Κεφάλαιο 4 είκτες Κεντρικής Τάσης 1 Οι είκτες Κεντρικής Τάσης Είναι αριθµητικές τιµές που δείχνουν το ΚΕΝΤΡΟ της κατανοµής Η εσπόζουσατιµή ( σπ) Η ιάµεσος( µ) ΟΜέσοςΌρος(Μ.Ο) 1
Η εσπόζουσα Τιµή (Mode) Είναι η τιµή που συναντάται τις περισσότερες φορές σε µια κατανοµή. Είναι δηλαδή, ητιµή µε τηµεγαλύτερη συχνότητα Χρησιµοποιείται συνήθως για την περιγραφή κατηγορικών (ποιοτικών) µεταβλητών Μπορεί να υπάρχουν δύο ή και περισσότερες δεσπόζουσες τιµές σε µια κατανοµή (δίκορφη, ή πολύκορφη κατανοµή) Παράδειγµα Υπολογισµού της εσπόζουσας τιµής µιας κατανοµής Τιµές 1 4 5 8 9 10 Σύνολο Συχνότητα (f) 0 10 11 Ν=50 Ηδεσπόζουσατιµή αυτής της κατανοµής είναι το 4
Παράδειγµα Υπολογισµού της εσπόζουσας τιµής µιας οµαδοποιηµένης κατανοµής ιαστήµατα Κλίµακας 50-54 45-49 40-44 5-9 0-4 5-9 0-4 Σύνολο Μέση Τιµή 5 4 4 Συχνότητα (f) Ν=14 Η δεσπόζουσα τιµή αυτής της κατανοµής είναι το διάστηµα 5-9 11 14 9 1 1 10 5 Πλεονεκτήµατα - Μειονεκτήµατα Πλεονεκτήµατα είχνει την πιο συχνή τιµή της κατανοµής Μένει ανεπηρέαστη από ακραίες τιµές Μπορεί να υπολογιστεί όταν οι ακραίες τιµές είναι άγνωστες Μειονεκτήµατα εν λαµβάνει υπόψη την ακριβή τιµή του κάθε στοιχείου εν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να υπολογιστούν παράµετροι του πληθυσµού εν είναι πολύ χρήσιµη για µικρό αριθµό δεδοµένων ίνει περισσότερες πληροφορίες από το µέσο όρο για την κατανοµή, όταν αυτή έχει τη µορφή U εν µπορεί να υπολογιστεί µε ακρίβεια όταν έχουµε οµαδοποιηµένη κατανοµή
Η ιάµεσος (Median) Είναι η τιµή που χωρίζει την κατανοµή σε δύο ίσα τµήµατα Για να υπολογίσουµε τηδιάµεσο µιας κατανοµής θα πρέπει πρώτα να ιεραρχήσουµε τις τιµές της (αρχίζοντας από τη µικρότερη) Στη συνέχεια επιλέγουµετηντιµή που βρίσκεται στη µεσαία θέση της κατανοµής Παράδειγµα υπολογισµού της ιαµέσου όταν έχουµε περιττό αριθµό τιµών ιάµεσος Τιµές: 18 5 1 4 1 15 8 1 Ιεραρχηµένες Τιµές: 4 1 15 1 18 1 5 8 Θέση Ταξινόµησης: 1 4 5 8 9 Μεσαία Θέση Θέση 8 4
Παράδειγµα υπολογισµού της ιαµέσου όταν έχουµε άρτιο αριθµό τιµών Ιεραρχηµένες Τιµές: 4 1 15 1 18 1 5 ιάµεσος ιάµεσος 1,5 1,5 Θέση Ταξινόµησης: 1 4 5 8 Μεσαία ΜεσαίαΘέση 4,5 4,5 9 Παράδειγµα υπολογισµού της ιαµέσου όταν υπάρχουν ίδιες τιµές σε µια κατανοµή και άρτιος αριθµός τιµών ιάµεσος 1+1/= 19 Τιµές: 4 1 1 1 1 1 1 1 8 0 Ταξινόµηση: 1,5,5 4,5 4,5 9 10 Θέση Ταξινόµησης: 1 4 5 8 9 10 +/ =.5.5 Μεσαία Θέση Θέση 10 5
Πλεονεκτήµατα - Μειονεκτήµατα Πλεονεκτήµατα Είναι πιο εύκολο να υπολογιστεί σε σχέση µε τον µέσο όρο Μειονεκτήµατα εν λαµβάνει υπόψη την ακριβή τιµή του κάθε στοιχείου εν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές, οπότε είναι ο καλύτερος δείκτης κεντρικής τάσης σε ασύµµετρη κατανοµή Μπορεί να υπολογιστεί ακόµη και όταν δεν γνωρίζουµε τις ακραίες τιµές εν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να υπολογιστούν παράµετροι του πληθυσµού Εάν οι τιµές της κατανοµής είναι λίγες τότε η διάµεσος δεν τις αντιπροσωπεύει µε ακρίβεια 11 Μέσος Όρος (Mean) Η µέση τιµή της κατανοµής, πουορίζεταιωςτοπηλίκο του συνόλου των τιµών µιας κατανοµής µετοναριθµό των ατόµων που συµµετέχουν σε αυτή Είναι η πιο αντιπροσωπευτική τιµή της κατανοµής, και υπολογίζεται µε τη χρήση του παρακάτω τύπου: X = X N 1
Παράδειγµα: Τιµές: 15 18 1 4 19 15 + 18 + 1 + 4 + + 19 + X = = 0.14 1 Πλεονεκτήµατα - Μειονεκτήµατα Πλεονεκτήµατα Είναι εύκολος στον υπολογισµό του Αντικατοπτρίζει πιο πιστά την κεντρική τιµή τηςκατανοµής σε σχέση µε τους άλλους δείκτες Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό των παραµέτρων του πληθυσµού (παραµετρικά τεστ) Μειονεκτήµατα Είναι ευαίσθητος στις τιµές των δεδοµένων της κατανοµής Επειδή υπολογίζεται αλγεβρικά, ητιµή του είναι πιθανό να µην ανήκει στις τιµές της κατανοµής Είναι πολύ ευαίσθητος στις ακραίες τιµές 14
Ποιος δείκτης είναι ο καταλληλότερος; Όταν η κατανοµή των δεδοµένων µας είναι συµµετρική, τότε οι τιµές και των τριών δεικτών είναι ίδιες, αλλά προτιµάµε τονµέσο όρο Όταν η κατανοµήτωνδεδοµένων µας είναι ασύµµετρη τότε καταλληλότερος δείκτης είναι η διάµεσος Όταν υπάρχει ανάγκη για µια γρήγορη και κατά προσέγγιση εκτίµηση της κεντρικής τάσης, τότε µπορούµε ναχρησιµοποιήσουµε τηδεσπόζουσα τιµή 15 Ποιος δείκτης είναι ο καταλληλότερος; Εάν τα δεδοµένα µας έχουν µετρηθεί σε κατηγορική κλίµακα, τότε καταλληλότερος δείκτης είναι η δεσπόζουσα τιµή Εάν τα δεδοµένα µας έχουν µετρηθεί σε ιεραρχική κλίµακα, τότε καταλληλότερος δείκτης είναι η διάµεσος Εάν τα δεδοµένα µας έχουν µετρηθεί σε κλίµακα ίσων διαστηµάτων ή σε αναλογική, τότε καταλληλότερος δείκτης είναι ο µέσος όρος 1 8