Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Πηγή Δεδομένων Κωδικοποίηση Καναλιού Κώδικας Πηγής Κώδικας Καναλιού Διαμόρφωση Κανάλι Δέκτης Δεδομένων Αποκωδ/ση Πηγής Αποκωδ/ση Καναλιού Αποδιαμόρφωση Κωδικοποίηση Καναλιού Α. BLOCK Εισαγωγή πλεονάζουσας πληροφορίας με «δομημένο» τρόπο ώστε να αντιμετωπίζονται αποτελεσματικά οι παραμορφώσεις που εισάγει το κανάλι 1 2 Τι πετυχαίνει η Κωδ. Καναλιού Κατηγορίες Κωδικών Καναλιού Απαιτείται λιγότερη ισχύς εκπομπής προκειμένου να πετύχουμε την ίδια πιθανότητα σφάλματος Ημείωσηαυτήτηςισχύος (σε db) ονομάζεται «Κέρδος Κωδικοποίησης» Ωστόσο, η μετάδοση «πλεονάζουσας πληροφορίας» μειώνει το ρυθμό μετάδοσης της «χρήσιμης» πληροφορίας P B Α Με κώδικα καναλιού C B Χωρίς κώδικά D καναλιού E b / N0 (db) BLOCK π.χ. Hamming Κυκλικοί π.χ. Reed-Solomon, BCH Καναλιού Συνελικτικοί κώδικες Σε σειρά Turbo Παράλληλα 3 4
k (δυαδικές) είσοδοι Σύνολο Εισόδου Α (n, k), n > k Κωδικοποιητής Block n (δυαδικές) έξοδοι (Κωδική Λέξη) Σύνολο Εξόδου Β Ορισμοί 1. Κώδικας: Το σύνολο C το οποίο περιλαμβάνει όλες τις κωδικές λέξεις εξόδου: 2. Γραμμικός Κώδικας: Κάθε γραμμικός συνδυασμός 2 κωδικών λέξεων είναι επίσης μια κωδική λέξη. π.χ. Για δυαδικούς κώδικες: 1 1 Η κωδική λέξη που αποτελείται μόνο από μηδενικά ανήκει στο C αφού: Α =2 k Β =2 n 5 6 Ορισμοί 3. Απόσταση Hamming: Το πλήθος των θέσεων στα οποία δυο κωδικές λέξεις διαφέρουν. 4. Βάρος Hamming: Το πλήθος των μη-μηδενικών μηδενικών στοιχείων μιας κωδικής λέξης. 5. Ελάχιστη Απόσταση Κώδικα: Η ελάχιστη απόσταση Hamming για όλα τα ζεύγη κωδικών λέξεων του κώδικα. ΘΕΩΡΗΜΑ: Σε οποιονδήποτε γραμμικό κώδικα η ελάχιστη απόσταση Hamming ισούται με το ελάχιστο βάρος του κώδικα. Απόδειξη: Είναι, 6. Ελάχιστο Βάρος Κώδικα: Το ελάχιστο βάρος που μπορεί να έχει μία κωδική λέξη, αν αγνοήσουμε την κωδική λέξη που αποτελείται μόνο από μηδενικά. δηλαδή, κάθε απόσταση Hamming γράφεται σαν βάρος κάποιας κωδικής λέξης και άρα η ελαχιστοποίηση γίνεται πάνω στα ίδια σύνολα. 7 8
Πως γίνεται η αντιστοίχηση εισόδου εξόδου; Έστω πως γνωρίζουμε την αντιστοίχηση για τις εισόδους: ΓΕΝΝΗΤΟΡΑΣ Κάθε άλλη είσοδος x γράφεται με βάση αυτές τις εισόδους: Και έτσι η κωδικοποίηση γίνεται σύμφωνα με τη σχέση: Και επομένως θα αντιστοιχεί στην κωδική λέξη: 9 10 Συστηματικοί Κάθε κωδική λέξη περιλαμβάνει την λέξη πληροφορίας στην οποία αντιστοιχεί Πίνακας Ελέγχου Ισοτιμίας: Τότε είναι G = [ I k P] Ιδιότητα: ανν c είναι κωδική λέξη παράδειγμα Για συστηματικούς κώδικές είναι: k = 2 n = 3 + Ο πίνακας H είναι ο γεννήτορας του λεγόμενου δυϊκού κώδικα C T που ορίζεται στον (n-k) υποχώρο που είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του k-διάστατου υποχώρου 11 12
0 0 0 1 1 0 1 1 ΛΕΞΕΙΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ SOFT ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ +1.1,+0.9,+0.1 HARD Αποκωδικοποίηση 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ΚΩΔΙΚΕΣ ΛΕΞΕΙΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ 1 1 1 1 +1 +1 +1 1 +1 ΘΟΡΥΒΟΣ +1 +1 1 ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΕΣ ΚΩΔΙΚΕΣ ΛΕΞΕΙΣ ΚΟΝTΙΝΟΤΕΡΗ ΛΕΞΗ KATA ΕΥΚΛΕΙΔH +1,+1,-1 ΑΠΟΦΑΣΗ 1,1,1 ΚΟΝΤΙΝΟΤΕΡΗ ΛΕΞΗ ΚΑΤΑ HAMMING? (υπάρχουν 3)? -0.8, 1.1, 0.9-1.2,+0.7,+0.9 +0.6, 0.6,+1.3 +1.1,+0.4, 0.6 ΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΕΣ ΛΕΞΕΙΣ 1 1 13 SOFT Αποκωδικοποίηση ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Για κάθε n λαμβανόμενα δείγματα: 1. Υπολογίζουμε τις Ευκλείδειες αποστάσεις ανάμεσα σε όλες τις διαμορφωμένες κωδικές λέξεις και στα δείγματα που λάβαμε. 2. Επιλέγουμε ως κωδική λέξη εκείνη με την ελάχιστη Ευκλείδεια απόσταση. 3. Εκτελούμε την αντίστροφη αντιστοίχηση για να βρούμε τη λέξη πληροφορίας. 14 HARD Αποκωδικοποίηση Καταιγισμός Σφαλμάτων ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Για κάθε n λαμβανόμενα δείγματα: 1. Εκτελούμε αποδιαμόρφωση των λαμβανόμενων δειγμάτων και καταλήγουμε στα αντίστοιχα δυαδικά δεδομένα. 2. Υπολογίζουμε την κωδική λέξη που είναι πλησιέστερα με βάση την απόσταση Hamming.. (Συνήθως( με χρήση lookup table) 3. Εκτελούμε την αντίστροφη αντιστοίχηση για να βρούμε τη λέξη πληροφορίας. 15 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΚΩΔΙΚΑΣ ΚΑΝΑΛΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ INTERLEAVER ΚΩΔΙΚΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΔΕΚΤΗΣ Α ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ DEINTERLEAVER ΑΠΟΚΩΔ/ΣΗ ΛΑΘΗ 16
Κυκλικοί Block ΚΥΚΛΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ BLOCK: Είναι ένας γραμμικός κώδικας BLOCK με την επιπλέον ιδιότητα πως αν εκτελέσουμε μια κυκλική ολίσθηση σε οποιαδήποτε κωδική λέξη, το αποτέλεσμα είναι μια νέα κωδική λέξη. Κυκλικοί Block ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΜΙΑΣ ΚΩΔΙΚΗΣ ΛΕΞΗΣ [C 1 C 2 C 3... C n ] Για την ολισθημένη κωδική λέξη [C 2 C 3... C n C 1 ] 17 18 Κυκλικοί Block Το οποίο μπορεί να γραφεί: Κυκλικοί Block ΘΕΩΡΗΜΑ: Σε οποιονδήποτε (n,k) κυκλικό κώδικα όλα τα πολυώνυμα των κωδικών του λέξεων είναι πολλαπλάσια ενός πολυωνύμου βαθμού n-k της μορφής: Αλλάζοντας μέλη: Το οποίο καλείται πολυώνυμο γεννήτορας του κώδικα, και είναι διαιρέτης του διωνύμου Έτσι: πηλίκο υπόλοιπο Επιπλέον, για μια λέξη πληροφορίας: με πολυώνυμο: Και γενικά: Η αντίστοιχη κωδική λέξη θα είναι: 19 δηλαδή μπορεί να υπολογιστεί μέσω διακριτής συνέλιξης. 20
Κυκλικοί Block Απόδοση Κωδικών Block ΓΕΝΝΗΤΟΡΑΣ ΠΙΝΑΚΑΣ : Μπορούμε να υπολογίσουμε τον γεννήτορα πίνακα ενός κυκλικού κώδικα σε συστηματική μορφή με βάση τον τύπο: P B 8PSK QPSK / 0 N E b [db] 21 22