Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό πρόβλημα, τότε έχουν και τα δύο το ίδιο πρόβλημα. Πολλαπλάσιο αριθμού Κοινό πολλαπλάσιο 2 ή περισσότεροι αριθμοί έχουν το ίδιο, άρα κοινό πολλαπλάσιο. π.χ. ένα κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 7 είναι το 35. Πόσα κοινά πολλαπλάσια μπορούμε να έχουμε; Εκτός από το 35 μπορούμε να έχουμε το 70, το 140, άρα έχουμε άπειρα κοινά πολλαπλάσια, τα οποία προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας το 35 με τα 2, 3, 4, Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο από όλα τα κοινά πολλαπλάσια, που είναι άπειρα, το πιο μικρό. Το πιο μικρό κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 7 είναι το 35. Μ.Κ.Δ. (Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης) Κοινός διαιρέτης δύο ή περισσοτέρων αριθμών είναι ένας αριθμός που τους διαιρεί όλους. Για παράδειγμα, κοινός διαιρέτης του 8 και του 16 είναι το 4. Πόσους κοινούς διαιρέτες μπορούν να έχουν 2 αριθμοί; Έχουν πεπερασμένους κοινούς διαιρέτες. Μάλιστα, οι κοινοί διαιρέτες το πολύ-πολύ να είναι ίσοι με τον μικρότερο από τους αριθμούς αυτούς. Δηλαδή στην περίπτωση του 8 και του 16 το πολύ-πολύ να είναι το 8, επειδή το 16 δεν διαιρεί το 8. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες. Άρα στην περίπτωση του 8 και του 16 είναι το 8. Όλοι οι αριθμοί σε ζευγάρια έχουν κοινούς διαιρέτες; π.χ. το 8 και το 16 έχουν κοινούς διαιρέτες τα 8, 4, 2.
Υπάρχει ζευγάρι αριθμών που να μην έχει κοινό διαιρέτη; π.χ. το 7 και το 13, το 5 και το 7, το 23 και το 19,... δεν έχουν άλλον κοινό διαιρέτη εκτός από την μονάδα (1). Αυτοί οι αριθμοί είναι οι πρώτοι αριθμοί. Πρώτοι αριθμοί είναι οι αριθμοί εκείνοι που διαιρούνται μόνο από την μονάδα (1) και τον εαυτό τους, π.χ. τα 7, 13, διαιρούνται μόνο από τον εαυτό τους και την μονάδα. Ο Ευκλείδης απέδειξε ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο, δηλαδή ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι. Επίσης οι πρώτοι αριθμοί έχουν περίεργες ιδιότητες. Υπάρχει περίπτωση τα ζευγάρια των πρώτων αριθμών να είναι όπως παρακάτω και ονομάζονται φίλοι αριθμοί. Το 9 δεν είναι πρώτος αριθμός, γιατί διαιρείται και από το 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Εκείνοι οι αριθμοί που είναι κοντινοί και πρώτοι ονομάζονται φίλοι αριθμοί. Έχουμε έναν εύκολο τρόπο να βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς που είναι από το 1 έως το 100: το κόσκινο του Ερατοσθένη. Κόσκινο είναι ένα στρογγυλό αντικείμενο με σήτα για να κοσκινίζουν οι νοικοκυρές το αλεύρι, το σιτάρι και πάνω στην σήτα έμεναν τα φλούδια. Αυτή την τεχνική του κοσκινίσματος χρησιμοποίησε ο Ερατοσθένης και έφτιαξε ένα «κόσκινο». Πώς έφτιαξε το κόσκινο ο Ερατοσθένης; Αρχικά έγραψε τους αριθμούς από το 1 έως το 100 σε ένα πλέγμα 10 επί 10. Γνωρίζοντας ότι το 2 διαιρείται από τον εαυτό του και το 1, είναι δηλαδή πρώτος αριθμός, βρήκε και έδιωξε όλα τα πολλαπλάσιά του, γιατί αν ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 2 δεν είναι πρώτος αριθμός αφού εκτός από την μονάδα και τον εαυτό του διαιρείται και από το 2. Ο επόμενος πρώτος αριθμός είναι το 3 και ακολούθησε την ίδια διαδικασία. Έτσι διώχνοντας όλα τα πολλαπλάσια έμειναν οι πρώτοι αριθμοί. Αυτή είναι μία απλή μέθοδος για να βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς από το 1 έως το 100. Με ποιον τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών π.χ. 4, 12 και 20; Αρχικά θα βρούμε το Ε.Κ.Π. των τριών αυτών αριθμών το οποίο θα είναι ίσο ή μεγαλύτερο με τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς, που είναι το 20. Α τρόπος Ο πιο απλός τρόπος για να βρεθεί το Ε.Κ.Π. ακολουθεί την παραπάνω λογική. Πρώτα βρίσκουμε τα πολλαπλάσιά τους, μετά τα κοινά πολλαπλάσιά τους και μετά το ελάχιστο από τα κοινά πολλαπλάσιά τους. Π 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, } Π 12 = {12, 24, 48, } Π 20 = {20, 40, 60, 80, }
Βρήκαμε τα πολλαπλάσια, αλλά δεν παρατηρούμε κάποιο κοινό πολλαπλάσιο. Αν αντί για 20 είχαμε το 24, τότε το Ε.Κ.Π. θα ήταν το 24. Παρατηρούμε ότι αυτός ο τρόπος για να βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. είναι δύσκολος, χρονοβόρος και δεν βοηθά πάντα. Υπάρχει ένας 2ος τρόπος να βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. που είναι πιο εύκολος, πιο γρήγορος και πιο αποτελεσματικός. Β τρόπος Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. με ανάλυση του αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δηλαδή γράφουμε τον αριθμό ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα το 24 να το γράψουμε ως 2x12, δεν είναι σωστό όμως γιατί ναι μεν το γράφουμε ως γινόμενο αλλά το 12 δεν είναι πρώτος αριθμός αυτή δεν είναι ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, είναι απλώς ανάλυση σε γινόμενο δύο αριθμών. Οι παράγοντες του γινομένου πρέπει να είναι πρώτοι αριθμοί. Ο πρώτος πρώτος αριθμός που σκεφτόμαστε είναι το 2. Θέλουμε δηλαδή το 20 να το γράψουμε ως _x_x_. O πρώτος κατά σειρά, αφού θέλουμε να το γράψουμε ως γινόμενο πρώτων αριθμών, πρώτος αριθμός είναι το 2. Το 20 το γράφουμε ως 2 επί κάτι, άρα το 20 έγινε 2 επί 10 (20 = 2x10). Το 10 θα το γράψουμε ως κάτι επί κάτι, σιγά σιγά δηλαδή το αναλύουμε. Το 10 δεν είναι πρώτος αριθμός και διαιρείται με το 2, άρα 10 = 2x5. Το 5 είναι πρώτος αριθμός και διαιρείται με τον εαυτό του. Όταν φτάνουμε στο 1 σημαίνει ότι τελείωσε η διαδικασία, δεν μπορούμε να αναλύσουμε πλέον το γινόμενο. 20 2 10 2 5 5 1 Άρα 20 = 2x2x5 = 2 2 x5 Κάθε φορά που κάνουμε την ανάλυση, πρέπει να εξαντλούμε με τη σειρά όλους τους πρώτους αριθμούς. 12 2 4 2 6 2 2 2 3 3 1 1 4 = 2 2 12 = 2 2 x3
Αυτό το σύστημα της ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι φτιαγμένο για όλους τους αριθμούς. Π.χ. πολύ εύκολα γίνεται η ανάλυση ακόμα και μεγάλων αριθμών. 1728 2 Διαιρούμε με το 2 μέχρι να μην διαιρείται άλλο με το 2. Εξαντλούμε 864 2 όλες τις δυνατότητες που έχουμε για τον κάθε πρώτο αριθμό. 432 2 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 1728 = 2 6 x3 3 Ένας τεράστιος αριθμός σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα γράφτηκε ως 2 6 x3 3. Με τον πρώτο τρόπο θα είχαμε μία ασύμφορη διαδικασία. Το κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 20, 12 και 4 πώς θα γραφτεί από άποψη παραγόντων; 20 = 2 2 x5, 12 = 2 2 x3, 4 = 2 2 Το πολλαπλάσιο θα έχει σίγουρα μία δύναμη του 2. Αν ήταν το 2 1 δεν θα γινόταν η διαίρεση με το 2 2 άρα το ελάχιστο που μπορεί να είναι είναι το 2 2. Και το 3 πρέπει να είναι μέσα στο πολλαπλάσιο, και το ελάχιστο είναι το 3 1 για να διαιρεί το 12, και το 5 1 πρέπει να είναι μέσα για να διαιρεί το 20. Άρα το Ε.Κ.Π. πρέπει να έχει μέσα όλους τους παράγοντες και μάλιστα με την μεγαλύτερη δύναμη για να μπορεί να γίνει η διαίρεση. Άρα το πολλαπλάσιο θα έχει μέσα του το 2 2, το 3 και το 5 και άρα το Ε.Κ.Π. (4, 12, 20 )= 2 2 x3x5 Αυτό σημαίνει ότι το 2 2 x3x5 είναι πολλαπλάσιο και του 4 και του 12 και του 20, δηλαδή τα 20, 12, 4 διαιρούν το 2 2 x3x5 (οι έννοιες αυτές είναι συμπληρωματικές και εναλλακτικές, το 12 είναι πολλαπλάσιο του 3 άρα το 3 διαιρεί το 12). Για να βεβαιωθούμε ότι ο αριθμός αυτός είναι το Ε.Κ.Π. θα κάνουμε την διαίρεση 2 2 x3x5:2 2. Επίσης την ίδια διαίρεση θα κάνουμε και με τους άλλους δύο αριθμούς. 2 2 x3 1 x5 1 2 2 0 3 1 x5 1
Επαλήθευση: 2 2 x 3 1 x5 1 = 2 2 x3 1 x5 1 Δ δ π Επαλήθευση: π x δ = Δ 2 2 x3 1 x5 1 2 2 x5 1 3 1 2 2 x3 1 x5 1 2 2 x3 1 5 1 Άρα ο αριθμός αυτός είναι κοινό πολλαπλάσιο γιατί όλοι οι αριθμοί τον διαιρούν και μάλιστα είναι το μικρότερο, το ελάχιστο. 2 100 x3 6 x5 200 2 2 x3 0 2 98 x3 5 x5 200 Άρα και ο αριθμός αυτός είναι κοινό πολλαπλάσιο αλλά δεν είναι το ελάχιστο. Στο Ε.Κ.Π. παίρνουμε τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη. Είναι θέμα λογικής ότι στο Ε.Κ.Π. παίρνουμε τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη: για να διαιρείται με το 2 2 θα πρέπει οπωσδήποτε το Ε.Κ.Π. να έχει τουλάχιστον ένα 2 2 γιατί αν έχει ένα 2 1 δεν διαιρείται με το 2 2 που είναι μεγαλύτερο, δεν μπορούμε έναν μικρό αριθμό να τον διαιρέσουμε με έναν μεγαλύτερο. Το Ε.Κ.Π. πρέπει να έχει ένα 5 1, γιατί οι δύο στους τρεις αριθμούς δεν έχουν 5 αλλά το Ε.Κ.Π. πρέπει να τους διαιρεί και τους τρεις, έστω κι αν ένας έχει το 5, αυτό πάει στο Ε.Κ.Π. γι αυτό οι αριθμοί μπορούν επίσης να γραφτούν: 12=2 2 x3 1 x5 0 20=2 2 x5 1 x3 0 4=2 2 x3 0 x5 0 Έτσι και οι τρεις αριθμοί έχουν το 2,το3 και το 5. Αφού πρόκειται για πολλαπλάσιο, παίρνουμε τον μεγαλύτερο εκθέτη.
Γι αυτό όσοι αριθμοί δεν περιέχουν δύναμη του 2, του 3 ή του 5 είναι σαν να τα περιέχουν αλλά στην μηδενική δύναμη. Αν έναν πρώτο αριθμό τον περιέχει ο ένας από τους αριθμούς που αναλύουμε, τότε είναι σαν να τον περιέχουν όλοι στην μηδενική δύναμη και απλώς δεν φαίνεται. Ας υποθέσουμε ότι κάποιος έκανε λάθος και έλεγε ότι το Ε.Κ.Π. (4, 12, 20) = 2 1 x3 1 x5 1 2 1 x3 1 x5 1 2 2 x3 Κάνοντας όμως την διαίρεση με τους διαιρέτες βλέπουμε ότι δεν γίνεται η διαίρεση, επειδή το 2 2 δεν χωράει στο 2 1, γι αυτό και πρέπει το Δ να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το δ. 2, 3, 4 Π 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, } Π 3 = {3, 6, 9, 12, 15, } Π 4 = {4, 8, 12, 16, 20, } Άρα το Ε.Κ.Π. (2, 3, 4) = 12 Αφού το 12 είναι πολλαπλάσιο των 2, 3, 4 σημαίνει ότι τα 2, 3, 4 διαιρούν το 12 (είναι διαιρέτες του 12). Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε τον Μ.Κ.Δ. αλλά αντί για πολλαπλάσια σκεφτόμαστε τους διαιρέτες. Μ.Κ.Δ. 4, 12, 20 Είτε ψάχνουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. είτε τον Μ.Κ.Δ. αριθμών όσων αριθμών το πρώτο βήμα είναι να τους αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. 12 = 2 2 x3 1 x5 0 20 = 2 2 x5 1 x3 0 4 = 2 2 x3 0 x5 0 Τώρα δεν ψάχνουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αλλά εκείνον τον αριθμό που θα τους διαιρεί και τους τρεις. Στην πραγματικότητα τώρα δεν ψάχνουμε τον μεγαλύτερο, αλλά τον μικρότερο αριθμό που θα χωράει μέσα σ όλους, και τους τρεις.
Ποιος είναι ο αριθμός που χωράει μέσα σ όλους; Το 2 2. Δηλαδή Μ.Κ.Δ. (4, 12, 20) = 2 2 Το 2 2 διαιρεί και τους τρεις αριθμούς. Δεν θα μπορούσαμε να είχαμε μεγαλύτερο, γιατί αν είχαμε Μ.Κ.Δ. το 2 2 x3 πώς θα μπορούσαμε να κάνουμε την διαίρεση 2 2 :2 2 x3; 2 2 x5 2 2 2 2 x3 2 2 2 2 2 2 5 3 1 Άρα με απλή διατύπωση, το Ε.Κ.Π. πρέπει να είναι ο πιο μεγάλος αριθμός (κοινοί και μη κοινοί με τον μεγαλύτερο εκθέτη) ενώ ο Μ.Κ.Δ. πρέπει να είναι ο πιο μικρός αριθμός για να χωράει μέσα σ όλους (μόνο κοινοί με τον μικρότερο εκθέτη). Ασκησίδιο Να βρείτε τον Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. των αριθμών: 192, 220, 300, 324. 192 2 220 2 300 2 324 2 96 2 110 2 150 2 162 2 48 2 55 5 75 3 81 3 24 2 11 11 25 5 27 3 12 2 1 5 5 9 3 6 2 1 3 3 3 3 1 1 192=2 6 x3 220=2 2 x5x11 300=2 2 x3x5 2 324=2 2 x3 4 Ε.Κ.Π. (192, 220, 300, 324) = 2 6 x3 4 x5 2 x11 Μ.Κ.Δ. (192, 220, 300, 324) = 2 2 Η ίδια η ανάλυση πολλές φορές δείχνει αν έχει γίνει λάθος. Επίσης σημαντικό είναι να πάρουμε πρώτα τον πιο μικρό αριθμό, μετά τον αμέσως μεγαλύτερο, κ.ο.κ.
Μετά μας ζητήθηκε να φτιάξουμε 2 προβλήματα, ένα για τον Μ.Κ.Δ. και ένα για το Ε.Κ.Π. Μία ιδέα ήταν να γράψουμε ένα πρόβλημα που να περιέχει κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές ώστε να χρειαστεί να γίνουν τα κλάσματα ομώνυμα με το Ε.Κ.Π. Όμως αυτά τα προβλήματα δεν είναι προβλήματα της καθημερινής ζωής και δεν είναι απαραίτητο για να προσθέσουμε κλάσματα να χρησιμοποιήσουμε Ε.Κ.Π. Όταν κατασκευάζουμε ένα πρόβλημα πρέπει να είναι ένα πρόβλημα κανονικό, δηλαδή να λύνεται, να το καταλαβαίνουν οι άνθρωποι,... Π.χ. ένα πρόβλημα που διατυπώθηκε ήταν ότι κάποιοι άνθρωποι μπαίνουν σε μια αίθουσα και θέλουν να διαλέξουν μπαστούνια, τα οποία είναι αριθμημένα από το 1 έως το 4, αλλά δεν γνωρίζουμε κανένα άλλο χαρακτηριστικό τους, ούτε καν το μήκος τους. Πώς θα διαλέξουν μπαστούνια; Αν μας έλεγαν όμως να διαλέξουμε ένα μπαστούνι, θα διαλέγαμε από το ξύλο, το μέγεθος, το χρώμα, την λαβή,... (ρεαλιστικό ή όχι του προβλήματος). Άλλο πράγμα είναι να ξέρουμε τον αλγόριθμο, την διαδικασία και άλλο πράγμα είναι η επίλυση του προβλήματος. Και από την επίλυση του προβλήματος, άλλο πράγμα είναι να μας δώσουν ένα πρόβλημα για να το λύσουμε και άλλο πράγμα είναι να μας ζητήσουν να κατασκευάσουμε ένα πρόβλημα. Υπάρχουν δηλαδή τρία διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας: 1. Το να εφαρμόζουμε απλά τύπους, που δεν είναι καν μαθηματικά, είναι τεχνικές. Το να καταλάβουμε τι εφαρμόζουμε με τους τύπους, το πώς τους εφαρμόζουμε. Τότε αρχίζουμε να κάνουμε μαθηματικά. 2. Σοβαρά μαθηματικά κάνουμε, όμως, μόνο σε δύο περιπτώσεις: όταν αποδεικνύουμε κάτι και όταν λύνουμε προβλήματα. 3. Και ακόμα περισσότερα μαθηματικά κάνουμε όταν μας δώσουν μία έννοια και μας πουν: κατασκευάστε ένα πρόβλημα που να λύνεται με αυτή την έννοια. Σε κάθε πρόβλημα κοιτάμε πρώτα αν λύνεται (μπορεί και να μην λύνεται) και δεύτερον πώς λύνεται γιατί μπορεί να λύνεται με Ε.Κ.Π., μπορεί και να λύνεται και με πιο απλό τρόπο. Ένα πρόβλημα ήταν το εξής: Η Ειρήνη έχει 10 καραμέλες, η Ιωάννα έχει 12 καραμέλες και η Μαρίνα 20 καραμέλες. Θέλουν να δώσουν τόσες καραμέλες ώστε να τους μείνει ίσος αριθμός καραμελών. Πόσες καραμέλες θα μείνουν στην καθεμία; Πρέπει να δούμε αν είναι πρόβλημα. Το να γράφουμε μια εκφώνηση που να έχει μέσα αριθμούς και στο τέλος μία ερώτηση δεν το κάνει πρόβλημα, δηλαδή μερικές φορές τα προβλήματα έχουν την όψη προβλημάτων χωρίς να είναι προβλήματα ή αντίθετα ενώ δεν έχουν όψη προβλημάτων, είναι προβλήματα. Στην πραγματικότητα δεν πρόκειται για Ε.Κ.Π., γιατί για παράδειγμα η μία θα δώσει 1 καραμέλα, η άλλη 3 και η άλλη θα δώσει 11. Έτσι έμειναν και στις τρεις 9 καραμέλες. Αν αποφάσιζαν να μείνουν και στις τρεις 8 καραμέλες θα έδιναν περισσότερες καραμέλες.
Είναι δεκτό δηλαδή σαν πρόβλημα αλλά όχι σαν πρόβλημα για το Ε.Κ.Π. Είναι απλώς πρόβλημα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Π.χ. Πώς μπορούμε να μετρήσουμε το πάχος μίας σελίδας; Με χάρακα δεν μπορούμε, αλλά μπορούμε να πάρουμε ένα πακέτο με 1000 χαρτιά, να μετρήσουμε με τον χάρακα το πάχος του πακέτου και να διαιρέσουμε με τον αριθμό των φύλλων (για την έννοια του δεκαδικού αριθμού). Παρατηρούμε ότι αυτό δεν έχει την όψη προβλήματος ούτε καν αριθμούς, αλλά είναι πρόβλημα. Έχουμε ένα κιλό ρύζι. Πόσους κόκκους ρύζι έχει μέσα; Σκέφτομαι μαθηματικά όταν έχω να κάνω με προβλήματα που δεν έχουν μέσα αριθμούς. (Οι αριθμοί αλλοτριώνουν την σκέψη). Θα πάρουμε ένα κουτάλι της σούπας, θα το γεμίσουμε, θα μετρήσουμε τους κόκκους και θα τους ζυγίσουμε (π.χ. 1 gr) αναλογίες. Η διαδικασία επίλυσης ενός πραγματικού προβλήματος με την βοήθεια των μαθηματικών λέγεται modeling (μοντελοποίηση). Δηλαδή τα μαθηματικά μάς χρησιμεύουν για να φτιάχνουμε μοντέλα για να λύνουμε πραγματικά προβλήματα. Τα μοντέλα που φτιάχνουμε ενέχουν και την πιθανότητα του λάθους. Η μέτρηση έχει μέσα της και το περιθώριο λάθους του οργάνου. Σύμφωνα με τον Λατούρ, οι μετρήσεις που παίρνουμε μέσω των μαθηματικών είναι προσεγγιστικά αληθείς. Ένα άλλο πρόβλημα που διατυπώθηκε ήταν το εξής: Ένας γεωργός χρησιμοποιεί δύο είδη κουβάδων για κάθε είδους φρούτο. Στον ένα κουβά βάζει τα μήλα και στον άλλο τα αχλάδια. Οι κουβάδες για τα μήλα χωράνε μέσα 3 κομμάτια ενώ οι κουβάδες για τα αχλάδια χωράνε μέσα 5 κομμάτια. Πόσα μήλα και πόσα αχλάδια είναι το ελάχιστο που έχει συλλέξει αυτός ο γεωργός όταν ο αριθμός τους είναι ίσος και ο γεωργός έχει χρησιμοποιήσει ακέραιο αριθμό γεμάτων κουβάδων; Στο τέλος θέλουμε ο αριθμός των μήλων να είναι ίσος με τον αριθμό των αχλαδιών. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός φρούτων που φόρτωσε; Αυτό το πρόβλημα λύνεται με Ε.Κ.Π. και μάλιστα το αποτέλεσμα είναι ότι φόρτωσε 15 μήλα (5 κουβάδες) και 15 αχλάδια (3 κουβάδες). Άρα ο ελάχιστος αριθμός φρούτων που φόρτωσε ήταν 15 μήλα και 15 αχλάδια. Ένα ακόμα πρόβλημα που διατυπώθηκε ήταν: Η Μαρία και ο Κώστας έχουν συνολικά 60 καραμέλες, η Δήμητρα έχει 40 και η Ειρήνη 24. Πόσος είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός καραμελών που θα δώσουν στην Δέσποινα; Δεν είναι πρόβλημα Ε.Κ.Π.
Η Μαρία θέλει να βάλει πλακάκια σε δύο δωμάτια του σπιτιού της. Οι διαστάσεις που δεν πρέπει να ξεπεράσει είναι 25 cm πλάτος και 25 cm μήκος. Το ένα πλακάκι αποτελείται από 4 πλακάκια συνεχόμενα κάθετα και το άλλο από 12 πλακάκια ενωμένα μεταξύ τους. Θα υπάρξει στα δύο δωμάτια ίσος αριθμός από πλακάκια; Μερικές φορές διαβάζοντας ένα πρόβλημα αισθανόμαστε την ανάγκη να το ζωγραφίσουμε. Μερικές φορές καταλαβαίνουμε ένα πρόβλημα καλύτερα κάνοντας ένα σχέδιο. Άρα το δωμάτιό της είναι τετράγωνο. Υποθέτουμε ότι το κάθε πλακάκι είναι 1 cm. Έχουμε ένα ρεαλιστικό πρόβλημα γιατί αν το πλάτος είναι 25 cm και 1 cm να είναι το πλακάκι δεν υπάρχει περίπτωση να στρώσει το δάπεδο, αφού έχουμε πλάτος 25 cm και αν βάλουμε δύο πλακάκια των 12 cm (2x12 = 24 cm) δεν υπάρχει περίπτωση να στρωθεί το δάπεδο. Οπότε έγιναν κάποιες διορθώσεις. Το ένα είδος θα χρησιμοποιηθεί για το ένα δωμάτιο και το άλλο για το άλλο δωμάτιο. Έστω ότι θα έχουμε ένα πλακάκι 4x1 και ένα άλλο 12x1. Επίσης έχουμε πλάτος δωματίου 24 cm. Αφού το ένα πλακάκι έχει πλάτος 12 cm και μήκος 1 cm και το πλάτος του δωματίου είναι 24 cm θα χρησιμοποιήσουμε 2 πλακάκια επί 24 για το μήκος 24x2 = 48 πλακάκια ενώ για το άλλο δωμάτιο θέλουμε 6 επί 24, 6x24 = 144 πλακάκια, που δεν είναι πρόβλημα Ε.Κ.Π. αλλά περισσότερο πρόβλημα γεωμετρίας. Πρόβλημα Η Μαρία έχει λεφτά με τα οποία μπορεί να αγοράσει είτε 20 μολύβια είτε 12 στυλό είτε 4 τετράδια. Πόσα λεφτά μπορεί να έχει το λιγότερο; Μπορεί να έχει 1, γιατί αν διαιρέσουμε το 1 διά 20 θα βρούμε την τιμή του ενός μολυβιού. Έστω ότι είναι ακέραιοι. Τότε είναι πρόβλημα Ε.Κ.Π. Π.χ. έστω ότι το κάθε μολύβι από τα 20 μολύβια κάνει 1, όμως δεν μπορεί, γιατί 20:12 (αφού μπορεί να αγοράσει με τα ίδια λεφτά 12 στυλό) δεν δίνει ακέραια τιμή στα στυλό, αλλά 20:4 τετράδια είναι εντάξει αφού βγαίνει 5 το τετράδιο.
Πρέπει λοιπόν να είναι ένας αριθμός που να διαιρείται με όλους και το πηλίκο να είναι ακέραιο, γιατί η τιμή του είδους είναι ακέραια και να είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός άρα είναι πρόβλημα Ε.Κ.Π. Πρέπει να είναι πολλαπλάσια, γιατί αν τα διαιρέσουμε με αυτά τα είδη να μας δίνει ακέραια τιμή για το κάθε είδος και πρέπει να είναι και το ελάχιστο αφού μας ζητά τα ελάχιστα χρήματα που πρέπει να έχουμε. Η Μαρία έχει 20, ο Νίκος 12 και η Γεωργία 4. Πόσα μπορεί να δώσει ο καθένας ώστε να αγοράσουν μια πίτσα χωρίς να δώσει κανένας παραπάνω και κανένας λιγότερα; Δεν είναι πρόβλημα Μ.Κ.Δ. αλλά είναι πρόβλημα άλλης ύλης του δημοτικού σχολείου. Στην πραγματικότητα, έστω ότι η Μαρία έδωσε x (Μ x), ο Νίκος έδωσε y (Ν y) και η Γεωργία έδωσε z (Γ z) για να υπάρχει μία ισορροπία. Θα πρέπει: x y z δηλαδή ο λόγος αυτού που δίνει προς αυτά που έχει (λόγος και αναλογία). 20 12 4 Για να το λύσουμε, μας χρειάζεται επίσης να μας δώσουν πόσα λεφτά έδωσαν συνολικά όλοι, π.χ. ότι x+y+z = 100, γιατί στην πραγματικότητα έχουμε 3 αγνώστους και χρειαζόμαστε 3 εξισώσεις. Πρόβλημα Η Μαρία θέλει να κάνει ένα κουρελοχαλί με δύο κομμάτια ύφασμα. Το ένα έχει πλάτος 72 πόντους και το άλλο 90. Χωρίς να χάσει ύφασμα, θέλει να τα κόψει σε λωρίδες ίσου πλάτους. Πόσο θα είναι το πλάτος κάθε λωρίδας; (με Μ.Κ.Δ.)