Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009

Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα, στη ϑεία και στον ϑείο μου που πάντα με υποστηρίζουν και στον πατέρα μου που δεν φεύγει λεπτό από κοντά μου.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ολοι οι γνωστοί μου λένε συνεχώς ότι μιλάω πολύ, και το παραδέχομαι δεν αντιλέγω, όμως υπάρχουν και κάποιες φορές που δεν μπορείς να πείς πολλά πράγματα είτε γιατί δεν ϑές είτε γιατί δεν μπορείς. Αυτή είναι μια τέτοια στιγμή. Θα μπορούσα να έγραφα για ώρες ολόκληρες για το ποιους ευχαριστώ και για τα συναισθήματα που νιώθω αυτή τη στιγμή που όμως όσο κι αν ϑέλω δεν περιγράφονται με λόγια γιατί είναι πολλά και ανάμεικτα. Άλλωστε τι μπορεί να πεί κανείς αρχικά για τον κ. Τσολομύτη που με είχε αναλάβει, εκτός από λόγια εκτίμησης και ενθουσιασμού Ενας απλός άνθρωπος, γελαστός κάθε φορά που τον επισκέπτεσαι, έτοιμος πάντα να ακούσει οτιδήποτε κι αν ετοιμάζεσαι να ξεστομίσεις (αντιλαμβάνεστε για το τι ακούει καθημερινά...!!!!), ένας εκπαιδευτικός με όλη τη σημασία της λέξης, υπέυθυνος και γεμάτος επιμονή αλλά και υπομονή προκειμένου να πετύχει με τον εκάστοτε φοιτητή το μέγιστο των δυνατοτήτων του. Τον ευχαριστώ πάρα πολύ που με ανέλαβε και με ανέχτηκε (γιατί πέρασε πολλά πιστέψτε με...!!!!). Ευχαριστώ επίσης την επιτροπή που αποτελούνταν από τους κυρίους Ανούση Μιχαήλ, Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών, και Φελουζή Ευάγγελο, Επίκουρο Καθηγητή του ίδιου Τμήματος οι οποιοι ασχολήθηκαν με την εργασία μου και τελικά αξιολόγησαν. Ιδιαίτερα ευχαριστώ τον κ. Φελούζη από τον οποιο διδάχτηκα 4 μαθήματα με ιδιαίτερο ενδιαφέρον, ϑεμέλεια των μαθηματικών, και αποκόμισα μέσα από συζητήσεις συμβουλές για μεταπτυχιακά μρογράμματα σπουδών. Τελός, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω όλους εκείνους τους καθηγητές που με δίδαξαν όλα αυτά τα χρόνια και μου πρόσφεραν απλόχερα γνώσεις και συμβούλες. Τους φίλους και συμφοιτητές μου για τις αναμνήσεις που είναι αρκετές για να ϑυμάμαι αυτά τα 4 φοιτητικά χρόνια στη Σάμο μια ολόκληρη ζωή. Στους γονείς μου δεν ϑα πώ ευχαριστώ... Γιατί είναι λίγο. Είναι πολύ λίγο. Θα πώ όμως στη ϑεία μου και στον ϑείο μου ένα πολύ μεγάλο γιατί το αξίζουν, κάθενας από τους δυο με τον τρόπο του. Πλάκα πλάκα δεν έχουν δίκιο που λένε ότι μιλάω πολύ. Ξεκίνησα για λίγα όμως με έπιασε πάλι το λογύρδιό μου. Τι να κάνουμε... Υπομονή σε αυτούς που ϑα διαβασούν παρακάτω!!!!!

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με τον διεθνή όρο φραςταλ (ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν απείρως περίπλοκο. Το φραςταλ παρουσιάζεται ως μαγική εικόνα που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του ϑα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φραςταλς είναι η λεγόμενη αυτό-ομοιότητα (σελφ-σιμιλαριτψ) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης. Τα φραςταλς σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει αριθμητική, μαθηματική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασμό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φραςταλς είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη μορφή τους, δηλαδή εμφανίζουν ανωμαλίες στη μορφή σε σχέση με τα συμβατικά γεωμετρικά σχήματα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα φραςταλς, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτομέρειες, οι οποίες όμως γίνονται ορατές μόνο μετά από μεγέθυνσή τους σε κάποια κλίμακα. Για να γίνει αντιληπτός αυτός ο διαχωρισμός των φραςταλς σε σχέση με την ευκλείδεια γεωμετρία, αναφέρουμε ότι, αν μεγεθύνουμε κάποιο αντικείμενο το οποίο μπορεί να οριστεί με την ευκλείδεια γεωμετρία, παραδείγματος χάριν την περιφέρεια μιας έλλειψης, αυτή μετά από αλλεπάλληλες μεγεθύνσεις ϑα εμφανίζεται απλά ως ευθύγραμμο τμήμα. Η συμβατική ιδέα της καμπυλότητας η οποία αντιπροσωπεύει το αντίστροφο της ακτίνας ενός προσεγγίζοντος κύκλου, δεν μπορεί ωφέλιμα να ισχύσει στα φραςταλς επειδή αυτή εξαφανίζεται κατά τη μεγέθυνση. Αντίθετα, σε ένα φραςταλ, ϑα εμφανίζονται κατόπιν μεγεθύνσεων λεπτομέρειες που δεν ήταν ορατές σε μικρότερη κλίμακα μεγέθυνσης. Φραςταλς απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως στα φραςταλς που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα φραςταλς στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων. Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπροτ (Βενοιτ Μανδελβροτ) το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη φραςτυς, που σημαίνει σπασμένος, κατακερματισμένος.

Για να κατανοήσουν οι αναγνώστες καλύτερα την αναγκαιότητα εισαγωγής των φραςταλς αναφέρουμε το εξής παράδειγμα: Η περίμετρος ενός νησιού εννοείται ότι είναι ορισμένη. Ωστόσο, αν χρησιμοποιήσουμε ακρίβεια ενός μέτρου για να την μετρήσουμε, ϑα την βρούμε μικρότερη από ότι πραγματικά είναι γιατί δεν ϑα μπορέσουμε να μετρήσουμε τις κοιλότητες που είναι μικρότερες του ενός μέτρου. Αν μετρήσουμε με ακρίβεια ενός εκατοστού, πάλι ϑα χάσουμε ορισμένες κοιλότητες. Ετσι καταλήγουμε σε απειροστά μικρή μονάδα μέτρησης και η περίμετρος του νησιού ϑα γίνει άπειρη. Η επιφάνεια όμως του νησιού, η έκτασή του δηλαδή, είναι ορισμένη. Το παράδοξο αυτό, το οποίο η Ευκλείδεια Γεωμετρία αδυνατεί να εξηγήσει, αντιμετωπίζεται με τα φραςταλς. 5

6

Περιεχόμενα 1 Παραδείγματα fractals 9 1.1 Η τριαδική σκόνη του Cantor..................... 9 1.1.1 Κατασκευή του fractal..................... 9 1.2 The Sierpinski Gasket.......................... 10 1.2.1 Κατασκευή του fractal..................... 10 1.3 Heighway Dragon............................ 12 1.3.1 Κατασκευή του fractal..................... 12 2 Μετρική Τοπολογία 15 2.1 Μετρικός Χώρος............................. 15 2.1.1 Παραδείγματα.......................... 15 2.1.2 Σχετικοί Ορισμοί......................... 18 2.2 Μετρικές Δομές.............................. 21 2.2.1 Συναρτήσεις σε μετρικούς χώρους.............. 21 2.2.2 Ακολουθίες σε έναν μετρικό χώρο.............. 23 2.2.3 Πληρότητα............................ 25 2.2.4 Συστελλόμενη απεικόνηση................... 26 2.2.5 Διαχωρισιμότητα......................... 28 2.3 Συμπαγή και διαχωρίσιμα σύνολα.................. 29 2.3.1 Διαχωρίσιμα σύνολα....................... 29 2.3.2 Συμπάγεια............................ 30 2.3.3 Εικόνες και Αντίστροφες εικόνες............... 35 2.3.4 Ομοιόμορφη Συνέχεια...................... 36 2.4 Ομοιόμορφη Σύγκληση......................... 37 2.4.1 Γενικά............................... 37 2.4.2 Συνεχείς Καμπύλες....................... 39 2.4.3 Καμπύλες Space Filling..................... 40 2.5 Η μετρική Hausdorff........................... 40 2.5.1 Σύγκληση Συνόλων....................... 41 2.5.2 Παραδείγματα με Σύγκληση.................. 43 7

8 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 3 Θεωρία μέτρου 45 3.1 Μέτρο Lebesgue............................. 45 3.1.1 Βασικές Ιδιότητες του εξωτερικού μέτρου Lebesgue... 48 3.1.2 Μετρησιμότητα Καραθεοδωρή................. 52 3.2 Μέθοδος I................................. 54 3.2.1 Μέτρα και εξωτερικά μέτρα.................. 54 3.3 Reduced Cover Classes......................... 57 3.3.1 Μετρήσιμα Σύνολα....................... 59 3.3.2 Μέθοδος II............................ 60 4 Διάσταση fractal 63 4.1 Μέτρο Hausdorff............................ 63 4.1.1 Διάσταση Hausdorff....................... 64 4.2 Packing Μέτρο.............................. 66 4.2.1 Ορισμός.............................. 66 4.2.2 Βασικές Ιδιότητες........................ 69

Κεφάλαιο 1 Παραδείγματα fractals Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα παρουσιάσουμε μερικά βασικά μαθηματικά παραδείγματα από fractals. 1.1 Η τριαδική σκόνη του Cantor 1.1.1 Κατασκευή του fractal Η τριαδική σκόνη του Cantor είναι ένα υποσύνολο της πραγματικής γραμμής R. Ξεκινάμε με το κλειστό διάστημα C 0 = [0,1]. Τότε το σύνολο C 1 φτιάχνεται αποκόπτοντας το μεσαίο ανοιχτό τρίτο του διαστήματος [0,1], αφήνοντας το [0,1/3] [2/3,1]. Το επόμενο σύνολο C 2 κατασκευάζεται αποκόπτοντας το μεσαίο ανοιχτό τρίτο από καθένα από τα δυο διαστήματα του C 1. Αυτό μας δίνει: C 2 = [0,1/9] [2/9,1/3] [2/3,7/9] [8/9,1]. και συνεχίζουμε όπως φαίνεται παρακάτω στο σχήμα. Η τριαδική σκόνη του Cantor είναι το «όριο» C της ακολουθίας C n από σύνολα. Τα σύνολα φθίνουν: C 0 C 1 C 2... Άρα ϑα ορίσουμε το «όριο» να είναι η τομή των συνόλων, C = k NC k Τα κομμάτια που αφαιρούμε λέγονται tremas (προέρχεται από μια λατινική λέξη που σημαίνει «τρύπα»). Το σύνολο C k αποτελείται από 2 k ξένα μεταξύ τους διαστήματα, καθένα από τα οποία έχει μήκος (1/3) k. Άρα το συνολικό μήκος του C k είναι, το 9

10 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ FRACTALS άθροισμα των επιμέρους μηκών, δηλαδή (2/3) k. Το όριο είναι ( ) k 2 lim = 0. k 3 Άρα το συνολικό μήκος της σκόνης του Cantor είναι 0. Συνεπώς, το συνολικό μήκος δεν είναι χρήσιμος τρόπος να υπολογίσουμε το μέγεθος του C. Θα δούμε παρακάτω ότι αυτό σχετίζεται με το γεγονός ότι η fractal διάσταση του C είναι αυστηρά μικρότερη του 1. Ας δούμε πιο προσεκτικά ποια σημεία αποτελούν το σύνολο Cantor. Αν [a,b] είναι ένα από τα κλειστά διαστήματα τα οποία φτιάχνουν μία από τις προσεγγίσεις C k, τότε τα άκρα a και b ανήκουν σε όλα τα σύνολα C m, m k, και κατά συνέπεια ανήκουν και στην τομή C (αποδεικνύεται επαγωγικά). 0 1/3 2/3 1 Σχήμα 1.1: Η τριαδική σκόνη Cantor. Παίρνοντας όλα τα άκρα από όλα τα διαστήματα όλων των προσεγγίσεων C k, παίρνουμε ένα άπειρο σύνολο από σημεία, τα οποία όλα ανήκουν στο C. (Ωστόσο αυτό το σύνολο των άκρων είναι μόνο αριθμήσιμο.) Είναι σημαντικό να προσέξουμε ότι υπάρχουν και άλλα σημεία στο C πέρα από τα άκρα. Για παράδειγμα, το 1 4 δεν είναι άκρο κανενός C k αλλά αποδεικνύεται ότι ανήκει στο C. 1.2 The Sierpinski Gasket 1.2.1 Κατασκευή του fractal Ξεκινάμε με ένα γραμμοσκιασμένο ισόπλευρο τρίγωνο με κάθε πλευρά του να έχει μήκος 1. Το ονομάζουμε S 0. Αυτό μπορεί να υποδιαιρεθεί σε 4 μικρότε-

1.2. THE SIERPINSKI GASKET 11 ρα τρίγωνα, χρησιμοιποιώντας γραμμές που ενώνουν τα μέσα των πλευρών. Η κάθε πλευρά των μικρότερων τριγώνων έχει μήκος 1/2. Το μεσαίο τρίγωνο είναι στραμένο κατά 180 μοίρες σε σχέση με τα υπόλοιπα. Το κόμματι που αφαιρούμε είναι το μεσαίο τρίγωνο (το «ανοιχτό τρίγωνο» αφαιρούμε το εσωτερικό αλλά αφήνουμε το σύνορο του τριγώνου δηαδή, τις κορυφές και τις πλευρές). Αφότου το αφαιρέσουμε, το υπόλοιπο σύνολο είναι το S 1, ένα υποσύνολο του S 0. Τώρα, καθένα από τα τρία εναπομείναντα τρίγωνα πρέπει να υποδιαιρεθεί σε μικρότερα τρίγωνα με πλευρά 1/4, και τα τρία μεσαία τρίγωνα που ϑα σχηματιστούν να αφαιρεθούν και πάλι. Το αποτέλεσμα είναι το S 2, ένα υποσύνολο του S 1. Θα πρέπει να συνεχίσουμε με τον ίδιο τρόπο προκειμένου να πάρουμε μια ακολουθία S k από σύνολα. Το Sierpinski Gasket είναι το όριο S της ακολουθίας των συνόλων (δες σχήμα). Η ακολουθία φθίνει (S 0 S 1 S 2...), άρα με το «όριο» εννοούμε την τομή S = k N S k. Σχήμα 1.2: Η κατασκευή του Sierpinski Gasket. Το σύνολο S k αποτελείται από 3 k τρίγωνα, με πλευρά 2 k. Άρα το συνολικό εμβαδόν του S k είναι 3 k (2 k ) 2 3/4. Αυτό συγκλίνει στο 0 καθώς το k. Το συνολικό εμβαδόν του Sierpinski Gasket είναι κατά συνέπεια 0. Βλέπουμε ότι ο όρος «εμβαδόν» δεν είναι πολύ χρήσιμος στη μέτρηση του μεγέθους του S. Το εμβαδόν χρησιμοποιείται για να μετρήσουμε το μέγεθος ενός συνόλου με διάσταση 2. Ενα κομμάτι γραμμής που έχει διάσταση 1, έχει εμβαδόν 0. Με τον ίδιο τρόπο, ϑα δούμε ότι το Sierpinski Gasket S έχει διάσταση μικρότερο από 2. Τα ευθύγραμμα τμήματα τα οποία φτιάχνουν το σύνορο ενός από τα τρίγωνα του S n παραμένουν σε όλες τις επόμενες προσεγγίσεις S k, k n.

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ FRACTALS Άρα, το σύνολο S περιέχει το λιγότερο όλα αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα. Στο S k υπάρχουν 3 k τρίγωνα, καθένα από τα οποία έχει 3 πλευρές μήκους 2 k. Άρα το «συνολικό μήκος» του S είναι το λιγότερο 3 k 3 2 k. Αυτό πάει στο καθώς το k. Άρα το μήκος του S μπορούμε να πούμε ότι είναι άπειρο. Συνεπώς το «μήκος» δεν είναι πολύ χρήσιμο για να μετρήσουμε το μέγεθος του S. Το μήκος χρησιμοποιείται για να μετρήσουμε το μέγεθος ενός συνόλου διάστασης 1. Ενα τετράγωνο (μαζί με το εσωτερικό του), το οποίο έχει διάσταση 2, έχει άπειρο μήκος από τη στιγμή που περιέχει τόσα ευθύγραμμα τμήματα ξένα μεταξύ τους όσα ϑέλουμε. Με όμοιο τρόπο, ϑα δούμε ότι το Sierpinski Gasket S μπορεί να έχει διάσταση μεγαλύτερη από 1. Άρα υποθετικά μιλώντας, το S έχει διάσταση μεγαλύτερη από 1 και μικρότερη από 2. Δεν υπάρχει άλλος ακέραιος μεταξύ του 1 και του 2. Τις σκέψεις αυτές για μη ακέραιη διάσταση ενός συνόλου τις έκανε ο Hausdorff το 1919 και σύμφωνα με αυτές το Sierpinski Gasket έχει διάσταση περίπου ίση με 1,58. Σχήμα 1.3: Η κατασκευή του Sierpinski Gasket μετά από 8 βήματα. 1.3 Heighway Dragon 1.3.1 Κατασκευή του fractal Προκειμένου να κατασκευάσουμε το fractal ξεκινάμε από ένα ευθύγραμμο τμήμα P 0 το οποίο έχει μήκος 1. Η επόμενη προσέγγιση είναι η P 1 : δημιουργείται από την P 0 αν αντικαταστήσουμε το ευθύγραμμο τμήμα με ένα πολύγωνο με δύο ευθύγραμμα τμήματα, καθένα από τα οποία έχει μήκος 1/ 2, ενωμένα στην αριστερή κορυφή (μπορούμε αντίστοιχα να τα ενώσουμε και στην δεξιά κορυφή). Τα δυο τελικά σημεία είναι τα ίδια με πρίν. Για

1.3. HEIGHWAY DRAGON 13 το P 2, κάθε ευθύγραμμο τμήμα του P 1 αντικαθιστάται από ένα πολύγωνο με δυο ευθύγραμμα τμήματα, καθένα από τα οποία έχει μηκος 1/ 2 φορές το μήκος του τμήματος που αντικαταστεί. Οι επιλογές εναλλάσονται μεταξύ αριστερά και δεξιά. Το Heighway Dragon είναι το «όριο» P της ακολουθίας P n από πολύγωνα.

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ FRACTALS Σχήμα 1.4: Η κατασκευή του Heighway Dragon

Κεφάλαιο 2 Μετρική Τοπολογία Αυτό το κεφάλαιο περιέχει το μαθηματικό υπόβαθρο για τα περισότερα από τα επόμενα πράγματα που ϑα δούμε σε αυτήν την εργασία. 2.1 Μετρικός Χώρος Ενας μετρικός χώρος είναι ένα σύνολο S μαζί με μια συνάρτηση ρ : S S [0, ) που ικανοποιεί τα εξής: 1. ρ(x,y) = 0 x = y 2. ρ(x,y) = ρ(y,x) 3. ρ(x,z) ρ(x,y) + ρ(y,z). Η τελευταία ανισότητα είναι γνωστή ως τριγωνική ανισότητα. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, λέμε ότι το άθροισμα των μηκών δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το μήκος της τρίτης πλευράς. Ο μη αρνητικός αριθμός ρ(x, y) καλείται απόσταση των x και y. Η συνάρτηση ρ καλείται μετρική του συνόλου S. Ενας μετρικός χώρος μπορεί να γραφτεί ως ένα ζεύγος (S,ρ), αλλά μπορούμε απλά να γράφουμε και S. 2.1.1 Παραδείγματα Θα κάνουμε παρακάτω μερικά παραδείγματα για τους μετρικούς χώρους. Θεώρημα 2.1.1 Το σύνολο R από πραγματικούς αριθμούς, με τη συνάρτηση ρ(x,y) = x y είναι ένας μετρικός χώρος. 15

16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΤΡΙΚ Η ΤΟΠΟΛΟΓ ΙΑ Απόδειξη: Πρώτα, σημειώνουμε ότι x y 0. Επίσης, x y = 0 αν και μόνο αν x = y. Επειτα, ρ(x,y) = x y = (x y) = y x = ρ(y,x). Για την τριγωνική ανισότητα, έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: 1. x y z : Τότε ρ(x,y) + ρ(y,z) = (y x) + (z y) = z x = ρ(x,z). 2. x z y : Τότε ρ(x,y)+ρ(y,z) = (y x)+(y z) y x z x = ρ(x,z). 3. y x z : Τότε ρ(x,y)+ρ(y,z) = (x y)+(z y) z y z x = ρ(x,z). 4. y z x : Τότε ρ(x,y)+ρ(y,z) = (x y)+(z y) x y x a = ρ(x,z). 5. z y x : Τότε ρ(x,y) + ρ(y,z) = (x y) + (y z) = x z = ρ(x,z). 6. z x y : Τότε ρ(x,y)+ρ(y,z) = (y x)+(y z) y z x z = ρ(x,z). Αν ο d είναι ένας ϑετικός ακέραιος, τότε το R d είναι το σύνολο από όλα τα d-διανύσματα από πραγματικούς αριθμούς. Μπορούμε να ορίσουμε διάφορες πράξεις σε αυτήν την κατεύθυνση. Για x = (x 1,x 2,...,x d ) R d, y = (y 1,y 2,...,x d ) R d, και το s R, ορίζουμε ότι: 1. sx = (sx 1,sx 2,...,sx d ), 2. x + y = (x 1 + y 1,x 2 + y 2,...,x d + y d ), 3. x y = x + ( 1)y, 4. x = x 2 1 + x2 2 +... + x2 d. Ορίζουμε τον Ευκλείδειο χώρο διάστασης d να είναι το σύνολο R d με την μετρική ρ(x,y) = x y. Προκειμένου να δείξουμε ότι είναι μετρικός χώρος, ϑα αποδείξουμε δυο βασικές ανισότητες. Θεώρημα 2.1.2 (Ανισότητα του Cauchy). Εστω x 1,x 2,...,x d,y 1,y 2,...,y d να είναι 2d πραγματικοί αριθμοί. Τότε, d x j y j j=1 2 d j=1 x 2 j d Απόδειξη: Αν λ είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, τότε d (x j λy j ) 2 0. j=1 j=1 y 2 j.

2.1. ΜΕΤΡΙΚ ΟΣ Χ ΩΡΟΣ 17 Αναπτύσσοντας την ταυτότητα και μαζεύοντας τους όρους έχουμε ότι: d d d λ 2 2 x j y j λ + 0. j=1 y 2 j j=1 Αυτό αληθεύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς λ. Αλλά προκειμένου ένα δευτεροβάθμιο πολυώνυμο Aλ 2 + Bλ + C να είναι μη αρνητικό για όλα τα λ, είναι απαραίτητο να ισχύει B 2 4AC 0. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε: 2 d d d 4 x j y j 4 0, j=1 j=1 το οποίο είναι ισοδύναμο με την ανισότητα που έπρεπε να είχε αποδειχθεί. Θεώρημα 2.1.3 (Ανισότητα του Minkowski). Εστω x,y R d. Τότε, x + y x + y. Απόδειξη: Γράφουμε x = (x 1,x 2,...,x d ) και y = (y 1,y 2,...,y d ). Τότε έχουμε, y 2 j j=1 j=1 x 2 j x 2 j x + y 2 = = = d (x j + y j ) 2 j=1 d d x 2 j +2 x j y j + j=1 j=1 j=1 d d x 2 j +2 d d j=1 1/2 y 2 j d x 2 j y 2 j j=1 j=1 1/2 d x 2 j + y 2 j j=1 j=1 1/2 2 1/2 + d y 2 j j=1 = ( x + y ) 2. Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα των άκρων, (από τη στιγμή που και οι δυο όροι είναι μη αρνητικοί) καταλήγουμε στο x + y x + y. Πόρισμα 2.1.4 Οχώρος R d είναιέναςμετρικόςχώροςμετηνμετρική ρ(x,y) = x y.

18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΤΡΙΚ Η ΤΟΠΟΛΟΓ ΙΑ Απόδειξη: Γράφουμε x = (x 1,x 2,...,x d ) και y = (y 1,y 2,...,y d ). Πρώτα από όλα, ρ(x,y) = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 +... + (y d x d ) 2 0. Αν ρ(x,y) = 0, τότε (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 +... + (y d x d ) 2 = 0. Αλλά το τετράγωνο είναι μη αρνητικός αριθμός, άρα σημαίνει ότι όλοι οι όροι πρέπει να είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι x j = y j για όλα τα j, και άρα x = y. Φανερά ισχύει η ισότητα ρ(x,y) = ρ(y,x). Για την τριγωνική ανισότητα, χρησιμοποιούμε την ανισότητα του Minkowski: ρ(x,y) + ρ(y,z) = x y + y z (x y) + (y z) = x z = ρ(x,z). 2.1.2 Σχετικοί Ορισμοί Αν S είναι ένας μετρικός χώρος με την μετρική ρ, και T S, τότε ο T είναι επίσης ένας μετρικός χώρος με την μετρική ρ T ορισμένο έτσι ώστε ρ T (x,y) = ρ(x,y) για όλα τα x,y T. Στο μέλλον, ϑα γράφουμε απλα ρ αντί για ρ T. Ορισμός 2.1.5 (Τί είναι η διαμετρος ενός συνόλου;) Η διάμετρος ενός υποσυνόλου A ενός μετρικού χώρου S ορίζεται ως εξής: diama = sup{ρ(x,y) : x,y A} και είναι διαισθητικά η απόσταση μεταξύ των δυο πιο μακρινών σημείων του A, αν δυο τέτοια σημεία υπάρχουν. Αλλά, για παράδειγμα, αν έχουμε το σύνολο A = [0, 1), η διάμετρός του είναι 1. Ακόμα και αν δυο σημεία του A δεν απέχουν ακριβώς 1, υπάρχουν ζεύγη x,y από σημεία του A με απόσταση η οποία πλησιάζει το 1. Και επίσης δεν υπάρχουν ζεύγη x,y από σημεία του A με απόσταση μεγαλύτερη από 1. Αν τα A και B είναι μη κενά σύνολα στον μετρικό χώρο S, ορίζουμε την απόσταση μεταξύ τους από τη σχέση: dist(a,b) = inf {ρ(x,y) : x A,y B}. Σημειώνουμε ότι η απόσταση δεν είναι μετρική (για παράδειγμα η τριγωνική ανισότητα δεν ισχύει). Αν A = 0 και B = (0,1] στον R, τότε η dist(a,b) = 0 ακόμα και αν A B.

2.1. ΜΕΤΡΙΚ ΟΣ Χ ΩΡΟΣ 19 Εστω S ένας μετρικός χώρος, x S, και r > 0. Η ανοιχτή μπάλα με κέντρο x και ακτίνα r είναι το σύνολο B r (x) = {y S : ρ(y,x) < r}. Η κλειστή μπάλα με κέντρο x και ακτίνα r είναι το σύνολο B r (x) = {y S : ρ(y,x) r}. Εστω S ένας μετρικός χώρος, και έστω A ένα υποσύνολο. Ενα εσωτερικό σημείο του A είναι ένα σημείο του x έτσι ώστε B ε (x) A για όλα τα ε > 0. Ενα σύνολο A λέγεται ανοιχτό σύνολο αν και μόνο αν κάθε σημείο του A είναι εσωτερικό σημείο. Πρόταση 2.1.6 Μια ανοιχτή μπάλα B r (x) είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Απόδειξη: Εστω y B r (x). Τότε το ρ(x,y) < r, έτσι ώστε ε = r ρ(x,y) να είναι ϑετικό. Η τριγωνική ανισότητα δείχνει ότι B ε (y) B r (x). Άρα το y είναι ένα εσωτερικό σημείο του B r (x). Θεώρημα 2.1.7 Εστω S ένας μετρικός χώρος. Τότε το και ο S είναι ανοιχτά σύνολα. Αν τα U και V είναι ανοιχτά σύνολα, έτσι ϑα είναι και το U V. Αν το U είναι μια οποιαδήποτε οικογένεια από ανοιχτά σύνολα, τότε η ένωση είναι επίσης ανοιχτό σύνολο. U U U Απόδειξη: Σίγουρα κάθε σημείο του έχει όποια ιδιότητα κι αν ϑελήσουμε, άρα και την ιδιότητα να είναι εσωτερικό σημείο. Άρα το είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Εστω x S. Τότε σίγουρα B 1 (x) S. Άρα το S είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Υποθέτουμε ότι τα U και V είναι και τα δυο ανοιχτά. Εστω x U V. Τότε το x είναι ένα εσωτερικό σημείο του U, άρα υπάρχει ένα ε 1 > 0 με B ε1 (x) U. Επίσης, το x είναι εσωτερικό σημείο του V, άρα υπάρχει ένα ε 2 > 0 με B ε2 (x) V. Κατά συνέπεια, αν το ε είναι το minimum των ε 1 και ε 2, τότε έχουμε ότι B ε2 (x) U V. Άρα το U V είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Εστω U μια οικογένεια από ανοιχτά σύνολα, και γράφουμε: V = U U U. Εστω ένα x V. Τότε, το x U για κάποια U U. Άρα υπάρχει ένα ε > 0 με B ε (x) U V. Κατά συνέπεια το V είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Ορισμός 2.1.8 (Τι είναι ένα σημείο συσσώρευσης;) Εστω S ένας μετρικός χώρος, και έστω A S. Ενα σημείο x S είναι σημείο συσσώρευσης του A αν και μόνο αν, για κάθε ε > 0, η μπάλα B ε (x) περιέχει σημεία του A και άλλα εκτός από το x.

20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΤΡΙΚ Η ΤΟΠΟΛΟΓ ΙΑ Ενα σύνολο A είναι κλειστό αν και μόνο αν περιέχει όλα τα σημεία συσσώρευσής του. Συγκρίνοντας αυτό με τον ορισμό του «ανοιχτού συνόλου», μπορούμε να δούμε ότι το σύνολο A είναι κλειστό αν και μόνο αν το συμπλήρωμά του S \ A είναι ανοιχτό. Πρόταση 2.1.9 Εστω S ένας μετρικός χώρος. Τότε το και ο S είναι κλειστά σύνολα. Αν τα A και B είναι κλειστά σύνολα, το ίδιο είναι και το A B. Αν C είναι μια οικογένεια από κλειστά σύνολα, τότε η τομή A είναι επίσης κλειστό. A C Πρόταση 2.1.10 Μια κλειστή μπάλα B r (x) είναι ένα κλειστό σύνολο. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι y / B r (x). Τότε ρ(x,y) > r, ώστε το ε = ρ(x,y) r να είναι ϑετικό. Η τριγωνική ανισότητα δείχνει ότι B ε (y) B r (x) =. Κατά συνέπεια, το y δεν είναι σημείο συσσώρευσης του B r (x). Αυτό δείχνει ότι το B r (x) είναι κλειστό σύνολο. Ορισμός 2.1.11 (Τι είναι μια βάση για τα ανοιχτά σύνολα;) Μια οικογένεια B από ανοιχτά σύνολα ενός μετρικού χώρου S λέγεται βάση για τα ανοιχτά σύνολα του S αν και μόνο αν, για κάθε ανοιχτό σύνολο A S, και κάθε x A, υπάρχει ένα U B τέτοιο ώστε το x U A. Πρόταση 2.1.12 Μια οικογένεια B από ανοιχτά σύνολα ενός μετρικού χώρου S είναι μια βάση για τα ανοιχτα σύνολα αν και μόνο αν κάθε ανοιχτό σύνολο T είναι της μορφής T = A για κάποιο A B. A A Φυσικά ο ορισμός ενός «ανοιχτού συνόλου» δείχνει ότι η συλλογή όλων των ανοιχτών μπαλών είναι μια βάση για τα ανοιχτά σύνολα του S. Ορισμός 2.1.13 (Τι είναι ένας ultrametric χώρος;) Ενας ultrametric χώρος S είναι ένας μετρικός χώρος όπου η μετρική ρ ικανοποιεί την ultra-τριγωνική ανισότητα: ρ(x,z) max {ρ(x,y),ρ(y,z)}. Οι ιδιότητες ενός ultrametric χώρου μπορεί να φανούν περίεργες σε σχέση με αυτές του Ευκλείδειου χώρου. Τα παρακάτω παραδείγματα βοηθούν ώστε να καταλάβουμε καλύτερα την περίπτωση. Εστω S ένας ultrametric χώρος. Αποδεικνύεται ότι:

2.2. ΜΕΤΡΙΚ ΕΣ ΔΟΜ ΕΣ 21 1. Κάθε τρίγωνο είναι ισοσκελές: αυτό συμβαίνει γιατί, αν x,y,z S, τότε το λιγότερο δυο από τα ρ(x,y),ρ(y,z),ρ(x,z) είναι ίσα. 2. Μια μπάλα B r (x) ακτίνας r έχει διάμετρο το πολύ r. 3. Κάθε σημείο της μπάλας είναι κέντρο: αυτό συμβαίνει γιατί, αν το y B r (x), τότε ϑα ισχύει B r (x) = B r (y). 4. Μια κλειστή μπάλα είναι ένα ανοιχτό σύνολο. 5. Μια ανοιχτή μπάλα είναι ένα κλειστό σύνολο. 2.2 Μετρικές Δομές Οι μετρικοί χώροι υποστηρίζουν αρκετές από τις έννοιες που είναι γνωστές από τον Ευκλείδειο χώρο. Θα μελετήσουμε συναρτήσεις και σειρές σε μετρικούς χώρους. 2.2.1 Συναρτήσεις σε μετρικούς χώρους Ορισμός 2.2.1 (Τι είναι μια ισομετρία;) Υποθέτουμε ότι οι S και T είναι μετρικοί χώροι. Μια συνάρτηση h : S T είναι μια ισομετρία αν και μόνο αν ισχύει ότι: ρ T (h(x),h(y)) = ρ S (x,y) για όλα τα x,y S. Δυο μετρικοί χώροι είναι ισομετρικοί αν και μόνο αν υπάρχει μια ισομετρία από το ένα στο άλλο. Μια «ιδιότητα» λέγεται μετρική ιδιότητα αν και μόνο αν διατηρείται από την ισομετρία, έτσι ώστε: αν S και T είναι ισομετρικοί, και ο ένας έχει την ιδιότητα, τότε και ο άλλος ϑα την έχει. Ορισμός 2.2.2 (Τι είναι μια ομοιότητα;) Μια συνάρτηση h : S T είναι ομοιότητα αν και μόνο αν υπάρχει ένας ϑετικός αριθμός r έτσι ώστε ρ(h(x),h(y)) = rρ(x,y) για κάθε x,y S. Ο αριθμός r είναι ο λόγος ομοιότητας της h. Δυο μετρικοί χώροι είναι όμοιοι αν και μόνο αν υπάρχει μια ομοιότητα του ενός πάνω στο άλλο.

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΤΡΙΚ Η ΤΟΠΟΛΟΓ ΙΑ Ορισμός 2.2.3 (Τι είναι μια συνεχής συνάρτηση;) Εστω S και T δυο μετρικοί χώροι. Εστω x S. Μια συνάρτηση h : S T είναι συνεχής στο x αν και μόνο αν για κάθε ε > 0, υπάρχει ένα δ > 0 έτσι ώστε για όλα τα y S να ισχύει: ρ(x,y) < δ = ρ(h(x),h(y)) < ε. Η συνάρτηση h απλά καλείται συνεχής αν και μόνο αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του x S. Αυτός είναι ένας από δέκα πιο σημαντικούς ορισμούς σε όλα τα μαθηματικά. Πρόταση 2.2.4 Εστω h : S T, έστω x S, και έστω ε,δ > 0. Τότε έχουμε ότι: ρ(x,y) < δ = ρ(h(x),h(y)) < ε για κάθε y S αν και μόνο αν h[b δ (x)] B ε (h(x)). Πρόταση 2.2.5 Οι ισομετρίες και οι ομοιότητες είναι συνεχείς συναρτήσεις. Θεώρημα 2.2.6 Μια συνάρτηση h : S T είναι συνεχείς αν και μόνο αν το h 1 [V] είναι ανοιχτό σύνολο στον S για όλα τα V που είναι ανοιχτά στον T. Απόδειξη: Πρώτα υποθέτουμε ότι η συνάρτηση h είναι συνεχής. Εστω το V να είναι ένα ανοιχτό σύνολο στον T. Πρέπει να δείξουμε ότι το h 1 [V] είναι ανοιχτό σύνολο στον S. Ετσι, έστω ότι x h 1 [V]. Τότε h(x) V, το οποίο είναι ανοιχτό, άρα υπάρχει ένα ε > 0 με B ε (h(x)) V. Από τη συνέχεια του h, υπάρχει ένα δ > 0 ώστε να ισχύει h[b δ (x)] B ε (h(x)) V. Κατά συνέπεια, B δ (x) h 1 [V]. Άρα το h 1 [V] είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Αντιστρόφως, υποθέτουμε ότι το h 1 [V] είναι ένα ανοιχτό σύνολο στον S όποτε το V είναι ανοιχτό στον T. Εστω x S. Πρέπει να δείξουμε ότι η h είναι συνεχής στο x. Εστω ένα ε > 0, τότε το B ε (h(x)) είναι ένα ανοιχτό σύνολο στον T. Άρα, το W = h 1 [B ε (h(x))] είναι ανοιχτό σύνολο στον S. Το x W, άρα υπάρχει ένα δ > 0 με B δ (x) W. Κατά συνέπεια h[b δ (x)] h[w] B ε (h(x)). Άρα η h είναι συνεχής. Ορισμός 2.2.7 (Τί είναι ένας ομομορφισμός;) Μια συνάρτηση h : S T είναι ομομορφισμός από το S στο T αν και μόνο αν είναι 1 1 και επί και οι h και h 1 είναι και οι δυο συνεχείς. Δυο μετρικοί χώροι είναι ομομορφικοί αν και μόνο αν υπάρχει ένας ομομορφισμός από τον έναν χώρο στον άλλον.

2.2. ΜΕΤΡΙΚ ΕΣ ΔΟΜ ΕΣ 23 2.2.2 Ακολουθίες σε έναν μετρικό χώρο Εστω S ένα σύνολο. Μια ακολουθία στον S είναι, αυστηρά μιλώντας, μια συνάρτηση f : N S. Ορίζεται από την άπειρη λίστα τιμών f(1),f(2),f(3),... Συχνά γράφουμε (x n ) n N και καταλαβαίνουμε ότι η συνάρτηση is specified από τα f(1) = x 1, f(2) = x 2, και πάει λέγοντας. Θα γράφουμε απλά από δω και πέρα (x n ). Μια ακολουθία (x n ) σε έναν μετρικό χώρο S συγκλίνει σε ένα x S αν και μόνο αν για κάθε ε > 0, υπάρχει ένα N N, ώστε ρ(x n,x) < ε για όλα τα n N. Αν αυτό συμβαίνει, γράφουμε ότι lim n x n = x ή x n x. Επίσης, το x καλείται το όριο της ακολουθίας (x n ). Λέμε ότι η ακολουθία είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν συγκλίνει σε κάποιο σημείο. Προκειμένου να έχουν νόημα οι παραπάνω ορισμοί, ϑα πρέπει να ξέρουμε ότι τα όρια τα οποία αναφέρουμε είναι μοναδικά. Δηλαδή, αν (x n ) είναι μια ακολουθία σε ένα μετρικό χώρο S και ξέρουμε ότι x n a αλλά και x n b, τότε το a = b. Θεώρημα 2.2.8 Εστω S και T μετρικοί χώροι, και έστω μια συνάρτηση h : S T. Τότε η h είναι συνεχής αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία (x n ) στον S, ισχύει το ακόλουθο x n x = h(x n ) h(x). Απόδειξη: Πρώτα υποθέτουμε ότι η h είναι συνεχής. Εστω η ακολου- ϑία (x n ) στον S, και υποθέτουμε ότι x n x. Πρέπει να αποδείξουμε ότι h(x n ) h(x). Άρα, έστω ένα ε > 0. Από τη στιγμή που η h είναι συνεχής στο x, υπάρχει ένα δ > 0 με h[b δ (x)] B ε (h(x)). Και από τη στιγμή που η x n x, υπάρχει ένα N N, ώστε η x n B δ (x) για κάθε n N. Αλλά τότε η h(x n ) B ε (h(x)) για κάθε n N. Αυτό δείχνει ότι h(x n ) h(x). Για την ανάποδη κατεύθυνση, υποθέτουμε ότι η h δεν είναι συνεχής. Πρέπει να αποδείξουμε ότι η σύγκληση x n x = h(x n ) h(x) αποτυγχάνει. Από τη στιγμή που η h δεν είναι συνεχής, υπάρχει ένα x S και ένα ε > 0 ώστε για κάθε δ > 0, υπάρχει ένα y S με ρ(x,y) < δ αλλά ρ(h(x),h(y)) ε. Συγκεκριμένα, για δ = 1/n, υπάρχει ένα x n S με ρ(x n,x) < 1/n αλλά ρ(h(x n ),h(x)) ε. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία (x n ) συγκλίνει στο x, αλλά η εικόνα της (h(x n )) δεν συγκλίνει στο h(x). Άρα, η σύγκληση αποτυχγάνει. Πρόταση 2.2.9 Αν η f : S 1 S 2 είναι συνεχής και η g : S 2 S 3 είναι συνεχής, τότε η σύνθεσή τους g f : S 1 S 3 είναι και αυτή συνεχής.

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΤΡΙΚ Η ΤΟΠΟΛΟΓ ΙΑ Εστω (x n ) n N μια ακολουθία. Διαλέγουμε ένα άπειρο υποσύνολο από ϑετικούς ακέραιους, και τους βάζουμε σε σειρα: k 1 < k 2 < k 3 <... Τότε, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια καινούργια ακολουθία (x ki ) i N Αυτή λέγεται υπακολουθία της (x n ). Εστω (x n ) μια ακολουθία σε ένα μετρικό χώρο S και έστω x S. Λέμε ότι το x είναι οριακό σημείο της ακολουθίας (x n ) αν και μόνο αν για κάθε ε > 0, και κάθε N N, υπάρχει ένα n > N με ρ(x n,x) < ε. Πρόταση 2.2.10 Το σημείο x είναι οριακό σημείο της ακολουθίας (x n ) αν και μόνο αν το x είναι το όριο κάποιας υπακολουθίας της (x n ). Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι το x είναι οριακό σημείο της ακολουθίας (x n ). Θα ορίσουμε τους ακεραίους k 1 < k 2 <... Το 1 > 0, άρα υπάρχει ένα n με ρ(x n,x) < 1. Εστω το k 1 να είναι ένα τέτοιο n. Τότε το 1/2 > 0, άρα υπάρχει ένα n k 1 + 1 με ρ(x n,x) < 1/2. Εστω το k 2 να είναι ένα τέτοιο n. Υποθέτουμε ότι το k j έχει οριστεί. Τότε, 1/(j +1) > 0, άρα υπάρχει ένα n k j +1 με ρ(x n,x) < 1/(j +1). Εστω το k j+1 να είναι ένα τέτοιο n. Άρα, παίρνουμε μια ακολουθία k 1 < k 2 <... ώστε ρ(x kj,x) < 1/j για όλα τα j. Ετσι, το x είναι το όριο της υπακολουθίας (x kj ) της (x n ). Αντιστρόφως, υποθέτουμε ότι το x είναι το όριο της υπακολουθίας (x kj ) της (x n ). Εστω ένα ε > 0. Τότε, υπάρχει ένα J N ώστε το ρ(x kj,x) < ε για κάθε j J. Αν το N N, τότε υπάρχει ένα k j με j J και k j N. Άρα, έχουμε ρ(x kj,x) < ε. Κατά συνέπεια, το x είναι ένα οριακό σημείο για την ακολουθία (x n ). Πρόταση 2.2.11 Εστω A ένα υποσύνολο του μετρικού χώρου S. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: 1. A είναι κλειστό 2. Αν x S και υπάρχει μια ακολουθία (x n ) στον A ώστε x n x, τότε το x A. Πρόταση 2.2.12 Εστω A ένα υποσύνολο του μετρικού χώρου S. Τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: 1. A είναι ανοιχτό 2. Για κάθε x A και κάθε ακολουθία (x n ) στον S ώστε x n x, υπάρχει ένα N N ώστε η x n A για όλα τα n > N.

2.2. ΜΕΤΡΙΚ ΕΣ ΔΟΜ ΕΣ 25 2.2.3 Πληρότητα Μια ακολουθία Cauchy σε ένα μετρικό χώρο S είναι μια ακολουθία για την οποία ισχύουν τα παρακάτω: για κάθε ε > 0 υπάρχει ένα N N ώστε ρ(x n,x m ) < ε για όλα τα n,m με n N και m N. Μια ακολουθία στον R συγκλίνει αν και μόνο αν είναι ακολουθία Cauchy. Αυτό ισχύει και σε ένα γενικό μετρικό χώρο, δηλαδη: Πρόταση 2.2.13 Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι x n x. Θα δείξουμε ότι η (x n ) είναι μια ακολουθία Cauchy. Εστω ένα ε > 0. Επίσης ε/2 > 0. Αφού x n x, υπάρχει ένα N N ώστε ρ(x n,x) < ε/2 για όλα τα n N. Τότε, αν n,m N, έχουμε ρ(x n,x m ) ρ(x n,x) + ρ(x,x m ) < ε/2 + ε/2 = ε. Κατά συνέπεια η (x n ) είναι μια ακολουθία Cauchy. Θεωρούμε τον μετρικό χώρο S ο οποίος περιέχει όλους τους ρητούς αριθμούς. Ο αριθμός 2 είναι άρρητος. Αλλά αν το δεκαδικό του μέρος αποκοπεί στα n ψηφία, το αποτέλεσμα είναι ρητός αριθμός: x 1 = 1,4 x 2 = 1,41 x 3 = 1,414 x 4 = 1,4142 κτλ. Αυτή είναι μια ακολουθία Cauchy σε ένα μετρικό χώρο S η οποία δεν συγκλίνει στον S. Το ϑεώρημα του Cauchy είναι χρήσιμο, ωστόσο, για να καταλήξουμε στο παρακάτω συμπέρασμα: Ενας μετρικός χώρος S λέγεται πλήρης αν και μόνο αν κάθε ακολουθία Cauchy στον S συγκλίνει (μέσα στον S). Πρόταση 2.2.14 Ο τρισδιάστατος Ευκλείδειος χώρος R 3 είναι πλήρης. Η κλειστότητα ενός συνόλου A είναι το σύνολο A, το οποίο περίεχει το A μαζί με όλα τα σημεία συσσώρευσής του. Είναι ένα κλειστό σύνολο. Ενα σύνολο A είναι πυκνό σε ένα σύνολο B αν και μόνο αν A = B. Ενα σημείο x το οποίο ανήκει και στην κλειστότητα του A αλλά και στην κλειστότητα του συμπληρώματος του A, S \ A, λέγεται συνοριακό σημείο του A. Το σύνορο του A είναι το σύνολο από όλα τα συνοριακά σημεία του A και ϑα το συμβολίζουμε με A. Ενα σύνολο έχει κενό σύνορο αν και μόνο αν είναι κλειστό και ανοιχτό ταυτόχρονα. Το σύνορο του διαστήματος (a, b) στον μετρικό χώρο R είναι το σύνολο που περιέχει τα δυο σημεία {a,b}. Το σύνορο της μπάλας B r (x)

26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΤΡΙΚ Η ΤΟΠΟΛΟΓ ΙΑ στον R d είναι η σφαίρα { y R d : x y = r. } Σε έναν γενικό μετρικό χώρο S ωστόσο, μπορούμε μόνο να πούμε ότι η μπάλα B r (x) είναι ένα υποσύνολο της σφαίρας {y S : ρ(x,y) = r}. Για παράδειγμα, αν ο S είναι ultrametric, τότε το σύνορο της B r (x) είναι κενό, ακόμη και αν η σφαίρα δεν είναι. Πρόταση 2.2.15 Αν A είναι ένα οποιοδήποτε υποσύνολο ενός μετρικού χώρου, τότε το A είναι κλειστό σύνολο. Υποθέτουμε ότι T S και ο T είναι ένας μετρικός χώρος. Αν A T, τότε επίσης A S. Το σύνορο του A, είναι μια έννοια η οποία εξαρτάται από το συμπλήρωμα του A, καθώς και από το ίδιο το A, άρα υπάρχει διαφορά αν το σύνορο είναι του T ή του S. Για παράδειγμα, S = R, περιέχει το T = [0,1]. Αν A = [0,1/2], τότε A T = {1/2}, αλλά A S = {0,1/2}. Θεώρημα 2.2.16 Εστω ένας μετρικός χώρος S, A S, και T S. Τότε d T (A T) d S A. Απόδειξη: Εστω x (A T) T. Για κάθε ε > 0, υπάρχουν σημεία y A T με ρ(y,x) < ε και σημεία z T \(A T) με ρ(z,x) < ε. Αλλά σημεία όπως το y είναι σημεία του A, και σημεία όπως το z είναι σημεία του S\A. Άρα το x είναι συνοριακό σημείο του A στον S. 2.2.4 Συστελλόμενη απεικόνηση Ενα σημείο x είναι σταθερό σημείο μιας συνάρτησης f αν και μόνο αν f(x) = x. Μια συνάρτηση f : S S είναι συστολή αν και μόνο αν υπάρχει μια σταθερά r < 1 ώστε: ρ(f(x),f(y)) rρ(x,y) για κάθε x,y S. Μια συστολή είναι πάντα συνεχής. Θεώρημα 2.2.17 (Συστελλόμενη απεικόνηση) Μια συστελλόμενη απεικόνηση f σε έναν πλήρη μετρικό χώρο S έχει ένα και μοναδικό σταθερό σημείο. Απόδειξη: Πρώτα, υπάρχει το πολύ ένα σταθερό σημείο. Αν τα x και y είναι και τα δυο σταθερά σημεία, τότε ρ(x,y) = ρ(f(x),f(y)) rρ(x,y). Αλλά 0 r < 1, άρα είναι αδύνατο να ισχύει ρ(x,y) > 0. Κατά συνέπεια, ρ(x,y) = 0, άρα x = y. Εστω το x 0 ένα οποιοδήποτε σημείο του S. (Ο S εννοείται ότι είναι μη κενός.) Τότε ορίζουμε x n+1 = f(x n ) για n 0.

2.2. ΜΕΤΡΙΚ ΕΣ ΔΟΜ ΕΣ 27 Ισχυριζόμαστε ότι η (x n ) είναι ακολουθία Cauchy. Θέτουμε a = ρ(x 0,x 1 ). Συνεπάγεται επαγωγικά ότι ρ(x n+1,x n ) ar n. Αλλά τότε, αν m < n, έχουμε ρ(x m,x n ) n 1 j=m ρ(x j+1,x j ) = arm ar n 1 r arm 1 r. n 1 j=m ar j = arm (1 r n m ) 1 r Κατά συνέπεια, για ένα ε > 0, διαλέγουμε ένα N μεγάλο αρκετά ώστε να ισχύει ar N /(1 r) < ε. Τότε, για n,m N, έχουμε ότι ρ(x m,x n ) < ε. Ο S είναι πλήρης και η ακολουθία (x n ) είναι Cauchy, άρα συγκλίνει. Εστω x να είναι το όριο. Η f είναι συνεχής, άρα από το x n x προκύπτει το f(x n ) f(x). Αλλά f(x n ) = x n+1, άρα f(x n ) x. Κατά συνεπεια, τα δυο όρια είναι ίσα, x = f(x), άρα το x είναι σταθερό σημείο. Το παρακάτω πόρισμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξουμε την ύπαρξη συγκεκριμένων σημείων ενός πλήρη μετρικού χώρου. Πόρισμα 2.2.18 Εστω f μια συστελλόμενη απεικόνηση σε έναν πλήρη μετρικό χώρο S. Αν το x 0 είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του S, και για x n+1 = f(x n ) n 0, τότε η ακολουθία x n συγκλίνει στο σταθερό σημείο της f. Ορισμός 2.2.19 (Πότε μια συνάρτηση λέγεται Lipschitz;) Μια συνάρτηση f : S T είναι Lipschitz αν και μόνο αν υπάρχει μια σταθερά B με ρ(f(x),f(y)) Bρ(x,y) για όλα τα x,y S. Εστω A ένα μη κενό σύνολο σε έναν μετρικό χώρο S. Τότε για x S, η απόσταση dist({x}, A) ικανοποιεί την συνθήκη του Lipschitz dist({x},a) dist({y},a) ρ(x,y). Συνήθως ϑα γράφουμε dist(x,a) αντί για dist({x},a). Ορισμός 2.2.20 (Πότε μια συνάρτηση λέγεται αντίστροφη Lipschitz;) Μια συνάρτηση f : S T είναι αντίστροφη Lipschitz αν και μόνο αν πάρχει μια σταθερά A > 0 με ρ(f(x),f(y)) Aρ(x,y) για όλα τα x,y S.

28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΤΡΙΚ Η ΤΟΠΟΛΟΓ ΙΑ Ορισμός 2.2.21 (Τι είναι ένας μορφισμός Lipschitz;) Μια συνάρτηση f : S T είναι μορφισμός Lipschitz αν και μόνο αν είναι ταυτόχρονα Lipschitz και αντίστροφη Lipschitz. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν ϑετικές σταθερές A,B ώστε Aρ(x,y) ρ(f(x),f(y)) Bρ(x,y). Μια τέτοια συνάρτηση f λέγεται επίσης και μετρική ισοδυναμία. 2.2.5 Διαχωρισιμότητα Μια σημαντική ϑεώρηση για την τοπολογική διάσταση είναι η «διαχωρισιμότητα» των συνόλων. Το παρακάτω είναι το πρώτο ϑεώρημα για αυτή την ιδιότητα. Θεώρημα 2.2.22 Εστω A και B δυο κλειστά ξένα μεταξύ τους σύνολα ενός μετρικού χώρου S. Τότε, υπάρχουν δυο ανοιχτά ξένα μεταξύ τους σύνολα U και V στον S με U A και V B. Απόδειξη: Εστω U = {x S : dist(x,a) < dist(x,b)}. Από την τριγωνική ανισότητα, έχουμε dist(x,a) dist(y,a) ρ(x,y), άρα η dist(x,a) είναι μια συνεχής συνάρτηση στο x. Ομοια, η dist(x,b) είναι μια συνεχής συνάρτηση στο x. Συνεπάγεται ότι το U είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Από τη στιγμή που το A είναι κλειστό, έχουμε ότι dist(x,a) = 0 αν και μόνο αν x A. Άρα αν x A, έχουμε ότι dist(x,a) = 0 < dist(x,b). Αυτό δείχνει ότι A U. Εστω V = {x S : dist(x,a) > dist(x,b)}. Οπως πριν, το V είναι ανοιχτό και B V. Φανερά, U V =. Πόρισμα 2.2.23 Υποθέτουμε ότι το F είναι κλειστό και το U είναι ανοιχτό. Αν F U, τότε υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο V με F V V U. Πρόταση 2.2.24 1. Εστω A και B δυο υποσύνολα του μετρικού χώρου S. Υποθέτουμε ότι A B = = A B. Τότε υπάρχουν δυο ξένα μεταξύ τους σύνολα U και V με U A και V B. 2. Εστω A και B δυο ξένα μεταξύ τους υποσύνολα του μετρικού χώρου S. Τότε υπάρχουν δυο ανοιχτά σύνολα U και V στον S με U A, V B, και U V =.

2.3. ΣΥΜΠΑΓ Η ΚΑΙ ΔΙΑΧΩΡ ΙΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ 29 2.3 Συμπαγή και διαχωρίσιμα σύνολα Μερικές φορές είναι προτιμότερο να μην ασχολούμαστε γενικότερα με μετρικούς χώρους, αλλά με μια πιο ειδική τάξη μετρικών χώρων. Αυτή η ενότητα ασχολείται με τις δυο πιο σημαντικές τάξεις των μετρικών χώρων. 2.3.1 Διαχωρίσιμα σύνολα Μια οικογένεια U από υποσύνολα του μετρικού χώρου S είναι λέμε ότι καλύπτει το σύνολο A αν και μόνο αν το A περιέχεται στην ένωση της οικογένειας U. Μια οικογένεια η οποία καλύπτει ένα σύνολο είναι γνωστή ως κάλυμμα του συνόλου. Ενα κάλυμμα το οποίο περιλαμβάνει πεπερασμένο αριθμό συνόλων λέγεται πεπερασμένο κάλυμμα. Ενα κάλυμμα το οπίο περιλαμβάνει έναν αριθμήσιμο αριθμό από σύνολα λέγεται αριθμήσιμο κάλυμμα. Ενα ανοιχτό κάλυμμα ενός συνόλου A είναι ένα κάλυμμα του A το οποίο περιλαμβάνει μόνο ανοιχτά σύνολα. Αν το U είναι ένα κάλυμμα του A, τότε ένα υποκάλυμμα είναι μια υποοικογένεια του U η οποία συνεχίζει να καλύπτει το A. Θεώρημα 2.3.1 Εστω S ένας μετρικός χώρος. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: 1. Υπάρχει ένα αριθμήσιμο σύνολο D πυκνό στον S. [Ο S είναι συνεκτικός χώρος.] 2. Υπάρχει μια μετρήσιμη βάση για τα ανοιχτά σύνολα του S. [δεύτερο αξίωμα μετρησμότητας] 3. Κάθε ανοιχτό κάλυμμα του S έχει ένα αριθμήσιμο υποκάλυμμα. [Ιδιότητα Lindelöf.] Απόδειξη: (1) = (2). Υποθέτουμε ότι ο S έχει ένα αριθμήσιμο πυκνό σύνολο D. Εστω B = { B 1/n (a) : a D,n N }. Τότε το B είναι μια μετρήσιμη οικογένεια από ανοιχτά σύνολα. Θεωρούμε ότι είναι μια βάση για ανοιχτά σύνολα του S. Εστω U ένα οποιοδήποτε ανοιχτό σύνολο του S, και έστω x U. Τότε υπάρχει ένα ε > 0 ώστε B ε (x) U. Διαλέγουμε ένα n ώστε 2/n < ε. Από τη στιγμή που το D είναι πυκνό στον S, ξέρουμε ότι x D. Άρα υπάρχει ένα σημείο a B 1/n (x) D. Τότε B 1/n (a) B, και έχουμε ότι x B 1/n (a) B 2/n (x) U. Κατά συνέπεια, το B είναι μια μετρήσιμη βάση για τα ανοιχτά σύνολα του S. (2) = (3). Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια μετρήσιμη βάση B για τα ανοιχτά σύνολα του S. Εστω U ένα ανοιχτό κάλυμμα του S. Για κάθε σημείο x S, διαλέγουμε ένα σύνολο U x U με x U x. Επειτα διαλέγουμε ένα βασικό σύνολο D x B με x D x U x. Το {D x : x S} είναι μια υποοικογένεια του B, άρα είναι μετρήσιμη. Άρα είναι της μορφής {D x : x S} = {D xn : n N}.

30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΤΡΙΚ Η ΤΟΠΟΛΟΓ ΙΑ Γράφουμε V = {U xn : n N}. Αυτό είναι μια μετρήσιμη υποοικογένεια του U. Αν x S, τότε D x = D xn, για κάποιο n, και κατά συνέπεια x D xn U xn. Άρα το V είναι ένα αριθμήσιμο υποκάλυμμα. (3) = (1). Υποθέτουμε ότι ο S έχει την ιδιότητα του Lindelöf. Για κάθε n N, η συλλογή B n = { B 1/n (x) : x S } είναι ένα ανοιχτό κάλυμμα του S. Κατά συνέπεια, έχει αριθμήσιμο υποκάλυμμα, δηλαδή: A n = { B 1/n (y) : y Y n }, για ένα αριθμήσιμο σύνολο Y n. Εστω D = n NY n. Τότε το D είναι αριθμήσιμο, αφού είναι αριθμήσιμη ένωση από αριθμήσιμα σύνολα. Αν το x S είναι ένα οποιοδήποτε σημείο, και υπάρχει ε > 0, διαλέγουμε ένα n με 1/n < ε. Από τη στιγμή που το A n είναι ένα κάλυμμα του S, υπάρχει ένα y Y n D με x B 1/n (x) B ε (x). Αυτό δείχνει ότι το D είναι πυκνό στον S. Ενας μετρικός χώρος S ϑα λέγεται διαχωρίσιμος αν και μόνο αν ικανοποιεί μια τουλάχιστον από τις ιδιότητες του Θεωρήματος 2.3.1. Ενα υποσύνολο ενός μετρικού χώρου ϑα λέγεται διαχωρίσιμο αν και μόνο αν είναι ένας συνεκτικός μετρικός χώρος όταν ϑεωρείται από μόνος του μετρικός χώρος. Οι συνεκτικοί μετρικοί χώροι έχουν αρκετές χρήσιμες ιδιότητες. Από την ιδιότητα (2), κάθε υποσύνολο ενός διαχωρίσιμου μετρικού χώρου είναι διαχωρίσιμο. Από την (1), η αριθμήσιμη ένωση διαχωρίσιμων συνόλων είναι διαχωρίσιμο σύνολο. Ολα τα παραδείγματα μετρικών χώρων που ϑα υπάρξουν παρακάτω σε αυτή την εργασία ϑα αναφέρονται σε διαχωρίσιμους μετρικούς χώρους. 2.3.2 Συμπάγεια Θα ξεκινήσουμε με την συμπάγεια στα κλειστά σύνολα [a,b] στον R. Θεώρημα 2.3.2 (Το ϑεώρημα Bolzano Weierstrass) Εστω a < b δυο πραγματικοί αριθμοί. Αν (x n ) είναι μια οποιαδήποτε ακολουθία στο διάστημα [a,b], τότε η (x n ) έχει τουλάχιστον ένα οριακό σημείο. Απόδειξη: Θα ορίσουμε μια ακολουθία (I k ) από κλειστά σύνολα, ώστε κάθε I k να περιέχει το x n για άπειρα πολλά n. Αν η I k έχει οριστεί, λέμε ότι I k = [a k,b k ], τότε ϑα ϑεωρήσουμε το μέσο σημείο c k = (a k + b k )/2. Από τη στιγμή που το I k περιέχει το x n για άπειρο πλήθος n, είτε το αριστερό μισό [a k,c k ] ή το δεξί μισό [c k,b k ] επίσης περιέχουν το x n για άπειρο πλήθος n. Εστω I k+1 ένα μισό το οποίο περιέχει το x n για άπειρο πλήθος n. Επίσης

2.3. ΣΥΜΠΑΓ Η ΚΑΙ ΔΙΑΧΩΡ ΙΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ 31 από τον ορισμό φαίνεται ότι το μήκος του I k+1 έχει το μισό μήκος από το I k, άρα το μήκος του I k είναι 2 k (b a). Αυτό συγκλίνει στο 0. Επίσης σημειώνουμε ότι I k+1 I k. Αυτό σημαίνει ότι a m I k για όλα τα m k. Άρα η (a k ) είναι ακολουθία Cauchy, και κατά συνέπεια μια συγκλίνουσα ακολουθία. Εστω x το όριό της. Το διάστημα I k είναι κλειστό, άρα το όριο x βρίσκεται στο I k. Θεωρώ ότι το x είναι οριακό σημείο της (x n ). Αν ε > 0, διαλέγουμε ένα k ώστε το μήκος του I k να είναι μικρότερο από ε. Η (x n ) βρίσκεται στο I k για άπειρο πλήθος n, άρα αν μας δίνεται ένα N, τότε υπάρχει ένα n N με x n I k. Επίσης, το x I k, άρα x n x < ε. Κατά συνέπεια το (x n ) είναι ένα οριακό σημείο. Ενας μετρικός χώρος S λέγεται ακολουθιακά συμπαγής αν και μόνο αν κάθε ακολουθία στον S έχει τουλάχιστον ένα οριακό σημείο (στον S). Εστω r > 0. Ενα υποσύνολο A ενός μετρικού χώρου S είναι ένα r- δίκτυο για τον S αν και μόνο αν κάθε σημείο του S είναι σε απόσταση το πολύ r από κάποια στοιχεία του A. Για παράδειγμα, το αριθμήσιμο σύνολο {rn : n Z} είναι ένα r-δίκτυο στον R. Πρόταση 2.3.3 Εστω S ένας ακολουθιακά συμπαγής μετρικός χώρος, και έστω ένα r > 0. Τότε ο S έχει ένα πεπερασμένο r-δίκτυο. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι ο S δεν έχει πεπερασμένο r-δίκτυο. Θα ορίσουμε την ακολουθία (x n ), με ρ(x n,x m ) > r για όλα τα m n. Πρώτα, S (αφού το είναι ένα πεπερασμένο r-δίκτυο στο ). Άρα μπορούμε να διαλέξουμε ένα x 1 S. Υποθέτουμε ότι τα x 1,x 2,...,x n έχουν επιλεχθεί. Από τη στιγμή που το {x 1,x 2,...,x n } δεν είναι ένα r-δίκτυο, υπάρχει ένα σημείο (το ονομάζουμε x n+1 ) ώστε ρ(x j,x n+1 ) > r για 1 j n. Αυτό συμπληρώνει τον ορισμό της ακολουθίας (x n ). Τώρα μπορούμε να πούμε ότι η ακολουθία (x n ) δεν έχει οριακό σημείο. Αν το x ήταν οριακό σημείο, τότε η μπάλα B r/2 (x) ϑα περιείχε το λιγότερο δυο από τα σημεία της x n, πράγμα αδύνατο από τη στιγμή που έχουν απόσταση που υπερβαίνει το r. Κατά συνέπεια ο S δεν είναι ακολουθιακά συμπαγής. Πόρισμα 2.3.4 Ενας ακολουθιακά συμπαγής μετρικός χώρος είναι διαχωρίσιμος. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι ο S είναι ακολουθιακά συμπαγής. Για κάθε n το D n είναι ένα πεπερασμένο 1/n- δίκτυο για τον S. Τότε το D = n N D n είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο πυκνό στον S. Πρόταση 2.3.5 Εστω a < b πραγματικοί αριθμοί. Αν A είναι ένα οποιοδήποτε άπειρο υποσύνολο του διαστήματος [a, b], τότε το A έχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης.

32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΤΡΙΚ Η ΤΟΠΟΛΟΓ ΙΑ Απόδειξη: Αν το A είναι ένα άπειρο σύνολο, μπορούμε να διαλέξουμε μια ακολουθία x n A από ξεχωριστά στοιχεία. Από το Θεώρημα 2.3.2, η (x n ) έχει ένα οριακό σημείο, το x. Αν ε > 0, τότε η x n B ε (x) για άπειρο πλήθος n, άρα x n B ε (x) για κάθε x n x. Αυτό δείχνει ότι το x είναι ένα σήμειο συσσώρευσης του A. Ενας μετρικός χώρος S λέγεται αριθμήσιμα συμπαγής αν και μόνο αν κάθε άπειρο υποσύνολο του S έχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης (στον S). Εστω F μια οικογένεια από υποσύνολα ενός συνόλου S. Λέμε ότι η F έχει πεπερασμένη τομή αν και μόνο αν κάθε τομή από πεπερασμένο πλήθος συνόλων της F είναι μη κενή. Θεώρημα 2.3.6 [Το Θεώρημα των Heine Borel]. Εστω a < b πραγματικοί αριθμοί. Εστω F μια οικογένεια από κλειστά υποσύνολα του διαστήματος [a,b]. Αν η F έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής, τότε η τομή F F F ολόκληρης της οικογένειας δεν είναι κενή. Απόδειξη: Πρώτα από όλα, ο πραγματικός άξονας R είναι διαχωρίσιμος. Κατά συνέπεια, το [a, b] ϑα είναι επίσης διαχωρίσιμο. Υποθέτουμε ότι, F =. F F Αυτό σημαίνει ότι το {[a,b] \ F : F F} είναι ένα ανοιχτό κάλυμμα του [a,b]. Άρα από την ιδιότητα του Lindelöf (2.3.1), υπάρχει ένα αριθμήσιμο υποκάλυμμα. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα αριθμήσιμο πλήθος από σύνολα του F με κενή τομή. Άρα F n =, n N όπου F n F. Για κάθε n, η πεπερασμένη τομη των F 1 F 2... F n είναι μη κενή. Διαλέγουμε ένα στοιχείο x n. Από την ακολουθιακή συμπάγεια (Θεώρημα 2.3.2) η ακολουθία x n, έχει ένα οριακό σημείο το x. Από τη στιγμή που το F n είναι κλειστό και ισχύει x m F n για όλα τα m n, έχουμε ότι x F n. Αυτό αληθεύει για όλα τα n, άρα x n NF n, το οποίο αντιπαρέρχεται με το (2). Αυτή η αντίφαση προέρχεται από το (1). Κατά συνέπεια F. F F

2.3. ΣΥΜΠΑΓ Η ΚΑΙ ΔΙΑΧΩΡ ΙΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ 33 Θεώρημα 2.3.7 Εστω S ένας μετρικός χώρος. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: 1. Ο S είναι ακολουθιακά συμπαγής, 2. Ο S είναι αριθμήσιμα συμπαγής, 3. Ο S είναι bicompact. Απόδειξη: (3) = (2). Υποθέτουμε ότι ο S δεν είναι αριθμήσιμα συμπαγής. Τότε υπάρχει ένα άπειρο υποσύνολο A του S χωρίς σημεία συσσώρευσης. Για κάθε σημείο x S, διαλέγουμε μια ανοιχτή μπάλα B x η οποία δεν περιέχει σημεία του A (εκτός πιθανόν από το x το ίδιο). Τότε το U = {B x : x S} είναι ένα ανοιχτό κάλυμμα του S. Κάθε πεπερασμένη υποσυλλογή του U περιέχει μόνο πεπερασμένο πλήθος από σημεία του A, άρα το U δεν δέχεται πεπερασμένο υποκάλυμμα. Άρα ο S δεν είναι bicompact. (2) = (1). Υποθέτουμε ότι ο S είναι αριθμήσιμα συμπαγής. Εστω (x n ) μια ακολουθία στον S. Αν υπάρχει ένα σημείο x με x n = x για άπειρο πλήθος n, τότε αυτό το x είναι οριακό σημείο της ακολουθίας (x n ). Από την άλλη, αν δεν υπάρχει τέτοιο σημείο, τότε το σύνολο A = {x n : n N} είναι ένα άπειρο σύνολο. Άρα το A έχει σημείο συσσώρευσης, από το οποίο είναι φανερό ότι είναι το οριακό σημείο της ακολουθίας (x n ). Άρα σε κάθε περίπτωση, η (x n ) έχει ένα οριακό σημείο. Κατά συνέπεια, ο S είναι ακολουθιακά συμπαγής. (1) = (3). Υποθέτουμε ότι ο S είναι ακολουθιακά συμπαγής. Τότε από το Πόρισμα 2.3.4, ο S είναι διαχωρίσιμος. Το υπόλοιπο της απόδειξης ακολουθεί την απόδειξη του Θεωρήματος 2.3.6 λέξη προς λέξη. Ενας μετρικός χώρος S ϑα λέγεται συμπαγής αν και μόνο αν έχει μια (και κατά συνέπεια όλες) τις ιδιότητες του Θεωρήματος 2.3.7. Ενα υποσύνολο ενός μετρικού χώρου ϑα λέγεται συμπαγές αν και μόνο αν βρίσκεται σε έναν συμπαγή μετρικό χώρο. Ενας από τους πιο γνωστούς τρόπους να αποδείξουμε ότι ένα σύνολο είναι συμπαγές είναι ο επόμενος: Πρόταση 2.3.8 Ενα κλειστό υποσύνολο ενός συμπαγούς χώρου είναι συμπαγές. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι ο S είναι συμπαγής και το T S κλειστό. Εστω (x n ) μια ακολουθία στον T. Από την συμπάγεια του S, υπάρχει ένα x S το οποίο είναι το όριο της υπακολουθίας x kn της (x n ). Αλλά ο T είναι κλειστός και x ki T για κάθε i, άρα το όριο x είναι και στον T. Κατά συνέπεια η (x n ) έχει οριακό σημείο στον T. Αυτό δείχνει ότι ο T είναι συμπαγής. Πρόταση 2.3.9 Εστω A R d. Τότε το A είναι συμπαγές αν και μόνο αν το A είναι κλειστό και φραγμένο.

34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΤΡΙΚ Η ΤΟΠΟΛΟΓ ΙΑ Απόδειξη: Πρώτα, υποθέτουμε ότι το A είναι κλειστό και φραγμένο. Τότε το A είναι ένα υποσύνολο ενός μεγάλου κύβου, C = {x = (x 1,x 2,...,x d ) : a x j a για κάθε j}. Από την Πρόταση 2.3.8, αν δείξω ότι το C είναι συμπαγής, τότε συνεπάγεται ότι και ο A είναι συπαγής. Εστω (y n ) μια ακολουθία στον C και γράφουμε: y n = (y n1,y ( n2),...,y nd ). Η ακολουθία από τις συντεταγμένες (y n1 ) n N είναι μια ακολουθία στο [ a, a], η οποία είναι συμπαγής. Άρα υπάρχει μια υποακολουθία η οποία συγκλίνει, άρα υπάρχει ένα άπειρο σύνολο N 1 = {n 1 < n 2 <...} και lim y n1 = z 1. n N 1 Επειτα, η ακολουθία από τις δεύτερες συντεταγμένες (y n2 ) n N1, είναι μια ακολουθία στο [ a, a], η οποία είναι συμπαγής. Άρα υπάρχει μια υπακολουθία η οποία συγκλίνει και λέμε ότι N 2 N 1 και Ομοια, παίρνομε N 3... N d, με lim y n2 = z 2. n N 2 lim y nj = z j. n N j Τελικά, η υπακολυθία (y n )n N d έχει όλες της τις συντεταγμένες συγκλίνουσες, και το όριό της είναι z = (z 1,z 2,...,z d ) C. Αυτό αποδεικνύει ότι ο C είναι συμπαγής. Αντίθετα, υποθέτουμε ότι ο A είναι συμπαγής. Αν ο A δεν είναι φραγμένος, τότε {B n (0) A : n N} είναι ένα ανοιχτό κάλυμμα του A με μη πεπερασμένο υποκάλυμμα. Αν ο A δεν είναι κλειστός, υπάρχει ένα σημείο συσσώρευσης x του A το οποίο δεν είναι στον A. Άρα υπάρχει μια ακολουθία (x n ) στον A η οποία να συγκλίνει στο x. Αυτή η ακολουθία δεν έχει οριακό σημείο στον A. Πρόταση 2.3.10 Ενα συμπαγές σύνολο ενός μετρικού χώρου είναι κλειστό. Πρόταση 2.3.11 Η ένωση από πεπερασμένο το πλήθος συμπαγή σύνολα είναι συμπαγές.

2.3. ΣΥΜΠΑΓ Η ΚΑΙ ΔΙΑΧΩΡ ΙΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ 35 2.3.3 Εικόνες και Αντίστροφες εικόνες Αν f : S T μια συνεχής συνάρτηση, και A S, μερικές ιδιότητες του συνόλου A, συσχετίζονται με τις ιδιότητες της συνολοεικόνας f[a] = {f(x) : x A}. Θεώρημα 2.3.12 Εστω f : S T μια συνεχείς συνάρτηση. Εστω A S συμπαγές. Τότε, το f[a] είναι συμπαγές. Απόδειξη: Εστω (y n ) μια ακολουθία στον f[a]. Τότε υπάρχουν σημεία x n A με f(x n ) = y n. Από την συμπάγεια του A, υπάρχει μια υπακολουθία (x k ) η οποία συγκλίνει σε κάποιο σημείο x A. Αφού η f είναι συνεχής, από αυτό συνεπάγεται ότι y ki = f(x ki ) f(x). Η f(x) F[A], άρα η (y n ) έχει οριακό σημείο στο f[a]. Αυτό δείχνει ότι το f[a] είναι συμπαγές. Πόρισμα 2.3.13 Εστω S ένας συμπαγής μετρικός χώρος, και έστω μια συνάρτηση f : S R συνεχής. Τότε η f είναι φραγμένη και υπάρχει ένα B R ώστε f(x) B για όλα τα x S. Απόδειξη: Από το Θεώρημα 2.3.12 το f[s] είναι συμπαγές υποσύνολο του R. Από την Πρόταση 2.3.8 είναι ένα φραγμένο σύνολο. Εστω f : S T συνεχής. Οι ιδιότητες ενός συνόλου B T μπορεί να σχετίζονται με τις ιδιότητες της αντίστροφης εικόνας f 1 [B] = {x S : f(x) B}. Πρόταση 2.3.14 Εστω μια f : S T συνεχής. Θεωρούμε ένα σύνολο B T. Τότε: 1. Αν το B είναι ανοιχτό, τότε το f 1 [B] είναι ανοιχτό. 2. Αν το B είναι κλειστό, τότε το f 1 [B] είναι κλειστό. Απόδειξη: Το (1) συνεπάγεται από το Θεώρημα 2.2.6 και το (2) συνεπάγεται από το (1) παίρνοντας συμπληρώματα. Υπενθυμίζουμε ότι dist(a,b) = 0 μπορεί να συμβεί αν A B. Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, αν A B. Η ακόμα και αν τα A και B έχουν τα ίδια σημεία συσσώρευσης. Αλλά μπορεί να συμβεί και με άλλους τρόπους: Θεώρημα 2.3.15 Αν το A είναι κλειστό, το B είναι συμπαγές και A B =, τότε η dist(a,b) > 0.