ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΕ ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΑ ΡΟΜΠΟΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΤΡΟΧΙΑ

ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΕ ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΑ ΡΟΜΠΟΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΤΡΟΧΙΑ Κώστας Νάνος και Ευάγγελος Παπαδόπουλος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών, Εργαστήριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 578, Ζωγράφου, Αθήνα email: (knanos@mailntuagr, egpapado@centralntuagr) ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα ελεύθερα αιωρούµενα διαστηµικά ροµποτικά συστήµατα ( ΡΣ) έχουν τους προωθητήρες της βάσης απενεργοποιηµένους και εµφανίζουν µη ολόνοµη συµπεριφορά, λόγω διατήρησης της στροφορµής του συστήµατος Στην εργασία αυτή, η αρχική στροφορµή του συστήµατος θεωρείται µη µηδενική Στην περίπτωση αυτή καταρχήν, το τελικό σηµείο δράσης (ΤΣ ) δεν µπορεί να παραµείνει σταθερό σε σηµείο του χώρου εργασίας Μελετώνται οι κινηµατικοί και δυναµικοί περιορισµοί του συστήµατος, οι οποίοι ορίζουν την περιοχή του χώρου εργασίας όπου το ΤΣ µπορεί να παραµείνει σταθερό για άπειρο χρόνο Η µεθοδολογία επαληθεύεται µε προσοµοίωση επίπεδου ΡΣ 5 βαθµών ελευθερίας (βε) καθώς και µε ένα τρισδιάστατο ΡΣ µε 9 βε Λέξεις κλειδιά: Ελεύθερα Αιωρούµενοι Βραχίονες, Μη-µηδενική Στροφορµή, Μη Ολόνοµα Συστήµατα ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα διαστηµικά ροµποτικά συστήµατα ( ΡΣ) παίζουν έναν σηµαντικό ρόλο τόσο στην εξερεύνηση πλανητών όσο και σε εργασίες σε τροχιά, εξαιτίας της ικανότητα τους να δρουν σε περιβάλλοντα που είναι απρόσιτα ή επικίνδυνα για τον άνθρωπο Τα ΡΣ σε τροχιά αποτελούνται από µια επενεργούµενη βάση-δορυφόρο και από προσαρτηµένους βραχίονες Πρόσφατα παραδείγµατα τέτοιων ΣΡ είναι το Orbital Express (Ogilvie et al, 28) καθώς και το ETS-7 (Yoshida et al, 2) Κατά τις διάφορες εργασίες του ΡΣ, οι προωθητήρες της βάσης πρέπει να είναι απενεργοποιηµένοι τόσο για εξοικονόµηση καυσίµων όσο και για αποφυγή πιθανών συγκρούσεων µε το περιβάλλον Στην περίπτωση αυτή, το ΡΣ είναι ελεύθερα αιωρούµενο και υπάρχει δυναµική σύζευξη µεταξύ της βάσης και των βραχιόνων Ο παραπάνω τρόπος λειτουργίας είναι εφικτός µόνο όταν οι εξωτερικές δυνάµεις και οι ροπές που ενεργούν στο ΡΣ, καθώς και η αρχική ορµή του, είναι µηδέν Παρόλα αυτά, κατά την διάρκεια της λειτουργίας του, το ΡΣ συσσωρεύει µικρές ποσότητες στροφορµής οι οποίες µπορούν να εξαλειφθούν µε ενεργοποίηση των προωθητήρων της βάσης Η επανειληµµένη, όµως, χρήση των προωθητήρων έχει ως συνέπεια την κατανάλωση καυσίµων µε αποτέλεσµα τη µείωση του χρόνου ζωής του ΡΣ Εποµένως, η ικανότητα του ΡΣ να µπορεί να εκτελεί κάποια εργασία υπό την παρουσία αρχικής στροφορµής, είναι πολύ σηµαντική Η παρούσα εργασία ασχολείται ακριβώς µε αυτό το πρόβληµα Εξετάζονται οι περιορισµοί του συστήµατος και ορίζεται το υποσύνολο του χώρου εργασίας όπου το ΤΣ µπορεί να παραµείνει για άπειρο χρόνο, παρά τη στροφορµή

2 ΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Σε αυτή την παράγραφο αναπτύσσονται οι εξισώσεις κίνησης ενός ελεύθερα αιωρούµενου ΡΣ, όταν η αρχική του στροφορµή δεν είναι µηδέν Θεωρείται ότι ο βραχίονας έχει περιστροφικές αρθρώσεις και ανοιχτή κινηµατική αλυσίδα, οπότε ένα ΡΣ µε βραχίονα Ν αρθρώσεων θα έχει Ν+6 βε Κάτω από την παραδοχή µηδενικών εξωτερικών δυνάµεων το Κέντρο Μάζας (ΚΜ) του συστήµατος δεν επιταχύνεται και η γραµµική ορµή του συστήµατος παραµένει σταθερή Επιπλέον, θεωρώντας µηδέν την αρχική γραµµική ορµή, το ΚΜ του ΡΣ παραµένει σταθερό και µπορεί να θεωρηθεί ως η αρχή του αδρανειακού συστήµατος συντεταγµένων στο οποίο ανάγεται η κίνηση του ΣΡ Για απλοποίηση θα περιοριστούµε στη µελέτη του επίπεδου ΡΣ του Σχήµατος α Για το σύστηµα αυτό η εξίσωση διατήρησης της στροφορµής είναι (Papadopoulos,993): D ɺ θ + D ɺ θ + D ɺ θ = h () 2 2 όπου θ είναι ο προσανατολισµός της βάσης, θ, θ 2 είναι οι απόλυτες γωνίες του βραχίονα και h είναι η αρχική στροφορµή του συστήµατος ως προς το ΚΜ του Οι συντελεστές D, D, D 2 είναι συνάρτηση των παραµέτρων του συστήµατος καθώς και των σχετικών γωνιών του βραχίονα q=[q, q 2 ] T Η θέση του ΤΣ ως προς το ΚΜ του συστήµατος µπορεί να περιγραφεί µέσω των βαρυκεντρικών διανυσµάτων (Papadopoulos, 993), όπως φαίνεται και στο Σχήµα β θ θ θ Σχήµα Ελεύθερα Αιωρούµενος Βραχίονας αποτελούµενος από τη βάση και τον βραχίονα Περιγραφή Θέσης ΤΣ µέσω των Βαρυκεντρικών ιανυσµάτων Η θέση, λοιπόν, του ΤΣ ως προς ΚΜ του συστήµατος δίνεται από: x E =α c θ +β c θ +γ c θ2, y E =α s θ +β s θ +γ s θ2 (2) όπου α,β,γ είναι τα µέτρα των σταθερών βαρυκεντρικών διανυσµάτων, που είναι συνάρτηση των ιδιοτήτων του συστήµατος, και c θi =cosθ i, s θi =sinθ i, i=,,2 Οι εξισώσεις κίνησης ενός ελεύθερα αιωρούµενου ΡΣ µε µηδενική αρχική στροφορµή είναι (Papadopoulos, 993): τ = H( q) qɺɺ + C( q, qɺ ) qɺ (3) όπου τ είναι το διάνυσµα ροπών στις Ν αρθρώσεις του βραχίονα Ο πίνακας H(q) είναι ο ΝxΝ πίνακας αδράνειας του συστήµατος και ο πίνακας C( q, qɺ ) είναι ο ΝxΝ

πίνακας που περιέχει τους µη γραµµικούς όρους που προέρχονται από τις φυγοκεντρικές δυνάµεις και τις δυνάµεις Coriolis Στην περίπτωση που η αρχική στροφορµή του ΡΣ είναι µη µηδενική, αποδεικνύεται (Nanos and Papadopoulos, 2) ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι: τ = H( q) qɺɺ + C ( h, q, qɺ ) qɺ + g ( h, q) (4) h h όπου οι πίνακες C h, g h εξαρτώνται από την αρχική στροφορµή και ισούνται µε: C ( h, q, qɺ ) = C( q, qɺ ) + h D D D D q q g h (h,q)= 2 h 2 T { } { } h q q { } q D = + + και D = [ D + D D ] όπου D D D D2 q 2 2 (5) (6) 3 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΥΝΑΜΙΚΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Στην παράγραφο αυτή, µελετάται η ύπαρξη σηµείων του χώρου εργασίας όπου το ΤΣ µπορεί να παραµείνει για απεριόριστο χρόνο εκτελώντας κάποια εργασία (πχ επιθεώρηση δορυφόρου), υπό την παρουσία αρχικής στροφορµής Είναι γνωστό ότι στην περίπτωση µηδενικής στροφορµής, το ΤΣ µπορεί να παραµείνει σε οποιοδήποτε σηµείο του χώρου εργασίας ακίνητο Η ύπαρξη όµως µη µηδενικής στροφορµής έχει ως αποτέλεσµα την κίνηση του ΡΣ µε τέτοιο τρόπο ώστε η στροφορµή του να διατηρείται Στην συνέχεια εξετάζουµε κάτω από ποιες προϋποθέσεις είναι εφικτή η παραµονή του ΤΣ σε κάποιο σηµείο (x E, y E ) του χώρου εργασίας Ξεκινώντας από τη θέση του ΤΣ, η απαιτούµενη διαµόρφωση του βραχίονα υπολογίζεται µέσω του αντίστροφου κινηµατικού προβλήµατος (Nanos and Papadopoulos, 2), δηλαδή: q = Atan2(s θ,c θ ) θ, q 2 = Atan2(s 2,c 2 ) (7) όπου c 2 =cosq 2,s 2 =sin q 2,c θ =cosθ,s θ =sinθ είναι συναρτήσεις του προσανατολισµού της βάσης θ Η παραπάνω διαµόρφωση του βραχίονα θα πρέπει να ορίζεται για οποιοδήποτε τιµή του προσανατολισµού θ της βάσης Η απαίτηση αυτή οδηγεί σε περιορισµό του χώρου εργασίας του συστήµατος (Nanos and Papadopoulos, 2), σε έναν από τους υποχώρους (Α) ή (Β) που ορίζονται από τις Εξ (8) ή (9) αντίστοιχα, δηλαδή: ( A) α+ β γ r E β+γ α, α<min(β,γ) (8) (B) r E min(α β γ,β+γ α), β γ <α<β+γ (9) όπου r E είναι η απόσταση του ΤΣ από το ΚΜ του συστήµατος Επιπλέον, θα πρέπει να ικανοποιούνται και οι δυναµικοί περιορισµοί, δηλαδή η διατήρηση στροφορµής του συστήµατος, Εξ () Σε συνδυασµό µε τη µηδενική γραµµική ταχύτητα του ΤΣ, που προκύπτει ως χρονική παράγωγος των Εξ (2), οδηγεί στις παρακάτω γωνιακές ταχύτητες της βάσης και των αρθρώσεων του βραχίονα: ɺ βγ s αγ, s + βγ h q s αβ h, q s + αγ θ = ɺ = ɺ = s h 2 2 2 2 2 S( q, q2) S( q, q2) S( q, q2) όπου s =sin q, s 2 =sin(q + q 2 ) και ()

2 S(q,q 2 )=αβ D 2 s +βγ D s 2 αγ D s 2 () Οι Εξ () επιτρέπουν τον σχεδιασµό κινήσεων των αρθρώσεων του βραχίονα έτσι ώστε το ΤΣ να παραµένει σε σταθερή θέση Από τις Εξ () προκύπτει ότι οι γωνιακές ταχύτητες είναι ανάλογες της αρχικής στροφορµής του ΡΣ και µηδενίζονται όταν αυτή είναι µηδέν Οι Εξ () ορίζονται όταν S(q,q 2 ) Αυτή η συνθήκη εισάγει έναν επιπλέον περιορισµό στο σύστηµα τόσο στον χώρο τον αρθρώσεων όσο και στον καρτεσιανό χώρο µε αποτέλεσµα πιθανή µείωση των υποχώρων (Α) ή (Β) 4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Για την επαλήθευση της µεθοδολογίας χρησιµοποιείται το ΡΣ του Σχήµατος, µε τις παραµέτρους του Πίνακα I Η περιοχή (A) στο Σχήµα 2α αντιπροσωπεύει την περιοχή του χώρου εργασίας όπου ικανοποιούνται οι κινηµατικοί και οι δυναµικοί περιορισµοί Στο ίδιο σχήµα φαίνονται και στιγµιότυπα από την κίνηση του ΣΡ στην περίπτωση όπου η επιθυµητή θέση του ΤΣ είναι το σηµείο x E = 5m, y E = m για αρχικό προσανατολισµό της βάσης θ ()= o και αρχική στροφορµή h = 5Nms ΠΙΝΑΚΑΣ I ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΟΥ ΡΣ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ Σώµα l i (m) r i (m) m i (Kg) I i (Kg m 2 ) 5 5 4 6667 4 333 2 5 5 3 25 y (m) 3 2-2 ( ) -3-3 -2 2 3 x (m) E (a) (b) (c) (Nm) x 2 x 3 x -5 5 2 x -3 8 6 2 x -3 2 q q (Nm) 2-5 x -3 2 x -3 2 q 2 q 2 5 2 5 x -3-5 2 Σχήµα 2 Στιγµιότυπα Κίνησης του Ελεύθερα Αιωρούµενου ΡΣ, (a)προσανατολισµός βάσης και ιαµόρφωση βραχίονα, (b) Γωνιακές ταχύτητες βάσης και αρθρώσεων, (c) Ροπές Αρθρώσεων Καθώς το ΤΣ παραµένει σε σταθερή θέση, η βάση του ΡΣ περιστρέφεται αργά ενώ ο βραχίονας εκτελεί µια ταλαντωτική κίνηση µε τέτοιο τρόπο ώστε η στροφορµή του ΣΡ να παραµένει σταθερή Οι τροχιές καθώς και οι ρυθµοί των µεταβλητών σχηµατισµού, όπως φαίνονται στο Σχήµα 2β, είναι λείες κατά τη διάρκεια της κίνησης Επίσης η γωνία της πρώτης άρθρωσης αυξάνεται συνεχώς µε το χρόνο, κάτι το οποίο απαιτεί έναν ειδικό σχεδιασµό της άρθρωσης αυτής Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζονται και οι απαιτούµενες ροπές στις αρθρώσεις του βραχίονα, οι οποίες είναι µικρές και λείες, και µπορούν να εφαρµοστούν εύκολα από κινητήρες έτσι ώστε η παραπάνω κίνηση του ΣΡ να είναι εφικτή Για την πειραµατική επαλήθευση της µεθόδου, έχει κατασκευασθεί ένας επίπεδος διαστηµικός εξοµοιωτής, που αποτελείται από ένα τραπέζι από γρανίτη, Σχήµα 3α, και ένα ροµπότ που αιωρείται πάνω σε αυτό µέσω τριών αερο-εδράνων, Σχήµα 3β

Σχήµα 3 Τράπεζα από γρανίτη, Ροµπότ µε δύο βραχίονες αιωρούµενο πάνω στην τράπεζα 5 ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΟ ΧΩΡΟ Η παραπάνω µεθοδολογία µπορεί να επεκταθεί και σε τρισδιάστατη κίνηση ΡΣ χρησιµοποιώντας τις γενικές εξισώσεις κίνησης των ελεύθερα αιωρούµενων ΡΣ (Papadopoulos, 993) Στην παράγραφο αυτή γίνεται προσοµοίωση της κίνησης του ΡΣ του Σχήµατος 4α που έχει στην βάση προσαρτηµένο έναν ανθρωποµορφικό (RRR) βραχίονα Οι παράµετροι του ΡΣ παρουσιάζονται στον Πίνακα II ενώ η αρχική στροφορµή του ΡΣ είναι h CM =[ 3 3 ] T N ms Ο προσανατολισµός της βάσης περιγράφεται από τις παραµέτρους Euler, µε αρχικές τιµές e =[ 5 ] T, n = 75 ενώ η επιθυµητή θέση του ΤΣ είναι το σηµείο µε συντεταγµένες x E = 2m, y E = 5m,z E = 2m ΠΙΝΑΚΑΣ II ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΟΥ ΡΣ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ 3Α Σώµα l i (m) r i (m) m i (Kg) I xx (Kg m 2 ) I yy (Kg m 2 ) I zz (Kg m 2 ) - [,,5] T 4 6667 6667 6667 2 5 5 3 25 25 3 5 5 2 7 7 Σχήµα 4 Ελεύθερα Αιωρούµενο ΡΣ µε ανθρωποµορφικό βραχίονα Στιγµιότυπα κίνησης του ΡΣ του Σχήµατος 4α

Στο Σχήµα 4β φαίνονται στιγµιότυπα τις κίνησης του ΡΣ Παρατηρούµε ότι παρά την ύπαρξη της στροφορµής το ΤΣ παραµένει στο επιθυµητό σηµείο Στο Σχήµα 5α παρουσιάζεται o προσανατολισµός της βάσης, εκφρασµένος µε γωνίες Euler, καθώς και η διαµόρφωση του βραχίονα Στο Σχήµα 5β φαίνεται η γωνιακή ταχύτητα της βάσης και οι γωνιακές ταχύτητες των αρθρώσεων του βραχίονα -3-3 -3 x x x (a) 5 2 5 3 5 (a) x 5 y z 5 5 5-5 5 6 2 5 5 x -3-2 5 5 x -3 5 2 x -3 (b) q -5 5 q 2 4 2 5 q 3 3 4 5 5 (b) q -2 5 q 2-5 5 q 3-2 5 Σχήµα 5 (a) Προσανατολισµός βάσης και (b) διαµόρφωση βραχίονα, (a) γωνιακή ταχύτητα βάσης και (b) γωνιακές ταχύτητες αρθρώσεων βραχίονα 6 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία η αρχική στροφορµή του ΡΣ θεωρήθηκε µη µηδενική Στην περίπτωση αυτή καταρχήν το ΤΣ δεν µπορεί να παραµείνει σε σταθερό σηµείο του χώρου εργασίας Μελετήθηκαν οι κινηµατικοί και δυναµικοί περιορισµοί του συστήµατος, οι οποίοι δίνουν την περιοχή του χώρου εργασίας όπου το ΤΣ µπορεί να παραµείνει σταθερό για άπειρο χρόνο Η επαλήθευση της µεθοδολογίας έγινε µε προσοµοίωση ενός επίπεδου ΡΣ 5 βε καθώς και σε ένα τρισδιάστατο ΡΣ 9 βε 7 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Nanos, K, Papadopoulos, E (2), "On the Use of Free-floating Space Robots in the Presence of Angular momentum", IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, Montréal, Canada, July 6-9, pp 287292 Ogilvie, A, Allport, J, Hannah, M, and Lymer, J, (28), Autonomous Satellite Servicing Using the Orbital Express Demonstration Manipulator System, Proc of the 6th International Symposium on Artificial Intelligence, Robotics and Automation in Space, i-sairas, Hollywood, USA Papadopoulos, E, (993) Nonholonomic Behavior in Free-floating Space Manipulators and its Utilization, Chapter in Nonhonomic Motion Planning, Zexiang Li and J F Canny, Eds, Boston: Kluwer Academic, pp 423-445 Yoshida, K, Hashizume, K, and Abiko, S, (2), Zero Reaction Maneuver: Validation with ETS-VII Space Robot and Extension to Kinematically Redundant Arm, Proc IEEE International Conference on Robotics and Automation, Seoul, Korea, pp 44-446