ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ Ηλίας Κ. Ξυδιάς 1, Ανδρέας Χ. Νεάρχου 2 1 Τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων & Συστημάτων, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Σύρος 84100 2 Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα 26500 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζεται η επίλυση του προβλήματος σχεδιασμού κίνησης και χρονοπρογραμματισμού εργασιών για ένα αυτόνομο όχημα. Ο χώρος εργασίας είναι ένα δύο διαστάσεων περιβάλλον το οποίο περιέχει ακίνητα εμπόδια γνωστής γεωμετρίας και ένα σύνολο σταθμών εργασίας των οποίων γνωρίζουμε τη θέση. Το όχημα θα πρέπει να ξεκινήσει από την αποθήκη, να εξυπηρετήσει μέσα σε ένα προκαθορισμένο χρονικό διάστημα όσο το δυνατόν περισσότερους σταθμούς εργασίας, ακριβώς μια φορά, και να επιστρέψει στην αποθήκη. Η επίλυση του προβλήματος γίνεται σε δύο στάδια. Αρχικά, ο χώρος εργασίας του οχήματος αναπαριστάται με τη χρήση της Bump-Surface. Στη συνέχεια ο προσδιορισμός της βέλτιστης δυνατής διαδρομής γίνεται πάνω στην επιφάνεια αυτή με τη χρήση Γενετικών Αλγορίθμων. Στην Ενότητα 4 παρουσιάζεται ένα ενδεικτικό παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου σε περιβάλλον που περιέχει εφτά σταθμούς εργασίας. Λέξεις κλειδιά: αυτόνομο όχημα, χρονοπρογραμματισμός εργασιών, δισδιάστατα περιβάλλοντα, Bump-Surface 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη αυτόνομων οχημάτων είναι ένας θεμελιώδης στόχος στα σύγχρονα βιομηχανικά συστήματα παραγωγής (Halme A. and Koskinen K. 1995). Τέτοια οχήματα πρέπει να είναι ικανά να δέχονται υψηλού-επιπέδου οδηγίες για την εργασία τους και να την εκτελούν (με το μικρότερο δυνατόν κόστος) παίρνοντας μόνα τους αποφάσεις καθώς κινούνται με ασφάλεια στο χώρο εργασίας τους. Η ανάπτυξη των κατάλληλων μεθοδολογιών για τη δημιουργία αυτόνομων οχημάτων εγείρει πολλά σύνθετα προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Δύο από αυτά είναι, το πρόβλημα του σχεδιασμού κίνησης και το πρόβλημα του χρονικού προγραμματισμού εργασιών. Υπάρχει ένα κενό στη βιβλιογραφία όσον αφορά στις εργασίες που μελετούν και τα δύο προβλήματα ταυτόχρονα (Vis Iris F.A. 2006). Συνήθως, τα δύο παραπάνω προβλήματα μελετώνται χωριστά. Ένας πιθανός λόγος για αυτό είναι ότι η ενοποίηση των δύο προβλημάτων σε ένα μοναδικό πρόβλημα δημιουργεί ένα διπλά δυσεπίλυτο συνδυαστικό πρόβλημα βελτιστοποίησης. Σε αυτήν την εργασία παρουσιάζεται μια μεθοδολογία που αντιμετωπίζει τα δύο προβλήματα ταυτόχρονα για ένα αυτόνομο όχημα το οποίο κινείται σε 1

δισδιάστατο βιομηχανικό περιβάλλον το οποίο περιέχει σταθερά (γνωστά) εμπόδια και ένα σύνολο από σταθμούς εργασίας. Το όχημα θα πρέπει να ξεκινήσει από την αποθήκη (αφετηρία), να εξυπηρετήσει μέσα σε ένα προκαθορισμένο χρονικό διάστημα όσο το δυνατόν περισσότερους σταθμούς εργασίας (περνώντας ακριβώς μια φορά από τον κάθε σταθμό) και να επιστρέψει στην αποθήκη. Η εξυπηρέτηση μπορεί για παράδειγμα να αφορά εργασίες εφοδιαστικής όπως μεταφορά και διανομή όγκου υλικών σε κάθε σταθμό ανάλογα με το πλάνο παραγωγής. Η μεθοδολογία που προτείνεται επιλύει το πρόβλημα σε δύο στάδια. Αρχικά, εφαρμόζεται η μεθοδολογία της Bump-Surface (Azariadis and Aspragathos, 2005) για την αναπαράσταση του χώρου εργασίας του οχήματος. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε πάνω στην Bump-Surface ένα κατάλληλο Γενετικό Αλγόριθμο (Goldberg, 1989) για την εύρεση μιας διαδρομής για το όχημα η οποία θα ικανοποιεί τους περιορισμούς και τα κριτήρια και των δύο προβλημάτων (σχεδιασμού κίνησης και χρονικού προγραμματισμού εργασιών). Πρέπει να σημειωθεί ότι, η επίλυση του ενιαίου διπλού προβλήματος γίνεται στο χώρο διαμορφώσεων του οχήματος όπου το όχημα αναπαριστάται ως σημείο και τα εμπόδια μεγεθύνονται ανάλογα ώστε να συμπεριλάβουν και τη διάσταση του οχήματος. Το κύριο πλεονέκτημα της προτεινόμενης μεθοδολογίας είναι ότι εντοπίζονται μικρότερες σε μήκος και πιο ομαλές διαδρομές για το όχημα από ότι με τις κλασσικές προσεγγίσεις. Επίσης, το πλήθος των σταθμών που εξυπηρετούνται από το όχημα είναι συνήθως μεγαλύτερο. 2 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ας υποθέσουμε ένα εργοστασιακό περιβάλλον δύο διαστάσεων το οποίο περιέχει απαγορευμένες περιοχές και ένα σύνολο σταθμών εργασίας (ΣΕ), Σχήμα 1. Επίσης, κάνουμε τις ακόλουθες υποθέσεις: Η γεωμετρία και η θέση των απαγορευμένων περιοχών (τοίχοι, εργοστασιακός εξοπλισμός) είναι γνωστή. Το όχημα αναπαριστάται ως σημείο. Οι θέσεις των σταθμών εργασίας και της αποθήκης είναι γνωστές. Το όχημα μπορεί να κινείται μόνο προς τα εμπρός με σταθερή ταχύτητα u rob. Η διαδρομή του οχήματος ξεκινά πάντοτε από την αποθήκη περνά από έναν αριθμό ΣΕ και καταλήγει σε αυτήν. Η κίνηση του οχήματος περιορίζεται από ένα χρονικό παράθυρο 0, f μέσα στο οποίο πρέπει να εξυπηρετηθούν όσο το δυνατόν περισσότεροι ΣΕ. f είναι ο χρόνος άφιξης του οχήματος στην αποθήκη. Το χρονικό διάστημα στο οποίο πρέπει να εξυπηρετηθούν οι ΣΕ είναι προκαθορισμένο (ορίζεται από το πλάνο παραγωγής, τα τεχνικά χαρακτηριστικά του οχήματος). Από τα παραπάνω έχουμε ότι, το συνδυαστικό πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης και χρονοπρογραμματισμού εργασιών για ένα όχημα διατυπώνεται ως εξής: Δοσμένης της γεωμετρίας του περιβάλλοντος, της γεωμετρίας του οχήματος, της θέσης των 2

σταθμών εργασίας και της θέσης της αποθήκης στο περιβάλλον καθόρησε μια διαδρομή η οποία αποφεύγει την σύγκρουση με τα εμπόδια και ικανοποιεί τα κάτωθι κριτήρια: I. Το όχημα δεν θα πρέπει να συγκρουστεί ή να διασχίσει τις απαγορευμένες περιοχές του περιβάλλοντος. II. Το όχημα θα πρέπει να εξυπηρετήσει μέσα σε ένα προκαθορισμένο χρονικό διάστημα όσο το δυνατόν περισσότερους σταθμούς εργασίας, ακριβώς μια φορά. αποθήκη σταθμός_3 σταθμός_6 σταθμός_7 u 2 σταθμός_1 σταθμός_2 σταθμός_4 σταθμός_5 u 1 Σχήμα 1: Ο χώρος εργασίας του ρομπότ που περιλαμβάνει μια αποθήκη και 7 σταθμούς εργασίας. Πρέπει να σημειωθεί ότι, επειδή, το όχημα κινείται με ταχύτητα σταθερού μέτρου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι μια βέλτιστη διαδρομή ως προς το χρόνο αντιστοιχεί σε μια διαδρομή βέλτιστη ως προς το μήκος. 3 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 3.1 1 ο ΣΤΑΔΙΟ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η προτεινόμενη μέθοδος βασίζεται στη μεθοδολογία Bump-Surface για την αναπαράσταση του δισδιάστατου χώρου εργασίας του ρομπότ. Ο χώρος εργασίας του οχήματος (Σχήμα 1) αναπαριστάται από μια μαθηματική πολλαπλότητα δύο διαστάσεων, η οποία κείται στον Ευκλείδειο χώρο των τριών διαστάσεων (Σχήμα 2) χρησιμοποιώντας μια επιφάνεια B-Spline (Les Piegl and Wayne Tiller, 1997). z y x Σχήμα 2: Η αντίστοιχη Bump-Surface. 3

3.2 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Ας υποθέσουμε ότι το όχημα διαγράφει μια διαδρομή t u1(), t u2() t R η οποία περιγράφεται ως μια B-Spline καμπύλη πρώτου βαθμού από την ακόλουθη συνάρτηση: όπου N () t,1 1 R t N () t p, t[0,1] (1) 0,1 είναι η συνάρτηση βάσης και 0,1 2 διαδρομής R t u1(), t u2() t p0, p1, p2,..., p 1 p ορίζονται ως εξής: o p0 p 1 ορίζουν την αποθήκη. p είναι τα σημεία ελέγχου της. Ο συνολικός αριθμός των σημείων ελέγχου o p1, p2,..., p 2 w ΣΕ ενδιάμεσα σημεία ελέγχου gl, l 1,..., b o είναι ο συνολικός αριθμός σημείων ελέγχου 2 o o o R t w p 0,1 για την διαδρομή b r είναι ο συνολικός αριθμός των ενδιάμεσων σημείων ελέγχου l 0,1 2 g. w είναι ο συνολικός αριθμός ΣΕ που εξυπηρετούνται από το όχημα r είναι ο αριθμός των σημείων ελέγχου μεταξύ δύο ΣΕ. Μια ελεύθερη διαδρομή η οποία ξεκινά από την αποθήκη, αποφεύγει τα εμπόδια, περνά από τους ΣΕ ακριβώς μια φορά, και καταλήγει στην αποθήκη πρέπει να αναζητηθεί στις «επίπεδες» περιοχές της Bump-Surface S. Εκ κατασκευής, το μήκος τόξου της επιφανειακής καμπύλης SR t είναι ίσο με το μήκος τόξου της καμπύλης R t όταν αυτή δεν τέμνει εμπόδια, στο δύο διαστάσεων περιβάλλον. Για αυτό, είναι λογικό να αναζητήσουμε μια «επίπεδη» διαδρομή πάνω στη S η οποία ικανοποιεί το κριτήριο Ι. Το μήκος τόξου της S t R δίνεται από την σχέση: 1 du 1 2 du du du L E( ) 2 F 1 2 G( 2 ) dt (2) dt dt dt dt 0 όπου E, F και G είναι τα θεμελιώδη ποσά 1 ης τάξης της S στο t. Επιπλέον, σύμφωνα το κριτήριο ΙΙ το όχημα θα πρέπει να ακολουθήσει μια διαδρομή η οποία ενώνει έναν αριθμό ΣΕ w με την αποθήκη σε ένα προκαθορισμένο χρονικό παράθυρο 0, f. Το μήκος της διαδρομής είναι μικρότερο ή ίσο με: L u f (3) 4

Η ελαχιστοποίηση της συνάρτησης του μήκους ως προς τα ενδιάμεσα σημεία ελέγχου g 0,1 2 l, l 1,..., b με τον περιορισμό L u f, οδηγεί σε μια διαδρομή η οποία ικανοποιεί τα κριτήρια και του περιορισμούς του προβλήματος. 4 Ο ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΣ ΓΕΝΕΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Για την επίλυση του παραπάνω συνδυαστικού προβλήματος αναπτύχθηκε ένας κατάλληλος Γενετικός Αλγόριθμος (ΓΑ) με τα εξής βασικά χαρακτηριστικά: Χρωμόσωμα: Το προτεινόμενο χρωμόσωμα έχει μεταβλητό μήκος και αποτελείται από δύο μέρη: το πρώτο μέρος αποτελείται μόνο από ακέραιους αριθμούς ενώ το δεύτερο μέρος αποτελείται μόνο από πραγματικούς αριθμούς. Κάθε χρωμόσωμα αποτελείται από w b2 γονίδια, όπου b 2 είναι ο συνολικός αριθμός των ενδιάμεσων σημείων ελέγχου στην προτεινόμενη διαδρομή (ο αριθμός 2 δηλώνει τη διάσταση του περιβάλλοντος). Το ακέραιο μέρος του χρωμοσώματος αναπαριστά την σειρά με την οποία το όχημα επισκέπτεται τους ΣΕ. Το πραγματικό μέρος του χρωμοσώματος αναπαριστά τα b 2 ενδιάμεσα σημεία ελέγχου l 0,1 2, 1,..., τα οποία ορίζουν την διαδρομή R t g l b (συμπεριλαμβανομένου και των ΣΕ ) του οχήματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι, κάθε χρωμόσωμα αντιστοιχεί σε μια μοναδική διαδρομή για το όχημα. Γενετικοί τελεστές: Αναπαραγωγή: Χρησιμοποιήθηκε η κλασσική μέθοδος της ρουλέτας (αναλογική επιλογή). Σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο, τα χρωμοσώματα επιλέγονται να αναπαράγουν τη δομή τους στην επόμενη γενιά με ένα ποσοστό ανάλογο της τιμής της προσαρμοστικότητας τους. Διασταύρωση: Για το ακέραιο μέρος του χρωμοσώματος χρησιμοποιήθηκε η διασταύρωση ΟΧ (order crossover) και για το πραγματικό μέρος διασταύρωση ενός σημείου. Μετάλλαξη: Για το ακέραιο μέρος του χρωμοσώματος εφαρμόστηκε το σχήμα αντιστροφής (inversion) και για το πραγματικό μέρος επιλέχθηκε το σχήμα ορίων (boundary). Τονίζεται ότι η επιλογή των συγκεκριμένων σχημάτων και τελεστών έγινε μετά από διεξοδική πειραματική εργασία και έλεγχο σε διάφορα ρομποτικά περιβάλλοντα. Η συνάρτηση προσαρμοστικότητας προκύπτει από την αντικειμενική συνάρτηση και εκφράζεται ως εξής: 1, L u f L (4) 0, ά 5 ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ Η προτεινόμενη μεθοδολογία δοκιμάστηκε με επιτυχία σε διαφορετικά δισδιάστατα περιβάλλοντα. Λόγο έλλειψης χώρου παρουσιάζεται ένα ενδεικτικό παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου σε περιβάλλον που περιέχει 7 ΣΕ. Οι προσομοιώσεις έγιναν στο Matlab και υλοποιήθηκαν σε Pentium IV 3.2 GHz PC. Σε όλες τις εφαρμογές το μέγεθος του πλέγματος ορίστηκε ίσο με 100x 100, το r είναι ίσο με 2 και η ταχύτητα του οχήματος ήταν σταθερού μέτρου και ίση με u rob 1. Οι τελεστές του ΓΑ επιλέχθηκαν πειραματικά και ορίζονται ως εξής: μέγεθος πληθυσμού=200, μέγιστος αριθμός γενιών= 300, ρυθμός διασταύρωσης=0.75, ρυθμός σχήματος αντιστροφής=0.095, οριακή μετάλλαξη=0.004. Επίσης, σε όλες τις 5

περιπτώσεις η γενικευμένη Bump-Surface αναπαραστάθηκε με μια (2, 2) βαθμού B- Spline επιφάνεια. Ας υποθέσουμε το δυσδιάστατο εργοστασιακό περιβάλλον του Σχήματος 1. Στο χώρο εργασίας υπάρχουν εφτά ΣΕ. Σε αυτήν την περίπτωση το χρονικό παράθυρο ορίζεται ίσο με 0, 2.7 χρονικές μονάδες. Η προτεινόμενη σειρά των ΣΕ είναι: αποθήκη- ΣΕ 3 - ΣΕ 6 - ΣΕ 4 - ΣΕ 2 - Αποθήκη (Σχήμα 3). Το μήκος της διαδρομής είναι 2.64 μονάδες μήκους. αποθήκη σταθμός_3 σταθμός_6 σταθμός_7 σταθμός_1 σταθμός_2 σταθμός_4 σταθμός_5 Σχήμα 3: Η προτεινόμενη λύση. 6 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Σε αυτή την εργασία παρουσιάστηκε μια νέα μεθοδολογία για την επίλυση του συνδυαστικού προβλήματος σχεδιασμού κίνησης και χρόνο προγραμματισμού εργασιών για ένα αυτόνομο όχημα σε δισδιάστατα περιβάλλοντα. Η προτεινόμενη μεθοδολογία επιλύει το πρόβλημα σε 2 διαδοχικά στάδια: Αρχικά, ο χώρος εργασίας του οχήματος αναπαριστάται με μια Bump-Surface. Στη συνέχεια, ο προσδιορισμός της βέλτιστης λύσης γίνεται πάνω στην Bump-Surface με τη χρήση ενός κατάλληλου Γενετικού Αλγορίθμου. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Azariadis P., Aspragathos N.: Obstacle Representation by Bump-Surface for Optimal Motion-Planning, Journal of Robotics and Autonomous Systems, Vol. 51, No. 2-3, 2005, pp 129-150. Goldberg D.E., Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Addison Wesley Publishing Company, 1989. Halme A., Koskinen K., Intelligent Autonomous Vehicles, Elsevier Science & Technology, 1995. Les Piegl, Wayne Tiller, The NURBS Book, Springer-Verlag Berlin, 1997. Vis Iris F.A, Survey of research in the design and control of automated guided vehicle systems, European Journal of Operational Research, 170, 677-709, 2006. 6