Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή:

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή: Είχαμε πει ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία θέση σε μία άλλη είναι συνάρτηση μόνον της αρχικής και της τελικής θέσης του σώματος (και ανεξάρτητη της διαδρομής που ακολουθήσαμε). «Υπάρχει, δηλαδή, μία αριθμητική συνάρτηση της θέσης και μόνο του σώματος, η ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U(), τέτοια ώστε:» P W F d [ U ( ) U ( )] P Για ηλεκτρικά φορτία και αφού κάθε κατανομή φορτίου μπορεί να αναλυθεί σε απειροστά φορτία dq, μας ενδιαφέρει να εστιάσουμε αρχικά στο έργο κατά την κίνηση ενός σημειακού φορτίου q μέσαστο πεδίο ενός σταθερού σημειακού φορτίου q. Η ηλεκτρική δύναμη στο q θα είναι F=q E.

Έργο και δυναμική ενέργεια σε ηλεκτρικό πεδίο Το παραγόμενο έργο κατά την κίνηση ενός σημειακού φορτίου q κάτω από τη δράση του ηλεκτρικού πεδίου ενός σημειακού φορτίου q (αρχή συστήματος συντεταγμένων στο q): P 1 qq 1 qq W ˆ P 4 d πε 4πε d ΠΡΟΣΟΧΗ: «Επιβιώνει» μόνον η ακτινική συνιστώσα μετατόπισης. Για κίνηση του q σε σφαίρα σταθερής ακτίνας δεν παράγεται έργο από την ηλεκτρική δύναμη qq qq ( ) [ U ( ) U ( )] ιατηρητικό 4πε 4πε πεδίο ΠΡΟΣΟΧΗ: Συνάρτηση μόνον της αρχικής και τελικής απόστασης από το φορτίο q. Η διαφορά δυναμικής ενέργειας από ένα σημείο του χώρου σε ένα άλλο, είναι το έργο που παράγεται από το (ή αποθηκεύεται στο) πεδίοκατάτημετακίνησηενός σώματος από το ένα σημείο στο άλλο.

Έργο και δυναμική ενέργεια σε ηλεκτρικό πεδίο Η τιμή δυναμικής ενέργειας σε ένα σημείο του χώρου δεν έχει φυσική σημασία. Φυσική σημασία έχει η διαφορά δυναμικής ενέργειας ανάμεσα σε δύο σημεία. Συνεπώς για να μετράμε την δυναμική ενέργεια μπορούμε να επιλέγουμε αυθαίρετα ένα «βολικό» σημείο αναφοράς. Έτσι, για την προηγούμενη περίπτωση επιλέγουμε U()= για και έχουμε: U ( ) 1 qq 4πε Επέκταση: υναμική ενέργεια του q λόγω συστήματος φορτίων U ( ) q q N i 4 πε i 1 i αλγεβρικό άθροισμα q i q

Ορισμός του Ηλεκτροστατικού υναμικού: Όπως στο θέμα της ηλεκτροστατικής δύναμης (δύναμη Coulomb), αποδώσαμε μία ιδιότητα στο χώρο, την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε, ώστε να αποδεσμευθούμε μ από το δοκίμιο q, έτσι και εδώ ορίζουμε ρζ το ηλεκτροστατικό δυναμικό σε ένα σημείο του χώρου V(P) ώστε: P P W q E d q E d [ U ( ) U ( )] P P P P U () U ( ) E d V V q q [ ] [ ( ) ( )] W [ U( ) U( )] q[ V( ) V( )] = δυναμικό", μεταβολή δυναμικού" ή «πτώση η δυναμικού».

Τι εκφράζει το δυναμικό; Μονάδες: [V] = [U/q] = Newton m/cb = Joule Cb -1 = V (volt), δηλαδή ενέργεια ανά μονάδα φορτίου: Ένα Volt είναι το έργο ανά μονάδα φορτίου (W/q), όταν μετακινούμε φορτίο q κατά 1 m εντός πεδίου εντάσεως 1 Netwon/Cb. 1 Cb Volt=1 Newton m Άλλη μονάδα ενέργειας (για μικρές τιμές της): Ηλεκτρονιοβόλτ (ev). Η ενέργεια για τη μετακίνηση ενός ηλεκτρονίου σε διαφορά δυναμικού 1 Volt. 1eV=1.6x1-19 Joule Μετατροπή: μονάδες ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει του Volt [E] = Newton/Cb = Newton m /(Cb m) = Volt/m

Έχοντας την έννοια του δυναμικού: (a) υναμικό στο σημείο P στο πεδίο ενός σημειακού φορτίου q. V( ) 1 4πε q όπου θεωρήσαμε ότι για V()= (β) υναμικό συστήματος φορτίων ( ) 1 πε N 4 i1 i V q i q i Επαλληλία δυναμικών (αλγεβρικό άθροισμα, όπως και πριν με την υναμική Ενέργεια) όπου θεωρήσαμε και πάλι ότι για V()= ()

Παραγωγή του E από το V B V E d dv E d d=dxx+dy ˆ y+dz ˆ zˆ A dv [dx (E x)+dy ˆ (E y) ˆ +dz (E z)]= ˆ (E dx + E dy + E dz) x y z Για μετατόπιση κατά x, έχουμε dy, dz= E x V x V Για μετατόπιση κατά y, έχουμε dx, dz= E y yy Για μετατόπιση κατά z, έχουμε dx, dy= E z V z z V ˆ V ˆ V E x+ y+ zˆ V x y z Σχόλιο: για την κίνηση σε φορτίου σε ισοδυναμική επιφάνεια οι ηλεκτρικές δυνάμεις δεν παράγουν έργο (qv σταθερό). Άρα το Ε είναι πάντα κάθετο στις ισοδυναμικές επιφάνειες.

Παραγωγή του E από το V E Ισοδύναμο με το συσχετισμό της V ύναμης με την υναμική Ενέργεια που F U γνωρίζαμεαπότημηχανική: Τελεστής βαθμίδας {gad(ient)} για δράση πάνω σε αλγεβρική συνάρτηση f Σύστημα Συντεταγμένων Καρτεσιανό f f( x, y, z) f x+ ˆ f y+ ˆ f zˆ x y z Σφαιρικό f f(,, ) Κυλινδρικό f f(,, z) f 1 ˆ 1 ˆ f f ˆ sin 1 f ˆ f ˆ f zˆ z

Παραγωγή του E από το V Όταν έχουμε συντηρητικό πεδίο τότε το δυναμικό αποτελεί έναν εύκολο τρόπο να υπολογίσουμε και να περιγράψουμε το πεδίο δυνάμεων. Αντί να αντιστοιχίζουμε σε κάθε σημείο του χώρου τρεις τιμές Ε x, E y, E z (Οι οποίες προέκυψαν «δύσκολα» από διανυσματική επαλληλία των επιμέρους εντάσεων λόγω μίας κατανομής φορτίων). Αντιστοιχίζω σε κάθε σημείο του χώρου μία και μόνον τιμή δυναμικού V. (Που προκύπτει απλούστερα από την αλγεβρική επαλληλία των επιμέρους δυναμικών λόγω μίας κατανομής φορτίων). Και έχω μία σχέση για να υπολογίζω την ένταση του πεδίου από τη συνάρτηση δυναμικού E V

Υπολογίζοντας το υναμικό από την Ένταση (1) Αγώγιμη (επιφανειακά) φορτισμένη σφαίρα ακτίνας R, φορτίου Q Υπολογίσαμε ήδη το E() με Gauss. Θεωρώ ως στάθμη αναφοράς, V()= (i) Για R 1 Q 1 Q V () V ( ) E d V () d 4πε 4πε 1 Q V () ως δυναμικό από σημειακό φορτίο 4πε Q στο κέντρο της σφαίρας. (ii) Για < R, E() = 1 Q V() V( R) Ed V() V( R) R 4πε R σταθερό

Υπολογίζοντας το υναμικό από την Ένταση (1) Ομογενώς (στον όγκο) φορτισμένη σφαίρα ακτίνας R, φορτίου Q Υπολογίσαμε ήδη το E() με Gauss. Θεωρώ ως στάθμη αναφοράς, V()= Q σαν πεδίο από σημειακό φορτίο R E () Q στοκέντροτηςσφαίρας. 4 1 Q V() 4πε R E() Q 4 R [ V( ) V( )] Ed V() R Q V() V( R) d 4 πε R Q R V() ( ) V( R) με 4πε R V( R) 1 Q 4πε R

Υπολογίζοντας το υναμικό από την Ένταση () άπειρη, ευθύγραμμη κατανομή φορτίου με λ=σταθ. Ε() Υπολογίσαμε ήδη το E() με Gauss. () V() V( ) d V V() V( ) ln V() ln ΥΣΚΟΛΙΑ: ln εν μπορούμε θέσουμε στο άπειρο το σημείο αναφοράς αφού εάν V( ) =,τότε V() =. Συνεπώς, για να έχει φυσικό νόημα η κατανομή δυναμικού θεωρήσαμε το δυναμικό μηδέν σε ένα αυθαίρετο σημείο.

Υπολογίζοντας το υναμικό από την Ένταση () Ομογενώς φορτισμένα (+σ, -σ) πλακίδια απείρου εμβαδού, Έχουμε +σ στο y = d και -σ στο y = (στάθμη αναφοράς: V((y=)) = ) Υπολογίσαμε ήδη το E() με Gauss. Θεωρώ ως στάθμη αναφοράς, V()= y E χ σ E E yˆ yˆ ε Υπάρχει μόνον συνιστώσα κατά y και είναι σταθερή σε μέτρο P E d [ V ( ) V ( )] P P y σ σ Δ V V ( y ) V () dy y E y ε ε V V( d) V() Ed V Ed

Υπολογίζοντας την Ένταση από το υναμικό (1) Ομογενώς φορτισμένος (λ) δακτύλιος ακτίνα a z Εύρεση δυναμικού σε απόσταση z από το κέντρο του δακτυλίου. dq ds ad Q ad a z a ή βγ ήρ μ a φ y V(,, z) ds=adφ χ επειδή λ=σταθ. βγαίνει από το ολοκλήρωμα 1 ds 1 ad dv (,, z) 4 z a 4 z a 1 a a d 4 z a 4 z a 1 Q z 1 Q 4 z a 4 z δηλ. δυναμικό σημειακού φορτίου Q, για z>>a ΠΡΟΣΟΧΗ: Υπολογίσαμε μόνον την μορφή του δυναμικού στην γραμμή (,,z). Άρα μπορούμε να υπολογίσουμε την συνιστώσα έντασης του πεδίου μόνον κατά z. E z V V (,, z) 1 zq z 4 ( z a ) /

Υπολογίζοντας την Ένταση από το υναμικό () υναμικό κατά μήκος άξονα διπόλου (pe=q d) q 1 1 qd pe V ( x,) ( ) 4πε x d x d 4 πε ( x d ) 4πε x x Γνωρίζω V=V(x V(x,) άρα μπορώ να υπολογίσω την συνιστώσα της έντασης του πεδίου στην κατεύθυνση x: E x V V ( x ) 1 px e x 4 πε ( x d )

Υπολογίζοντας την Ένταση από το υναμικό () υναμικό διπόλου (pe=q d) για d<<. y Συνεπώς -q d φ p E Ε Ε 1 V 1 q q q ( ) 4πε 4πε 1 Ε 1 1 για d: dsin φ, 1 1 q dcosφ cos φ E 1 V 4 πε 4 πε φ d φ 1 +q E E φ x Γνωρίζω το V=V(,φ) άρα μπορώ να υπολογίσω την ένταση του πεδίου (τις συνιστώσες E, E φ ). Εύρεση της έντασης για d<<: V pe cosφ = 4πε 1 V pe sin φ = φ 4πε E p 1 ( p ˆ) ˆ p 4πε

Ενέργεια Διάταξης Φορτίων Πόση ενέργεια χρειάζεται για να βάλουμε τα φορτία στις θέσεις τους; Το έργο που καταβάλουμε για να φέρουμε ένα φορτίο από το άπειρο σε δεδομένη απόσταση από το άλλο φορτίο. Για την τοποθέτηση του πρώτου φορτίου δεν απαιτείται καταβολή έργου. 1) Πρώτο φορτίο, προκαλεί: 1 U V 1 1 4πε ) Το δεύτερο φορτίο είναι στο πεδίο του πρώτου: 1 qq 1 U U q V U 4πε 1 1 1 q Στον τύπο 1 είναι η απόσταση των φορτίων 1 και οπότε 1 = 1. Το σωστότερο θα ήταν 1 ή 1 απλά το παραλείπουμε για συντομία. Συνεπώς για την ενέργεια η σειρά των δεικτών δεν έχει σημασία δηλ. U 1 =U 1 Εάν τα φορτία είναι ομόσημα τότε η δυναμική ενέργεια είναι θετική, συνεπώς το έργο του πεδίου είναι αρνητικό, δηλαδή εμείς καταβάλουμε ενέργεια η οποία «αποθηκεύεται» στο πεδίο. ) Για φορτία; Φέρνουμε και το τρίτο: q q q U q( V1V) 4πε Ολική ενέργεια διατάξεως: 1 1 U U U 1 qq qq qq U U U 1 1 1 1 4πε 1 1

Ενέργεια Διάταξης Φορτίων Γενίκευση: Δυναμική ενέργεια U που αποθηκεύεται σε κατανομή N σημειακών φορτίων ηλαδή η ενέργεια από την αλληλεπίδραση καθενός καινούργιου φορτίου με το πεδίο που υπάρχει στη θέση του εξαιτίας όλων των προηγούμενων. U U1 ( U1 U) ( U41 U4 U4) ( U51 U5 U5 U54)... ( UN1 UN... UN, N 1) 1 q στοιχειώδης U q qv όγκος ρ( ) V( ) dτ 4πε N i 1 N j i i i i j1 ij i dq 1 ος τρόπος υπολογισμού, ας πούμε «κατά την κατασκευή» ΠΡΟΣΟΧΗ: V i είναιτοδυναμικόστηθέσηπουθαέρθειτοφορτίοq i εξαιτίας όλων των προηγούμενων φορτίων που έχουν ήδη τοποθετηθεί στο στιγμιότυπο «κατασκευής» της διάταξης (και πριν να έρθουν τα επόμενα).

Ενέργεια Διάταξης Φορτίων Γενίκευση: Δυναμική ενέργεια U που αποθηκεύεται σε κατανομή N σημειακών φορτίων U U1 ( U1 U ) ( U41 U4 U4 ) ( U51 U5 U5 U54 )... ( UN1 UN... UN, N 1 ) Ο όρος αυτός είναι όμως ουσιαστικά το άθροισμα όλων των ενεργειών αλληλεπίδρασης μεταξύ όλων των ζευγαριών φορτίων. δηλαδή άθροισμα για όλα τα ζεύγη (i,j). 1 qi U Φυσικά για ij και μετρώντας μόνον μία φορά την ενέργεια 4πε ij αλληλεπίδρασης του κάθε ζεύγους (αφού U ij =U ji ) Εάν κάναμε όλους τους συνδυασμούς των φορτίων θα είχαμε αθροίσει δύο φορές την ενέργεια αλληλεπίδρασης του κάθε ζευγαριού. π.χ. μίαφοράτηνu 1 όταν κάναμε το συνδυασμό του 1 ου με όλα τα άλλα και μία ακόμη την ίδια ενέργεια U 1 όταν συνδυάζαμε το ο με όλα τα άλλα. 1 q 1 1 U q qv U qv ρ( ) V( ) dτ 4πε N N N N στοιχειώδης j όγκος i i i i i i 1 j 1, ij i1 i1 ji ος τρόπος υπολογισμού, ας πούμε «μετά την κατασκευή» ΠΡΟΣΟΧΗ: τώρα τοv i είναι το δυναμικό στη θέση που βρίσκεται το φορτίο q i εξαιτίας όλων των άλλων φορτίων (προηγούμενων και επόμενων, η διάταξη είναι ολοκληρωμένη). dq q j

Ενέργεια Διάταξης Φορτίων Τρεις «τρόποι» υπολογισμού: 1. Κατασκευάζοντας την διάταξη N U qv ρ( ) V( ) dτ i i i. Μετά το τέλος της κατασκευής της διάταξης N 1 1 U qv i i ρ ( ) V ( ) dτ i1 V i είναι το δυναμικό στη θέση που θα έρθει το φορτίο q i εξαιτίας όλων των προηγούμενων φορτίων που έχουν ήδη τοποθετηθεί στο στιγμιότυπο «κατασκευής» της διάταξης (και πριν να έρθουν τα επόμενα). Το ολοκλήρωμα είναι όταν ρ()=. τώρα το V i είναι το δυναμικό στη θέση που βρίσκεται το φορτίο q i εξαιτίας όλων των άλλων φορτίων (προηγούμενων και επόμενων, η διάταξη είναι ολοκληρωμένη). Το ολοκλήρωμα είναι όταν ρ()=.. Μετά το τέλος της κατασκευής της διάταξης, γνωρίζοντας την ένταση πεδίου Ε() 1 U ε E dτ Η ενέργεια που καταβάλαμε για να δημιουργήσουμε την κατανομή «αποθηκεύεται» με τη μορφή πεδίου στον χώρο. Το θέμα θα το συζητήσουμε όταν μιλήσουμε για την Χωρητικότητα. Αφορά όμως στον υπολογισμό της ενέργειας συστήματος και τον τρόπο τον παραθέτουμε εδώ. Προσοχή, το ολοκλήρωμα αφορά σε όλον τον χώρο (οπουδήποτε έχουμε πεδίο, είτε έχουμε φορτίο είτε όχι).

Υπολογισμός Ενέργειας 1. «κατά την κατασκευή», ομογενώς (ρ=σταθ.) φορτισμένης σφαίρας R, φορτίου Q Κατασκευάζουμε την σφαίρα φλοιό, φλοιό. Σε ένα τυχαίο στιγμιότυπο της κατασκευής έχουμε σφαίρα ακτίνας <R και φορτίου q. Γνωρίζουμε το δυναμικό V() στην επιφάνειας της, εκεί όπου πρόκειται να προστεθεί ο επόμενος φλοιός όγκου dτ=4π d με στοιχειώδες φορτίο dq=ρ 4π d. 4 q ρ dτ ρ 4πd ρ π και για γαοό ολόκληρη τη σφαίρα =R: 4 Q ρ πr Είχαμε βρει ότι το δυναμικό στην επιφάνεια ομογενώς V () φορτισμένης σφαίρας είναι: q 4πε Το ολοκλήρωμα αφορά όλο τον χώρο όπου ρ(), δηλαδή στο εσωτερικό της σφαίρας, αφού αλλιώς ρ= και το ολοκλήρωμα λή U μηδενίζεται. R R R 4 q ρ π U ρ () V () dτ ρ 4 4 4πε πd ρ 4πε πd U 5 4 π ρ R Q 15ε πε R

Υπολογισμός Ενέργειας. «μετά την κατασκευή», ομογενώς (ρ=σταθ.) φορτισμένης σφαίρας R, φορτίου Q Κατασκευάζουμε ολόκληρη την σφαίρα και μπορούμε να υπολογίσουμε το δυναμικό V() σε όλο το χώρο, αλλά μας ενδιαφέρει μόνον το δυναμικό εκεί όπου ρ(), δηλαδή στο εσωτερικό της σφαίρας, αφού αλλιώς το ολοκλήρωμα U μηδενίζεται. Είχαμε βρει παραπάνω ότι για R (εκεί όπου ρ): Q Q V () 4π d πr 8πε R Q ρ ρ ρ 4 8πε R πr R 4 Q R Q Q Q Q 4 8πε R 1 1 U () () ( )4 ρ V dτ π d πr 8 πε R πε R

Υπολογισμός Ενέργειας. «μετά την κατασκευή», ομογενώς (ρ=σταθ.) φορτισμένης σφαίρας R, φορτίου Q Κατασκευάζουμε ολόκληρη την σφαίρα και μπορούμε να υπολογίσουμε την ένταση Ε() σε όλο το χώρο. Το ολοκλήρωμα U αφορά τώρα ολόκληρο τον χώρο, (ουσιαστικά οπουδήποτε έχουμε Ε μη μηδενικό). Είχαμε βρει παραπάνω ότι: Q Q R E () R E() 4 R 4 R Q Q 4 4 4πεR R 4πε 1 1 1 U ε E dτ ε π d ε πd U Q Q Q 4 πε R 8 πε R πε R

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου Ισχύουν όσα γνωρίζουμε από τη Μηχανική, συνυπολογίζοντας στις δυνάμεις και τις ηλεκτρικές. Έτσι υπολογίζουμε τα μεγέθη της κίνησης από: m d dt F για σταθερή μάζα m. Καθώς το ηλεκτρικό πεδίο είναι συντηρητικό (και εάν δεν υπάρχει άλλο μη συντηρητικό πεδίο δυνάμεων) ισχύει και η αρχή διατήρηση της ενέργειας: Ε ολική = Ε κινητική + Ε δυναμική = σταθερή Στη δυναμική ενέργεια συνυπολογίζεται και αυτή του ηλεκτρικού πεδίου U=q V ενώ συνήθως η βαρυτική ενέργεια είναι αμελητέα και παραλείπεται.

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου Ηλεκτρόνιο κινούμενο με ταχύτητα v εισέρχεται σε χώρο σταθερού πεδίου E που είναι κάθετο προς την ταχύτητα του. ee ee a yˆ x και y y ay t t m m 1 ee x x x t και y= y y t a yt t m t x y= ee m x Παραβολική τροχιά