκομμένη σειρά Fourier αν εφαρμόσουμε παραθύρωση. Το πιο απλό παράθυρο είναι το ορθογώνιο (rectangular window) Τι συμβαίνει στο πεδίο της συχνότητας? Το παράθυρο έχει DTFT: Άρα: 2

3 Σχεδιασμός φίλτρων FIR Έχουμε παραμόρφωση της απόκρισης συχνοτήτων λόγω συνέλιξης στο πεδίο της συχνότητας Ιδανικά θα θέλαμε να έχουμε ένα παράθυρο με περιεχόμενο συγκεντρωμένο κοντά στο ω=0 και όσο μικρότερο μήκος γίνεται (ευκολότερη υλοποίηση) Αυτές οι δύο συνθήκες είναι ανταγωνιστικές Όσο αυξάνεται το Μ το εύρος των πλευρικών λοβών (sidelobes) μειώνεται αλλά το πλάτος τους μεγαλώνει και η επιφάνεια τους παραμένει σταθερή (φαινόμενο Gibbs) 3

4 Σχεδιασμός φίλτρων FIR Μπορούμε να μετριάσουμε αυτό το φαινόμενο με πιο «ομαλά» παράθυρα, τα οποία έχουν μικρότερο ύψος πλευρικών λοβών αλλά και μεγαλύτερο εύρος του κύριου λοβού, οπότε έχουμε πιο ευρεία μετάβαση στην ασυνέχεια Οι πιο κοινοί τύποι παραθύρων είναι: 4

5 Σχεδιασμός φίλτρων FIR Μ=50 Rectangular Hann Bartlett Hamming Blackman 5

6 6 Σχεδιασμός φίλτρων FIR

7 Φίλτρα FIR με γενικευμένη γραμμική φάση Όλα τα παραπάνω παράθυρα έχουν την ιδιότητα γενικευμένης γραμμικής φάσης, καθώς: Έτσι: Αν η αρχική ιδεατή κρουστική απόκριση h d [n] είναι συμμετρική γύρω από το Μ/2, δηλ η h[n] θα είναι επίσης συμμετρική και το φίλτρο που προκύπτει θα έχει επίσης γενικευμένη γραμμική ήφάση, δηλ: Αν η αρχική κρουστική είναι αντισυμμετρική: Στο πεδίο της συχνότητας, π.χ. αν έχουμε: άρα: (περιοδική συνέλιξη μεταξύ H e (e jω ) και W e (e jω )) 7

8 Φίλτρα FIR με γενικευμένη γραμμική φάση Παράδειγμα: Ιδεατό βαθυπερατό φίλτρο με καθυστέρηση Μ/2 Κρουστική απόκριση: Αν χρησιμοποιήσουμε συμμετρικό παράθυρο w[n] παίρνουμε φίλτρο FIR με γενικευμένη γραμμική φάση Η μορφή της απόκρισης συχνοτήτων του σχήματος είναι αρκετά ακριβής όταν το ω c δεν είναι κοντά στο 0 ή π και όταν το εύρος του κύριου λοβού είναι μικρότερο του 2ω c 8

9 H μέθοδος Kaiser Μέθοδος επιλογής του κατάλληλου παραθύρου, η οποία δίνει παράθυρα τα οποία είναι υπο βέλτιστα (sub optimal). Παράθυρο Kaiser: w k I [ n] = 0 n α [ β (1 ( ) α I 0 ( β ) ) ] 2 1/ 2 0 M, 0 n M, α = otherwise I 0 : συνάρτηση Bessel μηδενικής τάξης. β: παράμετρος ρ σχήματος ς( (shape parameter) Επιλέγοντας κατάλληλα τα Μ+1, β μπορούμε να καθορίσουμε κατάλληλα το μήκος και το σχήμα του παραθύρου ρ ώστε να πετύχουμε καλό συμβιβασμό μεταξύ πλάτους των πλευρικών λοβών και εύρους του κύριου λοβού β=0: ορθογώνιο παράθυρο, 2 9

10 H μέθοδος Kaiser Μέσω εκτεταμένου πειραματισμού ο Kaiser προσδιόρισε τα Μ, β που ικανοποιούν κάποιες δοθείσες προδιαγραφές Το μέγιστο σφάλμα δ καθορίζεται από την επιλογή του β Η ζώνη μετάβασης είναι: Αν ορίσουμε: A = 20log δ (attenuation) 10 Δ ω = ω - ω o Kaiser έδειξε εμπειρικά ότι για να επιτύχουμε εξασθένηση Α: ( A 8.7), A> β = ( A 21) ( A 21), 21 A , A < 21 Επίσης, έδειξε ότι για να επιτύχουμε τιμές Α και Δω πρέπει: A-8 M = Δω s p Η προσέγγιση αυτή είναι αποτελεσματική για μεγάλο εύρος τιμών Δω και Α! (δεν υπάρχει ανάγκη για πολλές δοκιμές) 10

11 H μέθοδος Kaiser Παρατηρήσεις Η ζώνη μετάβασης καθορίζεται χοντρικά από τον κύριο λοβό Το πλάτος των κυματώσεων στις ςζώνες διέλευσης/ αποκοπής καθορίζεται από το πλάτος των πλευρικών λοβών (άρα από το β) και δεν εξαρτάται από το Μ Figure 7.33 Comparison of fixed windows with Kaiser windows in a lowpass filter design application (M = 32 and ω c = π/2). ) (Note that the designation Kaiser 6 means Kaiser window with β = 6, etc.) 11

12 Βαθυπερατό φίλτρο H μέθοδος Kaiser παραδείγματα Προδιαγραφές: ωs = 0.6 π, ωp = 0.4 πδ, 1 = 0.01, δ2 = Άρα δ=0.001, Δ ω = ωs ωp = π, Α = 20log 10( δ) = 60 Συχνότητα αποκοπής: ω = ( ω + ω )/2= 0.5π c s p Από τις εμπειρικές εξισώσεις παίρνουμε β=5.563, Μ=37 Η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι: όπου α=μ/2=37/2=18.5 (Type II) ( A 8.7), A> β = ( A 21) ( A 21), 21 A , A < 21 A-8 M = Δω 12

13 Βαθυπερατό φίλτρο H μέθοδος Kaiser παραδείγματα Προδιαγραφές: ωs = 0.6 π, ωp = 0.4 πδ, 1 = 0.01, δ2 = Άρα δ=0.001, Δ ω = ωs ωp = π, Α = 20log 10 ( δ ) = 60 Από τις εμπειρικές εξισώσεις παίρνουμε β=5.563, Μ=37 Η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι: όπου α=μ/2=37/2=18.5 (Type II) Απόκριση φάσης και καθυστέρηση ομάδος? ( A 8.7), A> β = ( A 21) ( A 21), 21 A , A < 21 A-8 M = Δω 13

14 Υψιπερατό φίλτρο H μέθοδος Kaiser παραδείγματα Η απόκριση συχνοτήτων του ιδανικού υψιπερατού φίλτρου με γραμμική φάση είναι: 0, jω ω < ωc jωμ/2 jω Hhp ( e ) = = e H ( ) j /2 lp e ωμ e, ωc < ω π Κρουστική απόκριση: sin π ( n M / 2) sin ωc( n M / 2) h hp [ n ] =, < n< π ( n M / 2) ωc ( n M / 2) Προδιαγραφές: ωs = 0.35 π, ωp = 0.5 πδ, 1 = δ2 = 0.02 ω = ( ω + ω ) / 2 = 0.85 π / 2 c s p Δ ω = ω ω = 0.15 π, Α= 20 log ( δ ) = s p Άρα β=2.65, Μ=24 και εφαρμόζοντας το παράθυρο όπου α=μ/2=12 (Type I) ( A 8.7), A> 50 β = + 0.0, A < 21 A-8 M = Δω ( A 21) ( 07886( A 21), 21 A 50

15 H μέθοδος Kaiser παραδείγματα Υψιπερατό φίλτρο Για Μ=12 δεν ικανοποιούμε τις προδιαγραφές! (δ=0.0209) Τι γίνεται αν αυξήσουμε κατά 1 το Μ? Μ=13 Type II όπου α=μ/2= Όμως έχουμε μηδενικό για ω=π! Τα συστήματα Τύπου ΙΙ δεν είναι κατάλληλα για υψιπερατά/ζωνοφρακτικά φίλτρα Άρα πρέπει Μ=14 15

16 Φίλτρα FIR/IIR Πως διαλέγουμε τον τύπο? Φίλτρα IIR Υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις, απλή μέθοδος σχεδίασης ακόμη και με το χέρι, απλή μη επαναληπτική υλοποίηση σε Η/Υ/ Μόνο φίλτρα επιλογής συχνοτήτων Φίλτρα FIR Γραμμική φάση! Δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις, μπορεί να χρειαστούν επαναλήψεις για την ικανοποίηση προδιαγραφών Μεγαλύτερη ευελιξία Πιο περίπλοκη υλοποίηση η Κόστος μεγαλύτερο για φίλτρα FIR (μεγαλύτερη τάξη/ περισσότερες πράξεις), όμως η γραμμική φάση είναι σημαντικός παράγοντας 16