ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. Μια ακολουθία ϑα είναι ορισµένη αν γνωρίζουµε ποιός πραγµατικός αριθµός αντιστοιχεί σε κάθε ϕυσικό αριθµό. Συµβολικοί τρόποι που µας εξασφαλίζουν αυτό είναι οι εξής : α) Να δίνεται ο νιοστός όρος της ακολουθίας συναρτήσει του, έτσι ώστε για κάθε N να έχουµε την τιµή του αντίστοιχου όρου π.χ. να λέµε : ίνεται η ακολουθία Τότε µπορούµε να πάρουµε a =, =, 2, 3,... + a = + 2 = 3, a 2 = 2 2 + 2 = 2 4, a 3 = 3 3 + 2 = 3 5,... a = + 2,... Αν δεν πρόκειται για µια συγκεκριµένη ακολουθία, αλλά για µια τυχαία, ϑέλοντας να δηλώσουµε ότι γνωρίζουµε το νόµο ϐάσει του οποίου κάθε N αντιστοιχεί σ έναν και µόνο πραγµατικό αριθµό γράφουµε : δίνεται η ακολουθία {a }, =, 2, 3,... δίνεται η ακολουθία {a } N, =, 2, 3,... δίνεται η ακολουθία a N, =, 2, 3,... ή πιο απλά δίνεται η ακολουθία (a ), N. Επιπλέον, αφού η ακολουθία πραγµατικών αριθµών είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το N και τιµές στο R, µπορούµε να γράψουµε δίνεται η ακολουθία, a : N R ή δίνεται η ακολουθία, N a R ϐ) Ενας άλλος τρόπος µε τον οποίο µπορεί να ορισθεί µια ακολουθία είναι µε τον αναδροµικό τύπο, δηλαδή να µας δίνουν τον πρώτο όρο της ακολουθίας και ένα νόµο µέσου του οποίου µπορεί να υπολογισθεί ο τυχαίος όρος της ακολουθίας από τον προηγούµενό του. Τότε από την γνωστή επαγωγική µέθοδο µπορούµε να υπολογίσουµε τον κάθε όρο της ακολουθίας, γιατί ο πρώτος είναι γνωστός και µε την υπόθεση ότι γνωρίζουµε τον όρο τάξης k µπορούµε να υπολογίσουµε τον όρο τάξης k +. Π.χ. δίνεται η ακολουθία µε πρώτο όρο τον a = /2 και a + = 2a + 3, N. Τότε λέµε ότι η ακολουθία ορίζεται από αναδροµικό τύπο πρώτης τάξης. Αν γνωρίζουµε τους δυο πρώτους όρους κι έναν νόµο µε το οποίο µπορεί να υπολογιστεί ο τυχαίος όρος της ακολουθίας από τους δύο προηγούµενούς του, π.χ. αν έχουµε a =, a 2 = /2 και a +2 = a + 2a + 3, N, τότε λέµε ότι η ακολουθία (a ) ορίζεται από αναδροµικό τύπο δεύτερης τάξης, και µε όµοιο τρόπο µπορεί να γενικευθεί σε αναδροµικό τύπο τρίτης, τέταρτης τάξης κ.ο.κ.
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 2 Μονοτονία και ϕράγµα ακολουθίας 2. Μονοτονία Ορισµός 2.. Μια ακολουθία (a ) λέγεται γνήσια αύξουσα αν και µόνο αν a + > a για κάθε N. Συµβολικά έχουµε (a ) ορ a + > a N. Αν µια ακολουθία (a ) είναι γνήσια αύξουσα τότε ο τυχαίος όρος της ακολουθίας είναι µεγαλύτερος από κάθε προηγούµενό του, οπότε ένας ισοδύναµος ορισµός είναι (a ) ορ, m N µε m > a m > a. Ορισµός 2.2. Μια ακολουθία (a ) λέγεται γνήσια ϕθίνουσα αν και µόνο αν a + < a για κάθε N. Συµβολικά έχουµε (a ) ορ a + < a N. Σε µια γνήσια ϕθίνουσα ακολουθία ο τυχαίος όρος αυτής είναι µικρότερος από κάθε προηγούµενό του, οπότε έχουµε τον ισοδύναµο ορισµό (a ) ορ, m N µε m > a m < a. Αν στους προηγούµενους ορισµούς ισχύει η ισότητα a + = a για τουλάχιστον µια τιµή του τότε ϑα έχουµε a + a ( ή a + a ), N, οπότε η ακολουθία ϑα λέγεται αύξουσα (ή ϕθίνουσα), αντίστοιχα, και σηµειώνουµε (a ), ή (a ) αναλόγως. Αν µια ακολουθία ικανοποιεί έναν από τους παραπάνω ορισµούς λέγεται µονότονη. Για να διαπιστώσουµε την µονοτονία µιας δοσµένης ακολουθίας (a ), εργαζόµαστε µε έναν από τους παρακάτω τρόπους : Σχηµατίζουµε την διαφορά a a. Αν a a > 0 ( < 0 ), N, η (a ) είναι γνήσια αύξουσα ( γνήσια ϕθίνουσα ), αντίστοιχα. Αν για τουλάχιστο ενα στις παραπάνω ανισότητες έχουµε ισότητα τότε η (a ) είναι αύξουσα ( ϕθίνουσα ), αντίστοιχα. Αν οι όροι της ακολουθίας διατηρούν πρόσηµο µπορούµε να ϑεωρήσουµε τον λόγο a + a µονοτονία. και να τον συγκρίνουµε µε την µονάδα, οπότε ϐγάζουµε συµπέρασµα για την Αν ϑέλουµε να δείξουµε ένα συγκεκριµένο είδος µονοτονίας τότε ξεκινάµε από αυτό που ϑέλουµε να δείξουµε και µε ισοδυναµίες καταλήγουµε σε σχέση που ισχύει. Αν η ακολουθία µας δίνεται από αναδροµικό τύπο, τότε συνήθως διαπιστώνουµε την µονοτονία χρησιµοποιώντας την επαγωγική µέθοδο. 2
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 2.2 Φράγµα Ορισµός 2.3. Μια ακολουθία (a ) λέγεται άνω ϕραγµένη αν και µόνο αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός B τέτοιος ώστε a B, N. Ο B λέγεται ένα άνω ϕράγµα της (a ). Προφανώς το άνω ϕράγµα B της (a ) δεν καθορίζεται µονοσήµαντα αφού κάθε B > B ϑα είναι κι αυτός ένα άνω ϕράγµα. Αν η (a ) είναι (γνήσια) ϕθίνουσα τότε (a ) a, N οπότε ένα άνω ϕράγµα είναι ο πρώτος όρος της ακολουθίας. Κατ αναλογία έχουµε Ορισµός 2.4. Μια ακολουθία (a ) λέγεται κάτω ϕραγµένη αν και µόνο αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός b τέτοιος ώστε b a, N. Το b λέγεται ένα κάτω ϕράγµα της (a ). Ορισµός 2.5. Μια ακολουθία (a ) λέγεται ϕραγµένη αν και µόνο αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί B, b τέτοιοι ώστε b a B, N. Ορισµός 2.6. Μια ακολουθία (a ) λέγεται απόλυτα ϕραγµένη αν και µόνο αν υπάρχει ϑετικός πραγµατικός αριθµός A τέτοιος ώστε a A, N. Η παρακάτω πρόταση αποδεικνύει ότι οι ορισµοί (2.5) (2.6) είναι ισοδύναµοι. Πρόταση 2.7. Η ακολουθία (a ) είναι ϕραγµένη αν και µόνο αν είναι απόλυτα ϕραγµένη. Απόδειξη : ( ) Εστω ότι η (a ) είναι ϕραγµένη. Τότε b a B, N. Θέτουµε A = max{ b, B } κι έχουµε B A b A b a B N A B A A b A b a B N A b a B A N a A, δηλαδή η (a ) απόλυτα ϕραγµένη. ( ) Το αντίστροφο είναι ϕανερό αφού αν η (a ) είναι απόλυτα ϕραγµένη τότε A a A N και συνεπώς η (a ) είναι και ϕραγµένη. Αν ϑέλουµε να δείξουµε ότι µια ακολουθία είναι ϕραγµένη αρκεί να δείξουµε ότι είναι απόλυτα ϕραγµένη. 3
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 3 Υπακολουθίες πραγµατικών αριθµών Ορισµός 3.. Ονοµάζουµε υπακολουθία, µιας ακολουθίας (a ), κάθε ακολουθία (b ) µε b = a k, N, όπου (k ) είναι γνήσια αύξουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών. Παράδειγµα 3.2. Αν από την ακολουθία (a ) λάβουµε τους όρους που έχουν άρτιους δείκτες 2, 4, 6... 2... δηλαδή τους όρους a 2, a 4, a 6... a 2... σχηµατίζεται η ακολουθία b = a 2. Η b είναι υπακολουθία της a. Με όµοιο τρόπο για k = 2 µπορούµε να σχηµατίσουµε την υπακολουθία b = a 2 µε τους περιττούς δείκτες, δηλαδή την υπακολουθία a, a 3, a 5... a 2... Παράδειγµα 3.3. Αν k = 3 τότε, η (k ) είναι γνήσια αύξουσα και σχηµατίζεται η υπακολουθία (a 3 ) δηλαδή η a 3, a 6, a 9... a 3.... Οµοια, µπορούµε να σχηµατίσουµε τις υ- πακολουθίες (a 3 ) και (a 3 2 ) δηλαδή τις a 2, a 5, a 8... a 3... και a, a 4, a 7... a 3 2... αντίστοιχα. Παράδειγµα 3.4. Αν k = 2, η (k ) είναι γνήσια αύξουσα και σχηµατίζεται η υπακολουθία (a 2 ), δηλαδή η a 2, a 4, a 8, a 6... a 2... Ας προσέξουµε ότι για να σχηµατισθούν τις υπακολουθίες (a 2 ) και (a 2 ) του παραδείγµατος (3.2), χρησιµοποιούµε όλους τους όρους την ακολουθίας (a ), γι αυτό λέµε ότι η ακολουθία (a ) διαµερίζεται στις ακολουθίες (a 2 ), (a 2 ). Οµοια, στο παράδειγµα (3.3) η (a ) διαµερίζεται στις υπακολουθίες (a 3 ), (a 3 2 ), (a 3 ). Γενικότερα, ένας τρόπος να διαµερίσουµε την ακολουθία (a ) είναι να ϑεωρήσουµε τις υπακολουθίες (a r ), (a r (r ) ),... (a r ), r N. Επιπλέον, για τις υπακολουθίες ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις : Πρόταση 3.5. Αν η ακολουθία (a ) είναι ϕραγµένη τότε κάθε υπακολουθία αυτής (a k ) είναι ϕραγµένη. Οµοια, αν η ακολουθία (a ) είναι άνω (κάτω) ϕραγµένη τότε κάθε υπακολουθία της είναι άνω (κάτω) ϕραγµένη. Η αντιθετοαντιστροφή της προηγούµενης πρότασης είναι Πρόταση 3.6. Αν τουλάχιστον µια υπακολουθία, έστω (a k ), της ακολουθίας (a ) δεν είναι ϕραγµένη τότε και η ακολουθία (a ) δεν είναι ϕραγµένη. Οµοια, αν τουλάχιστον µια υπακολουθία της (a ) δεν είναι άνω (κάτω) ϕραγµένη τότε και η ακολουθία (a ) δεν είναι άνω (κάτω) ϕραγµένη. Πρόταση 3.7. Αν η ακολουθία (a ) είναι γνήσια αύξουσα τότε κάθε υπακολουθία αυτής (a k ) είναι γνήσια αύξουσα. Οµοια, αν η ακολουθία (a ) είναι γνήσια ϕθίνουσα (αύξουσα ή ϕθίνουσα) τότε κάθε υπακολουθία αυτής (a k ) είναι γνήσια ϕθίνουσα (αύξουσα ή ϕθίνουσα). Πρόταση 3.8. Αν (k ) είναι γνήσια αύξουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών τότε k κάθε N., για οι αποδείξεις παρουσιάσθηκαν στις διαλέξεις 4
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 4 Σύγκλιση ακολουθιών στο R 4. Η έννοια της περιοχής Ονοµάζουµε περιοχή ενός πραγµατικού αριθµού x 0, κάθε ανοικτό διάστηµα (a, b) που πε- ϱιέχει το x 0. Για την σύγκλιση ακολουθιών ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχουν οι περιοχές του x της µορφής (x 0 ε, x + ε) όπου ε ϑετικός πραγµατικός αριθµός. Σε µια περιοχή αυτής της µορφής το x 0 λέγεται κέντρο και ο ϑετικός ε η ακτίνα της περιοχής. Αν x (x 0 ε, x 0 + ε) τότε x 0 ε < x < x 0 + ε ε < x x 0 < ε x x 0 < ε. Πολλές ϕορές ϑα χρησιµοποιούµε την έκφραση τελικά όλοι οι όροι της ακολουθίας ανήκουν στην οποιαδήποτε περιοχή του x 0. Με αυτό εννοούµε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας, εκτός από πεπερασµένου πλήθους όροι, ανήκουν στην οποιαδήποτε περιοχή του x 0. Ετσι αν τελικά όλοι οι όροι της (a ) ανήκουν στην οποιαδήποτε περιοχή του x 0, ϑα υπάρχει δείκτης 0 τέτοιος ώστε N µε 0, να έχουµε x 0 ε < a < x 0 + ε, για κάθε ε > 0, αφού ισχύει για την οποιαδήποτε περιοχή του x 0. 4.2 Μηδενικές ακολουθίες Περιγραφικά, µια ακολουθία a λέγεται µηδενική αν τελικά όλοι οι όροι αυτής ανήκουν στην οποιαδήποτε περιοχή του µηδενός. Κάθε ακολουθία µε αυτή την ιδιότητα ϑα λέγεται µηδενική ή ϑα λέµε ότι έχει όριο το µηδέν ή ότι τείνει στο µηδέν και ϑα σηµειώνουµε lim a = 0 ή a 0. Πιο αυστηρά Ορισµός 4.. Μια ακολουθία (a ) λέγεται µηδενική αν και µόνο αν για κάθε ε ϑετικό υπάρχει δείκτης 0, που εξαρτάται από το ε, έτσι ώστε a < ε για κάθε N µε 0 (ε). Συµβολικά γράφουµε lim a = 0 ε > 0 0 (ε) : N, 0 (ε) a < ε Παραδείγµατα µηδενικών ακολουθιών είναι οι a =, b = +, c =, k ϑετικός ϱητός k Θυµηθείτε από τις διαλέξεις ότι για να αποδείξουµε µε τον ορισµό (4.) ότι a 0, ξεκινάµε από την σχέση a < ε και µε ισοδυναµίες οδηγούµαστε σε σχέση της µορφής > f (ε). Σηµειώνουµε τον δείκτη 0 (ε) = [f (ε)] +, ο οποίος είναι ο ελάχιστος ϕυσικός αριθµός από τον οποίο και µετά ισχύει a < ε. Οπότε ϐγαίνει το συµπέρασµα ότι η (a ) είναι µηδενική ακολουθία. 5
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 4.3 Συγκλίνουσες ακολουθίες σε πραγµατικό αριθµό Αν µια ακολουθία a έχει την ιδιότητα τελικά όλοι οι όροι της να ϐρίσκονται στην οποιαδήποτε περιοχή του πραγµατικού αριθµού α, λέµε ότι η ακολουθία a συγκλίνει στο α ή ότι έχει όριο το α και σηµειώνουµε lim a = α, ή a α. Ορισµός 4.2. Μια ακολουθία (a ) λέµε ότι συγκλίνει στο α R, ή ότι έχει όριο το α R, ή ότι τείνει στον πραγµατικό αριθµό α, αν και µόνο αν για κάθε ε ϑετικό υπάρχει δείκτης 0, που εξαρτάται από το ε, έτσι ώστε a α < ε για κάθε N µε 0 (ε). Συµβολικά γράφουµε lim a = α ε > 0 0 (ε) : N, 0 (ε) a α < ε Άν ϑέλουµε να αποδείξουµε µε τον ορισµό ότι µια ακολουθία (a ) έχει όριο τον πραγ- µατικό α, τότε εργαζόµαστε όπως µε τις µηδενικές ακολουθίες αφού είναι προφανές ότι lim a = α lim(a α) = 0. 4.4 Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών Στην παράγραφο αυτή αναφέρουµε συγκεντρωτικά τις ϐασικές ιδιότητες των συγκλινουσών ακολουθιών. Οι αποδείξεις τους παρουσιάσθηκαν αναλυτικά ή σκιαγραφήθηκαν στις διαλέξεις. Ιδιότητα η Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στο R έχει ένα και µόνο όριο. Ιδιότητα 2η Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στο R είναι ϕραγµένη. Από την ιδιότητα αυτή συνάγουµε ότι αν µια ακολουθία δεν είναι ϕραγµένη τότε η ακολουθία δεν συγκλίνει στο R. Ιδιότητα 3η Αν για µια ακολουθία (a ) έχουµε a αυτής έχει όριο το α. α τότε και κάθε υπακολουθία Από την ιδιότητα αυτή συµπεραίνουµε ότι αν δυο υπακολουθίες της a δεν έχουν το ίδιο όριο τότε η a δεν συγκλίνει στο R. Επιπλέον, αν η µια ακολουθία διαµερίζεται σ ένα πλήθος υπακολουθιών που όλες έχουν κοινό όριο το α, τότε και η ακολουθία a έχει όριο το α. Ιδιότητα 4η Αν για µια ακολουθία (a ) έχουµε a α, τότε a α. 6
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Αν α 0, το αντίστροφο δεν ισχύει, γενικά. Π.χ. για την a = ( ) έχουµε ότι a = N, οπότε lim a =, όµως η a δεν συγκλίνει αφού οι υπακολουθίες της a 2 και a 2 έχουν διαφορετικά όρια lim a 2 = = lim a 2. Αν α = 0 ισχύει και το αντίστροφο, αφού lim a 0 = 0 lim( a 0 ) = 0 lim a 0 = 0. Ιδιότητα 5η Αν για την ακολουθία (a ) έχουµε a α, τότε a α. Ιδιότητα 6η Αν για τις ακολουθίες (a ), (b ) έχουµε a b ή µόνο a < b για κάθε > και b 0, τότε και a 0. Ιδιότητα 7η Αν για τις ακολουθίες (a ), (b ) έχουµε a b ή µόνο a < b για κάθε > και a a, b b, τότε a b. Ιδιότητα 8η Αν οι ακολουθίες (a ), (b ), (c ) ικανοποιούν την b a c για κάθε > ή µόνο την b < a < c, >, και lim b = lim c = a, τότε lim a = a. Ιδιότητα 9η Το γινόµενο µηδενικής ακολουθίας επί ϕραγµένη ακολουθία είναι µηδενική ακολουθία, δηλαδή αν a 0 και b ϕραγµένη τότε a b 0. Ιδιότητα 0η (όριο αθροίσµατος ακολουθιών). Αν οι ακολουθίες (a ), (b ) συγκλίνουν στο R, µε a a, b b, τότε και η (a + b ) συγκλίνει στο R και a + b a + b. Με άλλα λόγια lim(a + b ) = lim a + lim b. Ιδιότητα η (όριο γινοµένου ακολουθιών). Αν οι ακολουθίες (a ), (b ) συγκλίνουν στο R, µε a a, b b, τότε και η (a b ) συγκλίνει στο R και a b a b. Με άλλα λόγια lim(a b ) = lim a lim b. Ιδιότητα 2η Αν η ακολουθία ( ) (a ) µε a 0 N, συγκλίνει στο R, µε a a, a 0, τότε η ακολουθία συγκλίνει στο a. a Ιδιότητα 3η (όριο πηλίκου ακολουθιών) Αν η ακολουθία (a ) συγκλίνει ( ) στο R µε a a και η (b ) 0, N, συγκλίνει στο a R µε b b 0, τότε η συγκλίνει στο R και ισχύει b lim ( a b ) = lim a lim b = a b. 7
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ιδιότητα 4η (όριο τετραγωνικής ϱίζας ακολουθιών) Αν η ακολουθία (a ) συγκλίνει στο R µε a a, τότε η ακολουθία ( a ) συγκλίνει στο R και lim a = lim a = a 4.5 Βασικά όρια Τα παρακάτω όρια τα χαρακτηρίζουµε ως ϐασικά γιατί µπορούµε να τα ϑεωρούµε γνωστά όταν αντιµετωπίζουµε ϑέµατα σύγκλισης ακολουθιών.. Αν a = k, όπου k ϑετικός ϱητός αριθµός, τότε a 0. 2. Αν a = a, όπου a ϑετικός πραγµατικός αριθµός, τότε a. 3. Αν a = ω, µε ω <, ω R, τότε a 0. 4. (κριτήριο για µηδενικές ακολουθίες) Αν για την ακολουθία (a ) έχουµε a 0, N, και lim lim a = 0. a + a = θ, µε θ <, τότε 8
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 5 Κριτήρια σύγκλισης ακολουθιών στο R Σε διάφορα προβλήµατα που η µαθηµατική τους διατύπωση τους οδηγεί σε µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών, αυτό που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι να γνωρίζουµε αν η ακολου- ϑία συγκλίνει ή όχι. Κι αυτό γιατί αν γνωρίζουµε ότι η ακολουθία συγκλίνει τότε τελικά όλοι οι όροι της ακολουθίας ϑα ϐρίσκονται πολύ κοντά στο όριό της. Οπότε για να ϐρούµε την τιµή του ορίου αρκεί να πάρουµε την τιµή ενός όρου της ακολουθίας, και µάλιστα αν η ακολουθία είναι µονότονη τόσο καλύτερη προσέγγιση του ορίου ϑα έχουµε όσο πιο µεγάλη είναι η τάξη του όρου που επιλέγουµε. Οπότε είναι αναγκαίο να γνωρίζουµε κάποια κριτήρια σύγκλισης ακολουθιών σε πραγ- µατικό αριθµό. 5. Ικανό κριτήριο σύγκλισης στο R Πρόταση 5.. Αν µια ακολουθία είναι µονότονη και ϕραγµένη τότε συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό, και µάλιστα αν είναι αύξουσα συγκλίνει στο ελάχιστο άνω ϕράγµα, ενώ αν είναι ϕθίνουσα στο µέγιστο κάτω ϕράγµα. Απόδειξη : Θα δώσουµε την απόδειξη για την περίπτωση που µια τυχαία ακολουθία (a ) είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη. Εστω ότι η ακολουθία πραγµατικών (a ) είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη. Τότε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών A = {a, N} είναι άνω ϕραγµένο υποσύνολο του R, και από το αξίωµα της πληρότητας των πραγµατικών αριθµών, υπάρχει το ελάχιστο άνω ϕράγµα,ας το πούµε a = sup A. Θα δείξουµε ότι a a. Πράγµατι. Επειδή a = sup A, τότε a a, N, a < a + ε a + ε ε > 0 ( ) Επιπλέον, a ε < a, ε > 0, κι επειδή το a είναι το ελάχιστο άνω ϕράγµα, τότε το a ε δεν µπορεί να είναι άνω ϕράγµα της (a ). Συνεπώς, υπάρχει κάποιος όρος της ακολουθίας a 0 µε δείκτη 0 τέτοιος που a ε < a 0. Αλλά, αφού η (a ) είναι αύξουσα, 0 έχουµε a a 0. Οπότε έχουµε ε > 0, 0 N : 0 a ε < a 0 a ( ) Συνολικά, οι σχέσεις ( ) και ( ) δίνουν ε > 0, 0 N : 0 a ε < a < a + ε a a < ε. δηλαδή lim a = a. Παρόµοια αποδεικνύεται η περίπτωση που η (a ) είναι ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη. 9
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Παράδειγµα 5.2. Η ακολουθία a µε τύπο ( a = + ) είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη 2 µε ένα άνω ϕράγµα το 3, δηλαδή a + a, και a < 3 N. Συνεπώς από το προηγούµενο κριτήριο η (a ) συγκλίνει σε κάποιον ϑετικό πραγµατικό αριθµό. Ο πραγµατικός αριθµός lim a είναι ο γνωστός µας e = 2.7828... Θέτοντας = 000 στην ακολουθία a παίρνουµε a 000 = 2.7692, που ταυτίζεται µε τον e µέχρι τα δύο πρώτα δεκαδικά ψηφία. Οσο µεταλύτερο πάρουµε τόσο καλύτερα προσεγγίζουµε τον e, που δεν είναι άλλο από το να λέµε lim a = e. 5.2 Ικανό και αναγκαίο κριτήριο σύγκλισης στο R Για λόγους πληρότητας της παρούσας διαπραγµάτευσης των ακολουθιών ϑα αναφέρουµε (χωρίς απόδειξη) ένα ικανό και αναγκαίο κριτήριο σύγκλισης σε πραγµατικό αριθµό. Το κριτήριο αυτό ϐασίζεται στην έννοια της ακολουθίας Cauchy η οποία ορίζεται ως εξής : Ορισµός 5.3. (Ακολουθίες Cauchy) Μια ακολουθία (a ) λέγεται ακολουθία Cauchy αν και µόνο αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δείκτης 0 (ε) που εξαρτάται από το ε, τέτοιος ώστε 0 (ε) και m 0 (ε), να έχουµε a a m < ε. Αυτό που λέει ο παραπάνω ορισµός είναι ότι, σε µια ακολουθία Cauchy τελικά όλοι οι όροι της ακολουθίας ανήκουν ο καθένας στην οποιαδήποτε περιοχή του κάθε άλλου. Ουσιαστικά, η ιδιότητα αυτή είναι ισοδύναµη µε την ιδιότητα σύγκλισης στο R και διατυπώνεται στην παρακάτω Πρόταση 5.4. (Ικανό και αναγκαίο κριτήριο σύγκλισης στο R) Μια ακολουθία για να συγκλίνει στο R πρέπει και αρκεί να είναι ακολουθία Cauchy. 2 ες την παράγραφο ασκήσεις. 0
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 6 Αποκλίνουσες ακολουθίες Στα προηγούµενα ασχοληθήκαµε µε ακολουθίες που έχουν όριο πραγµατικό αριθµό a, δηλαδή µε µια τυχαία ακολουθία που έχει την ιδιότητα τελικά όλοι οι όροι της να ανήκουν σε µια οποιαδήποτε περιοχή του a. Στο παρόν εδάφιο ϑα ασχοληθούµε µε µια ακολουθία a που τελικά όλοι οι όροι της ϐρίσκονται στην οποιαδήποτε περιοχή του +, οπότε και ϑα λέµε ότι η a αποκλίνει στο +, και ϑα σηµειώνουµε lim a = + ή a +. Οµοια, αν τελικά όλοι οι όροι της a ϐρίσκονται στην οποιαδήποτε περιοχή του, ϑα λέµε ότι η a αποκλίνει στο, και ϑα σηµειώνουµε lim a = ή a. Ορισµός 6.. Λέµε ότι µια ακολουθία (a ) έχει όριο το + αν και µόνο αν για κάθε M > 0 υπάρχει δείκτης 0 (M) τέτοιος ώστε για κάθε N µε 0 (M), να έχουµε a > M. Συµβολικά γράφουµε lim a = + M > 0 0 (M) : N, 0 (M) a > M Ορισµός 6.2. Λέµε ότι µια ακολουθία (a ) έχει όριο το αν και µόνο αν για κάθε M > 0 υπάρχει δείκτης 0 (M) τέτοιος ώστε για κάθε N µε 0 (M), να έχουµε a < M. Συµβολικά γράφουµε lim a = M > 0 0 (M) : N, 0 (M) a < M Είναι προφανές από τους προηγούµενους ορισµούς ότι έχουµε την ισοδυναµία lim a = + lim( a ) = 6. Ιδιότητες αποκλινουσών ακολουθιών Αναφέρουµε τώρα τις κύριες ιδιότητες αποκλινουσών ακολουθιών και ποιές πράξεις µεταξύ του ± και πραγµατικών αριθµών είναι επιτρεπτές µε την έννοια του ορίου. Ιδιότητα η Αν για µια ακολουθία (a ) έχουµε lim a = + (ή lim a = ), τότε και για κάθε υπακολουθία (a k ) ισχύει lim a k = + (ή lim a k = ). Ιδιότητα 2η Εστω ότι για τις ακολουθίες (a ), (b ) ισχύει a b ή µόνο a < b,, τότε (α) Αν lim a = + συνεπάγεται ότι lim b = + (ϐ) Αν lim b = συνεπάγεται ότι lim a =.
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ιδιότητα 3η Εστω ότι για τις ακολουθίες (a ), (b ), (c ) ισχύει b a c ή µόνο b < a < c, και lim b = lim c = + (ή ), τότε lim a = + (ή ). Ιδιότητα 4η Αν για την ακολουθία (a ) ισχύει lim a = +, τότε η (a ) δεν είναι άνω ϕραγµένη. Οµοια, αν για την ακολουθία (a ) ισχύει lim a =, τότε η (a ) δεν είναι κάτω ϕραγ- µένη. Ιδιότητα 5η Αν η ακολουθία (a ) είναι αύξουσα και δεν είναι άνω ϕραγµένη τότε η (a ) αποκλίνει στο +. Οµοια, αν η ακολουθία (a ) είναι ϕθίνουσα και δεν είναι κάτω ϕραγµένη τότε η (a ) αποκλίνει στο. Ιδιότητα 6η (όριο αθροίσµατος αποκλινουσών ακολουθιών) Αν lim a = a, όπου a πραγµατικός αριθµός ή ± και lim b = b, όπου b πραγµατικός αριθµός ή ±, τότε lim(a + b ) = lim a + lim b = a + b, εκτός από τις περιπτώσεις όπου (a = +, b = ) και (a =, b = + ). Ετσι µε την έννοια του ορίου είναι επιτρεπτές οι παρακάτω πράξεις : a + (+ ) = + (+ ) + a = + a + ( ) = a + ( ) = (+ ) + (+ ) = + ( ) + ( ) = a (+ ) = (+ ) a = + a ( ) = + ( ) a = (+ ) ( ) = + ( ) (+ ) = όπου a πραγµατικός αριθµός. Επιπλέον, µε την έννοια του ορίου δεν µπορούµε να ορίσουµε τις εξής πράξεις (+ ) + ( ) ( ) + (+ ) (+ ) (+ ) ( ) ( ) και λέµε ότι έχουµε όριο απροσδιόριστης µορφής του αντίστοιχου τύπου. Ιδιότητα 7η (όριο γινοµένου αποκλινουσών ακολουθιών) Αν lim a = a, όπου a πραγµατικός αριθµός ή ± και lim b = b, όπου b πραγµατικός αριθµός ή ±, τότε lim(a b ) = lim a lim b = a b, εκτός από τις περιπτώσεις όπου (a = 0, b = ± ) και (a = ±, b = 0). 2
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Με ϐάση την ιδιότητα αυτή µπορούµε να ορίσουµε τις εξής γενικευµένες πράξεις για τον πολλαπλασιασµό x (+ ) = +, (+ ) x = +, x ( ) =, ( ) x = αν x > 0, είναι ϑετικός πραγµατικός αριθµός, x (+ ) =, (+ ) x =, x ( ) = +, ( ) x = + αν x < 0, είναι αρνητικός πραγµατικός αριθµός, και (+ ) (+ ) = +, (+ ) ( ) =, ( ) (+ ) =, ( ) ( ) = + Αν κάποιος από τους a, b είναι µηδέν και ο άλλος ±, τότε το όριο lim a b, µπορεί να δώσει πραγµατικό αριθµό, ±, ή να µην υπάρχει. Για παράδειγµα : Αν a = 0, b = 2 +, τότε a b = +. Αν a = 0, b 2 = +, τότε a b = 0 Αν a = ( ) 0, b = +, τότε a b = ( ), που δεν υπάρχει το όριό της. Γι αυτό λέµε ότι οι πράξεις 0 (± ), (± ) 0 δεν είναι γενικά επιτρεπτές, ή ότι το όριο είναι της αντίστοιχης απροσδιόριστης µορφής. Ιδιότητα 8η Εστω η ακολουθία (a ) µε a 0 για κάθε N. Αν lim a = + ή lim a =, τότε lim a = 0. Ιδιότητα 9η Εστω η ακολουθία (a ) µε a 0 για κάθε N. Αν lim a = 0 και a > 0 για κάθε N τότε lim a = +. Αν lim a = 0 και a < 0 για κάθε N τότε lim a =. Πρέπει να επισηµάνουµε το εξής σχετικά µε την παραπάνω ιδιότητα. Αν lim a = 0 και οι όροι της (a ) δεν διατηρούν πρόσηµο τότε δεν υπάρχει το όριο lim a. Για παράδειγµα η ακολουθία a = ( ) συγκλίνει στο 0, a 0, αλλά οι όροι της δεν διατηρούν πρόσηµο αφού οι άρτιοι όροι a 2 είναι ϑετικοί ενώ οι περιττοί όροι a 2 είναι αρνητικοί. Συνεπώς, η ακολουθία = δεν έχει όριο, αφού οι υπακολουθίες a ( ) έχουν διαφορετικό όριο. a 2 = 2 + και a 2 = 2 + 3
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Από τα προηγούµενα συµπεραίνουµε ότι η πράξη, γενικά, δεν ορίζεται ή δεν είναι ε- 0 πιτρεπτή. Επειδή οι γενικεύσεις των πράξεων στο R µαζί µε το ± γίνονται µε την ϐοήθεια ορίων ή αλλιώς όπως λέµε είναι οριακές πράξεις, για το µπορούµε να γνωρίζουµε ότι στην 0 περίπτωση που ο παρονοµαστής γίνεται µηδέν ως όριο ακολουθίας ϑετικών όρων δίνει +, ενώ στην περίπτωση που ο παρανοµαστής γίνεται µηδέν ως όριο αρνητικών όρων δίνει. Γενικά όµως, δεν είναι επιτρεπτή η πράξη 0. Ιδιότητα 0η (όριο πηλίκου αποκλινουσών ακολουθιών) Εστω οι ακολουθίες (a ) και (b ) µε b 0, για κάθε N. Αν lim a = a, όπου a = {πραγµατικός, ή ± } και lim b = b, όπου b = {πραγµατικός, ή ± }, τότε ( ) a lim = lim a = a b lim b b εκτός από τις περιπτώσεις όπου (a = ±, b = ± ), (a = ±, b = 0) και (a = πραγµατικός, b = 0) Οπότε, για την διαίρεση δεν είναι επιτρεπτές οι εξής πράξεις ± ±, ± 0, 0 0, 0 Σηµειώνουµε και πάλι ότι η πράξη είναι επιτρεπτή στις δυο περιπτώσεις που αναφέραµε 0 στην 9η ιδιότητα των αποκλινουσών ακολουθιών. Συνοψίζοντας, µπορούµε να πούµε ότι δεν είναι επιτρεπτές οι εξής πράξεις : (+ ) + ( ), ( ) + ( ), για την πρόσθεση (+ ) (+ ), ( ) ( ), για την αφαίρεση 6.2 Εφαρµογή 0 (± ), (± ) 0, για τον πολλαπλασιασµό ± ±, ± 0, 0 0,, για την διαίρεση 0 ίνεται η ακολουθία a = ω, N και ω R. Να δειχθεί ότι () Αν ω <, τότε lim a = 0 (2) Αν ω =, τότε lim a = (3) Αν ω >, τότε lim a = + (4) Αν ω, τότε το lim a δεν υπάρχει. 4
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 7 Ασκήσεις Ασκηση 7.. Να δειχθεί µε τον ορισµό ότι οι ακολουθίες µε γενικούς τύπους είναι µηδενικές ακολουθίες. Λύση : i) a =, ii) b = 2, iii) c = i) Θα πρέπει να δείξουµε µε τον ορισµό ότι lim a = 0, δηλαδή ε > 0 0 (ε) : N, 0 (ε) a < ε. Εχουµε a < ε < ε > /ε οπότε αν πάρουµε 0(ε) = [/ε] + τότε > 0 (ε) < ε άρα lim a = 0 ii) Αποδείξτε πρώτα επαγωγικά ότι 2 >, N. Για κάθε ε > 0 b = 2 < < ε οπότε αν πάρουµε 0(ε) = [/ε] + τότε > 0 (ε) 2 < < ε συνεπώς b 0. iii) Με όµοιο τρόπο όπως στο i) αν πάρουµε 0 (ε) = [/ε 2 ] + έχουµε το Ϲητούµενο. Ασκηση 7.2. Να δειχθεί µε τον ορισµό ότι οι ακολουθίες µε γενικούς τύπους i) a = συγκλίνουν στο µηδέν. 3 + 2 +, ii) b = 2 + 2 2 +, iii) c = si! 2 + Λύση : i) Εχουµε a = 3 + 2 + = 3 + 2 + < 3 + = 2 2 + 2 + < < ε 2 οπότε αν πάρουµε 0 (ε) = [/ ε] + τότε > 0 (ε) a < 2 < ε. Συνεπώς lim a = 0. ii) Εχουµε b = 2 + 2 2 + = ( 2 + 2 2 + ) ( 2 + 2 + 2 + ) 2 + 2 + 2 + = ( 2 + 2) ( 2 + ) 2 + 2 + 2 + = = 2 + 2 + 2 + = 2 + 2 + 2 + < 2 + < = 2 < ε οπότε αν πάρουµε 0 (ε) = [/ε] +, τότε > 0 (ε) b < < ε. Συνεπώς lim b = 0. ii) Γνωρίζουµε ότι six, x R, οπότε έχουµε c = si! si! 2 + = 2 + 2 + = 2 + < = 2 < ε οπότε αν πάρουµε 0 (ε) = [/ε] +, τότε > 0 (ε) c < < ε. Συνεπώς lim c = 0. 5
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ασκηση 7.3. Αποδείξτε µε τον ορισµό ότι i) 2 2 +, ii) + 2 + + 2 2 2. Λύση : i) Εχουµε 2 2 + = 2 2 2 + = 2 ( + ) = 2 + = 2 + < 2 < ε οπότε αν πάρουµε 0 (ε) = [2/ε] +, τότε > 0 (ε) 2 2 + < 2 < ε. Συνεπώς lim 2 = 2 +. ii) Γνωρίζουµε ότι + 2 + + = (+). Οπότε έχουµε 2 + 2 + + + 2 2 + 2 = ( + ) 2( + 2) 2 + 2 = + 2 = + 2 < < ε οπότε αν πάρουµε 0 (ε) = [/ε] +, τότε > 0 (ε) +2+ + + +2 2 2 < < ε. Συνεπώς lim( +2+ + +2 2 ) = 2. Ασκηση 7.4. Να ϐρεθούν τα όρια των ακολουθιών Λύση : i) Εχουµε i) a = 22 + 2 + 3 + 2, N ii) b = 3 + 2 2 + +, N. a = 22 + 2 + 3 + 2 = 2 (2 + ) 2 2 ( + 3 + 2 ) = 2 + 2 + 3 + 2 οπότε lim a = lim(2 + ) 2 lim( + 3 + 2 ) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2. 2 2 2 ii) Εχουµε b = 3 + 2 2 + + = (3 + 2 ) 2 ( + + 2 ) = 3 + 2 + + 2 οπότε lim a = lim lim(3 + 2 ) lim( + + 2 ) = 0 3 = 0. Ασκηση 7.5. Να ϐρεθεί το όριο της ακολουθίας Λύση : Παρατηρούµε ότι 2 = 2 a = 2 + 2 3 + + ( + ), N. ( + ) = +, οπότε 2 3 = 2 (+) 3 a = + οπότε lim a = lim + = 0 =. ( + ) = + 6
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ασκηση 7.6. Να ϐρεθεί το όριο της ακολουθίας Λύση : Παρατηρούµε ότι a = 2 + + 2 + 2 + 2 + + 2 + ( ) 2 +, N. 2 + 2 2 + οπότε από τους προσθετέους της a ο µεγαλύτερος είναι ο και ο µικρότερος είναι ο. Αρα, N 2 + 2 + έχουµε 2 + a 2 + 2 2 + a 2 2 + 2 2 ( + ) a 2 2 ( + 2 ) + a +. 2 Για τις ακολουθίες b = +, και c = + έχουµε ότι lim b = lim c =, οπότε από την 8η ιδιότητα 2 συγκλινουσών ακολουθιών έχουµε ότι και lim a =. Ασκηση 7.7. Αν a = 2! + 2 3! + + να ϐρεθούν πραγµατικοί αριθµοί A, B τέτοιοι ώστε συνέχεια να υπολογισθεί το lim a. ( + )!, N. ( + )! = A! + B, N και στη ( + )! Λύση : Αν ( + )! = A! + B ( + )!, N! ( + ) = A! + B! ( + ) ( + ) = A + B ( + ) A( + ) + B = = A + A + B 0 = (A ) + A + B. Για να ισχύει η τελευταία σχέση N ( + ) ( + ) ϑα πρέπει (A =, B = A) (A =, B = ). Ετσι έχουµε δηλαδή 2! =! 2! 2 3! = 2! 3!. ( + )! =! ( + )! ( + )! =! ( + )! (+) a = ( + )! οπότε N lim a = lim ( + )! = 0 = Ασκηση 7.8. είξτε ότι η ακολουθία a = +! + 2! + +!, N. 7
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι συγκλίνει. Λύση : Αρκεί να δείξουµε ότι η a είναι µονότονη και ϕραγµένη. Εχουµε a + a = +! + 2! + +! + ( + )! ( +! + 2! + +! ) = ( + )! > 0 οπότε η a είναι γνήσια αύξουσα ακολουθία. Επιπλέον, 2 ισχύει! 2 (επαγωγικά). Οπότε! 2! 2 (+) a = + + 2 + 2 + } 2 {{ 2 } 3! < γεωµετρική πρόοδος 2 2.! < 2 = + 2 2 = + 2( 2 ) < 3, οπότε η a είναι άνω ϕραγµένη µε ένα άνω ϕράγµα το 3. Η a είναι γνήσια αύξουσα και άνω ϕραγµένη, άρα συγκλίνει. ( Ασκηση 7.9. Αποδείξτε ότι η ακολουθία a = + ), συγκλίνει. Λύση : Αρκεί να δείξουµε ότι η ακολουθία a είναι µονότονη και ϕραγµένη. Επειδή οι όροι είναι όλοι ϑετικοί ϑα ελέγξουµε το λόγο a + ή ισοδύναµα τον a. Εχουµε a a a = ( + ) a ( = ( + ) ) ( ) = ( ) + = ( 2 2 ) ( = ) 2 Από την ανισότητα του Beroulli ξέρουµε ότι αν + a > 0, τότε ( + a) + a, για κάθε N, µε ισότητα για =, οπότε ( 2 ) > + ( 2 ) = = για = 2, 3,.... Συνεπώς οι σχέσεις ( ), ( ) δίνουν ( a = ) a 2 > = για = 2, 3,... Αρα a > a και η a είναι γνήσια αύξουσα. Θα δείξουµε τώρα ότι είναι και άνω ϕραγµένη. Από το διωνυµικό ανάπτυγµα της a, παίρνουµε ( + ) = + ( ) ( ) ( k + ) + + +! 2! 2 k! + + k Οµως ( ) ( k + ) = k, και άρα ( ) ( k+) k!. Χρησιµοποιώντας την k τελευταία σχέση στην σχέση ( ) παίρνουµε a +! + 2! + k! +!, το οποίο ϐάσει της προηγούµενης άσκησης είναι < 3, οπότε η a είναι ϕραγµένη µε ένα άνω ϕράγµα το 3 (και κάτω ϕραγµένη µε ένα κάτω ϕράγµα τον a = 2). Αρα συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό ο οποίος προσδιορίζεται σαν όριο ακολουθιών, όπως η a, και συµβολίζεται διεθνώς µε το γράµµα e, δηλαδή lim a = e = 2.7828... ( ) ( ) ( ) 8
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ασκηση 7.0. είξτε ότι. Λύση : Για κάθε έχουµε 2 2 =. Οπότε υπάρχει ακολουθία ϑετικών όρων b > 0, τέτοια ώστε 2 = + b = ( + b ) 2. Αρκεί να δείξουµε ότι b 0. Πράγµατι, 2 = + b = ( + b ) + b > b > b > 0 0 < b < Οµως, lim 0 = 0 και lim = 0, και από το ϑεώρηµα ισοσυγκλινουσών ακολουθιών (ιδιότητα 8η συγκλινουσών ακολουθιών) έχουµε ότι και lim b = 0. Οπότε lim = lim( + b ) 2 = ( + 0) 2 =. Γενικά, µε αυτόν τον τρόπο αποδεικνύουµε ότι η νιοστή ϱίζα οποιοδήποτε πολυωνύµου του έχει όριο την µονάδα. Για παράδειγµα, αν είχαµε την ακολουθία µε γενικό τύπο 2 +, τότε παίρνουµε k ϱίζα όπου k ϕυσικός ένα ϐαθµό παραπάνω από το ϐαθµό του πολυωνύµου που είναι στην υπόριζο ποσότητα, δηλαδή k = 3 για το 2 +, και ϑέτουµε 3 2 + = + b 2 + = ( + b ) 3 κι αποδεικνύουµε ότι b 0. 3 2 + = + b 3 2 + = ( + b ) + b > b 3 2 + > b > 0 0 < b < 3 2 + 0 < b < 3 2 + 3 3 0 < b < 3 + 3 κι αφού lim 3 + 3 = lim 0 = 0, τότε lim b = 0. Συνεπώς, lim 2 + = lim( + b ) 3 = ( + 0) 3 =. Ασκηση 7.. είξτε ότι a =! 0. Λύση : Α τρόπος : Για κάθε k =, 2,... έχουµε ότι k < < k + k +. Ετσι, στην τελευταία ανισότητα, καθώς το k διατρέχει τους ϕυσικούς από µέχρι, παίρνουµε 2. 2 ( ) (!)! 0 <!! Αφού lim = 0, από την ιδιότητα των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών έχουµε ότι 0 Β τρόπος : Από το κριτήριο του λόγου για µηδενικές ακολουθίες αρκεί να δείξουµε ότι lim a+ a = l <. Αφού a > 0 για κάθε N, έχουµε a + a = Αρα a 0. = ( + )!! ( + ) +! = ( + ) = ( + lim ) (+)! (+) + a + a = lim ( + = e < ) Ασκηση 7.2. Αν για την ακολουθία (a ) έχουµε ότι a a R, να δειχθεί ότι A a, όπου A = a + a 2 + + a 9, =, 2, 3...
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Η (A ) λέγεται η ακολουθία του µέσου αριθµητικού των όρων της (a ). Λύση : Αφού a a σηµαίνει ε > 0 0 (ε) : N, 0 (ε) a a < ε.. Αρα a 0 a < ε, a 0+ a < ε,... a a < ε για κάθε 0. Από την άλλη ϑέλουµε να δείξουµε A a < ε για κάθε 0. Εχουµε A a = a + a 2 + + a a = a + a 2 + + a a = = (a ) + (a 2 a) + + (a 0 a) + (a 0 a) + + (a a) (a ) + (a 2 a) + + (a 0 a) + a 0 a + + a a < (a ) + (a 2 a) + + (a 0 a) + ε + + ε = K + ( 0 + )ε ( ) όπου ϑέσαµε K = (a ) + (a 2 a) + + (a 0 a). Επειδή K 0 και K > 0 ϑα έχουµε K < ε για κάθε. Επιπλέον ( 0+)ε < ε = ε κι έτσι το δεξί µέλος της σχέσης ( ) γίνεται K + ( 0+)ε < ε + ε = ε. Συνεπώς για κάθε 0 = max{ 0, } A a < ε για κάθε ε > 0. Αρα lim A = 0. Ασκηση 7.3. Αν (a ) ακολουθία ϑετικών όρων µε a a 0, να δειχθεί ότι B a, όπου b =, =, 2, 3... a + a 2 + + a Η (B ) λέγεται η ακολουθία του µέσου αρµονικού των όρων της (a ). Λύση : Αφού a a 0, τότε a a και από την προηγούµενη άσκηση έχουµε ότι a + a 2 + + a a a + a 2 + + a B a. a Ασκηση 7.4. Να ϐρεθεί το όριο της ακολουθίας a = + 2 3. Λύση : Από τα ϐασικά όρια γνωρίζουµε ότι αν lim a + = θ <, τότε lim a = 0. Για την a της άσκησης έχουµε ότι a > 0 για κάθε N και a a + a = + 3 3 + + 2 3 = 3 ( + 3) 3 + ( + 2) = 3 + 3 + 2 = 3 + 3 + 2 lim a + = lim + 3 a 3 + 2 = lim 3 + 0 + 0 = 3 < οπότε lim a = 0. Ασκηση 7.5. ίνεται η (a ) µε a = a, όπου a > 0 N. Να δειχθεί ότι lim a = 0. 20
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Λύση : Εχουµε a + a = a + ( + )! a! = a + = a + lim a + a = lim a + = 0 < συνεπώς, lim a = 0. Ασκηση 7.6. Να ϐρεθεί το όριο της ακολουθίας a = 5 + 2 2 5 + 3, N Λύση : Μπορούµε να δείξουµε χρησιµοποιώντας την Αρχιµήδεια ιδιότητα των ϕυσικών ότι οι ακολουθίες 2, 3, 5 δεν είναι ϕραγµένες, άρα δεν συγκλίνουν. Συνεπώς, δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ιδιότητα του ορίου πηλίκου. Οµως αν διαιρέσουµε αριθµητή παρανοµαστή µε την δύναµη του όρου µε την µεγαλύτερη ϐάση, δηλαδή τον 5, έχουµε a = + ( 2 5 ) 2 + ( 3 5 ) ( ) Οπότε από τα ϐασικά όρια γνωρίζουµε ότι a 0 µε a <. Αρα, ( 2 5 ) 0 και ( 3 5 ) 0, και τελικά από την ( ) έχουµε ότι lim a = +0 2+0 = 2. Ασκηση 7.7. ίνεται η ακολουθία (a ) µε a για κάθε N. Να δειχθεί ότι lim a + a = 0 αν και µόνο άν a. Λύση ( ) Θα δείξουµε πρώτα ότι αν lim a + a = 0, τότε a. Θέτουµε b = a + a κι έχουµε b ( + a ) = a b + b a = a ( + b )a = b a = b + b ( ) επειδή lim b = 0, τελικά όλοι οι όροι b και από την ( ), έχουµε ( ) Εστω τώρα ότι a, τότε lim a = lim b + b = lim( b ) lim( + b ) = 0 + 0 =. lim b = lim a + a = lim( a ) lim( + a ) = + = 0 2 = 0 Ασκηση 7.8. ίνεται η ακολουθία a = + 2 + +. Να δειχθεί ότι lim a =. Λύση : Εχουµε ϕορές < + 2 + 3 + + {}}{ < + + + + = < + 2 + + < < a < Εχουµε lim = και lim =. Οπότε από το ϑεώρηµα ισοσυγκλινουσών ακολουθιών (ιδιότητα 8η συγκλινουσών ακολουθιών) έχουµε ότι και lim a = 2
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ασκηση 7.9. Να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση η ακολουθία a + = 2 a +, a =, =, 2,... Λύση : Παρατηρούµε ότι a 2 = 2 + > = a. Θα δείξουµε επαγωγικά ότι η a είναι γνήσια αύξουσα. Πράγµατι Ισχύει για = αφού a 2 > a. Υποθέτουµε ότι ισχύει = k, δηλ. a k+ > a k. Με ϐάση τα προηγούµενα ϑα δείξουµε ότι ισχύει για = k +, δηλ. a k+2 > a k+. a k+ > a k 2 a k+ > 2 a k 2 a k+ + > 2 a k + a k+2 > a k+ Οπότε η a είναι γνήσια αύξουσα ακολουθία. Αν είναι και ϕραγµένη τότε από το κριτήριο σύγκλισης, η a ϑα συγκλίνει. Ενα κάτω ϕράγµα είναι προφανώς ο πρώτος όρος της ακολουθίας a = οπότε αρκεί να ϐρούµε ένα άνω ϕράγµα της a. Ας υποθέσουµε προς στιγµή ότι η a είναι όντως ϕραγµένη. Οπότε ϑα συνέκλινε και µάλιστα στο ελάχιστο άνω ϕράγµα του συνόλου A = {a, =, 2,...}, ας το πούµε a, lim a = a = sup A. Οπότε lima = lima + = a. Αρα lim a + = lim 2 a + a = a + a = 2. Θα δείξουµε (επαγωγικά) ότι το 2 2 είναι άνω ϕράγµα της a, δηλ. a 2, για κάθε N. Ισχύει για =, αφού a = 2. Υποθέτουµε ότι ισχύει = k, δηλ. a k 2. Με ϐάση τα προηγούµενα ϑα δείξουµε ότι ισχύει για = k +, δηλ. a k+ 2 a k 2 2 a k 2 a k + 2 a k+ 2 Οπότε πραγµατικά η a είναι άνω ϕραγµένη από το 2. Αφού είναι µονότονη και ϕραγµένη άρα συγκλίνει και όπως είδαµε lim a = 2. Ασκηση 7.20. ίνεται η ακολουθία (a ), µε a = a > 0 και a + = =, 2,... Να δειχθεί ότι η (a ) συγκλίνει στο R. a b + a, b >, Λύση : Αφού ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι ϑετικός και b > > 0, τότε όλοι οι όροι είναι ϑετικοί a > 0 για κάθε N. Οπότε a > 0 a + b > a + b < a a + b < a a + < a N άρα η a είναι γνήσια ϕθίνουσα ακολουθία. Επιπλέον είναι κάτω ϕραγµένη από το 0, αφού 0 < a για κάθε N. Συνεπώς συγκλίνει. Επειδή λοιπόν lim a + = lim a = x, τότε ϑα πρέπει { lim a + = lim a x = x x = 0 x(b + x ) = 0 b + a b + x x = b < 0 Επειδή όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί και η ακολουθία συγκλίνει δεν είναι δυνατόν να συγκλίνει σε αρνητικό αριθµό. Αρα συγκλίνει στο 0, δηλ. lim a = 0. Ασκηση 7.2. ίνεται η ακολουθία (a ), µε a = 2 και a + = 6 + a, =, 2,... Να δειχθεί ότι η (a ) συγκλίνει µε lim a = 3. 22
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Λύση : Θα δείξουµε επαγωγικά ότι η ακολουθία (a ) είναι άνω ϕραγµένη µε ένα άνω ϕράγµα το 3, δηλ. a < 3 για κάθε N. Ισχύει για = αφού a = 2 < 3. Υποθέτουµε ότι ισχύει = k, δηλ. a k < 3. Με ϐάση τα προηγούµενα ϑα δείξουµε ότι ισχύει για = k +, δηλ. a k+ < 3. a k < 3 a k + 6 < 9 a k + 6 < 3 a k+ < 3 Αρα a < 3 για κάθε N. Επιπλέον η (a ) είναι γνήσια αύξουσα (επαγωγικά) Ισχύει για = αφού a 2 = 8 = 2 2 > 2 = a Υποθέτουµε ότι ισχύει = k, δηλ. a k+ > a k. Με ϐάση τα προηγούµενα ϑα δείξουµε ότι ισχύει για = k +, δηλ. a k+2 > a k+. a k+ > a k 6 + a k+ > 6 + a k 6 + a k+ > 6 + a k a k+2 > a k+ Αφού η a µονότονη (γνήσια αύξουσα) και ϕραγµένη (a = 2 < a < 3), για κάθε N, τότε συγκλίνει. Και µάλιστα συγκλίνει στο ελάχιστο άνω ϕράγµα του συνόλου A = {a, =, 2...}, lim a = sup A = x. Αλλά ϑα πρέπει x = { 6 + x x 2 = x + 6 x 2 x = 2 x 6 = 0 x = 3 Επειδή το 2 δεν είναι άνω ϕράγµα της (a ) (µάλιστα όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ϑετικοί µεγαλύτεροι του 2), τότε sup A = 3 και lim a = 3 Ασκηση 7.22. Να δειχθεί µε τον ορισµό ότι η ακολουθία a = 2 + 2 έχει όριο το +. Λύση : Θα πρέπει να δείξουµε ότι M > 0 0 (M) : N, 0 (M) a > M. Εχουµε a = 2 + 2 Αρα να πάρουµε 0 (M) = [2M] + έχουµε το Ϲητούµενο. > 2 2 = 2 > M > 2M Ασκηση 7.23. Αν µια ακολουθία a είναι αύξουσα να δειχθεί ότι ϑα συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό ή ϑα αποκλίνει στο +. Με ϐάση αυτή την πρόταση να δειχθεί ότι η ακολουθία a = + 2 + 3 + + έχει lim a = +. 3 Λύση : Εστω ακολουθία (a ) αύξουσα. Η (a ) ϑα είναι ϕραγµένη ή δεν ϑα είναι ϕραγµένη. Αν είναι ϕραγµένη, τότε ϑα συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό, αν δεν είναι ϕραγµένη, τότε ϑα αποκλίνει στο +. Η a = + 2 + 3 + + είναι γιατί a + a = + 2 + 3 + + + + ( + 2 + 3 + + ) = + > 0, N, 3 Η ακολουθία a είναι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της αρµονικής σειράς στις σειρές πραγµατικών αριθµών, η άσκηση αυτή δείχνει ότι η αρµονική σειρά αποκλίνει.. Οπως ϑα δούµε = 23
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι όµως δεν είναι ϕραγµένη. Πράγµατι, λαµβάνουµε την υπακολοθία a 2 = a 2 = + 2 + 3 + +, κι έχουµε 2 + > 2 2 + > + = 3 4 4 4 2 + + + > + + + = 5 6 7 8 8 8 8 8 2. + + + > + + = 2 = 2 + 2 +2 2 2 2 2 2 (+) a 2 > 2 + 2 + 2 + }{{ 2 } ϕορές οπότε a 2 > 2, N. Ας υποθέσουµε τώρα ότι η a 2 είναι άνω ϕραγµένη. Τότε υπάρχει πραγµατικός ϕ, τέτοιος που a 2 ϕ, N. Οµως από την (*) ϑα πρέπει 2 < a 2 ϕ < 2ϕ, N. Ατοπο, γιατί το N δεν είναι = 2 (*) ϕραγµένο υποσύνολο του R (Αρχιµήδεια ιδιότητα των ϕυσικών). Συνεπώς, η a 2 ούτε η a είναι άνω ϕραγµένη. Οπότε lim a = +. δεν είναι άνω ϕραγµένη κι έτσι Ασκηση 7.24. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει το όριο (πραγµατικός αριθµός ή ± ), για την ακολουθία a = ( ) 2. + 2 Λύση : ιαµερίζουµε την ακολουθία a στις υπακολουθίες a 2 και a 2, κι έχουµε a 2 = ( )2 (2) 2 2 + 2 = 4 2 2 + 2 = 2 ( 2 4) 2( + ) = 2 2 4 + οπότε Από την άλλη lim a = lim 2 lim 4 2 = + ( 4) = + a 2 = ( )2 (2 ) 2 2 + 2 = + 42 4 + 2 + = 2 ( 2 2 4 + 4) (2 + ) = 2 2 4 + 4 2 + οπότε lim a 2 = lim lim Αφού lim a 2 lim a 2, το όριο της a δεν υπάρχει. 2 4 + 2 4 = + 2 + 2 = + Ασκηση 7.25. είξτε ότι! +. Λύση : k =, 2,... έχουµε ότι (k )( k) 0 k 2 k 2 + k 0 ( k + ) k. Ετσι, στην τελευταία ανισότητα, καθώς το k διατρέχει τους ϕυσικούς από µέχρι, παίρνουµε ( ) 2 ( 2) 3. 2 ( ) ( ) (!) 2 (!) /2! /2 = 24
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Εποµένως,! και γνωρίζουµε ότι +. Συνεπώς, από την 2.α. ιδιότητα των αποκλινουσών ακολουθιών, συµπεραίνουµε ότι! + Ασκηση 7.26. ίνεται η ακολουθία (a ) µε a = για τις διάφορες πραγµατικές τιµές του x. 2 x 2 + 2 x + x 2 + N. Να ϐρεθεί το lim a Λύση : Εχουµε Αν x 0, τότε Αν x = 0, τότε 2 x 2 + 2 x + x 2 + = 2 (x 2 + ) 2 (x + x2 +) = x 2 + x + x2 + 2 2 lim a = lim x2 + = lim(x 2 + ) x + x2 + lim(x + x2 +) = x x 2 2 lim a = lim = + 2 = x Ασκηση 7.27. ίνεται η ακολουθία (a ) µε a = ( + )( + 2) N. Να µελετηθεί η a ως προς την σύγκλιση (απόκλιση) για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού x. x Λύση : ) Αν x <, τότε x 0 κι έτσι lim a = lim x lim 2) Αν x =, τότε a = (+)(+2) lim a = 0. ( + )( + 2) = 0 0 = 0. 3) Αν x =, τότε a = ( ) (+)(+2) lim a = 0. 4) Αν x >, τότε η b = a = (+)(+2) x του λόγου έχουµε έχει όλους τους όρους ϑετικούς και χρησιµοποιώντας το κριτήριο b + b = ( + 2)( + 3) x + ( + )( + 2) x = x ( + )( + 2) x + ( + 2)( + 3) = x + + 3 lim b + = b x lim + + 3 = x < συνεπώς b 0 ή αλλιώς a 0, οπότε a +. 5) Αν x <, ϑεωρούµε τις υπακολουθίες a, a 2. Τότε x 2 = ( x) 2 κι αφού x <, τότε x > και από την προηγούµενη περίπτωση 4) έχουµε ότι a 2 +. Από την άλλη x 2 a 2 = 2(2 + ) = x 2 x 2(2 + ) lim a 2 = x lim ( x)2 2(2 + ) = (+ ) = x αφού x < < 0 και x >. Συνεπώς, lim a 2 = + = lim a 2, και το lim a δεν υπάρχει. 25