Πανεπιστήµιο Αιγαίου

O ΓΕΩΠΙΝΑΚΑΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΝΗΠΙΑ Χρυσάνθη Σκουµπουρδή και Αικατερίνη Κωσσοπούλου Πανεπιστήµιο Αιγαίου kara@aegean.gr Η κατασκευή γεωµετρικών σχηµάτων, µε χρήση κάποιου µέσου, περιλαµβάνει µια τεχνική και µια εννοιολογική γνώση µέσω των οποίων το τεχνούργηµα (µέσο) µετασχηµατίζεται σε εργαλείο για την εξυπηρέτηση κάποιας δράσης. Στόχος της εργασίας είναι να διερευνήσει αν τα νήπια µετατρέπουν το γεωπίνακα από τεχνούργηµα σε εργαλείο, για να κατασκευάσουν επίπεδα σχήµατα. Φάνηκε ότι όλα τα νήπια ενσωµάτωσαν το γεωπίνακα στη δραστηριότητά τους, προσαρµόζοντας το στις ανάγκες τους, όµως δεν έγιναν αντιληπτά από όλα τα παιδιά τα όρια και οι δυνατότητές του. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της γεωµετρίας προτείνεται (Clements, 2004) να αρχίζει από νωρίς. Κατά τη θεωρία του van Hiele (1986) η ανάπτυξη της γεωµετρικής σκέψης των παιδιών επηρεάζεται περισσότερο από τη διδασκαλία και το χρησιµοποιούµενο εκπαιδευτικό υλικό παρά από την ηλικία ή τη βιολογική ωριµότητα. Για την κατανόηση της έννοιας των επίπεδων γεωµετρικών σχηµάτων είναι απαραίτητη, κατά τη διδασκαλία, η εµπλοκή του παιδιού, εκτός από τις δραστηριότητες αναγνώρισης, διάκρισης, ανάλυσης, σύνθεσης, σε δραστηριότητες κατασκευής γεωµετρικών σχηµάτων (Fischbein, 1993; Κολέζα, 2000; Τζεκάκη, 2010) µε κατάλληλα βοηθητικά µέσα. Ερευνητικά δεδοµένα αναφέρουν ότι τα παιδιά από 4 ετών έχουν την ικανότητα να κατασκευάζουν επίπεδα γεωµετρικά σχήµατα µε υλικά και από 5 ετών να τα σχεδιάζουν (Clements, 2004). Σε έρευνα φάνηκε ότι τα νήπια είχαν την ικανότητα να δηµιουργήσουν και να ονοµάσουν επίπεδα γεωµετρικά σχήµατα ως αποτυπώµατα των πλευρών στερεών γεωµετρικών σχηµάτων (µε τον κύλινδρο σχηµάτισαν τον κύκλο, µε το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο σχηµάτισαν το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο και το τετράγωνο και µε την τριγωνική πυραµίδα τρίγωνα), µετά από διδακτική παρέµβαση µε σχεδιασµένο εικονογραφηµένο βιβλίο (ΧΧΧΧ, ΧΧΧΧ). Σε άλλη έρευνα (Χρονάκη & ηµουλά, 2005), φάνηκε ότι παιδιά Α δηµοτικού, είχαν την ικανότητα να σχεδιάσουν τρίγωνα. Οι δυσκολίες τους, κυρίως στο σχεδιασµό διαφορετικών τριγώνων, αποδόθηκαν στις στερεότυπες εικόνες των τριγώνων που συνήθως έχουν. Όσον αφορά στα βοηθητικά µέσα που χρησιµοποιήθηκαν, για το σχεδιασµό, ήταν λευκό χαρτί και χαρτί µε κουκίδες. Τα παιδιά δυσκολεύτηκαν περισσότερο να κατασκευάσουν τρίγωνα στο χαρτί µε τις κουκίδες, σε σχέση µε το λευκό χαρτί και πολλές φορές έφτιαχναν τετράγωνα 441

ΕΝΕΔΙΜ 2011 θεωρώντας ότι όλες οι γραµµές πρέπει να ακουµπάνε σε τελείες. Οι Sarama & Clements (2009) υποστηρίζουν ότι µε το κατάλληλο υλικό και αναγνωρίζοντας τα χαρακτηριστικά των σχηµάτων, τα παιδιά δηµιουργούν σταδιακά πιο ακριβείς κατασκευές οι οποίες αποδίδουν ιδιότητες και σχέσεις των σχηµάτων καθώς και µετασχηµατισµούς για τη δηµιουργία άλλων σχηµάτων. Η κατασκευή γεωµετρικών σχηµάτων, µε χρήση κάποιου µέσου, περιλαµβάνει µια τεχνική και µια εννοιολογική γνώση µέσω των οποίων το τεχνούργηµα γίνεται εργαλείο. Η τεχνική γνώση σχετίζεται µε το τεχνούργηµα που θα χρησιµοποιηθεί. Για παράδειγµα, για την κατασκευή επίπεδων γεωµετρικών σχηµάτων µπορούν να χρησιµοποιηθούν στερεά σχήµατα, αντικείµενα της καθηµερινότητας, σφραγίδες, στένσιλ, γεωπίνακες, καθαρό χαρτί, χαρτί µε κουκίδες, κ.α.. Όµως η χρήση των τεχνουργηµάτων αυτών απαιτεί, από τα παιδιά, διαφορετικές ικανότητες και γνώσεις. Για τη δηµιουργία σχηµάτων µε αποτύπωση, µε χάραξη περιγραµµάτων, µε χρήση λάστιχων στο γεωπίνακα, µε σχεδίαση σε καθαρό χαρτί ή σε χαρτί µε κουκίδες, δεν είναι πάντα απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του κάθε σχήµατος, κάτι που αφορά στην εννοιολογική πλευρά της κατασκευής. Η έννοια του τεχνουργήµατος και του εργαλείου διαχωρίζεται για να τονιστεί η ανάγκη να λαµβάνονται υπόψη όχι µόνο οι δυνατότητες του τεχνουργήµατος, το οποίο κάποιος χρησιµοποιεί για να πραγµατοποιήσει δραστηριότητες, αλλά και η σχέση του χρήστη µε το τεχνούργηµα (Verillon & Rabardel, 1995 και Artigue, 2002 στο Zbiek et al., 2007). Το τεχνούργηµα από µόνο του δεν έχει εργαλειακή αξία, δεν ορίζει αυτόµατα το ρόλο του χρήστη. Η διαδικασία κατά την οποία ένα τεχνούργηµα γίνεται εργαλείο, η εργαλειακή γένεση (Zbiek et al., 2007), περιλαµβάνει τη χρήση του τεχνουργήµατος µε τρόπους που να έχουν νόηµα για την πραγµατοποιούµενη δραστηριότητα. Μέσω της εργαλειακής γένεσης, το άτοµο αλληλεπιδρά µε το τεχνούργηµα αφού κατανοήσει τις δυνατότητες του τεχνουργήµατος. Το τεχνούργηµα γίνεται εργαλείο όταν το άτοµο καταστεί ικανό να το προσαρµόσει στις δικές του ανάγκες και να το ενσωµατώσει στη δραστηριότητά του µέσα από την κατασκευή προσωπικών ή την προσάρτηση προϋπαρχόντων κοινωνικών σχηµάτων. Έτσι, η εργαλειακή γένεση περιλαµβάνει ακόµα και τη µορφοποίηση του αντικειµένου για την εξυπηρέτηση των στόχων του χρήστη, αλλά και τη διαµόρφωση της κατανόησης του χρήστη µέσω του εργαλείου. Ο προβληµατισµός της εργασίας αφορά στη δυνατότητα των νηπίων να µετασχηµατίσουν ένα τεχνούργηµα σε εργαλείο για να πραγµατοποιήσουν τη δράση τους. Με δεδοµένο ότι ο γεωπίνακας, µπορεί να αποτελέσει βοηθητικό µέσο για τη διδασκαλία των επίπεδων γεωµετρικών σχηµάτων (Harkin, 1975; Hasegawa, 1997), στόχος της εργασίας είναι να διερευνήσει τη µετατροπή του γεωπίνακα από τεχνούργηµα σε εργαλείο για την κατασκευή επίπεδων σχηµάτων από νήπια. Ο προβληµατισµός µας αφορά στο αν τα νήπια προσαρµόζουν το γεωπίνακα στις ανάγκες τους και αν το ενσωµατώνουν στη δραστηριότητά τους καθώς και στο αν αντιλαµβάνονται τις δυνατότητες και τα όρια του. 442

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Χ. Σκουμπουρδή & Α. Κωσσοπούλου Για να απαντηθεί το ερώτηµα αν ο γεωπίνακας, ως τεχνούργηµα, µπορεί να µετατραπεί, από νήπια, σε εργαλείο για την κατασκευή επίπεδων γεωµετρικών σχηµάτων, πραγµατοποιήθηκε έρευνα σε ένα δηµόσιο νηπιαγωγείο, στη Βέροια, µε 15 νήπια (8 κορίτσια και 7 αγόρια). Τα παιδιά προέρχονταν από χαµηλά κοινωνικά στρώµατα και το εκπαιδευτικό επίπεδο των περισσότερων γονέων ήταν το βασικό. Κάθε παιδί απαντούσε/δρούσε ατοµικά, µέσω συνέντευξης, σε συγκεκριµένες ερωτήσεις/δραστηριότητες. Η διαδικασία βιντεοσκοπήθηκε. Αρχικά, διερευνήθηκε αν τα νήπια γνώριζαν το γεωπίνακα (χρησιµοποιήθηκε γεωπίνακας 11καρφιάΧ11καρφιά), αν ήξεραν να το χρησιµοποιήσουν µε κάποιο τρόπο και αν µπορούσαν να φτιάξουν σχήµατα µε αυτό. Στη συνέχεια, καλούνταν να αναγνωρίσουν σχήµατα (κύκλο, τρίγωνο, ορθογώνιο) που τους παρουσιάστηκαν στο γεωπίνακα: µόνα τους και µέσα σε αντιπαραδείγµατα σχηµάτων καθώς και να αποφανθούν αν ένα σχήµα αλλάζει όταν ο γεωπίνακας περιστραφεί. Τέλος, ζητήθηκε από τα παιδιά, µέσω σεναρίου για τη δηµιουργία παρτεριών στον κήπο του σχολείου τους, να κατασκευάσουν, στο γεωπίνακα, µικρότερο τρίγωνο και ορθογώνιο παραλληλόγραµµο από αυτό που τους παρουσιάστηκε καθώς και να γεµίσουν το γεωπίνακα µε σχήµατα δικής τους επιλογής. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Ο τρόπος χρήσης του γεωπίνακα, από τα νήπια για την κατασκευή σχηµάτων, σηµατοδοτεί και το διπλό του ρόλο: ως τεχνούργηµα και ως εργαλείο για την εξυπηρέτηση των στόχων του χρήστη. Ο γεωπίνακας ως τεχνούργηµα Ο γεωπίνακας, ως τεχνούργηµα, ήταν άγνωστος στα νήπια. εν το είχαν ξαναδεί και κανένα νήπιο δε γνώριζε πώς θα µπορούσε να το χρησιµοποιήσει. Όταν τους ζητήθηκε να φτιάξουν σχήµατα µε τα λάστιχα δεν ήξεραν πώς να το κάνουν. Όσα νήπια προσπάθησαν να το χρησιµοποιήσουν (3/15) απλά τοποθέτησαν τα λάστιχα πάνω στο ταµπλό, οπότε το λάστιχο παρέµεινε στο φυσικό του σχήµα: Ερευνήτρια: Μπορείς να φτιάξεις ένα σχήµα πάνω εδώ; Θα σου δώσω και λάστιχα. Μαρία: εν ξέρω τι να κάνω. Ερευνήτρια: Φτιάξε ένα σχήµα, όποιο σχήµα θέλεις. Μαρία: εν µπορώ να κάνω. Ερευνήτρια: Θέλεις να προσπαθήσεις; (δίνει στη Μαρία ένα λάστιχο) Μαρία: (Πιάνει το λάστιχο, το επεξεργάζεται αρκετή ώρα µε τα χέρια της το στριφογυρίζει, το ανοίγει, του δίνει σχήµα βλέποντας και το γεωπίνακα 443

ΕΝΕΔΙΜ 2011 και στο τέλος το αφήνει πάνω στο ταµπλό) Από τα παραπάνω φαίνεται ότι ο γεωπίνακας δεν αποτελεί οικείο µέσο για τα συγκεκριµένα παιδιά και δεν µπορεί κανένα από αυτά να το χρησιµοποιήσει για να πραγµατοποιήσει µια σταθερή κατασκευή. Ακόµα και όταν ζητήθηκε η κατασκευή κάποιου σχήµατος µε τα λάστιχα τα παιδιά αντιµετώπισαν δυσκολία. Ο γεωπίνακας ως εργαλείο για την κατασκευή τριγώνου Μετά από τις δραστηριότητες αναγνώρισης σχηµάτων όπου ουσιαστικά φάνηκε και ο τρόπος χρήσης του γεωπίνακα παρουσιάστηκε σε κάθε παιδί, ένα ισόπλευρο τρίγωνο (9 καρφιά βάση και 6 καρφιά ύψος) µε τη βάση κάτω, κατασκευασµένο στο γεωπίνακα και ζητήθηκε η κατασκευή ενός ίδιου και µικρότερου τριγώνου (κατά την κατασκευή το παιδί δεν είχε εικόνα του αρχικού τριγώνου). Περίπου τα µισά παιδιά (7/15) κατασκεύασαν µικρότερο τρίγωνο, αλλά µόνο ένα έκανε ακριβώς ίδιο (ισόπλευρο) µικρότερο τρίγωνο. Έβαλε το λάστιχο σε ένα καρφί για την κορυφή και στη συνέχεια τράβηξε το λάστιχο και το στήριξε κάτω δεξιά και κάτω αριστερά, στο συµµετρικό ως προς το ύψος καρφί (σχηµατίζοντας ισόπλευρο), χωρίς καθυστέρηση ή δυσκολία. Τα υπόλοιπα 4 παιδιά, ενώ έκαναν µικρότερο τρίγωνο, µε τη βάση κάτω, δεν ήταν του ίδιου είδους (1 ισοσκελές και 3 σκαλινά). Ο τρόπος που το έφτιαξαν ήταν ίδιος µε τον προηγούµενο, αλλά δεν έδωσαν προσοχή στην ισότητα των τριών πλευρών ή στη συµµετρία της τοποθέτησης. ύο παιδιά έφτιαξαν σκαλινά µε τη βάση πλάγια και µε τη βάση πάνω, αντίστοιχα. Το τρίγωνο µε τη βάση πάνω προέκυψε από ένα ορθογώνιο 1Χ6 το οποίο άνοιξε προς τα κάτω. Από τα παιδιά που δε σχηµάτισαν τρίγωνο (8/15) το ένα δεν µπόρεσε να κάνει κανένα σχήµα και τα επτά έκαναν άλλο σχήµα. Από τις κινήσεις τους, κατά την κατασκευή, φάνηκε ότι ενώ ξεκινούσαν να κάνουν τρίγωνο, τοποθετώντας το λάστιχο σε ένα καρφί και τραβώντας το, η τελική τοποθέτηση των δύο πλευρών είτε περιέκλειε ακόµα ένα καρφί είτε γινόταν µε τέτοιο τρόπο που δηµιουργούσε σχήµα µε τέσσερις (5/15) και πέντε πλευρές (1/15). Αυτό ίσως να εξηγείται από το γεγονός ότι τα παιδιά θεωρούν πως το λάστιχο πρέπει να ευθυγραµµίζεται µε τα καρφιά και όχι να τα αφήνει απ έξω ή να τα διασχίζει διαγώνια. Κάτι ανάλογο παρατηρήθηκε, σε άλλη έρευνα (Χρονάκη & ηµουλά, 2005), στη σχεδίαση σε χαρτί µε κουκίδες. Σχήµα µε έξι πλευρές, αντί τρίγωνο, δηµιουργήθηκε από ένα νήπιο το οποίο τοποθέτησε το λάστιχο κατακόρυφα, στο γεωπίνακα, αγκαλιάζοντας τα καρφιά και στη συνέχεια το τράβηξε δεξιά και αριστερά και το στήριξε σε περισσότερα καρφιά. Ο γεωπίνακας ως εργαλείο για την κατασκευή ορθογωνίου παραλληλογράµµου Στη δεύτερη δραστηριότητα παρουσιάστηκε, σε κάθε παιδί, ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο (3καρφιάΧ9καρφιά), κατακόρυφα τοποθετηµένο στο γεωπίνακα και ζητήθηκε η κατασκευή ίδιου και µικρότερου ορθογωνίου (κατά την κατασκευή το παιδί δεν είχε εικόνα του αρχικού ορθογωνίου). Τα παιδιά έφτιαξαν µε 444

Χ. Σκουμπουρδή & Α. Κωσσοπούλου µεγαλύτερη άνεση το ορθογώνιο, σε σχέση µε το τρίγωνο. Παραπάνω από τα µισά παιδιά (9/15) έκαναν µικρότερο ορθογώνιο µε επιτυχία. Τα οχτώ το τοποθέτησαν κατακόρυφα προς το γεωπίνακα, όπως το ορθογώνιο που τους παρουσιάστηκε, και ένα σε οριζόντια θέση. Και τα εννέα παιδιά έφτιαξαν µικρότερο σχήµα, µικραίνοντας και τις δύο διαστάσεις του ορθογωνίου που τους είχε παρουσιαστεί. Στήριζαν το λάστιχο σε δύο κάθε φορά καρφιά είτε σε σειρά και το τέντωναν προς τα κάτω (5/15) ή προς τα πάνω (3/15) είτε σε στήλη και το τέντωναν προς τα πλάγια (1/15). Τέσσερα παιδιά, προσπαθώντας να δηµιουργήσουν µικρότερο ορθογώνιο, κατακόρυφα τοποθετηµένο στο γεωπίνακα, µίκρυναν τη µία, τη µικρή, διάσταση (πλάτος). ύο παιδιά δηµιούργησαν άλλα σχήµατα. Το πρώτο ήταν ροµβοειδές. Το δεύτερο σχήµα ήταν τρίγωνο, το οποίο κατασκευάστηκε ως εξής: ξεκίνησε στηρίζοντας το λάστιχο, κατακόρυφα στο γεωπίνακα, σε ένα καρφί πάνω και σε ένα κάτω, αγκαλιάζοντας τα καρφιά, και στη συνέχεια προσπάθησε να ανοίξει το λάστιχο, σε όλο το µήκος του, αλλά δεν µπόρεσε να το κάνει µε επιτυχία, γιατί δεν κατάφερε να το στηρίξει στο 2 ο καρφί. Ο γεωπίνακας ως εργαλείο για την κατασκευή διαφόρων σχηµάτων Στην τρίτη δραστηριότητα ζητήθηκε από τα παιδιά να γεµίσουν το γεωπίνακα µε σχήµατα της επιλογής τους. Τα νήπια έφτιαξαν ποικίλα σχήµατα, όπως τρίγωνα, ορθογώνια παραλληλεπίπεδα, τετράγωνα, κύκλους καθώς και άλλα σχήµατα όπως τραπεζοειδή και σπιτάκια. Όσον αφορά στα τρίγωνα που κατασκευάστηκαν ήταν ισόπλευρα, ισοσκελή και σκαλινά, οξυγώνια, ορθογώνια και αµβλυγώνια, σε διάφορες θέσεις και τοποθετήσεις. Αξίζει να σηµειωθεί ότι υπήρξαν τρία νήπια τα οποία ενώ δεν κατάφεραν να δηµιουργήσουν τρίγωνο στην πρώτη δραστηριότητα το έκαναν µε επιτυχία στην τρίτη. Τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα ήταν πάντα τοποθετηµένα οριζόντια ή κατακόρυφα στο γεωπίνακα και είχαν διάφορες διαστάσεις. Τα τετράγωνα ήταν κατασκευασµένα µε µεγάλη ακρίβεια. Οι κύκλοι δηµιουργήθηκαν µε την απλή τοποθέτηση των λάστιχων στο ταµπλό. Τα τραπεζοειδή και τα σπιτάκια ήταν συχνά στις κατασκευές των παιδιών και τα ονόµαζαν, κατά περίπτωση, τρίγωνα, ορθογώνια ή σπιτάκια. Πολλά παιδιά περιστρέφοντας το γεωπίνακα έφερναν κοντά τους τις κενές περιοχές του για να κατασκευάσουν και άλλα σχήµατα Για άλλα παιδιά, το ότι ο γεωπίνακας δεν ήταν κάπου στερεωµένος, προκάλεσε δυσκολία. Το τοποθετούσαν πάνω τους ή στην απέναντι καρέκλα για να το σταθεροποιήσουν και να µπορέσουν να τεντώσουν το λάστιχο στα καρφιά για να κατασκευάσουν τα σχήµατα. Η επιλογή και χρήση λάστιχου παρουσίασε ιδιαιτερότητες. Το µεγάλο λάστιχο ήταν δύσκολο να δηµιουργήσει σχήµα λόγω του µεγέθους του (το τέντωµά του µπορεί να οδηγούσε έξω από το γεωπίνακα). Η εναπόθεση λάστιχου πάνω στο γεωπίνακα, δηµιουργούσε µεν κύκλο, αλλά δε σχετιζόταν µε τη χρήση του γεωπίνακα. Το πέρασµα λάστιχων, σε ίδια καρφιά, για δηµιουργία δύο διαφορετικών σχηµάτων, οδήγησε σε επικαλύψεις σχηµάτων και όχι σε σύνθεσή τους. 445

ΕΝΕΔΙΜ 2011 Η ικανότητα χρήσης του γεωπίνακα, από τα παιδιά, δεν ήταν στο ίδιο επίπεδο. Κατά την κατασκευή των ποικίλων σχηµάτων παρουσιάστηκαν όλες οι δράσεις που περιγράφηκαν στην κατασκευή του τριγώνου και του ορθογωνίου, αλλά, η δηµιουργία διαφορετικών σχηµάτων, ανέδειξε, πιο έντονα, τις διαφοροποιήσεις στον τρόπο δράσης των νηπίων. Εµφανίστηκαν τρεις κύριες δράσεις: παιδιά που ξεκινούσαν την κατασκευή τους από ένα καρφί, παιδιά που ξεκινούσαν από πολλά καρφιά και παιδιά που πρώτα έδιναν σχήµα στο λάστιχο, τεντώνοντάς το στα χέρια τους και έπειτα το τοποθετούσαν στο γεωπίνακα. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Ο γεωπίνακας, µπορεί να µετατραπεί, από τα νήπια, από τεχνούργηµα σε εργαλείο για την κατασκευή επίπεδων γεωµετρικών σχηµάτων. Αυτό φάνηκε µέσα από τις απαντήσεις/κατασκευές των παιδιών. Ξεκινώντας από τη παρουσίασή του, κανένα παιδί δεν ήταν σε θέση να αποφανθεί τι είναι αυτό και πώς χρησιµοποιείται. Μέσα όµως από την εξέλιξη των ερωτήσεων και των δραστηριοτήτων χρησιµοποιήθηκε ως εργαλείο για την επίτευξη του στόχου του νηπίου, δηλαδή την κατασκευή τριγώνων, ορθογωνίων παραλληλογράµµων, τετραγώνων και άλλων σχηµάτων. Ενώ όλα τα παιδιά ενσωµάτωσαν το γεωπίνακα στη δραστηριότητά τους και το προσάρµοσαν στις ανάγκες τους δεν αντιλήφθηκαν, όλα, τα όρια και τις δυνατότητές του ως εργαλείο. Το τέντωµα και στερέωµα του λάστιχου στα καρφιά ως προϋπόθεση για τη δηµιουργία κάποιου σχήµατος, η επικάλυψη των σχηµάτων που δηµιουργείται από τη χρήση ίδιων καρφιών για κατασκευή διαφορετικών σχηµάτων καθώς και η δυνατότητα περιστροφής αλλά και αλλαγής ή διόρθωσης του σχήµατος, δεν έγιναν αντιληπτά, σε όλες τις περιπτώσεις, από όλα τα παιδιά. Περαιτέρω έρευνα, σε τάξη, είναι αναγκαία, όπου τα νήπια θα εκφράζουν το συλλογισµό τους και θα περιγράφουν τη δράση τους για να διερευνηθεί ο ρόλος του γεωπίνακα στη διαµόρφωση της κατανόησης του χρήστη. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙA Clements, D. (2004). Major themes and recommendations. In D. Clements & J. Samara (Eds.), Engaging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education (pp. 7-72). USA, Lawrence Erlbaum Associates Publishers. Fischbein, E. (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, 24, 139-162. Harkin, J.-B. (1975). Introducing the Geoboard. Educational Studies in Mathematics, 6, 113-115. Hasegawa, J. (1997). Concept formation of triangles and quadrilaterals in the second grade. Educational Studies in Mathematics, 32, 157-179. 446

Χ. Σκουμπουρδή & Α. Κωσσοπούλου Κολέζα, E. (2000). Γνωσιολογική και διδακτική προσέγγιση των στοιχειωδών µαθηµατικών εννοιών. Εκδόσεις Leader Books, Αθήνα. Sarama, J. & Clements, D. (2009). Early Childhood Mathematics Education Research. Learning Trajectories for Young Children. N.Y., Routledge. Τζεκάκη, Μ. (2010). Μαθηµατική εκπαίδευση για την προσχολική και πρώτη σχολική ηλικία. Εκδόσεις Ζυγός, Θεσσαλονίκη. Van Hiele, P. (1986). Structure and insight: A theory of mathematics education. Academic Press Inc. Χρονάκη, Α. & ηµουλά, Μ. (2005). Ίδια και ιαφορετικά: Κατανόηση της έννοιας του τριγώνου από παιδιά πρώτης δηµοτικού. Στο Χ. Κυνηγός (επιµ.), 1 ο Συνέδριο της Ένωσης Ερευνητών ιδακτικής Μαθηµατικών: Η διδακτική µαθηµατικών ως πεδίο έρευνας στην κοινωνία της γνώσης (σελ. 259-268), Εκδόσεις Ελληνικά Γράµµατα, Αθήνα. Zbiek, R.-M., Heid, K., Blume, G. & Dick, T. (2007). Research on technology in mathematics education. In F. Lester (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 1169-1207). NCTM, USA, Information Age Publishing. 447

ΕΝΕΔΙΜ 2011 448