Μικρή επανάληψη 2
Βασικές παράμετροι : Γεωμετρία Εντατικά μεγέθη στο ΚΒ Καταστατικές σχέσεις υλικού Μετατόπιση του σημείου εφαρμογής των εξωτερικών δράσεων: Γενική περίπτωση Μας διευκολύνει στην αντιμετώπιση αξονικών με διάφορες εκκεντρότητες e = M/N Η ροπή είναι πάντα με διεύθυνση ώστε να εφελκύεται ο κάτω χάλυβας. Η αξονική είναι θετική όταν εφελκύει. Άρα γίνεται παράλληλη μετατόπιση της αξονικής στη θέση του εφελκυόμενου οπλισμού: M sds = M sd N sd * (h/2 d ) = M sd N sd * z s1 3
Επιπεδότητα διατομής: ε c2 /x = ε s1 /z s1 = ε s2 /z s2 Πλήρης συνάφεια χάλυβα με σκυρόδεμα Καταστατικές σχέσεις των υλικών (ΟΚΛ, ΟΚΑ, f cd, f yd ) Ισορροπία εσωτερικών δυνάμεων της διατομής με τις εξωτερικές δράσεις (M sds, N sd ): Αξονική N sd +F cd +F s2d = F s1d Ροπή M sds - F cd ζd F s2d (d-d 2 )=0 ή M sds + F cd (a-d 2 ) F s1d (d-d 2 ) = 0 4
Οι παραπάνω δύο εξισώσεις μαζί με τη βασική εξίσωση της επιπεδότητας της διατομής είναι οι τρεις εξισώσεις του προβλήματος σε γενικευμένη επίπεδη κάμψη με διαξονική. Οι άγνωστοι είναι όλες οι άλλες παράμετροι (φορτίο, τάση, παραμόρφωση). Εφόσον υπάρχει διαξονική κάμψη - αξονική, προστίθενται μία ακόμη εξίσωση (ροπές ως προς τον κάθετο άξονα) και πρόσθετες παράμετροι (θέση οπλισμών και ουδέτερου άξονα στην εγκάρσια διεύθυνση). Συνήθως επιλέγουμε κατηγορία υλικά (π.χ., C20, S500), άρα τα f cd, f yd είναι καθορισμένα. 5
Εφόσον σχεδιάζουμε για την ΟΚΑ, επιλέγουμε ε c2 = 0,0035. Άρα, είναι δεδομένος ο υπολογισμός της θλιπτικής δύναμης (θέση μέγεθος) : Χρησιμοποιούνται και πάλι οι συντελεστές πλήρωσης. Εφόσον σχεδιάζουμε για την ΟΚΛ, επιλέγουμε (ανάλογα με τον Κανονισμό) την τάση στον εφελκυόμενο ακρότατο χάλυβα οπλισμού: π.χ., ε s2 = 0,5f yd. Σε κάθε περίπτωση ο άγνωστος είναι η θέση του ΟΑ που ισορροπεί η διατομή. Σχεδιασμός: Γνωστά τα: M sd, N sd, b, d (z s1 ), d 2 (z s2 ), οπότε λύνουμε ως προς A s1, A s2, x = ξ d. Έλεγχος - ανάλυση: Είναι γνωστά τα A s1, A s2, b, d, d 2, e = M sd /N sd οπότε λύνουμε ως προς M sd, N sd, x = ξ*d. Λόγω της πολυπλοκότητας επίλυσης των εξισώσεων, χρησιμοποιούνται νομογραφήματα (οικονομικότητα). 6
7 ΟΚΑ
ζ ε s1, σ s1d ξ ε s2, σ s2d 8
Δεδομένα N sd = 350 kn, M sd = 420 knm. Υλικά C20, B500s b = 0,30m, h = 0,60m Διαδικασία d = 0,60-0,04 0,01 = 0,55m. d 2 = 0,05 d 2 /d = 0,10. M sds = 420 -(-350*0,25) = 507,5 knm. μ sds = 507,5/ (0,3*0,55 2 *20000/1,5) = 0,42 ω 1 = 0,54, ω 2 = 0,12 ε s1 = 20,00 σ sd = 500000/1,15 = 435000 kν/m 2 Α s1 = 100 2 * (0,54 * 0,3 * 0,55 * (20000/1,5) - 350) / 435000 = 19,2 cm 2 Κάτω: 4Φ25 (Α s1 = 19,6 cm 2 ) Άνω: Α s1 =0,11*30*55*(20/1,5)/(435)=5,5cm 2 τίθενται 3Φ20 (ρ > ρ/2!) Έλεγχοι: ρ = 19,2/30/55 = 0,0116 ρ min = (½)*2,2/435 = 0,0025 ρ max = 0,0115 9
Δεδομένα N sd = 350 kn, M sd = 420 knm. Υλικά C20, B500s b = 0,30m, h = 0,60m Διαδικασία d = 0,60-0,04 0,01 = 0,55m. z s2 = 0,3-0,05 = 0,25m M sds = 420 -(-350*0,25) = 507,5 knm. κ d = 55 / 507,5/0,3 = 1,34 < 1,54 = κ * d κ s1 = 2,94, κ s2 = 0,60, ρ 1 = 1,01 Α s1 = 2,94*507,5/55-10*350/(500/1,15) = 19,1 cm 2 Α s2 = 0,60*507,5/55 = 5,5 cm 2 Κάτω: 4Φ25 (Α s1 = 19,6 cm 2 ) Άνω τίθενται 4Φ18 (Α s2 = 10 cm 2 > ½ Α s1 = 9,6 cm 2 ) Έλεγχοι: ρ = 19,1/30/55 = 0,0116 ρ /ρ = 10/19,1 = 0,53 ρ min = (½)*2,2/435 = 0,0025 ρ max = 0,0115 10
11
Η θεωρία υπολογισμού ελέγχου διατομών υποστυλωμάτων δεν αλλάζει διόλου από τις δοκούς. Αυτά ουσιαστικά διαφέρουν από τις δοκούς ως προς το ότι: Φέρουν και κατακόρυφα φορτία. Φέρουν διαξονική καταπόνηση επειδή παραλαμβάνουν ροπές ως προς τους δύο άξονες. Εφόσον είναι λυγηρά, έχουν επί πλέον και φαινόμενα δευτέρας τάξεως. 12
Μόνιμα (κατακόρυφα) φορτία: Εσωτερικά: κεντρική θλίψη Περιμετρικά: αξονική και (μικρή) ροπή (πλην μεγάλων ή άνισων ανοιγμάτων) 13
Σεισμικά φορτία (+/-) : Αξονικό φορτίο με διαξονική κάμψη. Το αξονικό διατηρείται σταθερό στα εσωτερικά υποστυλώματα και στα γωνιακά περιμετρικά αυξομειώνεται ανάλογα με τη διεύθυνση του σεισμού. Υπάρχει διαξονική κάμψη λόγω στρέψης του κτιρίου. Χ. Ζέρης Δεκέμβριος 2012 14
Αστοχίες υποστυλωμάτων σε σεισμική καταπόνηση 15
Αστοχίες υποστυλωμάτων σε σεισμική καταπόνηση 16
Τα σεισμικά φορτία προκύπτουν από αδρανειακές δυνάμεις λόγω της κίνησης του κτιρίου. Οι ροπές στις δοκούς αυξομειώνουν τις τέμνουσες στα άκρα. Οι τέμνουσες αθροίζονται και αφαιρούνται στην περίμετρο, αυξομειώνοντας την αξονική στα εμπρός και πίσω υποστυλώματα (ταυτόχρονα με την εναλλαγή ροπής). Η (ισόποση) εναλλαγή ροπής συνεπάγεται ίσους κατά κανόνα οπλισμούς σε κάθε παρειά. 17
Για ισόποσα ανοίγματα υπό σεισμική δράση, είναι αναγκαίο κατά κανόνα να τοποθετούμε ισόποσους οπλισμούς σε κάθε παρειά. Οι οπλισμοί αυτοί άρα θα ληφθούν υπόψη κατά το σχεδιασμό του υποστυλώματος. Αντίθετα με τη δοκό, δεν οπλίζουμε για απλό εφελκυόμενο οπλισμό μόνο. Η διάταξη οπλισμών άρα παίζει ρόλο στην αντίσταση. Αντίθετα, σε υποστυλώματα με άνισες ροπές σε κάθε φορά (π.χ. χαμηλής σεισμικότητας πλαίσια με μεγάλα ανοίγματα), η οικονομικότητα υποχρεώνει να τοποθετούνται άνισοι οπλισμοί σε κάθε παρειά. Τα υποστυλώματα κατά κανόνα ελέγχονται σε ορθά μεγέθη για τριαξονικά μεγέθη [N sd, M sdx, M sdy ], στον πόδα και στην κορυφή. Οι οπλισμοί είναι σταθεροί καθύψος. Τηρείται ο δυσμενέστερος συνδυασμός. 18
Ο σχεδιασμός βασίζεται στην επιλογή του απαιτούμενου οπλισμού για τον καθορισμό της απαιτούμενης επιφάνειας αστοχίας που θα περιβάλει όλες τις δυνατές 3άδες εντατικών μεγεθών. Για την τέμνουσα ισχύει το δικτύωμα του Mörsch, με την προϋπόθεση ότι λαμβάνεται η επίδραση της αξονικής στη διατμητική αντίσταση: Ευμενής δράση σε διαγώνιο εφελκυσμό (δευτερεύοντες μηχανισμοί ελκυστήρα) αυξάνεται η V Rd1 Δυσμενής δράση στο διαγώνιο θλιπτήρα (μέρος της αντοχής θλιπτήρα καταναλώνεται από τις αξονικές τάσεις). V Rd2, ΑΠΟΜΕΙΩΜΈΝΗ = 1,67 V Rd2 (1-σ cp /f cd ) V Rd2 Ν=0 όπου: σ cp = (N sd -A s2 *f yd )/bh 19
Λόγω της ιδιαιτερότητας των υποστυλωμάτων να έχουν ίσες και εναλλασσόμενες ροπές χρησιμοποιούμε νομογραφήματα με ισοδιανεμημένο οπλισμό στις δύο παρειές, υπολογισμένα για το σύνολο του οπλισμού : A s1 = A s2 = ½ A s,tot με βάση τις δράσεις στο μέσον της διατομής (N sd, M sd ). Λόγω της ύπαρξης της αξονικής δύναμης τα διαγράμματα αυτά υπολογίζονται σε όλο το φάσμα των δυνατών ανηγμένων παραμορφώσεων σε θλίψη και εφελκυσμό, άρα όλες οι δυνατές θέσεις του ουδέτερου άξονα από (ε = -20 κεντρικός εφελκυσμός) έως + (ε = 2 κεντρική θλίψη). Ομοίως, δεν υπάρχουν πλέον περιορισμοί στο x lim. Μόνο στο ν d! 20
Ο υπολογισμός των οπλισμών γίνεται με χρήση νομογραφημάτων σχεδιασμού σε μονοαξονική ή διαξονική καταπόνηση. Αυτά αντιστοιχούν σε: Δεδομένη κατηγορία οπλισμού, Διάταξη οπλισμού (π.χ., ισοκατανεμημένος στην παρειά ή στις τέσσερεις γωνίες, με A s1 =A s2 ) και d 1 /h. Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε όλα τα πιθανά ζεύγη (ν d, μ sd ), επιλέγουμε το κατάλληλο νομογράφημα και βρίσκουμε την περιβάλλουσα ω tot. Κατόπιν υπολογίζεται ο οπλισμός για τη διάταξη που επελέγη. 21
-0,333 0,375 Εφαρμογή: Υποστύλωμα 30/30, C20/S500. d 1 /h = 0,15 N sd = -400 kn θλιπτική, M sd = 135 knm ν sd = -400/(0,3 2 *20000/1,5) = -0,333 μ sd = 135/(0,3 3 *20000/1,5) = 0,375 ω tot = 0,85 : A s1 = A s2 = ½*30*30*0,85*(20/1,5)/(500/1,15) = 11,7 cm 2. Τίθενται 4Φ20 σε κάθε παρειά (=12 cm 2, Α s,tot =24 cm 2 ). Έλεγχος: ρ = 36/30/30 = 4,0% 22
ε c2 ΟΑ Ισχύει η επιπεδότητα των διατομών. Οπότε σε αυτή την περίπτωση η κατανομή των ανηγμένων παραμορφώσεων στη διατομή είναι αντί για μία ευθεία ένα πρίσμα (καθορίζεται με τρεις παραμέτρους, ε c2, x, y). 23
Για τη διαξονική καταπόνηση ακολουθείται η ίδια μεθοδολογία: Υπολογίζουμε όλα τις πιθανές τριάδες (ν d, μ sdy, μ sdz ). Επιλέγουμε το κατάλληλο νομογράφημα. Ορίζουμε το ημι-τεταρτημότιο της δεδομένης αξονικής που αφορά (ν d ) και τοποθετούμε τα ζεύγη (μ sdy, μ sdz ). Βρίσκουμε την περιβάλλουσα ω tot. Κατόπιν υπολογίζεται ο οπλισμός A s,tot για τη διάταξη που επελέγη. 24
Εφαρμογή: Τετράγωνο υποστύλωμα, ν d = -0,333 C20/S500. d 1 /h = 0,15. Θεωρώ αρχικά 30/30. N sd = -400 kn, M sdx =135 knm, M sdy =85 knm ν sd = -400/(0,3 2 *20000/1,5) = -0,333 μ sdx = 135/(0,3 3 *20000/1,5) = 0,375 μ sdy = 85/(0,3 3 *20000/1,5) = 0,236 ω tot = 1,50 (μέσος όρος για ν sd =-0,2 και -0,4) A s = ¼*30*30*1,5*(20/1,5)/(500/1,15) = 13,6 cm 2 σε κάθε παρειά. Τίθενται 2Φ20+3Φ18 σε κάθε παρειά (13,5 cm 2 ). Έλεγχος: ρ = 42/30/30 = 4,8% > 4,0% Πρέπει να αυξηθεί η διάσταση σε 35/35 Με βάση τα νέα ν sd, μ sdx, μ sdy απαιτούνται 12Φ18, ρ=2,5 % OK μ sdy = 0,236 μ sdx = 0,375 25
26
27
Χ. Ζέρης Δεκέμβριος 2012 28
Ιδεατή τριαξονικότητα Το σκυρόδεμα έχει την ιδιότητα να αυξάνει σημαντικά τη θλιπτική του αντοχή εφόσον παρεμποδίζεται η εγκάρσια διόγκωσή του. Η ιδεατή περίσφιγξη αποδίδεται από τριαξονική πίεση (π.χ., με σωλήνα από χάλυβα ή με πυκνή σπείρα). Πρακτικά η περίσφιγξη επιτυγχάνεται με κλειστούς συνδετήρες σε μικρές αποστάσεις. Η αποδοτικότητα ποικίλλει με τη διάταξη και το υλικό περίσφιγξης (ΙΝΟΠ, λάμες, χιτώνια). σ α = f c (1+ 4,10 σ c /f c ) σ α = f c (1+ [0,1-0,8] σ c /f c ) 29
Επειδή οι συνδετήρες δεν μπορούν να δημιουργήσουν την ίδια αποδοτικότητα όπως η ιδεατή τριαξονικότητα, χρησιμοποιείται ο ημι-εμπειρικός συντελεστής αποδοτικότητας α. α = α n α s Επιλέγεται η διάταξη συνδετήρων και υπολογίζεται το μηχανικό ποσοστό οπλισμού συνδετήρων ω wd συναρτήσει της αξονικής ν d. Στον υπολογισμό ελέγχεται η απαίτηση αξονικής που προκύπτει από τους σεισμικούς συνδυασμούς. ω wd = όγκος συνδετήρων όγκος πυρήνα f yd f cd Χ. Ζέρης Δεκέμβριος 2012 30
Διαδικασία: Επιλέγουμε : διάταξη και n Υπολογίζεται: ν d = N d /bhf cd Ελέγχεται ότι ν d 0,65 α n = 1-8/3n α s = (1-s /2b 0 ) 2 b 0 το εμβαδόν του πυρήνα s η καθαρή απόσταση μεταξύ συνδετήρων Υπολογίζεται: μηχανικό ογκομετρικό ποσοστό συνδετήρων ω wd ω wd = (όγκος συνδετήρων/ όγκος πυρήνα) (f yd /f cd ) Αν ρ x ρ y τίθεται ρ = ρ minx,y, οπότε ω wd = 2 ρ minx,y (f yd /f cd ) : ΕΚΩΣ Χ. Ζέρης Δεκέμβριος 2012 31
Ορίζονται οι κρίσιμες περιοχές των υποστυλωμάτων l cr : l cr = b, h H/5 600 mm Το υποστύλωμα θεωρείται όλο κρίσιμο αν είναι θέσει ή φύσει κοντό: γωνιακά, περιμετρικά ή υποστυλώματα σε φεγγίτες. 32
Στις κρίσιμες περιοχές υποστυλωμάτων (l cr ): Ελάχιστη διάμετρος Φ8 Μέγιστη απόσταση s: s min = max ½ min {b,h} 8 Φ L 100 mm s min = max min {b,h} 12 Φ L Σε ματίσεις στην κρίσιμη ζώνη: Μέγιστη απόσταση s: 4 Φ L,min 300 mm 33
Εφαρμογή: Υποστύλωμα 30/30 d = 3cm 8Φ18, Φ8/10 H = 3,0-0,5 = 2,50 m b 0 = 30-2*3= 24 cm C20, S500 Συνδετήρες Φ8/10, s = 10-0,8 = 9,2 cm N sd = 450 kn ν d = 450*1,5/0,3 2 /20000 = 0,38 < 0,65 α n = 1-8/3n = 0,667, α s = (1-s /2b 0 ) 2 = (1-9,2/48) 2 = 0,653 α = 0,667 * 0,653 = 0,436 Απαιτούμενο ω wd = [0,85*0,38*[0,35*(30/24) 2 +0,15]-0,035]/0,436 = 0,436 0,10 Παρεχόμενο ω wd = (500/1,15)/(20/1,5)*{4*22*0,5*(1+1/ 2)cm 3 /(22*22*10cm 3 )} = 0,506 άρα Φ8/10 επαρκούν 34
Ελάχιστη διάσταση : 250 mm Ελάχιστη διάσταση : 200/350 Ελάχιστος οπλισμός: 4 διαμήκεις γωνιακές (τετράγωνη διατομή) 6 διαμήκεις κυκλικά (κυκλική διατομή) Φ L 14 Ποσοστό διαμήκους οπλισμού: 0,01 ρ L 0,04 Πλην υποστυλωμάτων 300/300 με 4 γωνιακούς οπλισμούς, δεν επιτρέπεται κενό μεταξύ διαμήκων οπλισμών χωρίς συνδετήρες > 200 mm Μπορεί να χρησιμοποιηθούν δύο διάμετροι οπλισμών, με Φ L,min 2/3 * Φ L,max 200 mm 35
Ο οπλισμός του υποστυλώματος είναι σταθερός ανά όροφο. Επιτρέπεται η μάτιση των οπλισμών (αναμονές) στη βάση του υποστυλώματος, με αύξηση του μήκους αλληλεπικάλυψης των οπλισμών (μάτιση) και ενδεχόμενη αύξηση των συνδετήρων. Η μάτιση μπορεί (καλύτερα) να γίνει και στο μέσον του υποστυλώματος. Προσοχή στις μπουκάλες. Χαμηλή κλίση και πυκνοί συνδετήρες για τις δυνάμεις εκτροπής. 36