Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Transcript

1 Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ

2 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Παρ Α. Να δώσετε τον ορισμό μίας πραγματικής συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Α2. Πότε δύο πραγματικές συναρτήσεις f και g θα λέγονται ίσες Α3. Πότε μία πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α θα καλείται ; Α4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: M, f αποτελεί την γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f. Το σύνολο των σημείων ( ( )) 2. Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τεταγμένων των σημείων της C f 3. Η γραφική παράσταση C f μίας πραγματικής συνάρτησης f τέμνει τον άξονα yy σε ένα τουλάχιστον σημείο. 4. Έστω δύο πραγματικές συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού τα σύνολα Α και αντίστοιχα. Το πεδίο ορισμού της f g θα είναι το σύνολο Γ=Α Β. 5. Μία συνάρτηση f θα καλείται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ αν για κάθε, 2 < ισχύει : f ( ) < f ( ) με Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο για κάθε A f ( ) όταν f ( ) f ( ) 7. Οι γραφικές παραστάσεις των f και γωνίας Oy ˆ f A μέγιστο, το είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο της 8. Αν για μία πραγματική συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ ισχύει ότι για κάθε, 2 με ( ) ( ) < f f η f θα καλείται φθίνουσα στο Δ Κάθε συνάρτηση f που είναι «-» στο πεδίο ορισμού της Α θα είναι και γνησίως μονότονη στο Α. Οι γνησίως μονότονες συναρτήσεις είναι και αντιστρέψιμες Μονάδες

3 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Παρ Α. Να διατυπώσετε το Κριτήριο παρεμολής για τρείς πραγματικές συναρτήσεις f, g, h Α2. Αν P( ) μία πολυωνυμική συνάρτηση τότε lim P( ) = P( ) Α3. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: lim f >. Αν f ( ) > κοντά στο τότε ( ) 2. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο lim ( ) < lim ( ) f g 3. Αν lim f ( ) = τότε lim f ( ) = και ισχύει f ( ) g( ) κοντά στο τότε 4. συν Ισχύει πάντοτε ότι lim = 5. Για κάθε ισχύει ότι ηµ με την ισότητα να ισχύει μόνο για = 6. Αν lim f ( ) 7. Αν lim f ( ) 8. Αν f ( ) = τότε f ( ) > κοντά στο = τότε lim = f lim = τότε lim f ( ) 9. Ισχύει ότι lim = για κάθε. Ισχύει ότι lim e =. Ισχύει ότι lim ln = 2. Το όριο lim ηm δεν υπάρχει + 3. Ισχύει ότι lim ln = ( ) = 4. Για την πολυωνυμική συνάρτηση ( ) lim P + ( ) = lim ( ) + P = με ισχύει: 5. Αν lim f ( ) = + και lim g( ) = τότε το f ( ) g( ) ( ) lim + =

4 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Παρ. 2.8 Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Bolzno και να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος. Α2. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών Α3. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μεγίστης Ελαχίστης Τιμής μίας πραγματικής συνάρτησης f. Α4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:. Αν για μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α και A ισχύει ότι lim f ( ) = f ( ) τότε η f θα είναι συνεχής στο A 2. Οι Ρητές συναρτήσεις δεν είναι πάντοτε συνεχείς 3. Η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση. και 4. Η f είναι συνεχής στο [α, ] αν και μόνο αν f συνεχής σε κάθε (, ) lim f ( ) = f ( ), lim f ( ) = f ( ) + 5. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής στο [α, ] για την οποία f ( ) f ( ) >. Τότε δεν υπάρχει [ α] τέτοιο, ώστε f ( ) =, 6. Ένα διάστημα Δ μέσο μία συνεχούς συνάρτησης f είναι επίσης διάστημα 7. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ρ, ρ2 διαδοχικές ρίζες της f, τότε η f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ( ρ, ρ 2) 8. Αν f συνεχής και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα της μορφής (, ) τότε θα ισχύει ότι f ((, ) ) = ( f ( ), f ( ) ) 9. Μία συνεχής συνάρτηση f σε ένα διάστημα (α, ) δεν είναι απαραίτητο να παρουσιάζει μία μέγιστη και μία ελάχιστη τιμή. Αν f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (, ], τότε θα ισχύει ότι ((, ] ) ( ), lim ( + )) f = f f Μονάδες

5 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Παρ Α. Πότε μία πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Δ θα καλείται παραγωγίσιμη στο Α2. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε θα είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Α3. Έστω μία συνάρτηση f ( ) =, {,} }. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ) =, δηλαδή ( ) f Α4. Έστω η συνάρτηση f ( ) =, [, ) α) Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο = ) Για κάθε > ισχύει ότι f ( ) = +. Να δείξετε ότι: =, δηλαδή ( ) = 2 2 Μονάδες 7

6 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Παρ Α. Έστω η συνάρτηση f ( ) =, στο και ισχύει ( ) f. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη =, δηλαδή ( ) = Α2. Έστω η συνάρτηση f ( ) =, >. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και f = ισχύει ότι ( ) ln Α3. Έστω η συνάρτηση f ( ) = εφ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R = { συν= } και ισχύει ( ) =, δηλαδή ( εφ ) = συν συν f 2 2 Α4. Να δώσετε τον ορισμό του ρυθμού μεταολής ενός μεγέθους y = f ( ) ως προς ένα μέγεθος Μονάδες 2 Α5, Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:. Για δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Δ ισχύει πάντοτε f f g + f g = g g ότι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2. Για τρείς παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g,h με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Δ ισχύει πάντοτε ότι ( f ( ) g( ) h( ) ) = f ( ) g( ) h( ) + f ( ) g ( ) h( ) + f ( ) g( ) h ( ) 3. Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού το σύνολο Δ και έστω ότι ( ) ( ) ορίζεται η συνάρτηση f g. Τότε θα ισχύει πάντοτε ότι ( f g) ( ) = f g( ) g 4. Ο ρυθμός μεταολής της ταχύτητας ενός κινητού είναι η απόσταση του κινητού 5. Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος. Έτσι, η παράγωγος Κ ) παριστάνει το ρυθμό μεταολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα, όταν = και λέγεται οριακό κόστος στο. Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο. ( Μονάδες

7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Παρ Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Rolle και να δώσετε την γεωμετρική του ερμηνεία. = Α2. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το Δ. > σε κάθε Α3. Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ( ) εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Α4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις. Αν μία συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Rolle σε ένα διάστημα [α, ] τότε θα ικανοποιεί και τις υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής του διαφορικού Λογισμού. 2. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα της μορφής [α, ]. Τότε η γραφική παράσταση της f θα δέχεται μία το πολύ εφαπτόμενη παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, B, f όπου Af ( ( )) και ( ( )) 3. Έστω δύο συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού το. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f = g για κάθε εσωτερικό του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε ( ) ( ) να ισχύει: ( ) ( ) f = g + c 4. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [α, ]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, ] και παραγωγίσιμη στο (α, ) και f ( ), τότε η f θα είναι «-» στο [ α, ] για κάθε ( ) 5. Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f σε ένα διάστημα της μορφής [α, ]. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, ] τότε f ( ) > για κάθε [ α, ] Μονάδες Σ Λ Λ Σ Λ

8 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Παρ Α. Πότε μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο A Α2. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα Fermt Α3. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f ( ) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, ) (, ), τότε να δείξετε ότι το f ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (, ) Α4. Πότε μία συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη και ορισμένη σε ένα διάστημα (, ) θα λέμε ότι παρουσιάζει σημείο καμπής στο ( ), Α4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:. Τα σημεία στα οποία f είναι συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη είναι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων. 2. Αν f ( ) > στο (, ) και f ( ) < στο ( ) f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. A, f είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δύο 3. Αν το ( ( ) ) φορές παραγωγίσιμη, τότε f ( ) = 4. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κοίλη σε ένα σύνολο Α. Αν A, τότε θα ισχύει f f + f για κάθε A ότι ( ) ( )( ) ( ) 5. Αν η f είναι κοίλη τότε η f είναι γνησίως αύξουσα Μονάδες

9 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Παρ Α. Να δώσετε τον ορισμό της κατακόρυφης ασύμπτωτής μίας συνάρτηση f σε ένα σημείο Α2. Πότε η ευθεία y = θα καλείται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + Α3. Να διατυπώσετε τον Κανόνα του De l Hospitl Α5. Να αναφέρετε τα ήματα που απαιτούνται για την μελέτη μίας συνάρτησης f Α4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις με αθμό μεγαλύτερο ή ίσο του δύο δεν έχουν ασύμπτωτες P( ) 2. Οι ρητές συναρτήσεις P μεγαλύτερο τουλάχιστον Q( ), με αθμό του αριθμητή ( ) κατά δύο του αθμού του παρονομαστή παρουσιάζουν πλάγιες ασύμπτωτες. 3. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης f αναζητούμε στα ανοικτά άκρα του πεδίου ορισμού της συνάρτησης 4. Κάθε όριο κλάσματος μπορεί να υπολογιστεί με τον κανόνα του De l Hospitl 5. Αν μία συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο Τα, τότε περιοριζόμαστε για την μελέτη της γραφικής παράστασης ένα διάστημα πλάτους Τ Μονάδες

10 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Παρ Α. Να δώσετε το ορισμό της αρχικής συνάρτησης ( ή παράγουσα συνάρτηση) μίας συνάρτησης f που είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Α2. Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μία παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής G( ) = F( ) + c, c είναι παράγουσες της f στο Δ και ) κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει την μορφή G( ) = F( ) + c, c Α3. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Μονάδες 9. Έστω μία συνεχής συνάρτηση f σε ένα διάστημα [ α, ]. Αν f ( ) για κάθε [ α, ] τότε το ολοκλήρωμα f ( ) d παριστάνει το εμαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f τον άξονα και τις ευθείες =, =. 2. Έστω μία συνεχής συνάρτηση f σε ένα διάστημα [ α, ]. Αν f ( ) d ότι f ( ) για κάθε [ α, ] 3. Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις στο [ α, ]. Τότε ισχύει ότι ( ) ( ) = ( ) + ( ) f g d f d g d 4. Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και, γ,, τότε ισχύει γ ( ) = ( ) + ( ) f d f d f d γ 5. Αν f συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε ισχύει πάντοτε ότι f ( ) d = τότε θα ισχύει Μονάδες

11 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Παρ Α. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Μονάδες 7 Α2. Έστω f, g δύο συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους σε ένα διάστημα [, ] τον τύπο της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης Α3. Έστω δύο συνεχείς συναρτήσεις f,g για τις οποίες ισχύει ότι: f g α, ( ) ( ) για κάθε [ ] α. Να αναφέρετε Να αποδείξετε ότι το εμαδό του επίπεδου χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, την γραφική παράσταση της g και τις κατακόρυφες ευθείες = και = E f g d δίνεται από τον τύπο ( Ω ) = ( ( ) ( )) Α4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:. Έστω δύο συναρτήσεις f, g με συνεχείς και παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα [ α, ]. Θα ισχύει πάντοτε ότι g ( ) f ( ) + g( ) f ( ) d= f ( ) g( ) 2. Ο τύπος ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταλητής για το ορισμένο ολοκλήρωμα παίρνει την 2 f ( g ) g ( ) d = f ( u) du όπου, μορφή ( ) u = g( ), du = g ( ) d και u = g( ), u = g( ) u u 2 f g είναι συνεχείς συναρτήσεις, 3. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα [ α, ]. Το εμαδόν του επίπεδου χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις κατακόρυφες ευθείες =, E f d = θα δίνεται από την σχέση ( ) ( ) Ω = 4. Έστω f, g δύο συνεχείς συναρτήσεις σε ένα διάστημα της μορφής [, ] α. Το εμαδόν του επίπεδου χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, g και τις κατακόρυφες ευθείες =, = θα δίνεται από την σχέση ( Ω ) = ( ) ( ) E f g d 5. Αν f είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F ( ) ( ) = f t dt, είναι μία παράγουσα της f στο Δ. Μονάδες