ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΦΟΛΗ ΑΡΦΙΣΕΚΣΟΝΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΣΟΜΕΑ ΤΝΘΕΕΨΝ ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΑΙΦΜΗ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΔΟΜΙΚΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΣΕΦΝΙΚΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ (Αντοχή Τλικών) ημειώσεις Διαλέξεων Μαρίνος Καττής Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, 1
Περιεχόμενα 1 Η ΣΑΗ ΚΑΙ Η ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ... 1 1.1 ΕΙΑΓΨΓΗ... 1 1. H ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΣΑΠΟΝΗΗ ΣΗ ΡΑΒΔΟΤ... 1.3 Η ΟΡΘΗ ΣΑΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΜΗΣΙΚΗ ΣΑΗ... 1.4 Η ΔΙΑΜΗΚΗ (Ή ΟΡΘΗ) ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΜΗΣΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ... 5 1.5 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΣΑ ΣΑΕΨΝ ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΕΨΝ... 9 1.6 ΟΙ ΦΕΕΙ ΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΛΑΣΙΚΟΣΗΣΑ... 1 ΚΑΜΧΗ-ΔΙΑΣΜΗΗ... 1.1 ΕΙΑΓΨΓΗ... 1. ΑΠΛΗ ΚΑΜΧΗ... 1.3 ΔΙΠΛΗ ΚΑΜΧΗ... 9.4 ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΚΕΝΣΡΗ ΥΟΡΣΙΗ... 3.5 ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΥΟΡΣΙΗ ΚΑΙ ΔΙΠΛΗ ΚΑΜΧΗ... 31.6 ΠΤΡΗΝΑ ΔΙΑΣΟΜΗ... 3.7 ΔΙΑΣΜΗΗ... 34
1 1 Η ΣΑΗ ΚΑΙ Η ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ 1.1 ΕΙΑΓΨΓΗ Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων στηρίξεων, των δυνάμεων συνδέσμων και των φορτίων διατομής, που αναπτύσσονται σε ένα δομικό σύστημα, από ένα σύνολο εξωτερικών δράσεων, υποθέσαμε ότι τα μέλη του συστήματος συμπεριφέρονται ως απολύτως στερεά σώματα. Μια τέτοια υπόθεση διευκολύνει την μαθηματική ανάλυση των δομικών συστημάτων και παρέχει αποτελέσματα με ικανοποιητική ακρίβεια για μια συγκεκριμένη κατηγορία υλικών, που, για τις συνηθισμένες φορτίσεις, υφίστανται απειροστές παραμορφώσεις. την κατηγορία των υλικών αυτών, ανήκουν τα περισσότερα δομικά υλικά, που χρησιμοποιούμε στην πράξη. Οι αντιδράσεις στηρίξεων, οι δυνάμεις συνδέσμων και τα φορτία διατομής, περιγράφουν την εντατική κατάσταση του δομικού συστήματος και είναι ιδεατές οντότητες. Οντότητες, δηλαδή, που γίνονται αντιληπτές μόνο από τα αποτελέσματα που επιφέρουν, όταν αναπτύσσονται. Επομένως οι οντότητες αυτές, έμμεσα μόνο μπορούν να μετρηθούν. Παρακάτω, θα ορίσουμε δύο επιπλέον ποσότητες, την ορθή τάση και την διατμητική τάση, που αναπτύσσονται σε μια μικρή επιφάνεια του σώματος, προκειμένου να περιγράψουμε την εντατική κατάσταση, που αναπτύσσεται σε ένα σώμα. Αντίθετα, οι ποσότητες που περιγράφουν την παραμορφωσιακή κατάσταση του δομικού συστήματος, είναι ορατές οντότητες και μπορούν να μετρηθούν πειραματικά με άμεσο τρόπο. Οι ποσότητες αυτές είναι η μετατόπιση ενός υλικού σωματιδίου του σώματος, η διαμήκης (ή ορθή) παραμόρφωση, που υφίσταται μικρό ευθύγραμμο μήκος του σώματος, και η γωνιακή παραμόρφωση δύο
μικρών ευθύγραμμων τμημάτων του σώματος, που ξεκινούν από το ίδιο σημείο και τέμνονται κάθετα. 1. H ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΣΑΠΟΝΗΗ ΣΗ ΡΑΒΔΟΤ Θεωρούμε μια λεπτή ράβδο, της οποίας το αρχικό μήκος είναι l και το αρχικό εμβαδόν της διατομή A (χήμα 1.1). την ράβδο εφαρμόζονται χήμα 1.1 αξονικά δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις, των οποίων τα σημεία εφαρμογής είναι τα κέντρα βάρους των δύο ακραίων διατομών της. Προφανώς, η ράβδος, κάτω από την δράση των δύο αυτών δυνάμεων, βρίσκεται σε ισορροπία. Αν οι δυνάμεις εξέρχονται από την ράβδο, θα λέμε ότι η ράβδος εφελκύεται και ότι η εντατική κατάσταση, που αναπτύσσεται στην ράβδο, είναι εφελκυσμός. την περίπτωση αυτή, το μήκος της ράβδου αυξάνεται και η διατομή της μειώνεται (χήμα 1.1). Σα αντίθετα συμβαίνουν, αν οι δύο δυνάμεις εισέρχονται στην ράβδο. Θα λέμε, τότε, ότι η ράβδος θλίβεται και ότι η εντατική κατάσταση, που αναπτύσσεται στην ράβδο είναι θλίψη (χήμα 1.1). την συνέχεια, οι δύο παραπάνω καταστάσεις θα περιγράφονται με δύο δυνάμεις P, που εξέρχονται από τη ράβδο, όπου το P θα δηλώνει το αλγεβρικό μέγεθος των δύο δυνάμεων. Αν P, θα έχουμε εφελκυσμό, ενώ, αν P, θα έχουμε θλίψη (χήμα 1.). 1.3 Η ΟΡΘΗ ΣΑΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΜΗΣΙΚΗ ΣΑΗ χήμα 1. Η δράση των δύο δυνάμεων, που εφαρμόζονται στα κέντρα βάρη των ακραίων διατομών της ράβδου, προκαλεί μια ομογενή ένταση στη ράβδο, η οποία εμφανίζει μια τοπική διαταραχή στη γειτονιά των σημείων εφαρμογής. Με τον όρο ένταση εννοούμε τις επιπρόσθετες ατομικές δυνάμεις που αναπτύσσει η ράβδος, προκειμένου να αντισταθεί στην μεταβολή της γεωμετρίας της φυσική της κατάστασης, που προκαλείται από τις δυνάμεις που εξασκούνται σε αυτήν. Προκειμένου να αποκτήσουμε μια εικόνα των επιπρόσθετων αυτών ατομικών δυνάμεων, κάνουμε μία (νοητή) τομή στην φορτισμένη ράβδο, που είναι κάθετη στον άξονά της και μακριά από τις ακραίες διατομές της. Με την τομή αυτή, η ράβδος διαιρείται σε δύο τμήματα που δείχνεται στο χήμα 1.3. τα δύο
3 αυτά τμήματα της ράβδου, με ΔN, δηλώνουμε τις επιπρόσθετες ατομικές δυνάμεις, που αναπτύσσονται στα άτομα της ράβδου, που διαχωρίστηκαν με την τομή που έγινε. Οι δυνάμεις αυτές, σε τομές που βρίσκονται μακριά από τις ακραίες διατομές, μπορούμε να πούμε ότι γίνονται σχεδόν παράλληλες στις εξωτερικές δυνάμεις P. Έτσι, η δράση όλων αυτών των δυνάμεων μπορεί να αντικατασταθεί με μια μόνο δύναμη N ΔN i, που επενεργεί στο κέντρο βάρος της διατομής. Η δύναμη αυτή είναι γνωστή ως αξονική δύναμη. το χήμα 1.4 δείχνονται τα διαγράμματα ελεύθερου σώματος των δύο τμημάτων. Από την ισορροπία των δύο αυτών τμημάτων προκύπτει ότι N P. Η δράση των δυνάμεων ΔN, πάνω στην επιφάνεια της τομής, μπορεί να αντικατασταθεί με την i ορθή τάση, που ορίζεται με τη σχέση i χήμα 1.3 χήμα 1.4 N σ. (1.1) A Η ποσότητα αυτή αντικαθιστά με έναν συνεχή και ομοιόμορφο τρόπο την δράση των δυνάμεων ΔN i, που επενεργούν κάθετα στην επιφάνεια A της ράβδου και διανέμονται ασυνεχώς πάνω στην επιφάνεια αυτή (χήμα 1.5). Για τον ορισμό της ορθής τάσης έχουμε υποθέσει ότι η ύλη της δοκού διανέμεται συνεχώς στο χώρο που καταλαμβάνει ο όγκος της. Η υπόθεση της συνεχούς διανομής της ύλης αποτελεί την βάση ανάπτυξης της μηχανικής των υλικών. τον παραπάνω ορισμό της ορθής τάσης, χρησιμοποιήσαμε το εμβαδόν A της διατομής, που αντιστοιχεί στην αφόρτιστη κατάσταση της ράβδου, και όχι το εμβαδόν A της φορτισμένης κατάστασης, που θα ήταν η σωστή επιλογή. Μια τέτοια επιλογή, θα περιέπλεκε την μαθηματική ανάλυση, χωρίς κανένα πρακτικό όφελος, καθότι, για τις παραμορφώσεις των περισσοτέρων δομικών υλικών, που χρησιμοποιούνται στις κατασκευές, ισχύει χήμα 1.5 A A da, όποτε N N N σ. A A da A Θα ορίσουμε τώρα την διατμητική τάση κάνοντας μια πλάγια επίπεδη τομή στην ράβδο, στην ίδια θέση του άξονα. Η τομή αυτή θα ορίζεται με
4 την γωνία θ, που σχηματίζει η κάθετη στο επίπεδό της με τον άξονα της ράβδου. Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι το εμβαδόν A της πλάγιας αυτής θ τομής (χήμα 1.6) συνδέεται με το εμβαδόν της κάθετης τομής A με την σχέση χήμα 1.6 χήμα 1.7 A A. (1.) θ cosθ Η συνισταμένη των επιπρόσθετων ατομικών δυνάμεων, που αναπτύσσονται στα άτομα, των δύο τμημάτων της ράβδου, που διαχωρίζει η πλάγια τομή, θα είναι πάλι ίση με N( P). Αν αναλύσουμε την δύναμη N σε δύο κάθετες συνιστώσες κάθετη στην πλάγια τομή και την ισχύει N, N, με την θ s N να είναι θ N πάνω στην τομή (χήμα 1.7), θα s N N cosθ, N N sinθ. (1.3) θ s Αν οι συνιστώσες αυτές διανεμηθούν πάνω στην πλάγια τομή, τότε, σε σχέση με την πλάγια τομή διατμητική τάση τ θ με τις σχέσεις σ N N cosθ N n cos θ, θ A A / cosθ A θ A, ορίζουμε την ορθή τάση θ Ns N sinθ N 1 N τ sinθ cosθ sinθ. θ A A / cosθ A A θ σ και την θ Για θ στις παραπάνω σχέσεις, δηλαδή για την κάθετη τομή, προκύπτει N σ, τ θ θ A (1.4) δηλαδή, όπως αναμενόταν, παίρνουμε το αποτέλεσμα (1.1), που προέκυψε για την κάθετη τομή. Αν θέσουμε N σ σ, (1.5) θ A τότε, οι παραπάνω σχέσεις γράφονται σ σ cos θ θ 1, τ σ sinθ. (1.6) θ
5 Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει ότι η μέγιστη ορθή τάση συμβαίνει, όταν θ (cosθ 1) και έχει την τιμή maxσ θ σ. την διατομή της μέγιστης ορθής τάσης η διατμητική δύναμη είναι μηδέν. Η μέγιστη διατμητική τάση συμβαίνει, όταν θ 45 (sinθ 1) και είναι ίση με max σ τ. θ την διατομή της μέγιστης διατμητικής τάσης η ορθή τάση είναι ίση με σ σ θ. 45 1.4 Η ΔΙΑΜΗΚΗ (Ή ΟΡΘΗ) ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΜΗΣΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ Η διαμήκης (ή ορθή) παραμόρφωση Θεωρούμε την λεπτή ράβδο του χήματος 1.8, που έχει κυκλική διατομή και καταπονείται αξονικά με δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις P. Οι δύο δυνάμεις, που επιβάλλονται ταυτόχρονα στην ράβδο μέσω κάποιου εξωτερικού μηχανισμού, ξεκινούν από την μηδενική τους τιμή και φθάνουν στην τελική τους τιμή P με έναν συνεχή και αυξανόμενο τρόπο. Κατά την έναρξη της φόρτισης, το αρχικό μήκος της ράβδου ήταν l και η αρχική διάμετρος της διατομή της ήταν D, ενώ, κατά το τέλος της φόρτισης, το μήκος της ράβδου έγινε l και η διάμετρος D. Αν οι δυνάμεις P είναι εφελκυστικές, δηλαδή αν P, τότε η μεταβολή δl l l, που υφίσταται το μήκος της ράβδου, είναι θετική, ενώ η μεταβολή δd D D της διαμέτρου είναι αρνητική. Σα αντίθετα συμβαίνουν, αν οι δύο δυνάμεις είναι θλιπτικές, δηλαδή αν P. χήμα 1.8 Λόγω των δύο δυνάμεων, η ράβδος υπέστη μια μεταβολή στον όγκο της, επειδή μεταβλήθηκε το μήκος της και η διάμετρός της. Από την άλλη πλευρά, το κυλινδρικό της σχήμα παρέμεινε αμετάβλητο. Γενικά, όταν ένα στερεό σώμα υφίσταται, από κάποια αιτία, μεταβολή στον όγκο ή στο σχήμα του, θα λέμε ότι παραμορφώνεται, ή, διαφορετικά, ότι υφίσταται παραμόρφωση. την παραπάνω περίπτωση, η ράβδος, από τις δύο δυνάμεις, υπέστη μόνο παραμόρφωση όγκου. Η περιγραφή τέτοιων παραμορφώσεων γίνεται με την διαμήκη ( ή ορθή) παραμόρφωση ε και την
6 εγκάρσια παραμόρφωση ράβδο του χήματος 1.8, ορίζονται με τις σχέσεις ε. Η ποσότητες αυτές, αναφορικά με την d δl δd ε, ε (1.7) d l D όπου δl l l, δd D D. Οι ποσότητες αυτές είναι αδιάστατες και εκφράζουν τα ποσοστά μεταβολής του μήκους και της διαμέτρου της ράβδου, αντίστοιχα, σε σχέση με το αρχικές τους τιμές. την συνέχεια, θα συζητήσουμε ένα βασικό αποτέλεσμα, που σχετίζεται με την διαμήκη (ή ορθή) παραμόρφωση. Αν, από την προηγούμενη ράβδο, αποκόψουμε ένα τμήμα, μήκους l, και εφαρμόσουμε σε αυτό, με την ίδια διαδικασία, τις δύο δυνάμεις P, τότε η ορθή παραμόρφωση που για το τμήμα αυτό θα είναι δl ε ( δl l l ), (1.8) l όπου l είναι η μεταβολή του μήκους l. Αυτό που πειραματικά θα χήμα 1.9 διαπιστωθεί είναι ότι ε ε. Σο γεγονός αυτό μπορεί να ερμηνευθεί χρησιμοποιώντας το απλοποιημένο μοντέλο που δείχνεται στο χήμα 1.9. Η ράβδος του χήματος 1.9 είναι από κρυσταλλικό υλικό με την απλοποιημένη δομή που δείχνεται. Αν η ατομική απόσταση των ατόμων του κρυσταλλικού υλικού, στην απαραμόρφωτη κατάσταση, είναι a, και υπάρχουν n άτομα κατά μήκος της ράβδου, τότε, το μήκος της ράβδου θα είναι l ( n 1) a. Κατά την παραμόρφωση της ράβδου, όλες οι ατομικές αποστάσεις θα γίνουν a a δa, και συνεπώς το νέο μήκος της ράβδου θα γίνει l ( n 1) a. Λόγω της παραμόρφωσης, η μεταβολή του μήκους της ράβδου θα είναι δl l l ( n 1) a ( n 1) a ( n 1) δa. (1.9) υνεπώς, η ορθή παραμόρφωση θα είναι δl ( n 1) δa δa ε. (1.1) l ( n 1) a a
7 Σο αποτέλεσμα αυτό δείχνει ότι η ορθή παραμόρφωση της ράβδου είναι ανεξάρτητη από τον αριθμού των ατόμων, που είναι διανεμημένα κατά μήκος της. Σο παραπάνω αποτέλεσμα προϋποθέτει ότι οι μεταβολές των αποστάσεων μεταξύ των ατόμων, που βρίσκονται κατά μήκος της ράβδου, είναι όλες ίσες. Αν η ορθή τάση δεν είναι ομοιόμορφη κατά μήκος της ράβδου, η διαμήκης (ή ορθή) παραμόρφωση της ράβδου, θα πρέπει να ορισθεί σε σχέση με ένα απειροστό τμήμα της dl, με την σχέση δ ( dl ) ε, (1.11) dl όπου δ ( dl ) dl dl. Με dl δηλώνουμε το παραμορφωμένο μήκος του dl. (Σο χήμα 1.1 δείχνει τα στοιχεία της απαραμόρφωτης κατάστασης της ράβδου και το χήμα 1.11 τα αντίστοιχα στοιχεία στην παραμορφωμένη κατάσταση). Η παράμετρος l δηλώνει την απόσταση των διατομών της ράβδου από την αριστερή της διατομή. Για τον παραπάνω ορισμό της διαμήκους (ή ορθής) παραμόρφωσης, θεωρήσαμε ότι οι τάσεις σ σl () και σ ( l dl ) σ dσ στις διατομές του απειροστού στοιχείου της ράβδου, που αντιστοιχούν στις θέσεις l και l dl, είναι πρακτικά ίσες, δηλαδή σ ( l dl ) σl (). Η συνολική μεταβολή του μήκους της ράβδου θα είναι ίση με χήμα 1.1 L δl δ ( dl ), (1.1) από όπου, με βάση την (1.11), βρίσκουμε L δl εdl. (1.13) το σημείο αυτό, θα ορίσουμε την μετατόπιση u της διατομής της ράβδου στην θέση l, ως την μετακίνηση που υφίσταται η διατομή αυτή λόγω της παραμόρφωσης, θεωρώντας ότι η αρχική διατομή της ράβδου παραμένει αμετακίνητη κατά την παραμόρφωση. Η μετατόπιση θα είναι μια συνάρτηση της παραμέτρου l, δηλαδή u u() l. Αν η μετατόπιση στην χήμα 1.11
8 θέση l είναι ul ( ), και στην θέση l dl είναι u( l dl ) (χήμα 1.1), τότε, η μεταβολή του μήκους του απειροστού στοιχείου θα είναι δ ( dl ) u( l dl ) u( l ) du. (1.14) υνεπώς, με βάση την (1.11) θα έχουμε du ε. (1.15) dl χήμα 1.1 Η σχέση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της μετατόπισης μιας συγκεκριμένης διατομής της ράβδου, όταν είναι γνωστή, ως συνοριακή συνθήκη η μετατόπιση μιας συγκεκριμένης διατομής. Η διατμητική παραμόρφωση χήμα 1.13 χήμα 1.14 χήμα 1.15 Η διαμήκης (ή ορθή) παραμόρφωση περιγράφει την μεταβολή των διαστάσεων της ράβδου, που προκαλεί τη μεταβολή του όγκου της. Για να μελετήσουμε την μεταβολή του σχήματος ενός σώματος, λόγω της δράσης εξωτερικών δυνάμεων, θεωρούμε ένα στερεό σώμα σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου αρχικών διαστάσεων α, b και c (χήμα 1.13). Σο σώμα αυτό καταπονείται στην πάνω και κάτω του πλευρά, με μια ομοιόμορφη διανομή διατμητικών τάσεων τ, που εφαρμόζεται, όπως 1 δείχνεται στο χήμα 1.14. Η φόρτιση αυτή εξασφαλίζει την ισορροπία του σώματος κατά την διεύθυνση, που είναι παράλληλη στην ακμή α, επειδή οι δυνάμεις, που αντιστοιχούν στις διανομές αυτές των διατμητικών τάσεων, συνθέτουν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις μεγέθους τ ( ab ) 1 χήμα 1.14. Όμως, οι δύο αυτές δυνάμεις αποτελούν ένα ζεύγος δυνάμεων με ροπή ( τ ab) c, που τείνει να περιστρέψει το σώμα γύρω 1 από άξονα, που είναι παράλληλος στην ακμή b. Για να αποφευχθεί η στροφή εφαρμόζεται μια διανομή ομοιόμορφων τάσεων τ στις δύο κατακόρυφες έδρες του στοιχείου, όπως δείχνεται στο χήμα 1.15. Οι διανομές αυτές συνθέτουν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις μεγέθους τ ( bc ), που αποτελούν ένα ζεύγος δυνάμεων με μοχλοβραχίονα c. Η ροπή ζεύγους των δύο αυτών δυνάμεων είναι ίση με τ ( abc ). Για να μη περιστρέφεται το στοιχείο, θα πρέπει
9 από όπου, τ ( abc ) τ ( abc ) (1.16) 1 τ τ. (1.17) 1 Ας δούμε τώρα πως παραμορφώνεται το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο λόγω της δράσης των διατμητικών τάσεων τ τ. Λόγω των διατμητικών 1 αυτών τάσεων, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο θα παραμορφωθεί σε ένα πλάγιο παραλληλεπίπεδο, όπως αυτό που δείχνεται στο χήμα 1.16, όπου η ορθή γωνία των ακμών α και c θα μεταβληθεί σε οξεία γωνία, που θα την δηλώνουμε με θ. Ορίζουμε ως διατμητική παραμόρφωση γ των ακμών α και c του στοιχείου, την μεταβολή (σε ακτίνια), που υπέστη η αρχική ορθή γωνία τους, δηλαδή χήμα 1.16 π γ θ. (1.18) 1.5 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΣΑ ΣΑΕΨΝ ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΕΨΝ Η πειραματική δοκιμή του μονοαξονικού εφελκυσμού Θεωρούμε μία λεπτή ευθύγραμμη ράβδο μήκους l και κυκλική διατομής ακτίνας D. Η ράβδος στερεώνεται στο ένα της άκρο και εφελκύεται στο άλλο με μια δύναμη P, που αυξάνεται βαθμιαία και αργά από την μηδενική μέχρι την τελική της τιμή (χήμα 1.17). ε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων ε-σ σχεδιάζουμε την καμπύλη τάσεων παραμορφώσεων σ f () της ράβδου. ε μια τιμή της εφελκυστικής τάσης σ P / A, αντιστοιχεί η τιμή της διαμήκους παραμόρφωση ε Δ/ l, όπου A πd /4. Σο Δ είναι η αύξηση του μήκους της ράβδου, λόγω της δύναμης P. Για τα περισσότερα δομικά υλικά, μια τυπική μορφή της καμπύλης τάσεων παραμορφώσεων δείχνεται στο χήμα 1.18. Για ένα μαλακό χάλυβα, που αποτελεί ένα συνηθισμένο δομικό υλικό, το διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων δείχνεται στο χήμα 1.19. τα διαγράμματα αυτά διακρίνεται η ελαστική και η πλαστική περιοχή, που διαχωρίζονται με το όριο διαρροής (σημείο Τ της καμπύλης). Οι περιοχές αυτές χήμα 1.17
1 χήμα 1.18 χήμα 1.19 χήμα 1. αντιστοιχούν στην ελαστική και πλαστική κατάσταση της ράβδου. τον κλάδο της καμπύλης, που αντιστοιχεί στην ελαστική περιοχή (τμήμα ΟΤ) εμφανίζεται, συνήθως, ένα γραμμικό τμήμα OP, με άνω όριο το όριο αναλογίας σ. Σο μη γραμμικό τμήμα PΤ του κλάδου αυτού έχει ως άνω P όριο το όριο διαρροής σ. Σα όρια αυτά αποτελούν χαρακτηριστικές σταθερές του υλικού και προσδιορίζονται πειραματικά. Η θέση του ορίου διαρροής Τ, σε μια καμπύλη τάσεων παραμορφώσεων που έχει εξαχθεί πειραματικά, δεν είναι ένα σαφές σημείο. ε μία πειραματική καμπύλη, όπως αυτή του χήματος 1., ορίζουμε ως σημείο διαρροής Τ ένα σημείο του πλαστικού κλάδου της καμπύλης, που αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή λαμβάνεται ε. s ε της παραμένουσας παραμόρφωσης. υνήθως, s Αν η φόρτιση της ράβδου αντιστοιχεί σε ένα σημείο του ελαστικού κλάδου της καμπύλης, η βαθμιαία αποφόρτισή της ακολουθεί την αντίστροφη διαδρομή κατά μήκος του κλάδου αυτού (χήμα 1.). Αν η φόρτιση της ράβδου αντιστοιχεί σε ένα σημείο Μ του πλαστικού κλάδου της καμπύλης, η βαθμιαία αποφόρτιση της ράβδου ακολουθεί έναν νέο κλάδο ΜΝ, που είναι σχεδόν παράλληλος με τον γραμμικό κλάδο της ελαστικής περιοχής OP (χήμα 1.1). Όταν αφαιρεθεί η δύναμη, η ράβδος δεν επανακτά το αρχικό της μήκος. Μία μόνιμη παραμόρφωση εμφανίζεται στην ράβδο, την οποία ονομάζουμε παραμένουσα παραμόρφωση. Έτσι, την παραμόρφωση ε, που αντιστοιχεί σε ένα σημείο του πλαστικού κλάδου μπορούμε να την γράψουμε σαν ένα άθροισμα της παραμένουσας παραμόρφωσης ε P ε και της ελαστικής P παραμόρφωσης ε, που εξαφανίζεται όταν αποφορτισθεί η ράβδος. Έτσι e λοιπόν, έχουμε ε ε ε. (1.19) P e χήμα 1.1 Για τον μαλακό χάλυβα, ο πλαστικός κλάδος της καμπύλης τάσεων παραμορφώσεων φτάνει ένα τοπικό μέγιστο, στη συνέχεια πέφτει σε ένα τοπικό ελάχιστο, και αμέσως μετά, για ένα μικρό τμήμα, παρουσιάζει κάποιες μικρές διακυμάνσεις γύρω από μια γραμμή παράλληλη στον άξονα παραμόρφωσης (χήμα 1.3). Σο τοπικό μέγιστο (άνω όριο
11 διαρροής) αντιστοιχεί στην τάση σ και καλείται πλαστικό όριο του PL υλικού, ενώ το τοπικό ελάχιστο (κάτω όριο διαρροής) ορίζει το όριο διαρροής σ του μαλακού χάλυβα. Μετά τον κλάδο των χαρακτηριστικών διακυμάνσεων, ακολουθεί ένας ανερχόμενος κλάδος, που έχει τα κοίλα προς τα κάτω. τον κλάδο αυτό η καμπύλη φτάνει μια μέγιστη τιμή σ, που καλείται ολική αντοχή του υλικού. Η ολική αντοχή u σ εμφανίζεται και στο διάγραμμα του χήματος 1.. την περιοχή της u ολικής αντοχής σ το σώμα εμφανίζει μεγάλες μετατοπίσεις, που u επιφέρουν σημαντικές μεταβολές στις διαστάσεις του σώματος. Για παράδειγμα, στην ράβδο εμφανίζεται ένας λαιμός, σαν αποτέλεσμα της σημαντικής μείωσης της διατομής στην περιοχή αυτή. υνεπώς, για την περιοχή αυτή έχει μεγάλη σημασία, αν ο ορισμός της τάσης αναφέρεται στην αρχική διατομή A της ράβδου, ή στην τρέχουσα διατομή της Α. Μετά την μέγιστη τιμή σ, ο κλάδος της καμπύλης πέφτει σχετικά u γρήγορα μέχρι μία τιμή της τάσης που αντιστοιχεί στη θραύση της ράβδου (σημείο F). ε μια μεγάλη κατηγορία υλικών, η πλαστική περιοχή του διαγράμματος τάσεων παραμορφώσεων είναι σχετικά μικρή και θεωρείται πρακτικά αμελητέα (χήμα 1.4). Σο υλικά αυτά δεν παρουσιάζουν σημαντικές μεταβολές στις διαστάσεις τους, πριν την θραύση τους, η οποία συμβαίνει ξαφνικά, όταν η εξωτερική τάση φτάσει μια ορισμένη τιμή. Σα υλικά αυτά ονομάζονται ψαθυρά (π.χ., το γυαλί), ενώ τα υλικά, που παρουσιάζουν σημαντικό πλαστικό κλάδο ονομάζονται όλκιμα υλικά. χήμα 1. χήμα 1.3 Μοντελοποίηση των πειραματικών διαγραμμάτων Σα διαγράμματα τάσεων παραμορφώσεων, που αποκτώνται στο εργαστήριο από την δοκιμή του μονοαξονικού εφελκυσμού της ράβδου, αποτελούνται από ορισμένους κλάδους, οι οποίοι αντιπροσωπεύουν μια συγκεκριμένη συμπεριφορά του υλικού της ράβδου. Οι κλάδοι αυτοί είναι ο γραμμικός ελαστικός κλάδος, ο μη γραμμικός ελαστικός κλάδος και ο πλαστικός κλάδος. Για την διευκόλυνση της μαθηματικής ανάλυσης, κάνουμε ορισμένες εξιδανικεύσεις για τους κλάδους αυτούς, κατασκευάζοντας, έτσι, τα μοντέλα της καταστατικής συμπεριφοράς του χήμα 1.4
1 υλικού. Για παράδειγμα, ο κλάδος της καμπύλης, που αντιστοιχεί στην πλαστική περιοχή, συνήθως είναι μη γραμμικός και μπορεί να προσαρμοσθεί πάνω σε αυτόν μια γνωστή μαθηματική καμπύλη. Βέβαια, ο γραμμικός κλάδος της ελαστικής περιοχής δεν επιδέχεται παραπέρα απλοποίηση. χήμα 1.5 χήμα 1.6 την ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε δύο συγκεκριμένα μοντέλα καταστατικής συμπεριφοράς του δομικού χάλυβα, που αποτελούν την εξιδανίκευση του τυπικού διαγράμματος τάσεων - παραμορφώσεων, που αποκτιέται στο εργαστήριο. Σο τυπικό πειραματικό διάγραμμα τάσεων - παραμορφώσεων του χάλυβα και οι αντίστοιχες μοντελοποιήσεις τους δείχνονται στα χήματα (1.5), (1.6) και (1.7). το πρώτο μοντέλο (χήμα 1.6) ο πλαστικός κλάδος του τυπικού διαγράμματος έχει αντικατασταθεί με ένα γραμμικό κλάδο. Η γραμμικοποίηση του τμήματος αυτού δείχνεται με την διακεκομμένη γραμμή στο πραγματικό διάγραμμα του χήματος 1.5. Η τάση διαρροής σ στο μοντελοποιημένο διάγραμμα αντιστοιχεί στην τομή των δύο γραμμικών κλάδων του διαγράμματος. Μία απλοποιημένη μορφή του μοντελοποιημένου διαγράμματος 1.6, που χρησιμοποιείται στην πράξη, δείχνεται στο χήμα 1.7. 1.6 ΟΙ ΦΕΕΙ ΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΛΑΣΙΚΟΣΗΣΑ Σο μέτρο ελαστικότητας και ο λόγος του Poisson ε ένα διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων, την κλίση του ευθύγραμμου κλάδου της καμπύλης σ σ ( ε ) την δηλώνουμε με E ( tan ω) (χήμα 1.8). υνεπώς, η εξίσωση της ευθείας του γραμμικού αυτού κλάδου της καμπύλης είναι σ Eε. (1.) χήμα 1.7 Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως ο νόμος του Hooke για ισότροπα ελαστικά υλικά, και ο συντελεστής κλίσης E ως μέτρο ελαστικότητας. Σο μέτρο ελαστικότητας, όπως και η καμπύλη τάσεων-παραμορφώσεων, αποτελούν χαρακτηριστικά στοιχεία της συμπεριφοράς των υλικών, για
13 τις συγκεκριμένες συνθήκες, που προέκυψαν. Δηλαδή, για το ίδιο υλικό, κάτω από τις ίδιες συνθήκες εκτέλεσης δοκιμής, δύο διαφορετικά εργαστήρια θα παράγουν την ίδια καμπύλη τάσεων παραμορφώσεων και το ίδιο μέτρο ελαστικότητας. Μια δεύτερη ελαστική σταθερά του υλικού είναι ο λόγος του Poisson ν. Ο λόγος του Poisson ορίζεται σε σχέση με την δοκιμή εφελκυσμού μιας ράβδου, και περιγράφει την μείωση, που υφίσταται η διατομή της, όταν η ένταση στην ράβδο είναι γραμμικά ελαστική (χήμα 1.8). Αν η ράβδος, για παράδειγμα, έχει κυκλική διατομή, τότε, κατά τον εφελκυσμό, η αρχική της ακτίνα D θα μειωθεί και θα γίνει ίση με D. Η ποσότητα ε D D (1.1) d D χήμα 1.8 ορίζεται ως εγκάρσια παραμόρφωση της ράβδου. Η ποσότητα αυτή είναι συνάρτηση της διαμήκους (ή ορθής) παραμόρφωσης της ράβδου, που ορίζεται με την σχέση ε l l, (1.) l όπου l και l είναι το αρχικό και τελικό μήκος της ράβδου, αντίστοιχα. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην περιοχή της γραμμικής ελαστικότητας, δείχνεται πειραματικά ότι οι δύο αυτές παραμορφώσεις συνδέονται με μια σχέση της μορφής ε d ν, (1.3) ε όπου ν είναι μια σταθερά του υλικού της ράβδου, που είναι γνωστή ως ο λόγος του Poisson. Αποδεικνύεται ότι, για την ελαστική αυτή σταθερά, ισχύει 1 ν.5. (1.4) Τλικά, με αρνητικό λόγο του Poisson, δεν έχουν βρεθεί (ακόμα) στην φύση, παρόλο, που θεωρητικά προβλέπεται η ύπαρξή τους. Για την εφελκυόμενη ράβδο, αρνητικός λόγος του Poisson σημαίνει αύξηση της
14 διατομής της, ενώ αυξάνει το μήκος της. Πρόσφατα, στο εργαστήριο, έχουν παραχθεί υλικά με αρνητικό λόγο Poisson. ε ένα στοιχείο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, μια διανομή διατμητικών τάσεων τ, όπως αυτή που δείχνεται στο χήμα 1.9, οδηγεί σε μια παραμόρφωση του σχήματος του στοιχείου, που περιγράφεται με την γωνιακή παραμόρφωση γ. την περιοχή της γραμμικής ελαστικότητας, η σχέση μεταξύ των δύο αυτών ποσοτήτων έχει την μορφή τ Gγ, (1.5) όπου G είναι μια ελαστική παράμετρος, γνωστή ως μέτρο διάτμησης. Αποδεικνύεται ότι η σταθερά αυτή συνδέεται με τις δύο προηγούμενες με την σχέση χήμα 1.9 E G. (1.6) (1 ν ) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η πλήρης περιγραφή της γραμμικής ελαστικής συμπεριφοράς ενός υλικού μπορεί να γίνει μόνο με δύο ανεξάρτητες ελαστικές παραμέτρους. Ο γενικευμένος νόμος του Hooke Για την γενίκευση των παραπάνω, θα θεωρήσουμε ένα στερεό σώμα, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με απειροστές διαστάσεις, όπως αυτό που δείχνεται στο χήμα 1.3. Σο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι τοποθετημένο στο χώρο έτσι ώστε, η μια του κορυφή να είναι κεντραρισμένη σε ένα σημείο ( x,, ) και οι ακμές του να διευθύνονται παράλληλα στους θετικούς ημιάξονες του συστήματος συντεταγμένων. Έστω dx, d, d ότι είναι οι ακμές του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, που είναι παράλληλες στους άξονες x, και, χήμα 1.3 αντίστοιχα. Σις έδρες του παραλληλεπιπέδου αυτού θα τις δηλώνουμε με το όνομα του άξονα, ως προς το οποίο είναι κάθετες. Έτσι, στο άξονα x, αντιστοιχούν δύο έδρες του παραλληλογράμμου, που βρίσκονται η μία απέναντι από την άλλη. Η μία από αυτές αντιστοιχεί στην συντεταγμένη x και η άλλη στην συντεταγμένη x dx. Σην πρώτη θα την δηλώνουμε ως
15 έδρα x με την μικρότερη συντεταγμένη, και την δεύτερη ως έδρα x με την μεγαλύτερη συντεταγμένη. Αντίστοιχη ονοματολογία εισάγουμε και για τις υπόλοιπες έδρες του παραλληλογράμμου. Σην ονοματολογία αυτή θα την χρησιμοποιήσουμε για τον ορισμό των τάσεων, που επενεργούν στις έδρες του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και για την θετική τους προσήμανση. Ας θεωρήσουμε τώρα δύο ορθές και ίσες τάσεις, που επενεργούν στις δύο έδρες x του παραλληλογράμμου, έτσι ώστε να εξέρχονται από αυτό (χήμα 1.31). Γενικά, τις ορθές τάσεις θα τις δηλώνουμε με το ελληνικό γράμμα σ, που θα συνοδεύεται με έναν κάτω δείκτη, που θα δηλώνει την έδρα στην οποία επενεργεί. Έτσι, για τις δύο αυτές ορθές τάσεις, θα γράφουμε σ. Λόγω των ορθών αυτών τάσεων, που είναι θετικές x επειδή εξέρχονται από το σώμα, η ακμή dx αυξάνεται και γίνεται dx (>dx ), ενώ οι δύο άλλες d και d μειώνονται και γίνονται d ( d ) και d ( d ). Έτσι, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο παραμορφώνεται, παραμένοντας, όμως, ορθογώνιο με ακμές dx, d, d. Έτσι, έχουμε τις παρακάτω παραμορφώσεις για τις ακμές του στοιχείου χήμα 1.31 dx dx d d d d ε, ε, ε. (1.7) x dx d d Η πρώτη από αυτές είναι η διαμήκης παραμόρφωση του στοιχείου, που αναπτύσσεται στις ακμές του στοιχείου, που είναι παράλληλες στην ορθή τάση, που προκαλεί την παραμόρφωση του στοιχείου. Η παραμόρφωση αυτή συνδέεται με την ορθή τάση σ με τον νόμο του Hooke x σ x από όπου ε Eε, (1.8) σ x x. (1.9) x E Οι άλλες δύο είναι εγκάρσιες παραμορφώσεις του στοιχείου, που συνδέονται με την διαμήκη παραμόρφωση ε με τις σχέσεις x ε ε νε, x x νε. (1.3)
16 Παίρνοντας υπόψη την (1.8), οι παραπάνω σχέσεις γράφονται ε ν E σ, ε σ x x ν. (1.31) E την συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε τα παραπάνω αποτελέσματα για να γενικεύσουμε τον νόμο του Hooke στον τριδιάστατο χώρο, θεωρώντας την ταυτόχρονη επενέργεια τριών ορθών εφελκυστικών τάσεων σ, σ x και σ στις έδρες του στοιχείου (χήμα 1.3). (Σις τάσεις στο χήμα 1.3, για απλότητα θα τις παριστάνουμε με βέλη.) Θα θεωρήσουμε ότι η παραμόρφωση, που υφίσταται το στοιχείο, λόγω της ταυτόχρονης εφαρμογής των τριών ορθών τάσεων στις έδρες του, αποτελεί το αθροιστικό αποτέλεσμα τριών ξεχωριστών μονοδιάστατων καταστάσεων: της κατάστασης Ι, που αντιστοιχεί στην τάση σ, x της κατάστασης ΙΙ, που αντιστοιχεί στην τάση σ, και της κατάστασης ΙΙΙ, που αντιστοιχεί στην τάση σ. ύμφωνα με τα παραπάνω, οι παραμορφώσεις του στοιχείου, που αναπτύσσονται λόγω της σ, θα είναι x I σ x ε x E I ν I ν ε σ, ε σ (1.3) x x E E Ομοίως, για τις άλλες δύο μονοδιάστατες καταστάσεις, θα έχουμε II ν σ II II ν ε σ, ε, ε σ, (1.33) x E E E III ν III ν I ν ε σ, ε σ, ε σ. (1.34) x E E E Οι τελικές παραμορφώσεις του στοιχείου θα είναι χήμα 1.3 ε ε ε ε, I II III x x x x ε ε ε ε, (1.35) I II III ε ε ε ε. I II III Αντικαθιστώντας στις σχέσεις αυτές τις (1.33) - (1.35) προκύπτουν οι σχέσεις:
17 σ x ν ε ( σ σ ) x Ε Ε σ ν ε ( σ σ ) (1.36) x Ε Ε σ ν ε ( σ σ ) x Ε Ε Οι σχέσεις αυτές αποτελούν τον γενικευμένο νόμο του Hoοke για την παραμόρφωση του όγκου του απειροστού στοιχείου. Ας θεωρήσουμε τώρα μια διανομή διατμητικών τάσεων πάνω στις έδρες και του στοιχείου, όπως δείχνεται στο χήμα 1.33. Σα διατμητικές αυτές τάσεις θα τις δηλώνουμε με το ελληνικό γράμμα τ, που θα συνοδεύεται με δύο κάτω δείκτες. Ο πρώτος δείκτης θα δηλώνει την έδρα, πάνω στην οποία επενεργεί η τάση, ενώ ο δεύτερος την άξονα στον οποίο είναι παράλληλη. Έτσι, η τάση τ θα βρίσκεται στο επίπεδο και θα είναι παράλληλη στον άξονα. Ακόμα, μια διατμητική τάση είναι θετική, όταν επενεργεί στην έδρα του στοιχείου με την μεγαλύτερη συντεταγμένη και έχει την φορά του θετικού άξονα, προς τον οποίο είναι παράλληλη. ύμφωνα με όσα εκτέθηκαν προηγούμενα, οι διατμητικές τάσεις τ, που επενεργούν στις έδρες, θα πρέπει να είναι ίσες με τις τ, προκειμένου να διατηρείται η ισορροπία του στοιχείου, δηλαδή χήμα 1.33 τ τ. (1.37) Η συγκεκριμένη διανομή των διατμητικών τάσεων παραμορφώνει την ορθή γωνία των ακμών d και d σε μια οξεία γωνία θ, χωρίς να μεταβάλει τα μήκη τους. Η μεταβολή της γωνίας των δύο αυτών ακμών είναι η διατμητική παραμόρφωση γ, που ορίζεται με την σχέση γ π θ. (1.38) την περιοχή της γραμμικής ελαστικότητας, οι διατμητικές τάσεις τ ( τ ) συνδέονται με τη γωνιακή παραμόρφωση γ ( γ ) με την σχέση τ Gγ (1.39)
18 όπου G είναι το μέτρο διάτμησης. Με όμοιο τρόπο ορίζουμε τις διανομές των διατμητικών τάσεων τ ( τ ) και τ ( τ ) στις υπόλοιπες έδρες x x του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Για τις τάσεις αυτές προκύπτουν, με όμοιο τρόπο, οι παρακάτω σχέσεις τ x Gγ, τ Gγ, (1.4) x x x όπου γ ( γ ) και γ ( γ ) είναι οι αντίστοιχες γωνιακές x x x x παραμορφώσεις των τ ( τ ) και τ ( τ ). Οι σχέσεις (1.4) μαζί με x x τις σχέσεις (1.44) - (1.45) αποτελούν τον γενικευμένο νόμο του Hooke. x x x x H πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης Η ράβδος του χήματος 1.34, που έχει αρχικό μήκος l και διατομή A, χήμα 1.34 είναι στερεωμένη στο ένα της άκρο και εφελκύεται αξονικά στο άλλο, με μία δύναμη P. Η δύναμη P, που έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο βάρους της ακραίας διατομής, εφαρμόζεται αυξητικά και με αργό ρυθμό, μέχρι την τελική της τιμή. το στερεωμένο άκρο της ράβδου, που δεν υποχωρεί κατά την εφαρμογή της δύναμης, αναπτύσσεται ως αντίδραση μια ίση και αντίθετη αξονική δύναμη P. Αν Δ είναι η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης P, τότε η καμπύλη P P(Δ) δείχνεται στο χήμα 1.35. ε κάθε τιμή της δύναμης P, αντιστοιχεί μια τάση σ P A / και μια παραμόρφωση ε Δ/ l. Η γραφική παράσταση των τάσεων σ P / A συναρτήσει των παραμορφώσεων ε Δ/ l, αποτελεί την καταστατική σχέση σ σ ( ε ), που συζητήσαμε προηγούμενα (χήμα 1.36). Ας δούμε τώρα, ποιο είναι το έργο που κάνει η δύναμη, που εφαρμόζεται στην ράβδο, καθώς αυξάνει από το μηδέν μέχρι την τελική της τιμή. Όταν η δύναμη έχει μια τιμή P, για μια απειροστή μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της, η αύξηση στο έργο, που εκτελεί η δύναμη, είναι χήμα 1.35 dw PdΔ. (1.41) Σο στοιχειώδες αυτό έργο δείχνεται με την διαγραμμισμένη επιφάνεια στο χήμα 1.35. ύμφωνα με τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής, το έργο, που εκτελεί η δύναμη P, αποθηκεύεται στην ράβδο ως ενέργεια
19 παραμόρφωσης, υπό την προϋπόθεση ότι οι θερμοκρασιακές μεταβολές, που λαμβάνουν χώρα στην ράβδο κατά την διάρκεια παραμόρφωσής της, είναι αμελητέες. Αυτό μπορεί να εκφρασθεί με την σχέση du dw, (1.4) όπου U δηλώνει την ενέργεια παραμόρφωσης που αποθηκεύεται στο σώμα. Είναι προφανές, ότι, κατά την αύξηση της δύναμης από την αρχική μηδενική της τιμή μέχρι την τελική της τιμή P, η ολική ενέργεια παραμόρφωσης, που αποθηκεύεται στην ράβδο, υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα χήμα 1.36 Δ U P (Δ) dδ. (1.43) Θα ορίσουμε τώρα την πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης της ράβδου, που είναι μια ποσότητα αντίστοιχη της πυκνότητας μάζας της ράβδου. Επειδή στην ράβδο επικρατεί μια ομογενής κατάσταση τάσεων και παραμορφώσεων, θα ορίσουμε την ποσότητα με την σχέση U u= (1.44) V όπου V A l είναι ο όγκος της ράβδου. Φρησιμοποιώντας την (1.44) και τις σχέσεις ε Δ/ l, σ P / A, από την παραπάνω σχέση παίρνουμε: χήμα 1.37 Δ ε U P(Δ) Δ u d ( ) σdε V A l (1.45) Η σχέση αυτή δείχνει ότι η πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης της ράβδου ισούται με το εμβαδόν της επιφάνειας, που βρίσκεται μεταξύ της καμπύλης τάσεων - παραμορφώσεων σ σ ( ε ) και του άξονα παραμορφώσεων (διαγραμμισμένη επιφάνεια στο χήμα 1.37). Για την γραμμική ελαστικότητα, όπου ισχύει σ Eε, η παραπάνω σχέση παρέχει 1 u σdεu Eεdε Eε ε ε (1.46)
από όπου 1 u σε. (1.47)
1 ΚΑΜΧΗ-ΔΙΑΣΜΗΗ.1 ΕΙΑΓΨΓΗ το κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουμε τις βασικές εξισώσεις, που διέπουν την τεχνική θεωρία κάμψης και διάτμησης. Η παρουσίαση της τεχνικής θεωρίας κάμψης θα ξεκινήσει με την συζήτηση της καμπτικής συμπεριφοράς μιας δοκού, που βρίσκεται σε καθαρή κάμψη, από όπου θα προκύψουν οι βασικές παραδοχές της τεχνικής θεωρίας κάμψης. Θα αναπτυχθούν πρώτα οι βασικές εξισώσεις, που περιγράφουν την εντατική και παραμορφωσιακή κατάσταση μιας δοκού με ένα διαμήκες επίπεδο συμμετρίας, που αποτελεί και το επίπεδο φόρτισης της δοκού (απλή κάμψη). τη συνέχεια, οι εξισώσεις αυτές θα γενικευθούν για την περίπτωση, που η δοκός καταπονείται σε δύο άξονες μέ ή χωρίς αξονική δύναμη. Η θεωρία της διάτμησης θα αναπτυχθεί για την περίπτωση της συμμετρικής δοκού.. ΑΠΛΗ ΚΑΜΧΗ Καθαρή κάμψη Η περίπτωση της καθαρής κάμψης μιας δοκού θα συζητηθεί, με βάση την αμφιέρειστη δοκό, που δείχνεται στο χήμα.1. Η δοκός είναι τοποθετημένη οριζόντια και καταπονείται με δύο κατακόρυφες και ίσες δυνάμεις μεγέθους P. Σο κατακόρυφο επίπεδο, που περιέχει τις δύο δυνάμεις, διέρχεται από τον άξονα της δοκού και αποτελεί επίπεδο συμμετρίας της. Οι δυνάμεις ισαπέχουν από τις στηρίξεις μια απόσταση α, όπως δείχνεται στο χήμα.1. χήμα.1
χήμα. Η επιλογή της συγκεκριμένης φόρτισης έγινε, γιατί στην περιοχή της δοκού, που βρίσκεται μεταξύ των δύο δυνάμεων, αναπτύσσεται μια εντατική κατάσταση καθαρής κάμψης. Δηλαδή, σε κάθε διατομή της περιοχής αυτής, αναπτύσσεται μόνο καμπτική ροπή, χωρίς την παρουσία διατμητικής και αξονικής δύναμης. Πράγματι, κάνοντας μια κάθετη τομή στην δοκό στην περιοχή αυτή και κατασκευάζοντας το ΔΕ του αποκομμένου αριστερού τμήματος της δοκού (βλέπε, χήμα.), από τις συνθήκες ισορροπίας προκύπτει ότι M Pa, V, N. Για να περιγράψουμε την καμπτική παραμόρφωσης της δοκού, θα θεωρήσουμε την δοκό ότι συντίθεται από ίνες παράλληλες στον άξονά της, που σχηματίζονται από υλικά σωματίδια. Οι ίνες αυτές συμπεριφέρονται ως ράβδοι με διατομή da, που παραλαμβάνουν μόνο αξονικές δυνάμεις. Επίσης, οι ίνες, πέρα από την μεταβολή του μήκους τους, υφίστανται και μια καμπύλωση. την περιοχή της δοκού, που βρίσκεται μεταξύ των δύο δυνάμεων, κατά την παραμόρφωση, παρατηρούμε τα εξής: χήμα.3 Οι διατομές της περιοχής αυτής, μετά την παραμόρφωση, παραμένουν επίπεδες και κάθετες στον παραμορφωμένο άξονα της δοκού. Οι ίνες της περιοχής αυτής, που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο της δοκού, επιδεικνύουν την ίδια παραμορφωσιακή συμπεριφορά. (Τπενθυμίζουμε ότι η δοκός, που εξετάζουμε, είναι τοποθετημένη οριζόντια.) Οι παραμορφωμένες ίνες της περιοχής αυτής, που βρίσκονται σε ένα κατακόρυφο επίπεδο παράλληλο του διαμήκους επιπέδου συμμετρίας της δοκού, αποτελούν τόξα ομόκεντρων κυκλικών περιφερειών (χήμα.3). Η μεταβολή του ύψους της δοκού λόγω παραμόρφωσης, στην περιοχή αυτή, είναι αμελητέα. Από τις παραπάνω παρατηρήσεις, προκύπτουν οι βασικές υποθέσεις μιας τεχνικής θεωρίας κάμψης δομικών που παρουσιάζεται παρακάτω.
3 Οι βασικές υποθέσεις της τεχνικής θεωρίας κάμψης Για την ανάπτυξη μιας τεχνικής θεωρίας, που θα περιγράφει την εντατική και παραμορφωσιακή κατάσταση μιας δοκού, που βρίσκεται υπό κάμψη, εισάγουμε τις παρακάτω υποθέσεις: 1. Η δοκός κατέχει ένα διαμήκες επίπεδο συμμετρίας. Οι φορτίσεις και οι στηρίξεις της δοκού είναι συμμετρικά τοποθετημένες ως προς το επίπεδο αυτό, που θα το ονομάζουμε επίπεδο κάμψης (χήμα.). την δοκό υπάρχει ένα σύνολο διαμήκων ινών, που, κατά την παραμόρφωση, καμπυλώνονται, χωρίς να μεταβάλλουν το μήκος τους. Οι ίνες αυτές σχηματίζουν ένα επίπεδο, που είναι κάθετο στο επίπεδο κάμψης και θα το ονομάζουμε ουδέτερο επίπεδο. Σην τομή του επιπέδου κάμψης με το ουδέτερο επίπεδο θα την ονομάζουμε καμπτικό άξονας της δοκού. 3. Οι επίπεδες διατομές της δοκού, που είναι κάθετες στον καμπτικό της άξονα πριν την παραμόρφωση, παραμένουν επίπεδες και κάθετες στον παραμορφωμένο καμπτικό άξονα και μετά την παραμόρφωση. 4. Οι ορθές παραμορφώσεις, που αναπτύσσονται πάνω στα επίπεδα των διατομών της δοκού, είναι αμελητέες συγκρινόμενες με τις παραμορφώσεις που αναπτύσσονται κάθετα στα επίπεδα των διατομών της. χήμα.
4 Η καμπτική παραμόρφωση της δοκού Για την ανάλυση της καμπτικής παραμόρφωσης της δοκού, εισάγουμε ένα σταθερό Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ( x,, ), του οποίου η αρχή είναι τοποθετημένη στην ακραία αριστερή διατομή της δοκού, ο άξονας x ταυτίζεται με τον καμπτικό άξονά της, και ο άξονας βρίσκεται πάνω στο επίπεδο κάμψης κατευθυνόμενος προς την κάτω πλευρά της (χήμα.). Από τις υποθέσεις 1 και 4, που διατυπώθηκαν προηγούμενα, συμπεραίνουμε ότι οι ίνες, που βρίσκονται πάνω σε ένα επίπεδο παράλληλο του επιπέδου κάμψης της δοκού, επιδεικνύουν την ίδια συμπεριφορά με τις αντίστοιχες ίνες του επιπέδου κάμψης. Ψς αντίστοιχες ίνες θεωρούνται εκείνες που απέχουν ίση απόσταση από το ουδέτερο επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι η καμπτική παραμόρφωση της δοκού είναι ανεξάρτητη της συντεταγμένης, και επομένως, μπορεί να περιγραφεί, πλήρως, από την παραμόρφωση των ινών που βρίσκονται πάνω στο επίπεδο κάμψης. Ο καμπτικός άξονας της δοκού, μετά την παραμόρφωση, καμπυλώνεται, χωρίς να μεταβάλλεται το μήκος του. Η καμπύλη αυτή θα ονομάζεται ελαστική καμπύλη της δοκού και θα βρίσκεται πάνω στο επίπεδο κάμψης. Η περιγραφή της καμπύλης αυτής θα γίνει ως προς τους άξονεςx και v, όπου ο άξονας v συμπίπτει με τον άξονα. Θεωρούμε ένα υλικό σωματίδιο του καμπτικού άξονα της δοκού, το οποίο, πριν την παραμόρφωση, βρίσκεται στην θέση x (χήμα.5). Έστω P το σημείο του καμπτικού άξονα, που αντιστοιχεί στην θέση αυτή. Κατά την παραμόρφωση της δοκού, το υλικό σωματίδιο θα μετατοπισθεί κατά v( x ), κάθετα στον άξονα x και πάνω στο επίπεδο κάμψης της δοκού καταλαμβάνοντας την θέση του σημείου P. Αν, στο σημείο P της καμπύλης v( x ), φέρουμε την εφαπτομένη της, τότε, η γωνία θ, που σχηματίζει η εφαπτομένη αυτή με τον άξονα x, παρέχεται από την σχέση χήμα.5 dv tanθ. (.1) dx Επειδή η γωνία αυτή είναι μικρή, μπορούμε να γράψουμε
5 dv θ tanθ. (.) dx Θεωρούμε τώρα το σημείο Q της καμπύλης, που είναι η μετατοπισμένη θέση ενός άλλου υλικού σωματιδίου του καμπτικού άξονα, που βρίσκεται στην θέση x dx και αντιστοιχεί στο σημείο Q (χήμα.6). Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο Q σχηματίζει με τον άξονα x μια γωνία ίση με θ( x dx ) θ( x ) dθ. (.3) Σο τόξο PQ, που έχει ένα μήκος ίσο με ds, είναι το παραμορφωμένο τμήμα PQ του καμπτικού άξονα. Σο μήκος του PQ είναι ίσο με dx ( ). Επειδή ο καμπτικός άξονας καμπυλώνεται, χωρίς να μεταβάλλεται το μήκος του, ισχύει P Q dx. (.4) Αν, στα σημεία P και Q, φέρουμε τις καθέτους στην καμπύλη, αυτές θα τμηθούν σε ένα σημείο O του καμπτικού επιπέδου σχηματίζοντας μια γωνία dθ. Επειδή τα σημεία P και Q βρίσκονται σε απειροστή απόσταση μεταξύ τους, μπορούμε να πούμε ότι OP OQ ρ, και επομένως το τόξο PQ ταυτίζεται με κυκλικό τόξο. Σο μήκος ds dx του τόξου PQ παρέχεται από την σχέση ds ρ dθ. (.5) ημειώνουμε ότι, αν dθ, η καμπύλη έχει τα κοίλα της στραμμένα στον άξονα x, με αποτέλεσμα, το σημείο O να βρίσκεται προς την πλευρά του αρνητικού άξονα v και το ρ θα θεωρείτε αρνητικό. Σότε, dθ dθ, ρ ρ και ds ρdθ. Αν dθ, τότε, το σημείο O βρίσκεται προς την πλευρά του θετικού άξονα v και το ρ θα είναι θετικό. ε κάθε περίπτωση, ισχύει η σχέση χήμα.6 ds ρdθ. (.6) Από την σχέση αυτή, παίρνοντας υπόψη την (.) βρίσκουμε dθ d v κ dx dx, (.7)
6 όπου, έχουμε εισάγει την ποσότητα 1 κ, (.8) ρ που ορίζει την καμπυλότητα της καμπύλης στην θέση x. Η ορθή παραμόρφωση της δοκού σαν συνάρτηση της καμπυλότητας χήμα.7 Θεωρούμε ένα απειροστό τμήμα της δοκού, που, στην απαραμόρφωτη κατάστασή της δοκού, περιορίζεται μεταξύ των διατομών της x και x dx (χήμα.7). Πάνω στο επίπεδο κάμψης της δοκού, οι δύο αυτές διατομές αντιπροσωπεύονται με τα ευθύγραμμα τμήματα AB, CD, στην απαραμόρφωτη κατάσταση (χήμα.7), και με τα τμήματα AB,CD στην παραμορφωμένη κατάσταση (χήμα.8). το απειροστό αυτό τμήμα, ο απαραμόρφωτος καμπτικός άξονας δείχνεται με το ευθύγραμμο τμήμα PQ, και ο παραμορφωμένος, με το ευθύγραμμο τμήμα PQ. Όπως είπαμε παραπάνω, το τμήμα PQ αποτελεί τμήμα της καμπύλης v( x ) με μήκος ds, που δίνεται με την σχέση (.6). ύμφωνα με την υπόθεση 3, τα τμήματα AB,CD είναι κάθετα στον παραμορφωμένο άξονα της δοκού, και συνεπώς, οι προεκτάσεις τους διέρχονται από το O. την απαραμόρφωτη κατάσταση της δοκού, έστω μια ίνα EF του απειροστού στοιχείου πάνω στο επίπεδο κάμψης, που απέχει μια απόσταση από τον καμπτικό άξονα. Προφανώς, EF dx την παραμορφωμένη κατάσταση, η ίνα αυτή θα αντιπροσωπεύεται με το τόξο E F ds, που θα βρίσκεται σε μια απόσταση από τον καμπυλωμένο τμήμα του καμπτικού άξονα. Επειδή η δοκός δεν παραμορφώνεται κατά την εγκάρσια διεύθυνση (υπόθεση 4), θα ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι το EF είναι τόξο κυκλικής περιφέρειας ακτίνας OE OF ( ρ). χήμα.8 Κατά την παραμόρφωση της δοκού, η ίνα EF ( dx ), που έχει μήκος dx, πέρα από την καμπύλωση που υφίσταται, μεταβάλλει και το μήκος της, που γίνεται ίσο με E F ds ( ρ ) dθ. υνεπώς, η διαμήκης (ορθή) παραμόρφωση της ίνας αυτής θα είναι
7 E F EF ds dx ε. (.9) EF dx Επειδή ds ( ρ ) dθ, από την σχέση αυτή έχουμε από όπου ( ρ ) dθ ( ρdθ ) ε κ, (.1) ( ρdθ ) ε κ. (.11) Η σχέση αυτή δείχνει ότι, σε μια διατομή της δοκού οι ορθές παραμορφώσεις των ινών είναι ανάλογες της καμπυλότητας του καμπτικού άξονα στην θέση της διατομής και μεταβάλλονται γραμμικά στο ύψος της δοκού. Από την (.11) και από τον νόμο του Hooke σ Eε, οι τάσεις που αναπτύσσονται στην ίνα, που απέχει απόσταση, από το ουδέτερο επίπεδο, θα είναι σ Eε Eκ, (.1) όπου E είναι το μέτρο ελαστικότητας της δοκού. Η σχέση ορθών τάσεων και καμπτικής ροπής ε μια διατομή της δοκού, η ορθή τάση, που αναπτύσσεται σε μια ίνα, διανέμεται ομοιόμορφα στην απειροστή διατομή της, που έχει εμβαδόν da (χήμα.9). Η δύναμη, που καταπονεί την ίνα, είναι κάθετη στην διατομή και ίση με df σda. (.1) Η συνισταμένη των στοιχειωδών δυνάμεων df όλων των ινών, που διέρχονται από την διατομή, θα πρέπει να είναι μηδενική, καθότι δεν υπάρχει αξονική δύναμη Ν στην διατομή. Έτσι έχουμε χήμα.9 df σda. (.13) A A Από την παραπάνω σχέση και την (.1), προκύπτει σda ( Eκ ) da Eκ da, (.14) A A A
8 από όπου da. (.15) A Η σχέση αυτή υπαγορεύει ότι ο καμπτικός άξονας της δοκού, που συμπίπτει με τον άξονα x, διέρχεται από τα κέντρα βάρους των διατομών. Αυτό σημαίνει ότι, ο κεντροβαρικός άξονας της δοκού συμπίπτει με τον καμπτικό άξονα. Επίσης, η στοιχειώδης δύναμη df, που καταπονεί την ίνα, που απέχει από το ουδέτερο επίπεδο, προξενεί μια ροπή γύρω από τον άξονα ίση με dm df ( EκdA) Eκ da F. (.16) Η συνολική ροπή των στοιχειωδών ροπών όλων των ινών θα πρέπει να είναι ίση με την καμπτική ροπή, που επενεργεί στη διατομή της διατομής, δηλαδή, (.17) M dm ( Eκ ) da Eκ da F A A A από όπου προκύπτει M EIκ. (.18) την σχέση αυτή, η ποσότητα I, που ορίζεται με την σχέση I da, (.19) A αντιπροσωπεύει την ροπή αδράνειας της διατομής ως προς τον άξονα. Από τις (.1) και (.), προκύπτει η σχέση M σ. (.) I Η σχέση αυτή παρέχει τις ορθές τάσεις πάνω στην διατομή, που βρίσκεται στην θέση x, όταν είναι γνωστή η καμπτική ροπή M( x ), που επενεργεί σε αυτήν.
9.3 ΔΙΠΛΗ ΚΑΜΧΗ Σα προηγούμενα αποτελέσματα αφορούσαν μια συμμετρική δοκό, της οποίας το επίπεδο φόρτισης ταυτιζόταν με το διαμήκες επίπεδο συμμετρίας της. τη συνέχεια, τα αποτελέσματα αυτά θα γενικευτούν για την περίπτωση που η δοκός κατέχει ένα διαμήκες επίπεδο συμμετρίας, που δεν συμπίπτει με το επίπεδο φόρτισής της. Η περίπτωση αυτή είναι γνωστή ως λοξή κάμψη, η οποία όπως θα δούμε, μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα, δύο απλών κάμψεων. Για να αποφύγουμε την προσήμανση της καμπτικής ροπής με την ίνα αναφοράς, εισάγουμε μια νέα προσήμανση της καμπτικής ροπής ως προς τους άξονες του συστήματος συντεταγμένων. Για την περίπτωση που το επίπεδο φόρτισης της δοκού συμπίπτει με το διαμήκες επίπεδο συμμετρίας, που είναι το επίπεδο x, η θετική καμπτική ροπή θα έχει τη διεύθυνση του καμπτικού άξονα (χήμα.1). Δηλώνοντας την καμπτική ροπή με M χρησιμοποιώντας την νέα προσήμανση, η σχέση (.) γράφεται και χήμα.1 σ M. (.1) I Αν, τώρα, το επίπεδο της παραπάνω συμμετρικής δοκού συμπίπτει με το επίπεδο x, τότε το επίπεδο αυτό θα είναι και το επίπεδο κάμψης της. Αν δηλώσουμε την καμπτική ροπή, που επενεργεί στο επίπεδο x, με M, και ορίσουμε την θετική της κατεύθυνση αυτή του άξονα, τότε οι τάσεις, για την περίπτωση αυτή, παρέχονται με τη σχέση M σ. (.) I Αν τώρα το επίπεδο φόρτισης της δοκού είναι πλάγιο, διέρχεται, δηλαδή, μόνο από τον άξονα της δοκού, τότε, η καμπτική ροπή Μ, που θα αναπτυχθεί, θα επενεργεί πάνω σε αυτό το επίπεδο, που αποτελεί και το επίπεδο κάμψης της δοκού. Αν σε μια διατομή αναλύσουμε την ροπή M της διατομής σε δύο συνιστώσες M και M αναφορικά με τους άξονες και, αντίστοιχα (χήμα.11), η ορθή τάση που αναπτύσσεται στην διατομή θα είναι χήμα.11
3 M M I I. (.3) σ Η σχέση αυτή προκύπτει από την επαλληλία δυο ξεχωριστών καταστάσεων φόρτισης: από μια φόρτιση που εφαρμόζεται πάνω στο επίπεδο x και παράγει την ροπή M, και από μία φόρτιση που εφαρμόζεται πάνω στο επίπεδο x και παράγει την ροπή M. Οι δύο αυτές ξεχωριστές φορτίσεις προκύπτουν από την ανάλυση της φόρτισης της δοκού πάνω στα επίπεδα x και x. Για να είναι επιτρεπτή η επαλληλία των δύο αυτών φορτίσεων, θα πρέπει οι σχέσεις τάσεων παραμορφώσεων να είναι γραμμικές..4 ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΚΕΝΣΡΗ ΥΟΡΣΙΗ χήμα.1 Η δοκός του χήματος.1 φορτίζεται με μια δύναμη P, που εφαρμόζεται κάθετα στην αριστερή ακραία διατομή της, στην θέση του κέντρου βάρους της. Θα λέμε τότε ότι η δύναμη P εφαρμόζεται κεντρικά στην δοκό, ή ότι η φόρτιση είναι κεντρική. ε κάθε διατομή, η δοκός καταπονείται με μια αξονική δύναμη N( P), που παράγεται από μια ομοιόμορφη διανομή ορθών τάσεων, που αναπτύσσεται πάνω στην διατομή. Η ομοιόμορφη αυτή διανομή των ορθών τάσεων παρέχεται από την σχέση N σ (.4) A όπου A είναι το εμβαδόν της διατομής. χήμα.13 Έστω, τώρα, ότι η δύναμη P δεν επενεργεί στο κέντρο βάρους της ακραίας διατομής, αλλά σε ένα σημείο της, που βρίσκεται πάνω στον άξονα και σε μια απόσταση e από το κέντρο βάρους της, όπου είναι ο άξονας συμμετρίας της διατομής. Θα λέμε τότε ότι η δύναμη P εφαρμόζεται έκκεντρα στην δοκό με εκκεντρότητα e, ή ότι ή φόρτιση είναι έκκεντρη (χήμα.13). Αν, σε κάποια θέση του άξονα της δοκού, κάνουμε μια εγκάρσια τομή, η ισορροπία του αριστερού αποκομμένου τμήματος της δοκού εξασφαλίζεται, αν τοποθετήσουμε στην διατομή μια δύναμη N P, που θα βρίσκεται πάνω στο επίπεδο x και σε μια
31 απόσταση e από τον άξονα x. Σην δύναμη N μπορούμε να την μετακινήσουμε παράλληλα στον εαυτόν της και να την τοποθετήσουμε στο κέντρο βάρους της διατομής εφαρμόζοντας μια ροπή ζεύγους M e N. Έτσι, η διατομή καταπονείται από μια κεντρική δύναμη N και από μια καμπτική ροπή M en. Οι ορθές τάσεις στην διατομή, που προκύπτουν από την επαλληλία των δύο αυτών εντατικών μεγεθών, θα είναι N en σ A I. (.5) Αν η δύναμη P, που εφαρμόζεται στην ακραία διατομή της δοκού είναι παράλληλη στον άξονα της δοκού, και απέχει αποστάσεις e και e από τους κύριους άξονες και της διατομής, τότε στην διατομή αναπτύσσεται μια αξονική δύναμη N P που εφαρμόζεται στο σημείο ( e, e ) της διατομής (χήμα.14). Σην δύναμη αυτή μπορούμε να την μετακινήσουμε παράλληλα στο εαυτόν της και να την τοποθετήσουμε στο κέντρο βάρους της διατομής προσθέτοντας τις ροπές M e N, χήμα.14 M e N. την περίπτωση αυτή στην διατομή συνυπάρχει μια κεντρική φόρτιση και μια διπλή κάμψη. Από την επαλληλία των δύο αυτών φορτίσεων, προκύπτουν οι ορθές τάσεις στην διατομή στην μορφή N en en. (.6) A I I σ.5 ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΥΟΡΣΙΗ ΚΑΙ ΔΙΠΛΗ ΚΑΜΧΗ Αν η διατομή μιας δοκού καταπονείται ταυτόχρονα από μια κεντρική αξονική δύναμη N και από τις καμπτικές ροπές M, M (χήμα.15), όπου οι άξονες και είναι κύριοι κεντροβατικοί άξονες της διατομής, τότε οι ορθές τάσεις της διατομής παρέχονται από την σχέση N M M. (.7) A I I σ χήμα.15
3 Η σχέση αυτή δείχνει ότι οι ορθές τάσεις είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων και. Θα κάνουμε τώρα την γραφική παράσταση της συνάρτησης σ σ ( x, ) χρησιμοποιώντας το σύστημα αξόνων ( σ,, ), που είναι τοποθετημένο στο κέντρο βάρος της διατομής, με τον άξονα των τάσεωνσ να εξέρχεται από την δοκό. Ψς προς το σύστημα αυτό, η επιφάνεια σ σ ( x, ) είναι επίπεδη και τέμνει το επίπεδο της διατομής σε μια ευθεία. Η ευθεία αυτή αποτελεί την ουδέτερη γραμμή της διατομής και βρίσκεται από την σχέση σ (, ). (.8) Η σχέση αυτή δηλώνει ότι οι ορθές τάσεις πάνω στην ουδέτερη γραμμή είναι μηδενικές. Φρησιμοποιώντας την (.8), η (.9) παρέχει N M M. (.9) A I I χήμα.16 Η ευθεία αυτή διαχωρίζει την διατομή, αν, βέβαια, την τέμνει, σε δύο περιοχές: στην περιοχή των εφελκυστικών τάσεων και στην περιοχή των θλιπτικών τάσεων (χήμα.16). Οι περιοχές αυτές προσδιορίζονται βρίσκοντας το πρόσημο μιας τάσης σε ένα σημείο της περιοχής. Οι μέγιστες (κατά απόλυτη τιμή) ορθές τάσεις της διατομής εμφανίζονται στα σημεία του συνόρου της διατομής, που απέχουν την μεγαλύτερη απόσταση από την ουδέτερη γραμμή. Σα σημεία αυτά προσδιορίζονται φέρνοντας τις εφαπτόμενες στο σύνορο της διατομής, που είναι παράλληλες στην ουδέτερη γραμμή..6 ΠΤΡΗΝΑ ΔΙΑΣΟΜΗ Η διατομή μιας δοκού καταπονείται ταυτόχρονα από μια κεντρική αξονική δύναμη N και από τις καμπτικές ροπές M και M, όπου οι άξονες και είναι κύριοι κεντροβαρικοί άξονες της διατομής. Η τριάδα των εντατικών φορτίων της διατομής { N, M, M } μπορεί να αντικατασταθεί ισοδύναμα μόνο με την δύναμη Ν εφαρμοσμένη στο σημείο ( e, e ) της διατομής, όπου e M, I M e. (.3) I
33 Έτσι, οι ορθές τάσεις που αναπτύσσονται στην διατομή, παρέχονται από την σχέση N e e σ (, ) (1 ). (.31) A I / A I / A Από την σχέση αυτή προκύπτει η εξίσωση της ουδέτερης γραμμής στην μορφή e e 1, (.3) i i όπου έχουμε θέσει i I / A, i I / A. (.33) Σην εξίσωση αυτή την γράφουμε στην μορφή 1 / / i e i e (.34) από όπου, άμεσα προκύπτει, ότι η ουδέτερη γραμμή τέμνει τους άξονες και στα σημεία ( i / e,), (, i / e ). (.35) Είναι φανερό ότι η ουδέτερη γραμμή εξαρτάται μόνο από την θέση του σημείου ( e, e ) που εφαρμόζεται η αξονική δύναμη Ν και όχι από το μέγεθος της δύναμης αυτής. το σημείο αυτό, εγείρεται το ακόλουθο ερώτημα: Ποια είναι τα σημεία της διατομής, στα οποία, αν εφαρμοσθεί η αξονική δύναμης Ν, οι αναπτυσσόμενες ορθές τάσεις στην διατομή είναι παντού ομόσημες της Ν; Σα σημεία αυτά ορίζουν μια περιοχή εσωτερικά της διατομής, που ονομάζεται πυρήνας της διατομής. Είναι προφανές ότι, αν η αξονική δύναμη εφαρμόζεται σε ένα σημείο του συνόρου του πυρήνα της διατομής, τότε η ουδέτερη γραμμή αντιστοιχεί σε μια εφαπτόμενη του συνόρου της διατομής. Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί στην ανάπτυξη της παρακάτω μεθοδολογίας για τον προσδιορισμό του συνόρου του
34 πυρήνα της διατομής: Υέρουμε όλες τις εφαπτόμενες του συνόρου της διατομής. Για κάθε εφαπτόμενη k προσδιορίζουμε την εξίσωσή της στην μορφή 1 (.36) k k όπου (,) και (,) είναι τα σημεία, που η εφαπτομένη τέμνει τους k k άξονες και, αντίστοιχα. Η κάθε εφαπτομένη, που αντιστοιχεί σε μια ουδέτερη γραμμή της διατομής, αντιστοιχεί σε ένα σημείο εφαρμογής k k ( e, e ) της αξονικής δύναμης, που βρίσκεται στο σύνορο του πυρήνα. Οι συντεταγμένες του σημείου αυτού, που θα λέγεται πυρηνικό συνοριακό σημείο, προσδιορίζονται από τις σχέσεις k i i k e, e. (.37) k k χήμα.17 Σα πυρηνικά συνοριακά σημεία όλων των εφαπτομένων ορίζουν το σύνορο του πυρήνα (χήμα.17)..7 ΔΙΑΣΜΗΗ χήμα.18 Η κάμψη και η διάτμηση είναι δύο συζευγμένες εντατικές καταστάσεις, που δεν μπορούν να διαχωρισθούν. Είναι αδύνατο να υπάρξει καθαρή διάτμηση σε μια δοκό, όπως συμβαίνει με την περίπτωση της καθαρής κάμψης. Αυτό συμβαίνει γιατί η διατμητική δύναμη προκύπτει από την παραγώγιση της ροπής. Η ανάπτυξη των εξισώσεων, που θα περιγράφουν την εντατική κατάσταση της διάτμησης, θα στηριχθεί στις ίδιες παραδοχές που έγιναν για την κάμψη. Έτσι, θα συζητήσουμε την εντατική κατάσταση της διάτμησης, με βάση μια δοκό που κατέχει ένα διαμήκες επίπεδο συμμετρίας για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις που συζητήθηκαν προηγούμενα για την κάμψη. Από μια τέτοια δοκό αποκόπτουμε ένα στοιχειώδες τμήμα μήκους dx, στις διατομές του οποίου τοποθετούμε τα εντατικά μεγέθη που επενεργούν (χήμα.18). την αριστερή διατομή του αποκομμένου τμήματος, που αντιστοιχεί στη θέση x, η καμπτική ροπή είναι M( x ). Λόγω της ροπής αυτής, οι ορθές