Αρνητικοί αριθμοί Μια διδακτική παρέμβαση στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου εμινάριο Εφαρμοσμένης Διδακτικής των Μαθηματικών: Παραδοσιακές και σύγχρονες μέθοδοι διδασκαλίας των Μαθηματικών. Ιστορική εξέλιξη και διδασκαλία των Μαθηματικών. Διαθεματικές προσεγγίσεις στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Λάθη και παρανοήσεις στη μάθηση των μαθηματικών εννοιών. Διδασκαλία των Μαθηματικών με χρήση νέων τεχνολογιών. Γενικές αρχές παιδαγωγικών κα διδακτικών προσεγγίσεων.
Αρνητικοί αριθμοί Μια διδακτική παρέμβαση στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου 26 o Πανελλήνιο υνέδριο Μαθηματικής Παιδείας Σα Μαθηματικά ως Παγκόσμια Γλώσσα Κατανόησης και Επίλυσης Προβλημάτων Θεσσαλονίκη, 13-15 Νοεμβρίου 2009 Μιχαηλίδου Φριστίνα 1 και Παπαγεωργίου Μαρία 2 1 Γυμνάσιο Αγίου Νικολάου, Φαλκιδική 2 Γυμνάσιο Ευρωπού, Κιλκίς
«Οι Υυσικοί αριθμοί είναι δώρο του Θεού προς τους ανθρώπους, όλα τα υπόλοιπα, είναι κατασκευάσματα των ανθρώπων» Leopold Kronecker Πρώσος μαθηματικός 19 ου αιώνα ΣΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Η εισαγωγή των αρνητικών αριθμών καθώς και των πράξεων που τους διέπουν προκαλούν συχνά προβλήματα στους μικρούς μαθητές. Έχοντας συνηθίσει το σύμβολο - ως σύμβολο πράξης και όχι ως πρόσημο αριθμού, αδυνατούν να εντάξουν τους αρνητικούς αριθμούς στις ήδη υπάρχουσες γνώσεις. το σχολικό βιβλίο της Α Γυμνασίου παρατηρείται μια έλλειψη και ασυνέχεια στην παρουσίαση του κεφαλαίου των αρνητικών αριθμών.
Ιστορική Αναδρομή Οι αρνητικοί αριθμοί παρά τη γνώση τους δεν νομιμοποιήθηκαν πριν περάσουν αρκετοί αιώνες Ο Οι Διόφαντος, Αιγύπτιοι 250 δεν μ.φ., αναφέρουν εξηγούσε τους αρνητικούς αρνητικό σαν αριθμούς. αυτό που «υπολείπεται». Οι Κινέζοι έκαναν υπολογισμούς με θετικούς και Θετικό ύπαρξη αρνητικούς ωστόσο δεν θεωρούσαν ότι ένας αρνητικός μπορεί να είναι λύση μιας Αρνητικό εξίσωσης. λείψη την εισαγωγή των «Αριθμητικών» του γράφει ότι Οι Έλληνες γνώριζαν την ύπαρξη τους αλλά επηρεασμένοι από τις γεωμετρικές λύσεις των εξισώσεων θεωρούσαν άλυτη όποια εξίσωση «ύπαρξη είχε επί ύπαρξη αρνητικές κάνει λύσεις. ύπαρξη, λείψη επί λείψη κάνει ύπαρξη και ύπαρξη επί λείψη κάνει λείψη»
Ιστορική Αναδρομή Αρνητικούς αριθμούς χρησιμοποίησαν και οι Ινδοί και αναφέρουν τους κανόνες των προσήμων. Φρησιμοποιούν τον αριθμό μέσα σε κύκλο π.χ. = -3 Ο Άραβας Al Khwarizmi (825 μ.φ.) τοποθετούσε τον κύκλο πάνω από τον αριθμό. την Ευρώπη αυτοί οι αριθμοί εισάγονται πολύ αργότερα Αντιφάσεις και σύγχυση επικρατούσε όμως κατά τον 17ο και 18ο αιώνα από πολλούς μαθηματικούς. Σον 19ο αιώνα δόθηκε η πραγματική εξήγηση των ιδιοτήτων των αρνητικών και επιτεύχθηκε η οριστική τους θεμελίωση με τις συνολοθεωρητικές αλγεβρικές μεθόδους.
Ιστορική Αναδρομή Διαπιστώνουμε από τη σύντομη ιστορική αναδρομή τη σημαντικότητα του θέματος και τις δυσκολίες που αντιμετωπίσαμε για την πλήρη αποδοχή των αρνητικών αριθμών.
Δυσκολίες των μαθητών Η έννοια του αρνητικού αριθμού και οι πράξεις τους αποσταθεροποιούν τις καθιερωμένες από το Δημοτικό αντιλήψεις των μαθητών για την έννοια του αριθμού και το νόημα των αριθμητικών πράξεων. Η απώλεια νοήματος έχει ως συνέπεια η εκτέλεση των πράξεων με προσημασμένους αριθμούς να εξαρτάται αποκλειστικά από την εφαρμογή κανόνων. Μια πρόσθεση μπορεί να προκαλεί ελάττωση. «Δύσπεπτη» Μια αφαίρεση για τους μαθητές μπορεί να η προκαλεί εξήγηση του αύξηση. κανόνα των προσήμων Ένας πολλαπλασιασμός στους αρνητικούς μπορεί αριθμούς. να προκαλεί ελάττωση. Η αφαίρεση δύο αρνητικών παρουσιάζει μεγαλύτερη αποτυχία από Οι τον μαθητές πολλαπλασιασμό, Μια διαίρεση μπορεί δεν διαθέτουν παρά να κανένα το προκαλεί γεγονός αύξηση. μέσο, ότι πέρα η εξήγηση από την του νοήματός απομνημόνευση, του είναι για δυσκολότερη να ελέγξουν την εγκυρότητα των κανόνων που χρησιμοποιούν.
Ιστορική Αναδρομή - Δυσκολίες των μαθητών o Οι διανοητικές δυσκολίες που εμπόδισαν την κατανόηση των αρνητικών αριθμών διαμέσου της ιστορικής τους εξέλιξης, πιθανόν να εμποδίζουν επίσης την κατανόηση των μαθητών μας (Σουμάσης, 1994). o Η γνώση αυτών των εμποδίων μπορεί να βοηθήσει τον καθηγητή των μαθηματικών στο να τα συνειδητοποιήσει, να τα κατανοήσει, να τα προλάβει και ενδεχομένως να τα ξεπεράσει. o ημαντικές ομοιότητες στη δυσκολία των μαθητών να κατανοήσουν τη διάταξη των αρνητικών αριθμών και να ξεπεράσουν την αντίληψη των αρνητικών ως ποσότητες με τα προβλήματα των μαθηματικών των 17 ου -19 ου αιώνα (Thomaidis and Tzanakis, 2007)
Ιστορική Αναδρομή - Δυσκολίες των μαθητών o Νοητικές διεργασίες καθιστούν δυσκολότερη την τοποθέτηση των αρνητικών σε σχέση με τους θετικούς αριθμούς πάνω σε έναν άξονα (Fischer, 2003). o Η δυσκολία κατανόησης των αρνητικών αριθμών οφείλεται στο γεγονός ότι δεν ανταποκρίνονται σε καμιά προϋπάρχουσα κατηγορία του εγκεφάλου μας (Dehaene, 1997). o Οι αρνητικοί είναι δευτερεύοντες επειδή έχουν εισαχθεί ως αποτέλεσμα πράξης, η οποία αρχικά ήταν αδύνατη (Fredeunthal, 1983).
Η έννοια της Δραστηριότητας μέσω του νέου Α.Π Πώς μπορούμε διδάσκοντας τους θετικούς και αρνητικούς αριθμούς να πετύχουμε: 1) Σην κατανόηση του νοήματος των πράξεων από τους μαθητές μας; 2) Σην εξάσκηση της ικανότητας στην εκτέλεση αυτών των πράξεων; Απαιτούνται νέες ιδέες και πρωτοβουλίες για διδακτικές παρεμβάσεις και δραστηριότητες. Η γνώση δεν «μεταφέρεται» από το δάσκαλο στο μαθητή. Αντίθετα, η γνώση και ο μαθητής είναι έννοιες αλληλοσυνδεόμενες: ο μαθητής συμμετέχει ενεργά στην οικοδόμηση-ανάπτυξη της γνώσης του.
Η έννοια της Δραστηριότητας μέσω του νέου Α.Π Σο ζητούμενο είναι η ανάπτυξη μιας ενεργητικής και ερευνητικής στάσης των μαθητών ως προς τα Μαθηματικά. Σο Πρόβλημα είναι «πηγή» νοήματος της μαθηματικής γνώσης. Προβλήματα που να οδηγούν τους μαθητές π.χ. να κάνουν υποθέσεις και εικασίες, να ελέγχουν τις υποθέσεις τους, να παρατηρούν και να αναπτύσσουν ένα μοντέλο, να «μεταφράζουν» ένα μοντέλο
Μοντέλα εισαγωγής-διδασκαλίας των αρνητικών αριθμών Αναλογική Προσέγγιση Σο γινόμενο ορίζεται κατ αναλογία με το γινόμενο δύο φυσικών αριθμών π.χ. (+8)(-3) Σο (-3) μπορεί να γίνει από τη θετική μονάδα (+1) εάν λάβουμε την αντίθετή της (-1) και την επαναλάβουμε ως προσθετέο 3 φορές. Άρα για το π.χ. (+8)(-3)=(-8)+(-8)+(-8)=-24
Μοντέλα εισαγωγής-διδασκαλίας των αρνητικών αριθμών Προσέγγιση μέσω Υυσικού Μοντέλου Ερμηνείας Ο πολλαπλασιασμός ορίζεται με τη βοήθεια ενός φυσικού μοντέλου π.χ. την κίνηση δύο αυτοκινήτων (Α) και (Β) πάνω σ ένα δρόμο, ο οποίος εξομοιώνεται με έναν άξονα ακεραίων
Μοντέλα εισαγωγής-διδασκαλίας των αρνητικών αριθμών Ανακάλυψη με τη βοήθεια προτύπου Οι μαθητές παρατηρούν ότι, όταν ο πολλαπλασιαστής 3 ελαττώνεται κατά μια μονάδα κάθε φορά και γίνεται 2, 1,0, το γινόμενο ελαττώνεται κατά 5 και γίνεται 10, 5, 0 αντιστοίχως. Εάν ο πολλαπλασιαστής συνεχίζει να ελαττώνεται κατά 1 (-1, -2, -3,...) τότε το γινόμενο πρέπει να συνεχίζει να ελαττώνεται κατά 5 και να γίνει -5, -10, -15,... τη συνέχεια δίνεται ένας πίνακας όπου το βήμα είναι αρνητικό δηλαδή αντί για 5 έχουμε -5 προκείμενου να προκύψει και ο κανόνας για το γινόμενο δυο αρνητικών αριθμών. Δίνεται στους μαθητές το παρακάτω πρότυπο: Παράγοντες Γινόμενο 3 5 15 2 5 10 1 5 5 0 5 0-1 5-5 -2 5-10 -3 5-15............
Μοντέλα εισαγωγής-διδασκαλίας των αρνητικών αριθμών Αιτιολόγηση με τη βοήθεια άλλων μαθηματικών εννοιών π.χ. με τη βοήθεια διανυσμάτων
Μοντέλα εισαγωγής-διδασκαλίας των αρνητικών αριθμών Με τη μέθοδο αυτή οι κανόνες των προσήμων δίνονται εξ ορισμού, δηλαδή: (+) (+) = (+), (+) (-) = (-) και (-) (-) = (+) Η προσέγγιση αυτή βέβαια δεν δίνει καμία δυνατότητα στο μαθητή να κατανοήσει για ποιο λόγο ο πολλαπλασιασμός συμπεριφέρεται κατά αυτό τον τρόπο και βασίζεται στην καλή πίστη και την αυθεντία του δασκάλου ο οποίος συχνά επινοεί κάποια φυσικά μοντέλα για να πείσει τους μαθητές του για την ισχύ των κανόνων αυτών. ΥΙΛΟ (+) και ΕΦΘΡΟ (-) Ο φίλος του φίλου = φίλος Η «εξ ορισμού» προσέγγιση Ο φίλος του εχθρού = εχθρός Ο εχθρός του φίλου = εχθρός Ο εχθρός του εχθρού = φίλος
Μοντέλα εισαγωγής-διδασκαλίας των αρνητικών αριθμών Με τη μέθοδο αυτή επιχειρείται πρώτα η αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών, οπότε αποδεικνύεται με αυστηρό τρόπο, βάσει αξιωμάτων του σώματος των πραγματικών αριθμών ότι: για κάθε x, (-1)x=-x. Η ιδιότητα (-x)(-y)=xy προκύπτει από τα αξιώματα και την προηγούμενη ιδιότητα. Εφαρμογή των μαθηματικών αρχών
Σο κεφάλαιο των αρνητικών στο βιβλίο της Α γυμνασίου Η διδασκαλία μεταφέρθηκε στην Α Γυμνασίου Μειώθηκε ο αριθμός των διδακτικών ωρών Δίνεται έμφαση στο να κατανοήσουν οι μαθητές όχι μόνο πως γίνεται η εκτέλεση των πράξεων αλλά και γιατί γίνεται με τον τρόπο αυτό Αιτιολόγηση των σχετικών κανόνων με τη βοήθεια δραστηριοτήτων που κάνουν χρήση διαφόρων φυσικών ή αριθμητικών μοντέλων
Σο κεφάλαιο των αρνητικών στο βιβλίο της Α γυμνασίου Ασυνέχεια στην παρουσίαση των αρνητικών αριθμών για την πρόσθεση η έννοια της αύξησης και της μείωσης, για τον πολλαπλασιασμό χρήση προτύπου και η αλλαγή γίνεται πολύ γρήγορα και προκαλεί χάσμα στη μαθησιακή διαδικασία Τπάρχει πρόβλημα με τον τρόπο παρουσίασης του βιβλίου αφώς και οι δύο εξηγήσεις έχουν σημαντικά πλεονεκτήματα αλλά η εξ απρόοπτου διαδοχή τους έχει ως πιθανό αποτέλεσμα την αμοιβαία ακύρωσή τους από τους μαθητές.
Σο κεφάλαιο των αρνητικών στο βιβλίο της Α γυμνασίου Ο καθηγητής θα πρέπει να μην ακολουθήσει την προτεινόμενη πορεία παρουσίασης του βιβλίου αλλά να παρέμβει και να καλύψει αυτό το κενό. Σο πρόβλημα σύμφωνα με τον Martinez (2006) δεν εντοπίζεται μόνο στο εκάστοτε βιβλίο αφού συχνά οι καθηγητές είναι ανακόλουθοι κατά τη διδασκαλία των αρνητικών δίνοντας διαφορετικές ερμηνείες ανάλογα με τον ποιο κανόνα χρησιμοποιούν εκείνη τη στιγμή. Επομένως αν και το νέο Α.Π., το νέο βιβλίο και το βιβλίο του εκπαιδευτικού περιέχουν αξιόλογο υλικό, για να αξιοποιηθεί μέσα στους ηλικιακούς και χρονικούς περιορισμούς που έχουν τεθεί απαιτεί μεγάλη διδακτική φαντασία και δεξιοτεχνία (Θωμαΐδης, 2007)
1 ο φύλλο εργασίας: Παρουσίαση του Μοντέλου Εισαγωγή των αρνητικών αριθμών Ολοκληρώνεται σε λίγο καιρό ο μεγαλύτερος οδικός άξονας της χώρας μας που συνδέει την Ηγουμενίτσα με τους Κήπους (σύνορα με Σουρκία), η Εγνατία Οδός. Είναι ένας δρόμος ταχείας κυκλοφορίας με δύο παράλληλους άξονες διαφορετικών κατευθύνσεων (ΜΟΝΟΔΡΟΜΟΙ). Μια εικόνα του οδικού δικτύου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
1 ο φύλλο εργασίας: Παρουσίαση του Μοντέλου Εισαγωγή των αρνητικών αριθμών
1 ο φύλλο εργασίας: Παρουσίαση του Μοντέλου Εισαγωγή των αρνητικών αριθμών Σο οδικό δίκτυο αποτελείται από αρκετούς σταθμούς κόμβους. Εμείς για λόγους απλότητας θα ασχοληθούμε με 21 από αυτούς τους σταθμούς, θεωρώντας ως κέντρο τη Θεσσαλονίκη.
1 ο φύλλο εργασίας: Παρουσίαση του Μοντέλου Εισαγωγή των αρνητικών αριθμών Αφού θεωρήσαμε τη Θεσσαλονίκη ως ΚΕΝΣΡΟ- ΑΡΦΗ ΜΕΣΡΗΗ, ποιο φυσικό αριθμό θα βάζατε στο πράσινο τετράγωνο που αντιστοιχεί σε αυτήν; Δοκιμάστε να συμπληρώσετε με τους κατάλληλους αριθμούς, τα ΚΟΚΚΙΝΑ τετράγωνα που βρίσκονται ΔΕΞΙΑ από την αρχή της μέτρησης (Θεσσαλονίκη) Δοκιμάστε να συμπληρώσετε με τους κατάλληλους αριθμούς, τα ΜΠΛΕ τετράγωνα που βρίσκονται ΑΡΙΣΕΡΑ από την αρχή της μέτρησης (Θεσσαλονίκη) Τπάρχουν κάποιοι κόμβοι που αντιστοιχούν στον ίδιο αριθμό; Μπορείτε να σκεφτείτε κάποιον τρόπο για να τους ξεχωρίζουμε; Στη συνέχεια δόθηκαν οι ορισμοί και οι ιδιότητες διαφόρων εννοιών όπως πρόσημα, ομόσημοι, ετερόσημοι, μηδέν, ακέραιοι και ρητοί με τη μέθοδο της συμπλήρωσης των κενών από τους ίδιους τους μαθητές.
-10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 Αρνητικοί Φύλλα Εργασίας.doc
2 ο φύλλο εργασίας: Ανακάλυψη των ιδιοτήτων της διάταξης Μια οδηγός φορτηγού, η Γεωργία Παππά, κινείται κατά μήκος της Εγνατίας. Ξεκινάει από Ηγουμενίτσα με κατεύθυνση τους Κήπους. Πότε έχει διανύσει μεγαλύτερη απόσταση: όταν βρίσκεται στον Λαγκαδά ή όταν βρίσκεται στα Βρασνά;... Επομένως, <
-10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
2 ο φύλλο εργασίας: Ανακάλυψη των ιδιοτήτων της διάταξης Μια οδηγός φορτηγού, η Γεωργία Παππά, κινείται κατά μήκος της Εγνατίας. Ξεκινάει από Ηγουμενίτσα με κατεύθυνση τους Κήπους. Πότε έχει διανύσει μεγαλύτερη απόσταση: όταν βρίσκεται στον Λαγκαδά ή όταν βρίσκεται στα Βρασνά;... Επομένως, +2 < +6 όταν βρίσκεται στην Σούζλα ή όταν βρίσκεται στα Μάλγαρα;... Επομένως,
-10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
2 ο φύλλο εργασίας: Ανακάλυψη των ιδιοτήτων της διάταξης Μια οδηγός φορτηγού, η Γεωργία Παππά, κινείται κατά μήκος της Εγνατίας. Ξεκινάει από Ηγουμενίτσα με κατεύθυνση τους Κήπους. Πότε έχει διανύσει μεγαλύτερη απόσταση: όταν βρίσκεται στον Λαγκαδά ή όταν βρίσκεται στα Βρασνά;... Επομένως, +2 < +6 όταν βρίσκεται στην Σούζλα ή όταν βρίσκεται στα Μάλγαρα;... Επομένως, -5 < +9 όταν βρίσκεται στη Βέροια ή όταν βρίσκεται στη ίνδο;... Επομένως, -9 < -3
-10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
2 ο φύλλο εργασίας: Ανακάλυψη των ιδιοτήτων της διάταξης υμπεραίνουμε λοιπόν ότι: Για τους θετικούς αριθμούς γνωρίζουμε ότι μεγαλύτερος είναι αυτός που βρίσκεται... στην ευθεία των αριθμών. Για τους αρνητικούς αριθμούς διαπιστώνουμε ότι μεγαλύτερος είναι αυτός που βρίσκεται... στην ευθεία των αριθμών. Προφανώς: κάθε... αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. κάθε... αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν. κάθε...αριθμός είναι μεγαλύτερος από κάθε... αριθμό. Στη συνέχεια δόθηκε μια άσκηση συμπλήρωσης των κενών με το κατάλληλο σύμβολο <, > ή =, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις.
3 ο φύλλο εργασίας: Εισαγωγή της έννοιας της απόλυτης τιμής o Ο σταθμός των Μαλγάρων πόσους σταθμούς απέχει από το σταθμό της Θεσσαλονίκης;...... o Ο σταθμός της Ρεντίνας πόσους σταθμούς απέχει από το σταθμό της Θεσσαλονίκης;... -10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
3 ο φύλλο εργασίας: Εισαγωγή της έννοιας της απόλυτης τιμής o το σταθμό της Ρεντίνας αντιστοιχίσαμε τον αριθμό... ενώ στο σταθμό των Μαλγάρων αντιστοιχίσαμε τον αριθμό... και στην προηγούμενη εξάσκηση διαπιστώσαμε ότι...<... παρόλο που απέχουν... από τη Θεσσαλονίκη (αριθμός...). Μπορείτε να βρείτε άλλα ζεύγη σταθμών με την ίδια ιδιότητα; ημειώστε τα: ταθμός Αριθμός ταθμών από Θεσ/νίκη ταθμός Αριθμός ταθμών από Θεσ/νίκη Μάλγαρα -5 5 Ρεντίνα +5 5
3 ο φύλλο εργασίας: Εισαγωγή της έννοιας της απόλυτης τιμής Σα παραπάνω ζεύγη αριθμών λέγονται ΑΝΣΙΘΕΣΟΙ αριθμοί και απέχουν... απόσταση από την αρχή μέτρησης (Θεσ/νίκη). Η απόσταση κάθε αριθμού από το μηδέν (Αρχή Μέτρησης) λέγεται ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΙΜΗ του αριθμού και στην μαθηματική γλώσσα συμβολίζεται με δύο κάθετες γραμμές μέσα στις οποίες τοποθετείται ο αριθμός ως εξής: -5, +7, -109 Ζητήθηκε από τους μαθητές να συμπληρώσουν ένα πίνακα με τις απόλυτες τιμές των ακεραίων στο [-10,10] χρησιμοποιώντας πλέον και το συμβολισμό της απόλυτης από τον οποίο κατέληξαν μόνοι τους ότι: οι αντίθετοι αριθμοί έχουν... απόλυτη τιμή η απόλυτη τιμή του μηδενός είναι... η απόλυτη τιμή είναι πάντα... αριθμός ή... η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο... αριθμός η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο... του
3 ο φύλλο εργασίας: Εισαγωγή της έννοιας της απόλυτης τιμής Στη συνέχεια δόθηκε μια άσκηση για εξάσκηση στη διάταξη των ακεραίων αριθμών σε συνδυασμό με τις αντίστοιχες απόλυτες τιμές τους προκειμένου να μπορέσουν οι μαθητές μόνοι τους να συμπληρώσουν τους ακόλουθους κανόνες: Εξάσκηση: Με όλα όσα έμαθες, προσπάθησε να συμπληρώσεις τα κενά με το κατάλληλο σύμβολο <, > ή =, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις: 1) +5...3 ενώ 5... +3 2) +9...0 ενώ +9... 0 3) -3... -8 ενώ -3... -8 4) +5...-5 ενώ 5... -5 5) 0...-2 ενώ 0... -2 Μεταξύ δύο θετικών αριθμών μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την...απόλυτη τιμή. Μεταξύ δύο αρνητικών αριθμών μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την...απόλυτη τιμή.
4 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πρόσθεση)-ενάριο «Προορισμός» Δυο οδηγοί φορτηγών, η Γεωργία Παππά και ο Δημήτρης Ιωάννου, κινούνται κατά μήκος της Εγνατίας. Η Γεωργία ξεκινάει από την Ηγουμενίτσα με κατεύθυνση τους Κήπους, ενώ ο Δημήτρης ξεκινάει από τους Κήπους με κατεύθυνση την Ηγουμενίτσα. Κινούνται σε διαφορετικούς παράλληλους δρόμους. Όταν κάποιο από τα φορτηγά κινείται από αριστερά προς τα δεξιά (Ηγουμενίτσα - Κήπους) θεωρούμε ότι η κίνηση είναι θετική (πρόσημο:...). Όταν κάποιο από τα φορτηγά κινείται από δεξιά προς τα αριστερά (Κήπους - Ηγουμενίτσα) θεωρούμε ότι η κίνηση είναι αρνητική (πρόσημο:...).
4 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πρόσθεση)-ενάριο «Προορισμός» Γεωργία Δημήτρης -10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
4 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πρόσθεση)-ενάριο «Προορισμός» Α) Η Γεωργία κάνει μια στάση στον Λαγκαδά. Αποφασίζει να κάνει άλλη μια στάση μετά από 6 κόμβους. ε ποιο κόμβο θα είναι η στάση αυτή;... Δοκίμασε να μεταφράσεις την παραπάνω πρόταση χρησιμοποιώντας μόνο αριθμούς και μαθηματικά σύμβολα:... Δοκίμασε ξανά γράφοντας κάθε αριθμό με τη βοήθεια παρενθέσεων σημειώνοντας και το πρόσημό του:... 6-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
4 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πρόσθεση)-ενάριο «Προορισμός» Α) Η Γεωργία κάνει μια στάση στον Λαγκαδά. Αποφασίζει να κάνει άλλη μια στάση μετά από 6 κόμβους. ε ποιο κόμβο θα είναι η στάση αυτή;... Δοκίμασε να μεταφράσεις την παραπάνω πρόταση χρησιμοποιώντας μόνο αριθμούς και μαθηματικά σύμβολα:... Δοκίμασε ξανά γράφοντας κάθε αριθμό με τη βοήθεια παρενθέσεων σημειώνοντας και το πρόσημό του:... Β) Αν η Γεωργία έκανε στάση στη Βέροια και ήθελε να κάνει την επόμενη στάση της μετά από 4 κόμβους, σε ποιο κόμβο θα είναι η στάση αυτή; Γ) Αν η Γεωργία έκανε στάση στα Μάλγαρα και ήθελε να κάνει την επόμενη στάση της μετά από 7 κόμβους, σε ποιο κόμβο θα είναι η στάση αυτή;
4 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πρόσθεση)-ενάριο «Προορισμός» Α) Ο Δημήτρης κάνει μια στάση στη Ρεντίνα. Αποφασίζει να κάνει άλλη μια στάση μετά από 3 κόμβους. ε ποίο κόμβο θα είναι η στάση αυτή;... Δοκίμασε να μεταφράσεις την παραπάνω πρόταση χρησιμοποιώντας μόνο αριθμούς και μαθηματικά σύμβολα:... Δοκίμασε ξανά γράφοντας κάθε αριθμό με τη βοήθεια παρενθέσεων σημειώνοντας και το πρόσημό του:... 3-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
4 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πρόσθεση)-ενάριο «Προορισμός» Α) Ο Δημήτρης κάνει μια στάση στη Ρεντίνα. Αποφασίζει να κάνει άλλη μια στάση μετά από 3 κόμβους. ε ποίο κόμβο θα είναι η στάση αυτή;... Δοκίμασε να μεταφράσεις την παραπάνω πρόταση χρησιμοποιώντας μόνο αριθμούς και μαθηματικά σύμβολα:... Δοκίμασε ξανά γράφοντας κάθε αριθμό με τη βοήθεια παρενθέσεων σημειώνοντας και το πρόσημό του:... Β) Αν ο Δημήτρης έκανε στάση στην Ιωνία και ήθελε να κάνει την επόμενη στάση του μετά από 8 κόμβους. ε ποίο κόμβο θα είναι η στάση αυτή; Γ) Αν ο Δημήτρης έκανε στάση στα Βρασνά και ήθελε να κάνει την επόμενη στάση του μετά από 14 κόμβους. ε ποίο κόμβο θα είναι η στάση αυτή;
4 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πρόσθεση)-ενάριο «Προορισμός» (+2) + (+4) = (-2) + (-4) = (+2) + (-4) = (+1) + (+7) = (-1) + (-7) = (-1) + (+7) = 0 + (+10)= 0 + (-10)= (+10) + (-10)= Για να προζθέζοσμε δύο...αριθμούς, προσθέτοσμε......και ζηο άθροισμα βάζοσμε ηο... Για να προζθέζοσμε δύο...αριθμούς, προσθέτοσμε......και ζηο άθροισμα βάζοσμε ηο... Για να προζθέζοσμε δύο...αριθμούς,... και ζηη... βάζοσμε ηο... Στο επόμενο βήμα ζητήθηκε από τους μαθητές να δημιουργήσουν έναν ορισμό για την πρόσθεση ομόσημων αριθμών και έναν για την πρόσθεση ετερόσημων αριθμών χρησιμοποιώντας και την έννοια της απόλυτης τιμής.
5 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (αφαίρεση)-ενάριο «Μεταβολή και κατεύθυνση» Α) Η Γεωργία βρίσκεται στο τρυμόνα. Αν η προηγούμενη στάση ήταν στον Λαγκαδά, πόσους κόμβους έχει διανύσει και προς τα πού;... Δοκίμασε να μεταφράσεις την παραπάνω πρόταση χρησιμοποιώντας μόνο αριθμούς και μαθηματικά σύμβολα:... Δοκίμασε ξανά γράφοντας κάθε αριθμό με τη βοήθεια παρενθέσεων σημειώνοντας και το πρόσημό του:... 6-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
5 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (αφαίρεση)-ενάριο «Μεταβολή και κατεύθυνση» Α) Ο Δημήτρης βρίσκεται στο Λαγκαδά. Αν η προηγούμενη στάση ήταν στη Ρεντίνα, πόσους κόμβους έχει διανύσει και προς τα πού;... Δοκίμασε να μεταφράσεις την παραπάνω πρόταση χρησιμοποιώντας μόνο αριθμούς και μαθηματικά σύμβολα:... Δοκίμασε ξανά γράφοντας κάθε αριθμό με τη βοήθεια παρενθέσεων σημειώνοντας και το πρόσημό του:... 3-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
5 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (αφαίρεση)-ενάριο «Μεταβολή και κατεύθυνση» Οι άλλες τέσσερις περιπτώσεις ορίζονται κατά αναλογία με την πρόσθεση (4ο φύλλο εργασίας). Παρατηρήστε τις δύο πρώτες πράξεις (χρώμα γκρι) του παρακάτω πίνακα. Μπορούν να γίνουν αυτές πράξεις; Δικαιολογήστε την απάντηση σας. Φρησιμοποιώντας το σενάριο προσπάθησε να συμπληρώσεις τον πίνακα που ακολουθεί. (+4) - (+2) = (+2) - (+4) = (-2) - (-4) = (+2) - (-4) = (+7) - (+1) = (+1) - (+7) = (-1) - (-7) = (-1) - (+7) = (+10) 0= 0 (+10)= 0 - (-10)= (+10) - (-10)= Σηοσς ακέραιοσς αριθμούς ο... μπορεί να είναι ΚΑΙ μεγαλύτερος από ηον...
5 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (αφαίρεση)-ενάριο «Μεταβολή και κατεύθυνση» τήλη Α τήλη Β (+5) - (+2)= (+5) + (-2)= (+3) - (-6)= (+3) + (+6)= (-2) - (+4)= (-2) + (-4)= (-7) - (-6)= (-7) + (+6)= (-4) - (-9)= (-4) + (+9)= Με τη βοήθεια των 2 σεναρίων συμπλήρωσε και τον διπλανό πίνακα. Παρατήρησε τα αποτελέσματα της στήλης Α με τα αντίστοιχα της στήλης Β. Σι διαπιστώνεις;... τους ακεραίους αριθμούς η αφαίρεση μετατρέπεται σε πρόσθεση, άρα για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β,... στον α τον αντίθετο το β.
6 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πολλαπλασιασμός)-ενάριο «Η συνάντηση τη χρονική στιγμή ΜΗΔΕΝ-σχετικές θέσεις πριν - μετά» Η Γεωργία και ο Δημήτρης, συναντιούνται στη Θεσσαλονίκη. Πίνουν ένα καφέ και συνεχίζουν τη διαδρομή τους. Η Γεωργία κινείται με κατεύθυνση προς τους Κήπους (θετική κατεύθυνση), ενώ ο Δημήτρης κινείται με κατεύθυνση προς την Ηγουμενίτσα (αρνητική κατεύθυνση). Ση στιγμή της αναχώρησής τους από τη Θεσσαλονίκη αρχίζουμε να μετράμε το χρόνο (χρόνος τότε είναι ίσος με το μηδέν). Επομένως, ο χρόνος στο μέλλον εκφράζεται από ένα θετικό αριθμό, ενώ στο παρελθόν από έναν αρνητικό.
6 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πολλαπλασιασμός)-ενάριο «Η συνάντηση τη χρονική στιγμή ΜΗΔΕΝ-σχετικές θέσεις πριν - μετά» Α) Αν η Γεωργία κινείται με τέτοια ταχύτητα ώστε να περνάει 2 σταθμούς ανά ώρα σε ποιο κόμβο θα βρίσκεται 3 ώρες μετά από τη συνάντηση της με τον Δημήτρη;... Δοκίμασε να μεταφράσεις την παραπάνω πρόταση χρησιμοποιώντας μόνο αριθμούς και μαθηματικά σύμβολα:... Δοκίμασε ξανά γράφοντας κάθε αριθμό με τη βοήθεια παρενθέσεων σημειώνοντας και το πρόσημό του:... Β) Αν η Γεωργία κινείται με τέτοια ταχύτητα ώστε να περνάει 2 σταθμούς ανά ώρα σε ποιο κόμβο βρισκόταν 3 ώρες πριν από τη συνάντηση της με τον Δημήτρη;...
-10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
6 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πολλαπλασιασμός)-ενάριο «Η συνάντηση τη χρονική στιγμή ΜΗΔΕΝ-σχετικές θέσεις πριν - μετά» Α) Αν ο Δημήτρης κινείται με τέτοια ταχύτητα ώστε να περνάει 2 σταθμούς ανά ώρα σε ποιο κόμβο βρισκόταν 3 ώρες μετά από τη συνάντηση του με την Γεωργία;... Β) Αν ο Δημήτρης κινείται με τέτοια ταχύτητα ώστε να περνάει 2 σταθμούς ανά ώρα σε ποιο κόμβο βρισκόταν 3 ώρες πριν από τη συνάντηση του με την Γεωργία;...
6 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πολλαπλασιασμός)-ενάριο «Η συνάντηση τη χρονική στιγμή ΜΗΔΕΝ-σχετικές θέσεις πριν - μετά» Φρησιμοποιώντας το παραπάνω σενάριο προσπάθησε να συμπληρώσεις τον πίνακα που ακολουθεί. (+2) (+4) = (+2) (-4) = (-2) (+4) = (-2) (-4) = (+1) (+7) = (+1) (-7) = (-1) (+7) = (-1) (-7) = (+2) (+5) = (+2) (-5) = (-2) (+5) = (-2) (-5) = (+3) (+2) = (+3) (-2) = (-3) (+2) = (-3) (-2) = (+4) (+1) = (+4) (-1) = (-4) (+1) = (-4) (-1) = 0 (+10)= 0 (-10)= Παρατήρησε τις παραπάνω στήλες και συμπλήρωσε τα κενά: Σο γινόμενο δύο θετικών αριθμών είναι... αριθμός. Σο γινόμενο ενός θετικού και ενός αρνητικού αριθμού είναι...αριθμός. Σο γινόμενο ενός αρνητικού και ενός θετικού αριθμού είναι...αριθμός. Σο γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών είναι... αριθμός. Μπορείς να τα συνοψίσεις με τους όρους: ομόσημος και ετερόσημος;
6 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (πολλαπλασιασμός)-ενάριο «Η συνάντηση τη χρονική στιγμή ΜΗΔΕΝ-σχετικές θέσεις πριν - μετά» Δοκίμασε να πολλαπλασιάσεις τους παρακάτω αριθμούς: ΠΛΑΙΣΙΟ Α (+1) (+2) (+3) (+4) (-5)= (+1) (+2) (+3) (-4) (+5)= (+1) (+2) (-3) (+4) (+5)= (+1) (-2) (+3) (+4) (+5)= (-1) (+2) (+3) (+4) (+5)= ΠΛΑΙΣΙΟ Γ (+1) (+2) (-3) (-4) (-5)= (+1) (-2) (-3) (-4) (+5)= (-1) (-2) (-3) (+4) (+5)= (-1) (-2) (+3) (+4) (-5)= Παρατήρησε Τ ο π ρ τα ό ζ η μ ο γινόμενα σε κάθε ε ί ν α ι : πλαίσιο και συμπλήρωσε + ό ητα α ν. κενά................. ΠΛΑΙΙΟ... Α: Προκύπτει πάντα...αριθμός... και υπάρχει μόνο...... παράγοντας αλλά σε... θέση κάθε φορά. - ό η α ν.............. ΠΛΑΙΙΟ Β: Προκύπτει... πάντα... αριθμός και υπάρχουν...... παράγοντες... αλλά σε... θέσεις... κάθε φορά. ΠΛΑΙΣΙΟ Β (+1) (+2) (+3) (-4) (-5)= (+1) (+2) (-3) (-4) (+5)= (+1) (-2) (-3) (+4) (+5)= (-1) (-2) (+3) (+4) (+5)= (-1) (+2) (+3) (+4) (-5)= ΠΛΑΙΣΙΟ Δ (+1) (-2) (-3) (-4) (-5)= (-1) (-2) (-3) (-4) (+5)= (-1) (-2) (-3) (+4) (-5)= (-1) (-2) (+3) (-4) (-5)= (-1) (+2) (+3) (-4) (-5)= Ομοίως Πλαίσιο Γ και Δ. (-1) (+2) (-3) (-4) (-5)=
7 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (διαίρεση)-ενάριο «Η συνάντηση τη χρονική στιγμή ΜΗΔΕΝ-σχετικές θέσεις πριν μετά σε μέρη της ώρας» Α) Αν η Γεωργία κινείται με τέτοια ταχύτητα ώστε να περνάει 4 σταθμούς ανά ώρα σε ποιο κόμβο θα βρίσκεται (μισή) ώρα μετά από τη συνάντηση της με τον Δημήτρη;... Δοκίμασε να μεταφράσεις την παραπάνω πρόταση χρησιμοποιώντας μόνο αριθμούς και μαθηματικά σύμβολα με δύο τρόπους: 1)... 2)... Δοκίμασε ξανά γράφοντας κάθε αριθμό με τη βοήθεια παρενθέσεων σημειώνοντας και το πρόσημό του: 1)... 2)... Β) Αν η Γεωργία κινείται με τέτοια ταχύτητα ώστε να περνάει 4 σταθμούς ανά ώρα σε ποιο κόμβο βρισκόταν ώρα πριν από τη συνάντηση της με τον Δημήτρη;
-10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
7 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (διαίρεση)-ενάριο «Η συνάντηση τη χρονική στιγμή ΜΗΔΕΝ-σχετικές θέσεις πριν μετά σε μέρη της ώρας» Α) Αν ο Δημήτρης κινείται με τέτοια ταχύτητα ώστε να περνάει 4 σταθμούς ανά ώρα σε ποιο κόμβο θα βρίσκεται (μισή) ώρα μετά από τη συνάντηση της με τον Δημήτρη;... Δοκίμασε να μεταφράσεις την παραπάνω πρόταση χρησιμοποιώντας μόνο αριθμούς και μαθηματικά σύμβολα με δύο τρόπους: 1)... 2)... Δοκίμασε ξανά γράφοντας κάθε αριθμό με τη βοήθεια παρενθέσεων σημειώνοντας και το πρόσημό του: 1)... 2)... Β) Αν ο Δημήτρης κινείται με τέτοια ταχύτητα ώστε να περνάει 4 σταθμούς ανά ώρα σε ποιο κόμβο βρισκόταν ώρα πριν από τη συνάντηση της με τον Δημήτρη;
7 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (διαίρεση)-ενάριο «Η συνάντηση τη χρονική στιγμή ΜΗΔΕΝ-σχετικές θέσεις πριν μετά σε μέρη της ώρας» Φρησιμοποιώντας το παραπάνω σενάριο προσπάθησε να συμπληρώσεις τον πίνακα που ακολουθεί. (+8) (+ 1 4 ) = (+8) (- 1 4 ) = (-8) (+ 1 4 ) = (-8) (- 1 4 ) = Άρα η διαίρεζη (+8) : (+4) = (+6) (+ 1 2 ) = (+6) : (+2) = (+10) (+ 1 2 ) = (+10) : (+2) = (+4) (+ 1 4 ) = (+4) : (+4) = (+8) : (-4) = (-8) : (+4) = (-8) : (-4) = (+6) (- 1 2 ) = (-6) (+ 1 2 ) = (-6) (- 1 2 ) = (+6) : (-2) = (-6) : (+2) = (-6) : (-2) = (+10) (- 1 2 ) = (-10) (+ 1 2 ) = (-10) (- 1 2 ) = (+10) : (-2) = (-10) : (+2) = (-10) : (-2) = (+4) (- 1 4 ) = (-4) (+ 1 4 ) = (-4) (- 1 4 ) = (+4) : (-4) = (-4) : (+4) = (-4) : (-4) = 0 : (+2)= 0 : (-2)= α : β = α β γράθεηαι και...... επομένως για να... δύο ρηηούς, αρκεί να... ηον διαιρεηέο με ηον ανηίζηροθο ηοσ...
7 ο φύλλο εργασίας: ΠΡΟΒΛΗΜΑ (διαίρεση)-ενάριο «Η συνάντηση τη χρονική στιγμή ΜΗΔΕΝ-σχετικές θέσεις πριν μετά σε μέρη της ώρας» Παρατήρησε τις παραπάνω στήλες και συμπλήρωσε τα κενά: Σο πηλίκο δύο θετικών αριθμών είναι... αριθμός. Σο πηλίκο ενός θετικού και ενός αρνητικού αριθμού είναι... αριθμός. Σο πηλίκο ενός αρνητικού και ενός θετικού αριθμού είναι... αριθμός. Σο πηλίκο δύο αρνητικών αριθμών είναι... αριθμός. Μπορείς να συνοψίσεις τα παραπάνω χρησιμοποιώντας τους όρους: ομόσημος και ετερόσημος;
χόλια- υζήτηση Η διδασκαλία των αρνητικών αριθμών παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον σε παγκόσμιο επίπεδο. Οι καθηγητές θεωρούν ευκολότερο να διδάξουν κανόνες από το να διδάξουν τη σημασία ελπίζοντας οι μαθητές να κατανοήσουν μετά από μερικές επιτυχημένες εφαρμογές των κανόνων. Οι μαθητές βρίσκουν δύσκολο να καθιερώσουν τους κανόνες μόνοι τους και έτσι στηρίζονται μόνο στην απομνημόνευσή τους σε βάρος της κατανόησής τους. Μάθηση ρουτίνας, οι μαθητές ξέρουν μόνο το πώς να λύνουν μηχανικά τα διάφορα προβλήματα χωρίς να κατανοούν γιατί λύνονται με αυτόν τον τρόπο.
χόλια- υζήτηση Η εισαγωγή νέων διδακτικών προτάσεων είναι αναγκαία. Σα αποτελέσματα της πιλοτικής εφαρμογής της παραπάνω διδακτικής πρότασης ήταν ιδιαίτερα ενθαρρυντικά. Κατά την υλοποίηση της δραστηριότητας το κλίμα, μέσα στις 5 τάξεις, ήταν ιδιαίτερα θετικό. Οι μαθητές έδειξαν ενθουσιασμό με την ενασχόληση τους με κάτι διαφορετικό από το σχολικό βιβλίο και συμμετείχαν ενεργά σ όλα τα στάδια. Ακόμα και μαθητές που σε άλλα μαθήματα δεν έδειχναν ενδιαφέρον, ενεργοποιήθηκαν επομένως, ο πρώτος στόχος της δραστηριοποίησης του μαθητή επιτεύχθηκε απόλυτα.
χόλια- υζήτηση Κατάφεραν να κατανοήσουν δύσκολες για αυτά μαθηματικές έννοιες και κατά την διάρκεια της χρονιάς το μοντέλο δρούσε υποστηρικτικά αφού το σύνολο των μαθητών το θυμόταν και έτσι μπορούσαμε να επιστρέψουμε σε αυτό σαν ένα σημείο εκκίνησης Σο μεγαλύτερο όφελος από την δραστηριότητα αυτή είναι ότι οι εμπλεκόμενοι μαθητές προσέγγισαν τα μαθηματικά από διαφορετική οπτική. Αισθάνθηκαν ότι τα μαθηματικά βρίσκονται παντού γύρω μας και ότι συνδέονται άμεσα με τη ζωή και την καθημερινότητά μας Άθροισμα Ακεραίων.ggb Διαφορά Ακεραίων.ggb
ας ευχαριστούμε για την προσοχή σας
Διάρθρωση Παρουσίασης Ιστορική Αναδρομή Δυσκολίες Μαθητών Η έννοια της Δραστηριότητας μέσω του νέου Α.Π Μοντέλα εισαγωγής - διδασκαλίας των αρνητικών αριθμών Σο κεφάλαιο των αρνητικών αριθμών στο βιβλίο της Α Γυμνασίου Η Εγνατία Οδός χόλια-υζήτηση ύνδεση Ιστορικών προβλημάτων με τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν τα παιδιά
Ιστορική Αναδρομή Η πρώτη εισαγωγή των σημερινών συμβόλων έγινε μόλις το 1489 και στην αρχή χρησιμοποιήθηκαν για να χρεώσουν πλεόνασμα ή έλλειψη των αποθηκών. Η ουσιαστική ενασχόληση με τους αρνητικούς άρχισε στη Δύση με τον Gardano στο έργο του Ars Magna (1545). Σον προβλημάτισε η ύπαρξη αρνητικών και φανταστικών ριζών, αλλά δεν δίστασε να κάνει πράξεις με αυτούς. Σο 1614 ο Napier μελετώντας τους φυσικούς λογαρίθμους παρατήρησε ότι υπάρχουν αριθμοί με θετικό λογάριθμο και άλλοι με αρνητικό. Φρησιμοποιεί τα ίδια σύμβολα με σήμερα για τα πρόσημα (+, -).
Ιστορική Αναδρομή Οι αρνητικοί άρχισαν να κερδίζουν την εμπιστοσύνη των μαθηματικών από τις εργασίες του Albert Girard (1629), στις οποίες γίνεται αποδεκτή η ύπαρξη αρνητικών και φανταστικών ριζών μιας εξίσωσης. Ο Descartes (1637) αναφέρεται στις αρνητικές ρίζες ως λανθασμένες και δεν τις χρησιμοποιεί, ωστόσο η γεωμετρική αναπαράσταση των αρνητικών αριθμών που εισήγαγε τους έκανε πιο αποδεκτούς στους υπόλοιπους μαθηματικούς. Η αρνητική ρίζα προκαλεί δυσκολίες στους μαθηματικούς γιατί χρειάζεται ερμηνεία. Όπως παρατήρησε ο Carnot (1753-1823) για να οριστεί ένας αρνητικός αριθμός πρέπει να αποκοπεί μια ποσότητα από το μηδέν, να αφαιρεθεί κάτι από το απόλυτο μηδέν, μια πράξη αδύνατη
Ιστορική Αναδρομή τα μέσα του 18ου αιώνα ο Clairot (1713-1765) τόνιζε ότι η πρόσθεση δεν πρέπει να συγχέεται με την αύξηση, και έκανε διάκριση ανάμεσα στο πρόσημο του αριθμού και στο σημείο της πρόσθεσης. Ένα αιώνα αργότερα ο Euler χρησιμοποίησε με επιτυχία τους αρνητικούς αριθμούς Ωστόσο, το 1770 έγραφε τα πιο κάτω μάλλον αφελή: παραμένει ακόμη η περίπτωση πολλαπλασιασμού του (-α) επί (-β). Ως προς τα γράμματα, προφανώς το γινόμενο θα είναι (αβ), είναι όμως ασαφές κατά πόσο το πρόσημο θα είναι + ή -, το σίγουρο είναι ότι θα είναι ένα από τα δύο. Τποστηρίζω, ωστόσο, ότι δεν μπορεί να είναι γιατί (+α) επί (-β) κάνει αβ και (-α) επί (-β) δεν μπορεί να δίνει το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά πρέπει να είναι το αντίθετο, δηλαδή +αβ. υνεπώς, έχουμε τον κανόνα: + επί + κάνει +, όπως ακριβώς κάνει και επί.
Ιστορική Αναδρομή Αντιφάσεις και σύγχυση επικρατούσε όμως κατά τον 17ο και 18ο αιώνα από πολλούς μαθηματικούς. Σον 19ο αιώνα δόθηκε η πραγματική εξήγηση των ιδιοτήτων των Διαπιστώνουμε αρνητικών. Η οριστική από τους τη θεμελίωση σύντομη επιτεύχθηκε ιστορική στο 19ο αιώνα με τις συνολοθεωρητικές αλγεβρικές μεθόδους που γνωρίζουμε. αναδρομή τη σημαντικότητα του θέματος και τις δυσκολίες που αντιμετωπίσαμε για την πλήρη αποδοχή των αρνητικών αριθμών. Ο Hankel (1867) ανέλυσε το πρόβλημα με καθαρά τυπικό τρόπο. Σόνισε πρώτα ότι οι κανόνες πρέπει να είναι οι ίδιοι τόσο για τους θετικούς όσο και για τους αρνητικούς αριθμούς, οι οποίοι έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τους θετικούς και έκανε σαφή διάκριση ανάμεσα στο πρόσημο -, στην έννοια του αντίθετου και στην αφαίρεση.