7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ

Transcript

1 1 7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Απόλυτη τιµή ρητού: Έστω ένας ρητός αριθµός α. Η απόλυτη τιµή του αριθµού α συµβολίζεται µε α και εκφράζει την απόσταση του σηµείου µε τετµηµένη α από την αρχή Ο του άξονα. 2. Αντίθετοι αριθµοί : Ονοµάζονται οι αριθµοί που είναι ετερόσηµοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιµή. Ο αντίθετος του αριθµού x είναι ο x Ο αντίθετος του αριθµού x είναι ο x Ο αντίθετος του 0 είναι το 0 3. Απόλυτη τιµή και το ίσον της: Η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού είναι ο ίδιος ο αριθµός. Η απόλυτη τιµή ενός αρνητικού αριθµού είναι ο αντίθετός του. Η απόλυτη τιµή του 0 είναι το 0 4. Ένα επακόλουθο : ύο σηµεία, τα οποία βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις δεξιά και αριστερά από την αρχή Ο του άξονα έχουν τετµηµένες αντίθετους αριθµούς. 5. Σύγκριση ρητών : Μεταξύ δύο ρητών, που είναι πάνω στον άξονα των ρητών, µεγαλύτερος είναι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα. Αποτέλεσµα του παραπάνω Κάθε θετικός ρητός είναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό. Το 0 είναι µικρότερο από κάθε θετικό ρητό και µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό. Από δύο θετικούς ρητούς, µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. Από δύο αρνητικούς ρητούς, µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την µικρότερη απόλυτη τιµή.

2 2 ΣΧΟΛΙΟ Σχετικά µε τα σύµβολα x και ( x) Προσοχή το σύµβολο x δεν παριστάνει κάποιον αρνητικό αριθµό, αλλά παριστάνει τον αντίθετο του αριθµού x Επίσης το σύµβολο ( x) παριστάνει τον αντίθετο του x, που ως γνωστό είναι ο x. Άρα ισχύει ( x) = x ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στις παρακάτω προτάσεις να συµπληρώσετε τα κενά ύο αριθµοί που είναι... και έχουν... λέγονται αντίθετοι Ο αντίθετος του α είναι ο... Αν ο α είναι αρνητικός, ο αντίθετός του είναι... δ) Οι... αριθµοί ή οι... αριθµοί έχουν ίσες απόλυτες τιµές ε) 0 =... Απάντηση Θεωρία ύο αριθµοί που είναι ετερόσηµοι και έχουν ίσες απόλυτες τιµές λέγονται αντίθετοι. Ο αντίθετος του α είναι ο α Αν ο α είναι αρνητικός ο αντίθετος του είναι θετικός δ) Οι ίσοι αριθµοί ή οι αντίθετοι αριθµοί έχουν ίσες απόλυτες τιµές ε) 0 = 0 2. Αν ισχύει α = β, να βρείτε τη σχέση µεταξύ των δύο αριθµών α και β Θεωρία 1-2 Αφού οι αριθµοί α και β έχουν ίσες απόλυτες τιµές, ή θα έχουν την ίδια εικόνα στον άξονα των ρητών οπότε θα είναι ίσοι, ή οι εικόνες τους θα ισαπέχουν από την αρχή Ο του άξονα οπότε θα είναι αντίθετοι. Τελικά λοιπόν α = β ή α = β

3 3 3. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα x ή ή 2 x ή ή + 2 ( x) ή ή 2 x ή + 2 x ή Θεωρία η στήλη x = 4, x = ( 4) = + 4, ( x) = (+4) = 4, x = 4 = + 4, x = +4 = η στήλη x = 1, x = +1, ( x) = ( 1) = + 1, x = +1 = +1, x = 1 = η στήλη ( x) = + 5, x = + 5, x = (+5) = 5 x = +5 = +5 και x = 5 = +5 4 η στήλη x = + 6 τότε x = + 6 ή x = 6 Οπότε, αν x = + 6 τότε x = (+6) = 6, x = 6 = + 6 αν x = 6 τότε x = ( 6) = +6, x = + 6 = + 6 ( x) = ( 6) = +6 και ( x) = (+ 6 ) = 6 και 5 η στήλη x = + 2 άρα και x = + 2 τότε x = + 2 ή x = 2 Οπότε, αν x = + 2 τότε x = (+2) = 2 και ( x) = ( 2) = +2 αν x = 2 τότε x = ( 2) = +2, ( x) = (+ 2 ) = 2 Συµπληρωµένος ο πίνακας φαίνεται παραπάνω. Τα στοιχεία που συµπληρώθηκαν είναι τα κόκκινα. 4. ύο αριθµοί έχουν διαφορά απολύτων τιµών ίση µε 1. Να συγκρίνετε τους αριθµούς. Έστω α και β οι δύο αριθµοί για τους οποίους ισχύει α β = 1 > 0 άρα α β > 0 Θεωρία 2-5 α > β (1) Όταν και οι δύο είναι θετικοί, η (1) δίνει α > β Όταν ο α είναι θετικός και ο β αρνητικός, τότε προφανώς είναι α > β Όταν ο α είναι αρνητικός και ο β θετικός, τότε προφανώς είναι α < β Όταν και οι δύο είναι αρνητικοί, η (1) δίνει α > β άρα α < β

4 4 5. Στα παρακάτω κενά να βάλετε το κατάλληλο από τα σύµβολα <, >, = δ) ε) στ) ζ) η) θ) ι) ι 4... ( 4) Με βάση το 5 της θεωρίας εύκολα βρίσκουµε ότι + 4 < < 2 7 < 1 δ) 0 < 4 ε) 10 > 11 στ) 20 < 35 ζ) 3 > 39 η) +3 = 3 θ) 9 > +5 ι) 3< 3 ι 4< ( 4) 6. Να διατάξετε τους αριθµούς + 8,6, 0, 7,4, 5,2, 1,33, 6 από τον µεγαλύτερο στον µικρότερο Θεωρία 5 + 8,6 > 5,2 > 0 > 1,33 > 6 > 7,4 7. Να βρείτε τον αριθµό x αν x = 15 x = 15 Αν x = 15 τότε x = 15 Αν x = 15 τότε x = ( 15) = Να βρείτε όλους τους ακεραίους που έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του 5 µικρότερη του 1 µικρότερη ή και ίση µε το 6 Οι ζητούµενοι ακέραιοι πρέπει να απέχουν από την αρχή Ο του άξονα των ρητών λιγότερο από 5 µονάδες. Εποµένως αυτοί είναι οι 4, 3, 2, 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4 Οµοίως οι ζητούµενοι ακέραιοι πρέπει να απέχουν από την αρχή Ο του άξονα των ρητών λιγότερο από 1 µονάδα. Ο µοναδικός ακέραιος µε αυτή την ιδιότητα είναι το 0. Οµοίως οι ζητούµενοι ακέραιοι πρέπει να απέχουν από την αρχή Ο του άξονα των ρητών απόσταση µικρότερη ή και ίση µε 6 µονάδες. Εποµένως είναι οι 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6

5 5 9. Να γράψετε όλους τους ακέραιους που βρίσκονται µεταξύ του 8 και του + 6. Από τους παραπάνω ακέραιους να βρείτε i) όσους είναι µικρότεροι από το 2 ii) έχουν αντίθετο µικρότερο του 2 iii) είναι µεγαλύτεροι από το 4 iν) έχουν αντίθετο µεγαλύτερο του 2 ν) έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του 4 νi) έχουν απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του +2 νii) Είναι µεταξύ του 5 και του +1 νiii) η απόλυτη τιµή τους βρίσκεται µεταξύ του + 1 και του + 5 ix) Η απόσταση τους από το 0 είναι 4 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5 i) 7, 6, 5, 4, 3 ii) + 3, + 4, + 5 iii) + 5 iν) 7, 6, 5, 4, 3 ν) 3, 2, 1, 0, + 1, + 2, + 3 νi) 7, 6, 5, 4, 3, + 3, + 4, + 5 νii) 4, 3, 2, 1, 0 νiii) 4, 3, 2, + 2, + 3, + 4 ix) 4, Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τους αριθµούς + 4 3, , 5 4 1, 2 5 3, 2 5 4, Πρώτα µετατρέπουµε τους µεικτούς σε κλάσµατα = 10 10, = 4 4, = 5 5, = 5 5, = Άρα 21 4 < < 14 5 < 13 5 < <

6 6 11. Αν για τους ακέραιους α και β ισχύουν οι σχέσεις 9 < α 4 και α < β < 3, να βρείτε τις τιµές που µπορούν να πάρουν τα α και β Το α µπορεί να πάρει τις τιµές : 8, 7, 6, 5, 4 Το β πρέπει να είναι µεγαλύτερο από την ποιο µικρή τιµή του α, δηλαδή από το 8, και µικρότερο από το 3 εποµένως το β µπορεί να πάρει τις τιµές : 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, + 1, Να γράψετε 4 αριθµούς που είναι µεγαλύτεροι από το 10 και µικρότεροι από το 8 µεγαλύτεροι από το 4,9 και µικρότεροι από το 4,8 µεγαλύτεροι από το 9,3 και µικρότεροι από το 8,2 Απάντηση 9, 9,1, 8, 1, 8,5 4,81, 4,82, 4,83, 4,84 9, 9,1, 8,5, 8,6 13. Έστω οι αριθµοί 4 και Να βρείτε ποιος έχει την µικρότερη απόλυτη τιµή Να γράψετε δύο οµόσηµους ακέραιους που βρίσκονται µεταξύ των παραπάνω αριθµών Να γράψετε δύο αντίθετους ακέραιους που βρίσκονται µεταξύ των παραπάνω αριθµών δ) Πόσοι αρνητικοί ακέραιοι βρίσκονται µεταξύ των παραπάνω αριθµών ; Είναι =13 4, επίσης 4 = 4 και 13 4 = 13 4, προφανώς 13 4 < 4 Εποµένως µικρότερη απόλυτη τιµή έχει ο Οι 3, 1 Οι 2, + 2 δ) Είναι οι 3, 2, 1. ηλαδή τρεις αρνητικοί ακέραιοι βρίσκονται µεταξύ των παραπάνω αριθµών