КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг и неке углове у њему упознали смо раније. На слици 1 приказана су два карактеристична угла у кругу. Слика 1 AOB = α централни; CMD = β периферијски. Централни угао је добио назив по томе што му је теме центар круга а краци садрже полупречнике. Периферијски угао је добио назив по томе што му теме припада кружној линији, а краци садрже тетиве круга. Пример 1 1. Нацртај круг и у њему централне углове од 60 и 270. 2. Нацртај круг и у њему периферијске углове од 30 и 90. 135
3. Нацртај три круга. Затим нацртај: 1) у првом кругу централни угао од 60 и периферијски од 90 ; 2) у другом централни угао од 60 и периферијски од 60 ; 3) у трећем централни угао од 90 и периферијски од 45. Из ових примера се уочава да у једном кругу централни и периферијски углови имају различите мерне бројеве, тј. могу бити једнаки, али и један већи од другога. Размотримо посебно случај централног и периферијског угла круга на слици 2. Централни угао α и периферијски угао β су над истим луком АВ. Слика 2 Нацртај неки круг и периферијски и централни угао над истим луком (тетивом). Измери те углове. Вероватно си уочио да је тај централни угао α два пута већи од периферијског угла β над истим углом. Уопште, важи следећа теорема. Теорема 1 Ако су централни и периферијски угао над истим кружним луком, онда је централни угао два пута већи од периферијског. Доказаћемо теорему за приказани случај (слика 3). Треба доказати да је α = 2 β. Слика 3 136 математикa
Доказ Нацртајмо пречник круга коме припада тачка М. Овим пречником смо поделили углове α и β на по два угла:, α 2 и β 1, β 2, где је: = α, а β 1 = β. Троуглови ОМА и ОВМ су једнакокраки. Зашто? Одатле је β 1 = у и β 2 = х. Такође, угао и угао α 2 су спољашњи углови ових троуглова, па је: и = 2 β 1 α 2 = 2 β 2 Сабирањем левих и десних страна ових једнакости биће: = 2 β 1 + 2 β 2 или = 2 (β 1 ) (дистрибутивност), тј. α = 2 β јер је α =, β = β 1. Тиме је доказана наведена теорема. На слици 4 приказана су два карактеристична случаја периферијског и централног угла круга над истим луком, зависно од положаја тачке М (темена периферијског угла). И при оваквим положајима периферијског и централног угла круга важи доказана теорема. Слика 4 137
На слици 5 приказани су централни углови и више периферијских углова над истим луком. Слика 5 Тачна су тврђења: 1) β 1 = β 2 = β 3 = α 2 (слика 51); 2) β = β = β = 90 (слика 52). Зашто? 1 2 3 Можемо закључити да уопште важи: 1) Сви периферијски углови над истим кружним луком су једнаки. 2) Сви периферијски углови над пречником (полукружницом) су прави. Образложи ова тврђења. Задаци 1. Нацртај три круга. 1) У првом централни угао од 60 и периферијски над истим луком. Колики је мерни број тог периферијског угла? 2) У другом периферијски угао од 45 и централни над истим луком, а затим одреди његов мерни број; 3) У трећем централни угао од 180 и периферијски над истим луком. Да ли је тај периферијски угао прав? 2. Израчунај: 1) централни угао ако је периферијски угао над истим кружним луком 50 21 13 ; 2) периферијски угао ако је централни угао над истим луком 100 30 6. 138 математикa
3. Који је део кружне линије над којим је периферијски угао од: 1) 30 ; 2) 45 ; 3) 90 ; 4) 22 30? 4. Колико степени има периферијски угао над кружним луком који је: 1) 1 6 ; 2) 1 4 ; 3) 4 9 ; 4) 1 2 кружне линије? 5. На слици 6 приказани су углови: Слика 6 1) Докажи да је АОВ једнакостраничан. 2) Израчунај OEF. 6. У кругу је повучена тетива једнака полупречнику. Под којим углом се види та тетива из било које тачке кружне линије (осим заједничких тачака)? 7. Тетива дели кружну линију у односу: 1) 1 : 5; 2) 1 : 2; 3) 1 : 3. 4) 2 : 7. Под којим углом се види та тетива из било које тачке кружне линије? 6.2. Конструкција тангенте круга Тангенту кружнице и њену конструкцију у датој тачки кружне линије упознали сте раније. Нацртај неку кружницу и одабери две тачке на њој, а затим у свакој од њих конструиши тангенту. 139